tính chất thứ tự của một số không gian hàm

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tô Hoàng Thật

TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA MỘT
SỐ KHÔNG GIAN HÀM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Tô Hoàng Thật

TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA MỘT
SỐ KHÔNG GIAN HÀM

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN ANH TUẤN

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

LỜI CÁM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
PGS.TS. Nguyễn Bích Huy, PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn. Tôi xin bày tỏ lòng kính
trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Thầy đã tạo cho tôi ý thức ham học hỏi và lòng say
mê nghiên cứu khoa học. Thầy đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình thực hiện
luận văn này.
Tôi xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, Ban lãnh đạo khoa Khoa Toán Tin,
Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, tập thể quí
thầy cô đã tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán giải tích khóa 22, các thầy, cô giáo
đã trang bị kiến thức, tạo đều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại đây.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 25 tháng 9 năm 2013
Học viên

TÔ HOÀNG THẬT

1


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan: luận văn do cá nhân tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học
của PGS.TS. Nguyễn Anh Tuấn.
Các kết quả giới thiệu trong luận văn được chúng tôi tìm hiểu từ các bài giảng, các
sách chuyên khảo và các bài báo khoa học và được trình bày lại theo cách hiểu của
chúng tôi với các chứng minh chi tiết.
Học viên

TÔ HOÀNG THẬT

2

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN .............................................................................................................. 1
LỜI CAM ĐOAN ........................................................................................................ 2
MỤC LỤC .................................................................................................................... 3
MỞ ĐẦU....................................................................................................................... 4
CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ .......................................... 5
1.1. Thứ tự sinh bởi nón .....................................................................................................5
1.2. Một số dạng nón và tính chất của chúng ...................................................................6
1.2.1. Nón chuẩn ...............................................................................................................6
1.2.2. Nón chính qui..........................................................................................................7
1.2.3. Nón hoàn toàn chính qui .........................................................................................8
1.2.4. Nón sinh ..................................................................................................................9
1.2.5. Nón liên hợp .........................................................................................................10

CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH......................................... 13
2.1. Tính chất của nón các hàm dương ...........................................................................13
2.1.1. Trường hợp không gian Lp ( Ω, E ) ......................................................................13
2.1.2. Không gian các hàm khả tích HL .........................................................................17
2.2. Tính chất thứ tự của một xích ..................................................................................20
2.2.1. Xích trong không gian Lp ( Ω, E ) ........................................................................20
2.2.2. Xích của những hàm khả tích Bochner địa phương .............................................29
2.2.3 Xích của những hàm khả tích HL và khả tích HL địa phương ..............................32
2.3. Tính chất của những đoạn và quả cầu có thứ tự trong những không gian hàm có
thứ tự ..................................................................................................................................35

CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC.......................................... 38
3.1. Tính chất thứ tự của một xích ..................................................................................38
3.2. Tính chất thứ tự của đoạn và quả cầu .....................................................................49

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................... 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO ........................................................................................ 52

3


MỞ ĐẦU
Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự được hình thành trong thập niên
1940, phát triển mạnh mẽ trong những năm 1950-1970 và được tiếp tục hoàn thiện
cho đến ngày nay. Lí thuyết này tìm được những ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu
các phương trình vi phân, tích phân xuất phát từ khoa học tự nhiên, trong nghiên cứu
các mô hình kinh tế-xã hội, trong Lí thuyết điều khiển, tối ưu …Trong Lí thuyết
phương trình trong không gian có thứ tự, các tính chất tôpô của không gian và ánh xạ
đã được kết hợp với các tính chất thứ tự của chúng để đưa đến các định lý sâu sắc về
tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm và xây dựng nghiệm xấp xỉ cho các lớp phương
trình.
Không gian các hàm liên tục và không gian LP là các không gian được sử dụng
trong các nghiên cứu các phương trình vi phân và tích phân. Do đó để ứng dụng có
hiệu quả Lí thuyết phương trình trong không gian có thứ tự vào nghiên cứu các
phương trình vi phân và tích phân ta cần nghiên cứu các tính chất thứ tự của các
không gian này, bao gồm việc ứng dụng các kết quả tổng quát trong không gian có
thứ tự vào các không gian này cũng như tìm các tính chất thứ tự đặc thù của chúng.
Luận văn trình bày một cách có hệ thống và chi tiết các tính chất thứ tự của các
không gian hàm liên tục, LP bao gồm ứng dụng các kết quả tổng quát của không gian
có thứ tự vào các không gian này như trường hợp riêng cũng như nêu các tính chất
thứ tự đặc thù của chúng. Luận văn gồm ba chương. Chương 1 giới thiệu các khái
niệm và kết quả chuẩn bị về không gian Banach có thứ tự. Chương 2 trình bày các
tính chất thứ tự của các không gian hàm khả tích như không gian Lp , không gian hàm
khả tích địa phương, không gian hàm khả tích HL. Chương 3 trình bày các tính chất

thứ tự của không gian hàm liên tục.

4


CHƯƠNG 1: KHÔNG GIAN BANACH CÓ THỨ TỰ
1.1. Thứ tự sinh bởi nón
Định nghĩa 1.1.1
Tập K trong không gian Banach thực X được gọi là nón nếu:
a) K là tập đóng, khác rỗng và khác {0} .
b) K + K ⊂ K , λ K ⊂ K , ∀λ ≥ 0 .
c) K ∩ ( − K ) ={θ } .
Ví dụ 1.1.2
Cho X =  n . Ta=
xét K

{( x ,..., x ) : x ∈ ,
1

n

i

x=
1,..., n} .
i ≥ 0, i

K là nón trong  n .
Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi:
x ≤ y ⇔ y − x∈K .

Mỗi x ∈ K \ {θ } gọi là dương.
Ví dụ 1.1.3
Ở ví dụ 2, thứ tự trong  n sinh bởi nón K được định nghĩa như sau:
x

x1 ,..., xn ) , y ( y1 ,..., yn ) ,
(=

x ≤ y ⇔ yi − xi ≥ 0, ∀i =1,..., n .

Mệnh đề 1.1.4
Giả sử " ≤ " là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó:
a) x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z , λ x ≤ λ y, ∀z ∈ X , ∀λ ≥ 0 .

(

)

b) ( xn ≤ yn , ∀n ∈ ∗ ) và lim xn = x, lim yn = y ⇒ x ≤ y .
n→∞

n→∞

c) Nếu ( xn ) là dãy tăng hội tụ tới x thì xn ≤ x, ∀n ∈ ∗ .
Chứng minh:
a) x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ ( y + z ) − ( x + z ) ∈ K ⇒ x + z ≤ y + z , ∀z ∈ K .
x ≤ y ⇒ y − x ∈ K ⇒ λ ( y − x ) ∈ K ⇒ λ y − λ x ∈ K ⇒ λ y ≤ λ x, ∀λ ≥ 0 .

b) Từ xn ≤ yn ⇒ yn − xn ∈ K . Do đó yn − xn → y − x ∈ K (do tính chất đóng của K).

5


Vậy x ≤ y .
c) Trước tiên ta chứng minh xn ≤ xn+ m , ∀m ∈ ∗ . Thật vậy, ta có
xn+ m − xn+ m−1 + xn+ m−1 − xn+ m−2 + ... + xn+1 − xn ∈ K .

()

Điều này dẫn đến xn+ m − xn ∈ K ⇔ xn ≤ xn+ m .

*

Cho m → ∞ trong (*) và áp dụng b) ta được điều phải chứng minh.



1.2. Một số dạng nón và tính chất của chúng
1.2.1. Nón chuẩn

Định nghĩa 1.2.1
Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N > 0 : 0 ≤ x ≤ y ⇒ x ≤ N y .
Mệnh đề 1.2.2
Giả sử " ≤ " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn. Khi đó:
a) Nếu u ≤ v thì đoạn u , v = { x ∈ X : u ≤ x ≤ v} bị chặn theo chuẩn.
b) Nếu xn ≤ yn ≤ zn , ∀n ∈ * và
=
lim xn a=
, lim zn a thì lim yn = a .
n→∞

n→∞

n→∞

c) Nếu ( xn ) đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim xn = a .
Chứng minh:
a) ∀x ∈ u , v ⇒ θ ≤ x − u ≤ v − u ⇒ x − u ≤ N u − v ⇒ x ≤ u + N u − v
b) θ ≤ yn − xn ≤ zn − x n ⇒ yn − xn ≤ N zn − x n
c) Coi ( xn ) tăng và lim x nk = a. Vì xn ≤ xnk (n cố định, K đủ lớn) nên xn ≤ a, ∀n ∈ *
k →∞

. Cho ε > 0 , chọn k0 để xnk − a <

ε
N

thì ta có:

∀n ≥ nk0 ⇒ a − xn ≤ xnk − a ⇒ a − xn ≤ N a − xnk < ε .
0

0



Ví dụ 1.2.3

{

}

a) Nón K =
f ∈ C ([ 0,1] ,  ) , f ≥ 0 là nón chuẩn trong C ([ 0,1] ,  ) .
b) Nón các hàm không âm, có đạo hàm liên tục trong C1 ([ 0,1] ,  ) , không là nón
chuẩn trong C1 ([ 0,1] ,  ) .
6


Chứng minh:
a) Lấy f , g ∈ K thỏa f ≤ g . Suy ra sup f ( t ) ≤ sup g ( t ) hay f ≤ g .
t∈[ 0,1]

t∈[ 0,1]

b) Xét dãy f n=
( t ) t n , n ∈ * và hàm f ( t ) = 1 .
Ta có f n ≤ f , ∀n ∈ * .
max f n ( t ) + max f n' ( t ) =
1 + n, f =
1 . Do đó không tồn tại
fn =
0≤t ≤1

0≤t ≤1

N > 0 sao cho bất đẳng thức f n ≤ N f đúng với mọi n ∈ * .



1.2.2. Nón chính qui

Định nghĩa 1.2.4
Nón K gọi là chính qui nếu mọi dãy tăng, bị chặn trên thì hội tụ.
Ví dụ 1.2.5
a) Nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L [ 0,1] là nón chính qui trong L [ 0,1] .
b) Nón các hàm không âm trong C ([ 0,1] ,  ) không là nón chính qui.
Chứng minh:
a) Giả sử ( f n ) là dãy tăng, bị chặn trên bởi g trong L [ 0,1] .
Ta có thể coi f n ( t ) , g ( t ) hữu hạn tại mọi t ∈ [ 0,1] .
Bằng cách xét dãy f n − f1 nếu cần, ta có thể coi f n ≥ 0 . Lấy t ∈ [ 0,1] tùy ý
0 ≤ f1 ( t ) ≤ ... ≤ f n ( t ) ≤ ... ≤ g ( t ) .

Do đó ( f n ( t ) ) là dãy số tăng, bị chặn trên nên hội tụ.
Lập hàm f : [ 0,1] →  định bởi f ( t ) = lim f n ( t ) . Vì
n→∞

( fn )

là dãy hàm đo được,

không âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi g và f ( t ) = lim f n ( t ) nên f cũng là hàm đo
n→∞

được, không âm hầu khắp nơi, bị chặn trên bởi g ∈ L [ 0,1] nên f ∈ L [ 0,1] . Ta chứng
minh f n → f trong L [ 0,1] .
Ta có f n ( t ) − f ( t ) → 0 trên L [ 0,1] và f n ( t ) − f ( t ) ≤ 2 g ( t ) .

7

Do đó theo định lý hội tụ bị chặn Lebesgue ta có lim
n→∞

∫

[0,1]

fn − f d µ =
0 . Suy ra

lim f n − f =
0.
n→∞

Vậy nón các hàm không âm hầu khắp nơi trong L [ 0,1] là nón chính qui.
b) Xét dãy ( f n ) trong C ([ 0,1] ,  ) , với f n ( t ) = 1 − t n , ∀t ∈ [ 0,1] .
Ta có ( f n ) là dãy hàm tăng, bị chặn trên bởi 1 trong C ([ 0,1] ,  ) và
=
f 0 ( t ) lim f n ( t ) , t ∈ [ 0,1] với hàm f 0 : [ 0,1] → [ 0,1] định bởi:
n→∞

0 khi t = 1.
f0 ( t ) = 
1 khi 0 ≤ t < 1.

Ta có f 0 ∉ C ([ 0,1] ,  ) nên dãy ( f n ) không hội tụ trong C ([ 0,1] ,  ) .
Vậy nón các hàm không âm trong C ([ 0,1] ,  ) không là nón chính qui.



Mệnh đề 1.2.6
Nón chính qui là nón chuẩn.
Chứng minh:
Giả sử K là nón chính qui không là nón chuẩn. Khi đó
∀n ∈ * , ∃xn , yn : θ ≤ xn ≤ yn , xn > n 2 yn .

Đặt un
=
∞

Vì

∑
n =1

xn
=
, vn
xn

yn
1
thì θ ≤ un ≤ vn , u=
1, vn < 2 .
n
xn
n
∞

vn < ∞ nên tồn tại v = ∑ vn .
n =1

Dãy sn = u1 + ... + un tăng, bị chặn trên (bởi v) nên hội tụ.
Suy ra lim un = θ , điều này dẫn đến mâu thuẫn.



1.2.3. Nón hoàn toàn chính qui

Định nghĩa 1.2.7
Nón K gọi là hoàn toàn chính qui nếu mỗi dãy tăng trong E mà bị chặn theo chuẩn thì
hội tụ.
Mệnh đề 1.2.8
8


Nón hoàn toàn chính qui là nón chính qui.
1.2.4. Nón sinh

Định nghĩa 1.2.9
K gọi là nón sinh nếu X= K − K hay ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v .
Ví dụ 1.2.10
Nón các hàm không âm trong Lp là nón sinh.
Mệnh đề 1.2.11
Nếu K là nón sinh thì tồn tại M > 0 sao cho ∀x ∈ X , ∃u , v ∈ K : x = u − v ,
u ≤M x , v ≤M x .

Chứng minh :
Đặt C = K ∩ B(θ ,1) − K ∩ B(θ ,1) , ta chứng minh tồn tại r > 0 : C ⊃ B (θ , r )

∞

Thật vậy X = ∪ nC (do K là nón sinh)
n =1

⇒ ∃n0 , ∃G mở : n0 C ⊃ G (do định lý Baire)

1
1
1
1
Vì C lồi, đối xứng nên C ⊃ C − C ⇒ C ⊃
G−
G (mở, chứa θ )
2
2
2n0
2n0

Ta chứng minh

(

Ta sẽ xây dựng dãy ( xn ) thỏa : xn ∈
Thật vậy , vì

)

r
r

B⊂C B=
B (θ ,1) . Lấy a ∈ B
2
2
n
1
r
−
C
,
a
xk < n+1 .
∑
n
2
2
k =1

r
1
r
1
B ⊂ n C nên ∀y ∈ n B, ∀ε > 0, ∃x ∈ n C : y − x < ε .
n
2
2
2
2

Ta có:

1
r
r
a ∈ B ⇒ ∃x1 ∈ C : a − x1 < 2 .
2
2
2
1
r
r
a − x1 ∈ 2 B ⇒ ∃x2 ∈ 2 C : a − x1 − x2 < 3 ,...
2
2
2

Vì xn ∈

1
1
C nên ∃un , vn ∈ K : xn =−
un vn , un , vn ≤ n .
n
2
2

9


Đặt u
=

∞

un , v
∑=

∞

∑v

n 1=
n 1
=

n

, ta có a =
u − v, u , v ≤ 1 . Vậy a ∈ C .

rx
= u ' − v ' , với u ' , v ' ∈ K , u ' , v ' ≤ 1 .
2 x

∀x ≠ 0 , ta có

2

⇒ x = u − v, u , v ∈ K , u , v ≤ M x với  M =  .
r




Mệnh đề 1.2.12
Nếu nón K có int K ≠ φ thì K là nón sinh.
Chứng minh:
Giả sử e ∈ int K . Do đó tồn tại r > 0 sao cho B ( e, r ) ⊂ K .
Do đó với mọi x ∈ X , x ≠ 0 thì e +
Đặt u=

rx
∈K .
x



1 x
1 x
u − v, u , v ∈ K .
e
+
x
,
v
=
e
−
x




 thì: x =
2 2
2 2



Vậy K là nón sinh.



1.2.5. Nón liên hợp

Nếu K là nón thì ta định nghĩa nón liên hợp của K là
K *=

{f ∈X

*

: f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K } .

K * có các tính chất a), b) trong định nghĩa nón .
Có thể chứng minh : K * ∩ {− K *=
}

{θ } ⇔ K − K=

X.

Mệnh đề 1.2.13
x0 ∈ K ⇔ f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * .

Chứng minh:

⇐) Giả sử trái lại : f ( x0 ) ≥ 0, ∀f ∈ K * , x0 ∉ K .
Do định lý tách tập lồi : ∃g ∈ X * : g ( x0 ) < g ( y ) , ∀y ∈ K .
1
Cố định x ∈ K , ta có g ( x0 ) < g ( tx ) , ∀t > 0 ⇒ g ( x0 ) < g ( x ) .
t

Cho t → ∞ ta có g ( x ) ≥ 0 .Vậy g ∈ K * .
10


Nhưng g ( x0 ) < g ( 0 ) =
0 . Điều này mâu thuẫn.
Vậy định lý được chứng minh.



Mệnh đề 1.2.14
Cho K là nón chuẩn và ( xn ) là dãy tăng, hội tụ yếu tới x. Khi đó ( xn ) hội tụ tới x.
Chứng minh:

(n ∈  ).
Theo mệnh đề 1.2.13 ta chứng minh f ( x ) ≤ f ( x ) , ∀f ∈ K
Lấy f ∈ K tùy ý. Do ( x ) là dãy tăng nên x
f ( x ) ≤ f ( x ) , ∀m ≥ n .
Vì ( x ) hội tụ yếu tới x nên lim f ( x ) = f ( x )

Trước tiên ta chứng minh xn ≤ x

*

*

n

*

n

n

n

(n ∈  ).
*

≤ xm , ∀m ≥ n . Do đó

( 3)

m

n

n→∞

n

Ở (3) cố định n, cho m → ∞ ta được f ( xn ) ≤ f ( x ) .

(n ∈  ).

Vậy xn ≤ x

*

Cho ε > 0 , do dãy

(

)

y ∈ co ( xn ) : y − x <

)

(

(x )
n

ε
N

hội tụ yếu tới x nên theo định lý Mazur tồn tại

với N là hằng số trong định nghĩa nón chuẩn.

Vì y ∈ co ( xn ) nên y = ∑ λi xni với
k

λ
∑=
i =1

i

k

i =1

∀i 1,..., k , n1 < n2 < ... < nk .
1, λi > 0, =
k

Suy ra y ≤ ∑ λi xn =
xnk . Với n ≥ nk ta có: y ≤ xnk ≤ xn ≤ x
i =1

k

⇒ 0 ≤ x − xn ≤ x − y ⇒ x − xn ≤ N x − y < ε .

Như vậy ta đã chứng minh ∀ε > 0, ∃n0 > 0, ∀n ≥ n0 ⇒ x − xn < ε hay ( xn ) hội tụ
tới x.



Mệnh đề 1.2.15
Cho X là không gian Banach phản xạ và K là nón chuẩn. Khi đó K là nón chính qui.
11


Chứng minh:
Xét dãy ( xn ) tăng, bị chặn trên. Ta chứng minh ( xn ) hội tụ.
Thật vậy, do K là nón chuẩn và dãy ( xn ) tăng, bị chặn trên nên ( xn ) là dãy bị chặn
(theo chuẩn).

( ) hội tụ yếu về

Do X là không gian Banach phản xạ nên tồn tại dãy con xnk

( )

x nào

( )

đó. Do ( xn ) tăng nên xnk tăng. Do K là nón chuẩn nên theo mệnh đề 18 thì xnk

( )

hội tụ về x . Ta có ( xn ) là dãy tăng, có dãy con xnk hội tụ về x nên theo mệnh đề
1.2.2 ( xn ) hội tụ về x .



12


CHƯƠNG 2: KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ TÍCH
Các kết quả ở mục 2.1 sau đây được tham khảo trong [1, tr.419-421] và [3, tr.465469].
2.1. Tính chất của nón các hàm dương
2.1.1. Trường hợp không gian Lp ( Ω, E )

(

Cho ( Ω, A, µ ) là không gian độ đo, E = E , .

) là không gian Banach và 1 ≤ p < ∞ .

Định nghĩa Lp ( Ω, E ) là không gian những hàm µ -đo được x : Ω → E sao cho
t  x (t )

p

là µ -khả tích , nghĩa là x ∈ Lp ( Ω ) . Lp ( Ω, E ) là không gian vectơ với

phép toán thông thường về cộng hàm và nhân hàm với số và là không gian Banach
với chuẩn
1
p

x

Nếu 1 < p < ∞,

p



p
=  ∫ x dµ  .
Ω


1 1
+ =1 và nếu x ∈ Lp ( Ω, E ) , y ∈ Lq ( Ω, E ) thì
p q

x y ∈ L1+ ( Ω ) và thỏa bất đẳng thức Holder

∫x

y dµ ≤ x

Ω

p

y q.

Bổ đề 2.1.1
Nếu dãy ( xn )n=0 hội tụ tới x trong Lp ( Ω, E ) thì có dãy con của dãy
∞

( xn )n=0

∞

mà hội

tụ từng điểm hầu khắp nơi tới x .
Định lý tính hội tụ bị trội LP
Cho ( xn )n=0 là dãy trong Lp ( Ω, E ) hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới hàm x : Ω → E .
∞

Nếu có hàm v ∈ L+ P ( Ω ) sao cho xn ≤ v với mọi n ∈  , thì ( xn )n=0 hội tụ tới x trong
∞

Lp ( Ω, E ) .

13


Kế tiếp ta xét Lp ( Ω, E ) là không gian Banach có thứ tự.
Bổ đề 2.1.2
Nếu K là nón trong E thì Lp ( Ω, K ) ={x ∈ Lp ( Ω, E ) | x ( t ) ∈ K với hầu khắp
nơi t ∈ Ω} là nón trong Lp ( Ω, E ) .
Chứng minh:
Lp ( Ω, K ) ≠ φ do 0 ∈ Lp ( Ω, K ) .
Lp ( Ω, K ) + Lp ( Ω, K ) ⊂ Lp ( Ω, K ) .

λ Lp ( Ω, K ) ⊂ Lp ( Ω, K ) , ∀λ ≥ 0.
Lp ( Ω, K ) ∩ ( − Lp ( Ω, K ) ) ={0}.

Ta chứng minh Lp ( Ω, K ) đóng trong Lp ( Ω, E ) .
Cho dãy ( xn )n=0 trong Lp ( Ω, K ) hội tụ mạnh tới x trong Lp ( Ω, E ) . Theo bổ đề

∞

2.1.1

( xn )n=0
∞

có dãy con

( )
xnk

∞
k =0

mà hội tụ từng điểm hầu khắp nơi tới x . Vì

xnk ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi t ∈ Ω và vì K là đóng nên lim xnk =
( t ) x ( t ) ∈ K với hầu
k →∞

khắp nơi t ∈ Ω , do đó x ∈ Lp ( Ω, K ) .



Nếu E là không gian Banach có thứ tự, K là nón của E. Khi đó Lp ( Ω, E ) là không
gian Banach có thứ tự và thứ tự trong Lp ( Ω, E ) sinh bởi Lp ( Ω, K ) . Thứ tự “ ≤ ” có
thể được định nghĩa như sau:
x ≤ y ⇔ x ( t ) ≤ y ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω .

Mệnh đề 2.1.3
Cho E là không gian Banach có thứ tự, K là nón của E và p ∈ [1, ∞ ) . Nếu K
là nón chuẩn, chính qui hoặc hoàn toàn chính qui thì Lp ( Ω, K ) là nón chuẩn,
chính qui hoặc hoàn toàn chính qui.
Chứng minh:
Giả sử K là nón chuẩn. Cho x, y ∈ Lp ( Ω, K ) và x ≤ y .
Vì K là chuẩn nên có M > 0 sao cho
14


x ( t ) ≤ M y ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω .

Do đó

∫ x (t )

P

Ω

suy ra x

p

d µ ≤ M P ∫ y (t ) d µ ,
p

Ω

≤ M y p . Vậy Lp ( Ω, K ) là nón chuẩn .

Giả sử K là chính qui và cho ( xn )n=0 là dãy tăng và bị chặn trên trong Lp ( Ω, K ) .
∞

Theo định nghĩa có b ∈ Lp ( Ω, K ) sao cho với mọi n ∈  ,
0 ≤ xn ( t ) ≤ b ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω .

Do đó có tập có độ đo không Ζ ⊂ Ω sao cho

( x (t ))
n

∞
n =0

là dãy tăng và bị chặn trên

trong K với mọi t ∈ Ω \ Ζ . Vì K là chính qui , nên dãy ( xn ( t ) )n=0 có giới hạn x ( t ) với
∞

mọi t ∈ Ω \ Ζ và x ( t ) = 0 với mọi t ∈ Ζ .
Khi đó ( xn )n=0 hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới x . Vì K là chuẩn nên có M
∞

> 0 sao cho xn ≤ M b với mọi n ∈  . Vì M b ∈ L+p ( Ω ) nên theo định lý tính hội tụ
bị trội Lp thì x ∈ Lp ( Ω, E ) và ( xn )n=0 hội tụ trong
∞

Lp ( Ω, E ) tới x . Theo bổ đề 2.1.2 thì x ∈ Lp ( Ω, K ) .

Vậy Lp ( Ω, K ) là chính qui .
Giả sử K là hoàn toàn chính qui và cho ( xn )n=0 là dãy tăng và bị chặn trong Lp ( Ω, K )
∞

. Ta có thể giả sử chuẩn
Vậy những hàm xn

p

.

của E là đơn điệu trong K .

lập thành dãy tăng trong L1+ ( Ω ) và những tích phân

∫

xn d µ
P

Ω

lập thành dãy bị chặn . Theo định lý hội tụ đơn điệu

( )
xn

p ∞
n =0

hội tụ từng điểm hầu

khắp nơi trong Ω tới hàm ω ∈ L1+ ( Ω ) .
1
p

Đặt v = ω ∈ L+p ( Ω ) và
xn ( t ) ≤ v ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω .
15

(a)


Vậy ( xn ( t ) )n=0 là dãy tăng và bị chặn trong K với hầu khắp nơi t ∈ Ω . Do đó có tập
∞

có độ đo không Ζ ⊂ Ω sao cho

( x (t ))
n

∞
n =0

là dãy tăng và bị chặn trong K với mọi

t ∈Ω \ Ζ.

Vì K là hoàn toàn chính qui nên tồn tại

lim xn ( t ) = x ( t ) với mọi
n→∞

t ∈ Ω \ Ζ và

x ( t ) = 0 với mọi t ∈ Ζ .

Khi đó ( xn )n=0 hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới x . Điều này và
∞

(a)

, theo

định lý tính hội tụ bị trội Lp thì x ∈ Lp ( Ω, E ) và ( xn )n=0 hội tụ trong Lp ( Ω, E ) tới x .
∞

Vậy Lp ( Ω, K ) là hoàn toàn chính qui.



Ví dụ 2.1.4
Cho ( Ω j , Aj , µ j ) là không gian độ đo=
, E0

(E ,

Banach và K 0 là nón trong E0 . Cho dãy ( p j )
Kí hiệu
E

=
j +1

(L

pj

(Ω , E ),
j

j

.

pj

⋅

0

∞

) là không gian

⊂ [1,∞ ) .

j =0

) và K

0

=
L j (Ω j , K j ), j ∈  .
p

j +1

E j là không gian Banach và theo bổ đề 2.1.2 K j là nón trong E j với mọi j = 1,2,...

Theo mệnh đề 2.1.3 thì nếu K 0 là chuẩn, chính qui hoặc hoàn toàn chính qui thì K j
tương ứng là chuẩn, chính qui hoặc hoàn toàn chính qui.
Kế tiếp xét trường hợp p = ∞ .

(

Cho ( Ω, A, µ ) là không gian độ đo , E = E , .

) là không gian Banach. Định nghĩa

L∞ ( Ω, E ) là không gian của những hàm µ -đo được x : Ω → E sao cho x ∈ L∞+ ( Ω ) .
L∞ ( Ω, E ) là không gian Banach với chuẩn

x

∞

=
inf{c ≥ 0 | x ( t ) ≤ c với hầu khắp nơi t ∈ Ω }.

Mệnh đề 2.1.5

16


Nếu K là nón trong E thì L∞ ( Ω, K ) ={x ∈ L∞ ( Ω, E ) | x ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi t ∈ Ω
} là nón trong L∞ ( Ω, E ) . Nếu K là nón chuẩn thì L∞ ( Ω, K ) là nón chuẩn.
Chứng minh:
L∞ ( Ω, K ) ≠ φ do 0 ∈ L∞ ( Ω, K ) .
L∞ ( Ω, K ) + L∞ ( Ω, K ) ⊂ L∞ ( Ω, K ) .

λ L∞ ( Ω, K ) ⊂ L∞ ( Ω, K ) , ∀λ ≥ 0.
L∞ ( Ω, K ) ∩ ( − L∞ ( Ω, K ) ) ={0}.

Ta chứng minh L∞ ( Ω, K ) là tập đóng.

Cho dãy ( xn ) ⊂ L∞ ( Ω, K ) hội tụ tới x ∈ L∞ ( Ω, E ) .
xn ( t ) − x ( t ) ≤ xn − x

∞

hầu khắp nơi trên Ω .

Do đó có tập có độ đo không Z ⊂ Ω sao cho xn ( t ) − x ( t ) ≤ xn − x
t ∈Ω \ Z .

với mọi

∞

lim xn ( t ) , ∀t ∈ Ω \ Z
x ( t ) =  n→∞
0, ∀t ∈ Z
Vì xn ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi trên Ω và vì K đóng nên x ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi

trên Ω . Do đó x ∈ L∞ ( Ω, K ) .
Với mọi x, y ∈ L∞ ( Ω, K ) , x ≤ y , ta có 0 ≤ x ( t ) ≤ y ( t ) hầu khắp nơi trên Ω .
Do K là nón chuẩn nên tồn tại N > 0 sao cho x ( t ) ≤ N y ( t ) hầu khắp nơi trên Ω .
Ta có
x

∞

y (t ) ≤ y

∞

hầu khắp nơi, suy ra

x ( t ) ≤ N y ( t ) ≤ N y ∞ . Khi đó

≤ N y ∞.

Vậy L∞ ( Ω, K ) là nón chuẩn.



2.1.2. Không gian các hàm khả tích HL

Cho E là không gian Banach và đoạn [ a, b ] ⊂  , định nghĩa chuẩn Alexiewicz trên

HL ([ a, b ] , E ) bởi


=
u A sup 

Bổ đề 2.1.6


u
s
ds
:
c
,
d
⊂
a
,
b
(
)
[
]
[
]
.
∫c

d

K

17


Cho E là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K .
HL ([ a, b ] , K ) =
u ∈ HL ([ a, b ] , E ) | u ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi t ∈ [ a, b ]} . Định nghĩa

{

.

A

là chuẩn trên HL ([ a, b ] , K ) . Khi đó HL ([ a, b ] , K ) là nón của HL ([ a, b ] , E ) và

thứ tự từng điểm hầu khắp nơi của HL ([ a, b ] , E ) sinh bởi HL ([ a, b ] , K ) .
Chứng minh:
HL ([ a, b ] , K ) ≠ φ do 0 ∈ HL ([ a, b ] , K ) .
HL ([ a, b ] , K ) + HL ([ a, b ] , K ) ⊂ HL ([ a, b ] , K ) .

(

)

HL ([ a, b ] , K ) ∩ − HL ([ a, b ] , K ) ={0}.

λ HL ([ a, b ] , K ) ⊂ HL ([ a, b ] , K ) , ∀λ ≥ 0.

Ta chứng minh HL ([ a, b ] , K ) là đóng.

(u )

Giả sử
un − u

là dãy trong HL ([ a, b ] , K ) hội tụ tới u ∈ HL ([ a, b ] , E ) , nghĩa là

n

A

→ 0 khi n → ∞ . Suy ra

d

K

d

∫ u ( s ) ds → ∫ u ( s ) ds, ∀[c, d ] ⊂ [ a, b] khi n → ∞ .

( *)

K

n

c

c

Vì un ( s ) ≥ 0 với mọi n và với hầu khắp nơi s ∈ [ a, b ] nên

d

K

∫ u ( s ) ds ≥ 0 .
n

c

d

Do đó

K

∫ u ( s ) ds ∈ K
n

với mọi n và [ c, d ] ⊂ [ a, b ] . Vì K là đóng nên từ (*) suy ra

c

d

K

∫ u ( s ) ds ∈ K

với mọi n và [ c, d ] ⊂ [ a, b ] . Do đó u ( t ) ∈ K với hầu khắp nơi

c

t ∈ [ a, b ] . Vậy u ∈ HL ([ a, b ] , K ) .

Hơn nữa, nếu u , v ∈ HL ([ a, b ] , K ) thì u ( t ) ≤ v ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ [ a, b ] khi và
chỉ khi v − u ∈ HL ([ a, b ] , K ) .

Vậy HL ([ a, b ] , K ) suy ra thứ tự từng điểm hầu khắp nơi HL ([ a, b ] , E ) .
Định lý 2.1.7
Cho E là không gian Banach có thứ tự và K là nón thứ tự của E.
a) Nếu K là nón chuẩn thì HL ([ a, b ] , K ) là nón chuẩn.
b) Nếu K là nón chính qui thì HL ([ a, b ] , K ) là nón chính qui.
Chứng minh:
a) Giả sử K là nón chuẩn, với mọi u , v ∈ HL ([ a, b ] , K ) và u ≤ v . Khi đó
18




0 ≤ u ( s ) ≤ v ( s ) với hầu khắp nơi s ∈ [ a, b ] .

Suy ra nếu I là khoảng con đóng của [ a, b ] , thì
0 ≤ K ∫ u ( s ) ds ≤ K ∫ v ( s ) ds.
I

I

Vì K là nón chuẩn nên tồn tại N ≥ 1 sao cho
K

∫ u ( s ) ds

≤N

I

K

∫ v ( s ) ds
I

với mọi khoảng con đóng I của [ a, b ] . Do đó, ta có
 K d

=
u A sup  ∫ u ( s ) ds : [ c, d ] ⊂ [ a, b ] ≤
 c

 K d

N sup  ∫ v ( s ) ds : [ c, d ] ⊂ [ a, b ] =
N v A.
 c


Vậy HL ([ a, b ] , K ) là nón chuẩn.
b) Giả sử

( un )n=1
∞

là dãy tăng trong HL ([ a, b ] , K ) và có cận trên u+ trong

HL ([ a, b ] , K ) .

Do đó
0 ≤ un ( s ) ≤ un+1 ( s ) ≤ u+ ( s ) với hầu khắp nơi s ∈ [ a, b ] .

Vì K là nón chính qui nên tồn tại hàm khả tích HL u : [ a, b ] → E sao cho
u ( s ) = lim un ( s ) với hầu khắp nơi s ∈ [ a, b ] .
n→∞

Khi đó
0 ≤ un ( s ) ≤ un+1 ( s ) ≤ u ( s ) với hầu khắp nơi s ∈ [ a, b ] .

Suy ra u − un ∈ HL ([ a, b ] , K ) với mọi n ∈  .
Suy ra nếu I là khoảng con đóng của [ a, b ] thì

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds ∈ K .
n

I

Nếu [ c, d ] là khoảng con đóng của [ a, b ] thì

19


d

0≤

K

∫ (u ( s ) − u ( s ))
n

c

Kc K
ds ≤  ∫ +
 a

d

∫
c

b

+

K

∫
d


 ( u ( s ) − un ( s ) ) ds


b

=

K

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds.
n

a

Do K là nón chuẩn nên:
d

K

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds
n

b

≤N

K

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds , ∀n ∈ , ∀[c, d ] ⊂ [ a, b] .
n

c

a

Suy ra:

=
u − un A sup 





∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds : [c, d ] ⊂ [ a, b]
d

K

n

c



b

≤N

K

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds .
n

a

b

Vì

K

∫ ( u ( s ) − u ( s ) ) ds → 0 nên
n

u − un

→ 0 khi n → ∞ .

A

a

Vậy HL ([ a, b ] , K ) là nón chính qui.



Các kết quả ở mục 2.2 sau đây được tham khảo trong [1, tr.421-428] và [3, tr.469477].
2.2. Tính chất thứ tự của một xích
2.2.1. Xích trong không gian Lp ( Ω, E )

Bổ đề 2.2.1
Nếu 0 < µ ( Ω ) < ∞ thì L∞ ( Ω, E ) ⊂ Lp ( Ω, E ) ⊂ L1 ( Ω, E ) với mọi p ∈ (1, ∞ ) và
x

∞

= lim x
p →∞

p

với mọi x ∈ L∞ ( Ω, E ) .

(1)

Hơn nữa, nếu E là không gian Banach có thứ tự và nếu nón của E là chính qui (tương
ứng hoàn toàn chính qui) thì mỗi xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong
L∞ ( Ω, E ) có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong L∞ ( Ω, E ) .

Chứng minh:
20


Cho x ∈ L∞ ( Ω, E ) . Vì x ( t ) ≤ x

∞

với hầu khắp nơi t ∈ Ω nên
1

x

≤ µ (Ω) p x

p

( 2)

∞

với mọi p ∈ [1, ∞ ) , do đó L∞ ( Ω, E ) ⊂ Lp ( Ω, E ) .
Theo định nghĩa của chuẩn x
sao cho x ( t ) ≥ x

∞

∞

thì với mọi ε > 0 , có tập con B ⊂ Ω với µ ( B ) > 0

− ε với mọi t ∈ B . Do đó

µ ( B)

1

p

(x

∞

−ε ) ≤ x

(3)

p

Từ (2) và (3) suy ra với mọi ε > 0
x

∞

− ε ≤ liminf x
p →∞

p

≤ limsup x
p →∞

p

≤ x ∞,

suy ra (1).

Chọn vectơ đơn vị e ∈ E và y ( t ) ≡ e trong bất đẳng thức Holder , ta có với mọi
x ∈ Lp ( Ω, E ) , 1 < p < ∞,
1
q

x 1 ≤ µ (Ω) x

p

do đó Lp ( Ω, E ) ⊂ L1 ( Ω, E ) .
Giả sử E là không gian Banach có thứ tự với nón thứ tự K là chính qui (tương ứng
hoàn toàn chính qui). Cho C là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong
L∞ ( Ω, E ) và cho p ∈ [1, ∞ ) . Theo chứng minh trên thì C là xích bị chặn thứ tự (tương

ứng bị chặn) trong Lp ( Ω, E ) . Do K là nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui)
nên theo mệnh đề 2.1.3 thì Lp ( Ω, K ) là nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính
qui).
Suy ra C có cận trên bé nhất x* trong Lp ( Ω, E ) và có dãy tăng ( xn )n=0 trong C hội tụ
∞

tới x* trong Lp ( Ω, E ) . Theo bổ đề 2.1.1 ( xn )n=0 có dãy con hội tụ từng
∞

21


điểm hầu khắp nơi trong Ω tới x* . Vì dãy ( xn ( t ) )n=0 tăng với hầu khắp nơi t ∈ Ω
∞

nên giả sử ( xn )n=0 hội tụ từng điểm hầu khắp nơi trong Ω tới x* . Hơn nữa, tồn tại M

∞

> 0 sao cho xn ( t ) ≤ M với hầu khắp nơi t ∈ Ω .
Do đó
=
=
x* ( t ) lim
xn ( t ) sup xn ( t )
n→∞

n

và x* ( t ) ≤ M với hầu khắp nơi t ∈ Ω . Suy ra x* ∈ L∞ ( Ω, E ) và x* = sup C trong
L∞ ( Ω, E ) .

Sự tồn tại inf C suy ra từ chứng minh trên vì inf C =
− sup ( −C ) .



Mệnh đề 2.2.2
Nếu ( Ω, A, µ ) là không gian độ đo σ -hữu hạn và E là không gian Banach có thứ thự
với nón chính qui (tương ứng hoàn toàn chính qui) thì mỗi xích bị chặn thứ tự (tương
ứng bị chặn) của L∞ ( Ω, E ) có cận trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong L∞ ( Ω, E ) .
Chứng minh:
∞

Vì Ω là σ -hữu hạn nên Ω = An với An ⊂ An+1 và µ ( An ) < ∞, ∀n ∈  . Cho C là
n =0

xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong L∞ ( Ω, K ) . Chọn M > 0 sao cho
x ( t ) ≤ M với hầu khắp nơi t ∈ Ω và với mọi x ∈ C .

Tập =
C | An

{ x | An : x ∈ C} ,

∀n ∈  là xích bị chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) trong

L∞ ( An , K ) . Theo bổ đề 2.2.1 suy ra tồn tại xn = sup ( C | An ) trong L∞ ( An , K ) và

xn ( t ) = 0 với t ∈ Ω \ An .

Ta thu được dãy những hàm µ -đo được xn : Ω → K . Dãy này tăng vì An ⊂ An+1 , bị
chặn thứ tự (tương ứng bị chặn) và
xn ( t ) ≤ M với hầu khắp nơi t ∈ Ω và với mọi n ∈  .

Do đó tồn tại
=
x* ( t ) lim
=
xn ( t ) sup xn ( t )
n→∞

n∈

22

(1)

với hầu khắp nơi t ∈ Ω . Theo định nghĩa tồn tại t ∈ Ω sao cho x* ( t ) = 0 .
Ta thu được hàm µ -đo được x* : Ω → K thỏa
x* ( t ) ≤ M với hầu khắp nơi t ∈ Ω .

Vậy x* ∈ L∞ ( Ω, K ) .
Nếu x ∈ C thì x | An ≤ xn , do đó
x ( t ) ≤ xn ( t ) ≤ x* ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ An và với mọi n ∈  .

Vậy x ≤ x* với mọi x ∈ C , do đó x* là cận trên của C .
Nếu y ∈ L∞ ( Ω, K ) là cận trên khác của C thì
x ( t ) ≤ y ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω và với mọi x ∈ C .

Do đó x | An ≤ y | An với mọi n ∈  và x ∈ C , khi đó
xn ( t ) ≤ y ( t ) với hầu khắp nơi t ∈ Ω và với mọi n ∈  .

Điều này và (1) suy ra x* ≤ y , do đó x* = sup C trong L∞ ( Ω, K ) .
Nếu C là xích trong L∞ ( Ω, E ) và x0 ∈ C thì C0 =
{ x − x0 | x ∈ C , x0 ≤ x} là
xích trong L∞ ( Ω, K ) , do đó tồn tại supC0 trong L∞ ( Ω, K ) . Nhưng
x0 + sup C0 là cận trên nhỏ nhất của C trong L∞ ( Ω, E ) .

− sup ( −C ) trong L∞ ( Ω, E ) .
Chứng minh trên suy ra tồn tại inf C =



Bồ đề 2.2.3
Cho E là không gian Banach có thứ tự với nón K. Một xích C của B ( Ω, E ) có cận

trên bé nhất và cận dưới lớn nhất trong các trường hợp sau:
a) C bị chặn thứ tự và K là chính qui.
b) C bị chặn và K là hoàn toàn chính qui.
c) C bị chặn và E là phản xạ.
Chứng minh:
a) Cho C là xích bị chặn thứ tự trong B ( Ω, E ) , và cho a, b ∈ B ( Ω, E ) thỏa mãn
a ( w ) ≤ x ( w ) ≤ b ( w ) với mọi x ∈ C và w∈ Ω . Nếu K là chính qui thì

tồn tại
23