skkn bài TOÁN THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG điều hòa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI
Đơn vị: TRƯỜNG THPT chuyên LƯƠNG THẾ VINH
Mã số: ................................

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

BÀI TOÁN THỜI GIAN TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Người thực hiện: BẠCH NGỌC LINH
Lĩnh vực nghiên cứu:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ môn: VẬT LÝ 
- Lĩnh vực khác:



Có đính kèm: Các sản phẩm không thề hiện trong bản in SKKN
 Mô hình
 Phần mềm
 Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2012-2013


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I. THƠNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN
1. Họ và tên: BẠCH NGỌC LINH
2. Ngày tháng năm sinh: 15-4-1967
3. Nam, nữ: Nữ
4. Địa chỉ: 98 đường 30 / 4 – Khu phố 4 – Phường Quyết Thắng –
Thành phố Biẽn Hồ – Tỉnh Đồng Nai
5. Điện thoại: 0613828107 (CQ); ĐTDĐ: 0983825672
6. E-mail:
7. Chức vụ: Phó bí thư chi bộ – Chủ tịch Cơng đòan – Tổ phó chun
mơn tổ Vật lý
8. Đơn vị cơng tác: Trường THPT chun LƯƠNG THẾ VINH
II. TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO
- Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học Sư
phạm
- Năm nhận bằng: 1989
- Chun ngành đào tạo: Vật lý
III.KINH NGHIỆM KHOA HỌC
- Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm:
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

2


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Số năm có kinh nghiệm: 24 năm
- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:
+ Bài tập Nhiệt
+ Hồ quang điện
+ Giải bài tốn điện xoay chiều bằng phương pháp số phức

+ Bài tốn Bessel trong Quang hình học – Mở rộng và ứng dụng
+ Hiệu trưởng phối hợp với Cơng đồn để xây dựng đội ngũ tại trường
THPT chun Lương Thế Vinh trong giai đoạn 2010-2015.

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

3


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Tên SKKN:

BÀI TỐN THỜI GIAN TRONG
DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
PHẦN I – PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Lý do khách quan: Trong các dạng bài tập của chương dao động
điều hòa ở lớp 12, nhiều học sinh còn lúng túng khi giải dạng bài tập liên
quan đến thời gian. Bài tốn dao động điều hòa là dạng tốn đầu tiên của
chương trình 12. Bài tốn thời gian trong dao động điều hòa lại là dạng
tốn khó. Nếu học sinh khơng làm được các bài tập phần này sẽ mất tự tin
để học các phần tiếp theo. Mặt khác dao động điều hòa là một trong những
phần trọng tâm của các đề thi Học kỳ I, thi tốt nghiệp trung học phổ thơng
(nếu có), thi Đại học, Cao đẳng và Trung cấp. Do đó tơi chọn đề tài: “Bài
tốn thời gian trong dao động điều hòa” để viết sáng kiến kinh nghiệm
trong năm học 2012-2013 này, nhằm giúp học sinh nắm được phương pháp
và giải thành thạo các bài tốn liên quan đến thời gian trong dao động điều
hòa.
Lý do chủ quan: Bản thân được trực tiếp giãng dạy khối 12 nhiều

năm nên có kinh nghiệm với đề tài đã chọn.
II. TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Đề tài tơi chọn là một dạng bài tập trong phần dao động điều hòa của
lớp 12. Nội dung kiến thức có trong sách giáo khoa, ở bài 1, chương 1 của
chương trình vật lý 12 cơ bản và ở bài 1, chương 2 của chương trình vật lý
12 nâng cao. Tuy nhiên, thời gian luyện tập trên lớp chỉ có 1 tiết. Vấn đề là
phải biết vận dụng lý thuyết mà sách giáo khoa đưa ra vào giải bài tập. Đó
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

4


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

là hình chiếu của chất điểm chuyển động tròn đều (với tốc độ góc ω) lên
một trục x trong mặt phẳng quỹ đạo là một dao động điều hòa (với tần số
góc ω) trên trục ấy. Do đó, thời gian chất điểm dao động điều hòa đi từ
điểm M (có tọa độ x1) đến từ điểm N (có tọa độ x2) bằng thời gian chất
điểm chuyển động tròn đều được cung M’N’ (hình chiếu của cung M’N’
lên trục x chính là đoạn MN).
Một kiến thức khác liên quan đến mơn tốn là giải phương trình
lượng giác đơn giản, biết cách chọn nghiệm thích hợp, biết cách quy nạp
để tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M nào đó lần thứ n bất kỳ.
2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài
Đề tài này trình bày 5 dạng tốn liên quan đến thời gian trong dao
động điều hòa. Ở mỗi dạng, tơi tiến hành như sau:
- Nêu nội dung
- Trình bày phương pháp giải chung
- Cho vài ví dụ minh hõa cụ thể, có giải chi tiết

Cuối đề tài là phần luyện tập dưới dạng các câu trắc nghiệm, có
đáp án.
III. HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh sau khi đọc kỹ 3 phần:
+

Nội dung

+

Phương pháp giải

+

Ví dụ

thì có thể làm được các câu trắc nghiệm ở cuối đề tài, tự mình có thể kiểm
tra kết quả. Như vậy học sinh có thể làm tốt các câu trắc nghiệm dạng này
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

5


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

trong các đề thi Học kỳ I, thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, thi Đại học,
Cao đẳng và Trung cấp.
IV. ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG
- Đề tài có thể phổ biến rộng rãi cho học sinh khối 12.
- Giáo viên có thể dùng các câu trắc nghiệm ở cuối đề tài để bổ

sung vào ngân hàng đề thi của mình.

.

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

NGƯỜI THỰC HIỆN

6


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI

CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Đơn vị TRƯỜNG THPT

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

chun LƯƠNG THẾ VINH
Biên hòa, ngày

tháng 5 năm 2013

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Năm học: 2012-2013
–––––––––––––––––
Tên sáng kiến kinh nghiệm:

BÀI TỐN THỜI GIAN TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HỊA
Họ và tên tác giả: . BẠCH NGỌC LINH
Chức vụ: Phó bí thư chi bộ - Chủ tịch Cơng đòan – Tổ phó chun mơn
Đơn vị: TRƯỜNG THPT chun LƯƠNG THẾ VINH
Lĩnh vực:
- Quản lý giáo dục



- Phương pháp dạy học bộ mơn: Vật lý



- Phương pháp giáo dục



- Lĩnh vực khác:



SKKN đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị  Trong ngành 
1. Tính mới
- Có giải pháp hồn tồn mới



- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có



2. Hiệu quả
- Hồn tồn mới và đã triển khai áp dụng trong tồn ngành có hiệu
quả cao 

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

7


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển
khai áp dụng trong tồn ngành có hiệu quả cao 
- Hồn tồn mới, đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 
- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển
khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 
3. Khả năng áp dụng
- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối,
chính sách:

Tốt 

Khá 

Đạt 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn,
dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt 

Khá 

Đạt 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp
dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt 

Khá 

Đạt 

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ơ tương ứng, có ký tên xác
nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối
mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.
XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUN MƠN

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

8


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

PHẦN II – PHẦN NỘI DUNG
Dạng 1
1/ Nội dung:
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ A và chu

kỳ T. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ điểm M (có tọa độ x 1)
đến từ điểm N (có tọa độ x2).
2/ Phương pháp giải :
+
Hình chiếu của chất điểm chuyển
động tròn đều (với tốc độ góc ω) lên một
N’
trục x trong mặt phẳng quỹ đạo là một dao
động điều hòa (với tần số góc ω) trên trục
ấy. Do đó, thời gian chất điểm dao động -A . .
N
điều hòa đi từ điểm M (có tọa độ x 1) đến từ
điểm N (có tọa độ x2) bằng thời gian chất
điểm chuyển động tròn đều được cung
M’N’ (hình chiếu của cung M’N’ lên trục
x chính là đoạn MN).
'
·
+
Biết tọa độ x1 của M, ta tìm số đo MOM
+

M’
.
O

. .A
x
M

'
·
Biết tọa độ x2 của N, ta tìm số đo NON

+

· ' ON ' = αο
Tìm số đo M

+

Thời gian cần tìm là ∆t =

α.T
360

3/ Thí dụ minh họa:
Thí dụ 1:
Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ A và chu
kỳ T. Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ biên dương đến điểm N
A
có tọa độ xN = – .
2

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

9


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Giải:
A
'
·
ON = ⇒ NON
= 60o
2
'
·
⇒ AON
= 180o – 60o = 120o
120.T T
Thời gian cần tìm là ∆t =
=
360 3

N’
-A .

.
N

.
O

.A

x

Thí dụ 2:
Mơt chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox với biên độ A và chu
A 2
kỳ T. Tìm thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí M có tọa độ x M = –
2
đến vị trí cân bằng O mà có đổi chiều chuyển động 1 lần.
Giải:
Để thời gian chất điểm đi từ vị trí M
đến O có đổi chiều chuyển động 1 lần là
ngắn nhất thì nó đổi chiều tại biên âm.
A 2
'
·
OM =
⇒ MOM
= 45o
2
'
·
⇒ M ON ' = 45o + 90o = 135o
135.T 3.T
Thời gian cần tìm là ∆t =
=
360
8

M’
-A . .
M

.
O

.A

x

N’

Thí dụ 3:
Mơt chất điểm dao động điều hòa với biên độ A và chu kỳ T. Tìm
A 3
vận tốc trung bình của vật khi đi từ vị trí M có li độ x M =
về vị trí cân
2
bằng mà chưa đổi chiều chuyển động
Giải:
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

10


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

vMO =

xO − xM
, ta cần tính tMO.
t MO
O’

A 3
'
·
OM =
⇒ MOM
= 30o
2
'
·
⇒ MOO
= 90o – 30o = 60o
60.T T
tMO =
=
360 6
A. 3
0−
2 = – 3 3.A
Vậy: vMO =
T
T
6

M’
-A .

.
O

M. . A
A 3 x
2

Dạng 2
1/ Nội dung:
Biết phương trình dao động điều hòa của chất điểm là:
 2π

x = A.cos  .t + ϕ ÷. Tìm qng đường s chất điểm đi được trong thời
 T

gian t = kT kể từ lúc t = 0.
2/ Phương pháp giải :
T
, chất điểm dao động điều hòa đi
2
được qng đường 2A (bất kể nó xuất phát ở đâu và đi theo chiều nào).
+
Nếu k là số ngun hoặc số bán ngun thì kết quả: s = k.4A
+
Nếu k là số bất kỳ, ta tách k thành tổng của phần ngun (hoặc bán
ngun) đặt là a và phần còn lại đặt là b.
+
Xét lúc t = 0, tìm x và v để biết chất điểm đang ở vị trí nào và đi
theo chiều dương hay chiều của âm trục x. Qng đường s 1 chất điểm đi
được trong thời gian bT, kể từ lúc t = 0 tính như bài tốn ngược của dạng 1
(dùng mối liên hệ của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa) hoặc
giải phương trình lượng giác (cách này phức tạp hơn).
+

Qng đường s2 chất điểm đi được trong thời gian aT là s2 = a.4A.
+
Qng đường cần tìm là s = s1 + s2
+

Cứ sau thời gian (nhỏ nhất) là

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

11


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

3/ Thí dụ minh họa:
Thí dụ 1:
Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình là:
 πt π 
x = 3.cos  + ÷cm. Tìm qng đường s chất điểm đi được trong khoảng
 2 6
thời gian t = 19 s kể từ lúc t = 0.
Giải:
2π
2π
Τ=
= π =4s
ω
2
t
19

T
=
= 4,75 ⇒ t = + 4,5.T
T
4
4
Xét lúc t = 0, chất điểm ở vị trí M có tọa độ
 π  A. 3
xM = A.cos  ÷=
và v < 0.
6
2
'
·
⇒ MOM
= 30o

N’
M’
-A . N .

A
−
2

⇒ Qng đường s1 chất điểm đi được trong thời gian

.
O

M. .A

A. 3
2

x

T
, kể từ lúc t = 0 là
4

360o
'
'
¼
đoạn MN, chính là hình chiếu của cung M N =
= 90o
4

A
'
·
⇒ NON
= 180o – 30o – 90o = 60o ⇒ ON =
2
A. 3 A
s1 = MN =
+
2
2

Qng đường s2 chất điểm đi được trong thời gian 4,5.T là:
s2 = 4,5.4A = 18.A
A. 3 A
Vậy: Qng đường cần tìm s = s1 + s2 =
+ + 18.A ≈ 58,10 cm
2
2
Thí dụ 2:
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

12


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Một chất điểm dao động điều hòa có phương trình là:
 5π 3π 
x = 4.cos  t − ÷cm. Tìm qng đường s chất điểm đi được trong
4 
 6
khoảng thời gian t = 5,3 s kể từ lúc t = 0.
Giải:
2π
2π
Τ=
= 5π = 2,4 s
ω
6
5,3 53
t

5.T
=
=
⇒t=
+ 2.T
T 2,4 24
24
Xét lúc t = 0, chất điểm ở vị trí M có tọa
độ:
 3π 
A. 2
xM = A.cos  − ÷= –
và v > 0.
 4 
2
'
·
· ' OO ' = 45o
⇒ MOM
= 45o ⇒ M

A. 2
-A .− .
M
2
M’

A
O
. 2.

N

.A

x

N’

5.T
, kể từ lúc t = 0
24
5.360o
'
'
¼
là đoạn MN, chính là hình chiếu của cung M N =
= 75o
24
A
'
·
⇒ NON
= 180o – 45o – 75o = 60o ⇒ ON =
2
A. 2 A
s1 = MN =
+
2
2
Qng đường s2 chất điểm đi được trong thời gian 2.T là:

s2 = 2.4A = 8.A
A. 2 A
Vậy: Qng đường cần tìm s = s1 + s2 =
+ + 8.A ≈ 36,83 cm
2
2
⇒ Qng đường s1 chất điểm đi được trong thời gian

Dạng 3
1/ Nội dung:
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

13


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Mơt chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox quanh VTCB O với
biên độ A và chu kỳ T. Tìm qng đường lớn nhất, nhỏ nhất chất điểm có
thể đi được trong khoảng thời gian t bất kỳ.
2/ Phương pháp giải :
+

Nếu t <

T
:
2

Qng đường lớn nhất chất điểm có thể đi được là gồm hai phần đối

xứng qua O (vì tại O có vmax). Mỗi phần đó là qng đường chất điểm đi từ
t
O trong thời gian
(dùng mối liên hệ của chuyển động tròn đều và dao
2
động điều hòa).
Qng đường nhỏ nhất chất điểm có thể đi được gồm hai qng
đường trùng nhau trước khi đến biên và sau khi đi khỏi biên đó (vì tại biên
có vmin = 0). Mỗi qng đường này đi trong thời gian

t
(dùng mối liên hệ
2

của chuyển động tròn đều và dao động điều hòa).

T
n.T
, ta tách t thành hai khoảng thời gian:
(với n là số
2
2
T
ngun) và t’ < .
2
+

Nếu t >

-

Qng đường chất điểm đi trong thời gian

n.T
ln khơng đổi là
2

 n.T

.4A ÷.

 2

Qng đường lớn nhất hoặc nhỏ nhất chất điểm đi trong thời gian
còn lại t’ <

T
tính như trường hợp trên.
2

3/ Thí dụ minh họa:
Thí dụ 1:
Mơt chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox quanh VTCB O với
biên độ A và chu kỳ T. Tìm qng đường lớn nhất, lớn nhất chất điểm có
T
thể đi được trong khoảng thời gian .
4
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

14

Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Giải:
Qng đường lớn nhất chất điểm đi trong thời gian
2.OM
Với OM là qng đường chất điểm đi trong thời gian
360o
'
'
¼
⇒ Cung O M =
= 45o
8

T
kể từ O.
8
O’

N’

· ' OM ' = 45o
⇒O
A. 2
⇒ OM =
2
Vậy: smax = 2.OM = A. 2

T
là smax = MN =
4

M’

-A . N.
−

M. . A
.
O
x
A 2
A 2
2

2

Thí dụ 2:
Mơt chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox quanh VTCB O với
biên độ A và chu kỳ T. Tìm qng đường lớn nhất, nhỏ nhất chất điểm có
T
thể đi được trong khoảng thời gian .
4
Giải:
T
là smin = 2.s
4
T

Với s là qng đường chất điểm đi trong thời gian
kể từ biên.
8
360o
'
¼
⇒ Cung AM =
= 45o
8
M’
'
·
⇒ AOM
= 45o
Qng đường nhỏ nhất chất điểm đi trong thời gian

⇒ OM =

A. 2
2

⇒ s = AM = A –

-A .
A. 2
2

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

M. . A

.
O A 2
x
2

15


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

(

Vậy: smin = 2.AM = A. 2 − 2

)

Thí dụ 3:
Mơt chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox quanh VTCB O với
biên độ A và chu kỳ T. Tìm qng đường lớn nhất, lớn nhất chất điểm có
8T
thể đi được trong khoảng thời gian t =
.
3
Giải:
Tách t =
-

8T 5.T T
=
+ .

3
6
2

Qng đường chất điểm đi trong thời gian

5.T
ln khơng đổi là:
2

 5.T

.4A ÷= 10.A
s1 = 
 2

-

Qng đường lớn nhất chất điểm đi trong thời gian còn lại

T
là:
6

s2max = MN = 2.OM
Với OM là qng đường chất điểm đi trong thời gian
360o
'
'
¼

⇒ Cung O M =
= 30o

T
kể từ O.
12

N’

12

· ' OM ' = 30o
⇒O
A
⇒ OM =
2
⇒ s2max = 2.OM = A
Vậy: smax = s1 + s2max = 11.A

-A . N.
−

A
2

O’

M’

.M .A

.
O A
x
2

Dạng 4
1/ Nội dung:

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

16


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Biết phương trình dao động điều hòa của chất điểm x = Acos(ωt +
A
ϕ), tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M =
lần thứ n theo chiều
2
dương, chiều âm của trục tọa độ kể từ lúc t = 0.

2/ Phương pháp giải :
Cách 1: giải phương trình lượng giác
A
+
Cho x = Acos(ωt + ϕ ) =
2
+

Giải phương trình: cos(ωt + ϕ ) =

1
2

 π
1

π
t1 =  − ϕ ÷+ k1.2π  (s)
+ k1 .2π

 3
ω
3
⇔
⇔
π
 π
1

(ωt + ϕ ) = − + k 2 .2π
t 2 =  − − ϕ ÷+ k 2 .2π  (s)
3

 3
ω
+
ω > 0, tuỳ theo giá trị của ϕ mà ta chọn giá trị của k1 và k2 thích hợp
để thỏa điều kiện t > 0.

(ωt + ϕ ) =

Nhận xét: x = Acos(ωt + ϕ ); v = x’ = – A.ω.sin(ωt + ϕ )
π

+
Với: sin  + k1.2π ÷> 0 ⇒ v < 0
3

Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.
Ví dụ: với ϕ =

π
và để thỏa điều kiện t1 > 0 thì ta chọn k1 = 0; 1; 2; …
6

Lấy k1 = 0 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều âm.
Lấy k1 = 1 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 2 theo
chiều âm.
...
Suy ra lần thứ n ứng với giá trị k1 = n – 1.
 π

+
Với: sin  − + k 2 .2π ÷ < 0 ⇒ v > 0
 3

Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa

độ.

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

17


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

Ví dụ: với ϕ =

π
và để thỏa điều kiện t2 > 0 thì ta chọn k2 = 1; 2; 3; …
6

Lấy k2 = 1 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều dương.
Lấy k2 = 2 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 2 theo
chiều dương.
...
Suy ra lần thứ n ứng với giá trị k2 = n.
Cách 2: dùng mối liên hệ giữa dao động điều hòa và chuyển động tròn
đều.
+
+
+

+

Tìm chu kỳ T

Xét lúc t = 0, tìm x và v
Trong thời gian chất điểm dao động điều hòa đi từ vị trí ban đầu đến
M lần thứ nhất theo chiều âm (hoặc dương), thì chất điểm chuyển
α.T
động tròn đều đi cung có số đo là αo. Thời gian này là
.
360
Thời điểm chất điểm dao động điều hòa đến M lần thứ n theo chiều
α.T
âm (hoặc dương) là
+ (n–1).T
360

3/ Thí dụ minh họa:
Thí dụ 1:
Một chất điểm thực hiện dao động điều hòa có phương trình:
π

x = 4.cos  π.t + ÷cm. Tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M = 2 cm
2

theo chiều dương, chiều âm lần thứ 50 kể từ lúc t = 0.
Giải:
+

π
π 1


x = 4.cos  π.t + ÷cm = 2 cm ⇔ cos  π.t + ÷=

2
2 2



GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

18


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

π π

 πt + ÷ = + k1.2π
2 3

π
π

 πt + ÷ = − + k 2 .2π
2
3


⇔

1
t1 = − + 2.k1 (s); (k1 = 1; 2; 3; ...)
6

5
t 2 = − + 2.k 2 (s); (k 2 = 1; 2; 3; ...)
6

⇔

(do điều kiện: t > 0)
π
π


x = 4.cos  π.t + ÷cm ⇒ v = x’ = – 4π sin  π.t + ÷cm/s
+
2
2


π

+
Với: sin  + k1.2π ÷> 0 ⇒ v < 0.
3

Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.
Lấy k1 = 1 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều âm.
1
599
(s)
Xét lần thứ 50, k1 = 50. Khi đó: t1 = − + 2.50 =

6
6
 π

+
Với: sin  − + k 2 .2π ÷< 0 ⇒ v > 0.
 3

Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa
độ.
Lấy k2 = 1 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều dương.
5
595
(s)
Xét lần thứ 50, k2 = 50. Khi đó: t 2 = − + 2.50 =
6
6
Thí dụ 2:
Một chất điểm thực hiện dao động điều hòa có phương trình:
π

x = 2.cos  π.t + ÷cm. Tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M =
6

cm theo chiều dương, chiều âm lần thứ 100 kể từ lúc t = 0.

2

Giải:

Cách 1:
+

π

x = 2.cos  π.t + ÷cm =
6


GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

π

2
2 cm ⇔ cos  π.t + ÷ =
6

2

19


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

⇔

+
+

π π


 πt + ÷ = + k1.2π
6 4

⇔
π
π

 πt + ÷ = − + k 2 .2π
6
4

(do điều kiện: t > 0 )

1
+ 2.k1 (s); (k1 = 0; 1; 2; ...)
12
5
t 2 = − + 2.k 2 (s); (k 2 = 1; 2; 3; ...)
12
t1 =

π



π

Với: sin  + k1.2π ÷ > 0 ⇒ v < 0.
4






π

x = 2.cos  π.t + ÷cm ⇒ v = x’ = - 2π sin  π.t + ÷cm/s
6
6


Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.
Lấy k1 = 0 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều âm.
Xét lần thứ 100, k1 = 99. Khi đó: t1 =
 π

1
2377
+ 2.99 =
(s)
12
12



Với: sin  − + k 2 .2π ÷ < 0 ⇒ v > 0.
 4


Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa
độ.
Lấy k2 = 1 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều dương.
+

Xét lần thứ 100, k2 = 100. Khi đó: t 2 = −

5
2395
+ 2.100 =
(s)
12
12

Cách 2:
Chu kỳ: T =

2π
=2s
π

π
A 3
Lúc t = 0: x o = A.cos =
và vo < 0 ,
6
2
ứng với một chất điểm chuyển động tròn đều
· OM ' = 30o

đến điểm M 'o có M
o
o

M1

M 'o

-A .

.
O

. .. A
M Mo x

M2
A 2
2
’
Gọi t là thời điểm chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều
âm lần thứ 1, khi đó chất điểm chuyển động tròn đều đi cùng chiều kim
·
đồng hồ từ Mo đến điểm M1 có AOM
= 45o.
1
xM =

2 cm =

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

20


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

· OM = 45o – 30o = 15o ⇒ t’ = 15.T = T
⇒M
o
1
360
24
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều âm lần thứ 2 là: t’ + T
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều âm lần thứ 3 là: t’ + 2T
…
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều âm lần thứ 100 là: t’ + 99T
T
2377
+ 99.T =
(s)
=
24
12
Gọi t’’ là thời điểm chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều
dương lần thứ 1, khi đó chất điểm chuyển động tròn đều đi cùng chiều kim
·
đồng hồ từ Mo đến điểm M2 có AOM
= 45o.
2

· OM = 45o + 30o = 75o ⇒ t’ = ( 360 − 75 ) .T = 19.T
⇒M
o
1
24
360
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều âm lần thứ 2 là: t’’ + T
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều dương lần thứ 3 là: t’’ + 2T
…
Chất điểm dao động điều hòa qua M theo chiều dương lần thứ 100 là:
19T
2395
+ 99.T =
(s)
t’’ + 99T =
24
12
Dạng 5
1/ Nội dung:

Biết phương trình dao động điều hòa của chất điểm x = Acos(ωt + ϕ), tìm
A
lần thứ n ( n có thể là lần chẵn
2

thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M =
hay lần lẽ) kể từ lúc t = 0.
2/ Phương pháp giải:
A

2

+

Cho x = Acos(ωt + ϕ ) =

+

Giải phương trình: cos(ωt + ϕ ) =

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

1
2

21


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

π
+ k1 .2π
3
π
(ωt + ϕ ) = − + k 2 .2π
3
(ωt + ϕ ) =

⇔

+

⇔

 π
1

t1 =  − ϕ ÷+ k1.2π  (s)

 3
ω
 π
1

t 2 =  − − ϕ ÷+ k 2 .2π  (s)

 3
ω

ω > 0, tuỳ theo giá trị của ϕ mà ta chọn giá trị của k1 và k2 thích hợp
để thỏa điều kiện t > 0.

Nhận xét: x = Acos(ωt + ϕ ) ; v = x’ = – A.ω.sin(ωt + ϕ )
+

π
3




Với: sin  + k1.2π ÷> 0 ⇒ v < 0.


Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.
Ví dụ: với ϕ =

π
và để thỏa điều kiện t1 > 0 thì ta chọn k1 = 0; 1; 2; …
4

Lấy k1 = 0 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều âm.
Lấy k1 = 1 cho vào t1 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 2 theo
chiều âm.
...
+

π
 3



Với: sin  − + k 2 .2π ÷< 0 ⇒ v > 0.


Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa
độ.
Ví dụ: với ϕ =

π

và để thỏa điều kiện t2 > 0 thì ta chọn k2 = 1; 2; 3; …
4

Lấy k2 = 1 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 1 theo
chiều dương.
Lấy k2 = 2 cho vào t2 thì ta được thời điểm chất điểm qua M lần thứ 2 theo
chiều dương.
...
+
Xét t = 0: x = Acosϕ và v = - A.ω.sin ϕ. Dựa vào giá trị của x và v
để biết lúc t = 0, chất điểm ở vị trí nào và chuyển động theo chiều dương
hay chiều âm của trục tọa độ.
+
Sau khi nhận biết lúc t = 0, chất điểm ở vị trí nào và chuyển động
theo chiều dương hay chiều âm của trục tọa độ, ta nên vẽ hình để biết được
chất điểm qua M lần thứ 1 theo chiều nào. Từ đó ta sẽ chỉ ra được giá trị
nhỏ nhất của k1 hay k2 ứng với lần thứ n qua M.
+
Nếu giá trị nhỏ nhất của k1 cho biết thời điểm chất điểm qua M lần
thứ 1 (lần lẻ) thì giá trị nhỏ nhất của k2 sẽ cho biết thời điểm chất điểm qua
GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

22


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

M lần thứ 2 (lần chẵn) và ngược lại. Từ đó ta sẽ tìm được thời điểm chất
điểm qua M lần thứ n (dựa vào n chẵn n hay lẻ).
3/ Thí dụ minh họa:

Thí dụ 1:
Một chất điểm thực hiện dao động điều hòa có phương trình:



π

x = 6.cos  π.t + ÷ cm. Tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M = 3 cm
6


lần thứ lần thứ 2013 kể từ lúc t = 0.
Giải:
+

⇔

π



π



1

x = 6.cos  π.t + ÷cm = 3 cm ⇔ cos  π.t + ÷=
6
6 2



π π

 πt + ÷ = + k1.2π
6 3

⇔
π
π

 πt + ÷ = − + k 2 .2π
6
3


1
+ 2.k1 (s); (k1 = 0; 1; 2; ...)
6
1
t 2 = − + 2.k 2 (s); (k 2 = 1; 2; 3; ...)
2
t1 =

(do điều kiện: t > 0)
+
+

π




π

Với: sin  + k1.2π ÷ > 0 ⇒ v < 0.
3





π

x = 6.cos  π.t + ÷cm ; v = x’ = – 6. π. sin  π.t + ÷cm/s
6
6


Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.
+

 π
 3




Với: sin  − + k 2 .2π ÷ < 0 ⇒ v > 0.

Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa

độ.
+
Gọi N là vị trí của chất điểm lúc t = 0.
Xét lúc t = 0:

.P

π
cm = 3 3 cm
6
π
v = – 6.π. sin
cm/s = – 3π cm/s < 0
6

x = 6.cos

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

.

O

.

M


v ..

NQ

x
23


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

+
Ta thấy chất điểm qua M các lần như sau:
lần thứ 1 - lần lẻ; là theo chiều âm của trục tọa độ nên lấy giá trị nhỏ nhất
của k1 tức k1 = 0;
lần thứ 2 - lần chẵn; là theo chiều dương của trục tọa độ nên lấy giá trị nhỏ
nhất của k2 tức k2 = 1;
lần thứ 3 - lần lẻ; là theo chiều âm của trục tọa độ nên lấy k1 = 1;
lần thứ 4 - lần chẵn; là theo chiều dương của trục tọa độ nên lấy k2 = 2;
…
lần thứ 2013 - lần lẻ; theo chiều âm của trục tọa độ nên lấy k 1 =
1
6

1006. Ta có thời điểm đó là: t1 = + 2.1006 =

2013 − 1
=
2

12073
(s)
6

Thí dụ 2:
Một chất điểm thực hiện dao động điều hòa có phương trình:



π

x = 4.cos  π.t + ÷ cm. Tìm thời điểm chất điểm qua vị trí M có x M = 2 2
3


cm lần thứ lần thứ 2014 kể từ lúc t = 0.
Giải:
π



π π

 πt + ÷ = + k1.2π
3 4

⇔
π
π

 πt + ÷ = − + k 2 .2π
3
4






π

x = 4.cos  π.t + ÷cm = 2 2 cm ⇔ cos  π.t + ÷=
3
3

+

⇔



2
2

1
+ 2.k1 (s); (k1 = 1; 2; 3; ...)
12
7
t 2 = − + 2.k 2 (s); (k1 = 1; 2; 3; ...)
12
t1 = −

(do điều kiện: t > 0)
+

+

π



π

Với: sin  + k1.2π ÷ > 0 ⇒ v < 0.
4





π

x = 4.cos  π.t + ÷cm; v = x’ = – 4.π.sin  π.t + ÷cm/s
3
3


Vậy: t1 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều âm của trục tọa độ.

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

24


Bài toán thời gian trong dao động điều hòa

+

 π
 4




Với: sin  − + k 2 .2π ÷ < 0 ⇒ v > 0.

Vậy: t2 là những thời điểm chất điểm qua M theo chiều dương của trục tọa
độ.
+ Gọi N là vị trí của chất điểm lúc t = 0.
Xét lúc t = 0:

π
cm = 2 cm
3
π
v = – 6. π. sin cm/s = – 3 3 π cm/s < 0
3

x = 4.cos

.
P

.
O


v

N
.

M
. .
Q

x

+
Ta thấy chất điểm qua M các lần như sau:
lần thứ 1 - lần lẻ; là theo chiều dương của trục tọa độ nên lấy giá trị nhỏ
nhất của k2 tức k2 = 1;
lần thứ 2 - lần chẵn; là theo chiều âm của trục tọa độ nên lấy giá trị nhỏ
nhất của k1 tức k1 = 1;
lần thứ 3 - lần lẻ; là theo chiều dương của trục tọa độ nên k2 = 1;
lần thứ 4 - lần chẵn; là theo chiều âm của trục tọa độ nên k1 = 2;
…
lần thứ 2014 - lần chẵn; theo chiều âm của trục tọa độ với k 1 =
1007. Ta có thời điểm đó là: t1 = −

GV thực hiện: Bạch Ngọc Linh

2014
=
2

1
24167
+ 2.1007 =
(s)
12
12

25