một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

CAO NGUYÊN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

CAO NGUYÊN HOÀNG

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA IĐÊAN
NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA CÁC THÀNH
PHẦN PHÂN BẬC CỦA MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ & LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


2

MỤC LỤC
Lời cảm ơn! ................................................................................................................ 3
Phần mở đầu .............................................................................................................. 4
Bảng ký hiệu .............................................................................................................. 7
Chương 1: Kiến thức cơ sở .................................................................................... 8
1.1

Iđêan nguyên tố liên kết ............................................................................... 8

1.2

Độ cao của một iđêan ................................................................................... 9

1.3

Chiều của một iđêan ................................................................................... 10

1.4

Độ sâu của môđun ...................................................................................... 11

1.5

Hàm tử xoắn ............................................................................................... 12

1.6

Môđun đối đồng điều địa phương .............................................................. 14

1.7

Vành và môđun phân bậc ........................................................................... 16

1.8

Các phép biến đổi iđêan ............................................................................. 20

1.9

Chiều hữu hạn của môđun .......................................................................... 22

Chương 2:

Một số tính chất của iđêan nguyên tố liên kết của của các thành

phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương......................................... 24
2.1

Khái niệm về sự ổn định tiệm cận .............................................................. 24

2.2

Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân

bậc của môđun đối đồng điều địa phương ............................................................. 24
2.3

Ổn định tiệm cận ở chiều hữu hạn.............................................................. 25

2.4

Một tính chất khác về tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố

liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương ....... 34
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 47
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 48


3

Lời cảm ơn!
Sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của PGS. TS. Trần Tuấn Nam
thì bài luận văn tốt nghiệp của tôi đã được hoàn thành. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy đã giúp đỡ cho tôi hoàn thành luận văn này.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS. Mỵ Vinh Quang, TS. Trần Huyên,
PGS.TS. Bùi Tường Trí, PGS.TS. Bùi Xuân Hải, cùng quý thầy trong Khoa Toán –
Tin Trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp
đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cám ơn Sở GD-ĐT Tp Hồ Chí Minh, Ban giám hiệu và tập thể giáo viên
trường THPT Nguyễn Chí Thanh nơi tôi công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi
nhất để tôi hoàn thành kế hoạch học tập của mình.
Cuối cùng tôi xin gởi lời cám ơn đến người thân, bạn bè và tất cả những
người đã giúp đỡ và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 08 năm 2011
Tác giả

Cao Nguyên Hoàng


4

Phần mở đầu
Cho R = ⊕ n≥0 Rn trong đó họ ( Rn ) n≥0 là họ các vành Noether, R+ = ⊕ n>0 Rn là
một iđêan của R và M là một R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. H Ri ( M ) là môđun
+

đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với R+ được trang bị tính phân bậc tự
nhiên. Với mỗi n ∈  , ta có H Ri ( M ) n là thành phần phân bậc thứ n của môđun
+

(

)

H Ri + ( M ) , tập hợp AssR0 H Ri + ( M ) n là tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của
H Ri + ( M ) n . Trong quá trình nghiên cứu và tìm hiểu về mô đun đối đồng điều địa

phương H Ri ( M ) , các nhà toán học đã thu được nhiều kết quả hết sức thú vị và một
+

trong những tính chất thú vị đó là tính ổn định tiệm cận của tập hợp

(

)

(

)

AssR0 H Ri + ( M ) n . Đi đầu trong việc nghiên cứu sự ổn định tiệm cận của
AssR0 H Ri + ( M ) n là nhà toán học M.Brodmann, M.Brodmann đã chứng minh được

rằng: “Tồn tại r ∈  sao cho H Ri ( M ) = 0 với mọi i ∈  0 và mọi n ≥ r ; hơn thế nữa
+

H Ri + ( M ) là R0 - mô đun hữu hạn sinh với mọi i ∈  0 và mọi n ∈  ”. Tiếp sau đó

M.Brodmann cũng chứng minh được rằng: “ AssR ( H Rf ( M ) n ) ổn định tiệm cận khi
0

+

f : f R+ ( =
M ) inf{i ∈  : H Ri + ( M ) không hữu hạn sinh}”. Vấn đề đặt ra ở
n << 0 với=

đây là khi thêm giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành chính quy thì AssR ( H Rf ( M )n )
0

+

có gì đặc biệt? Và khi i > f thì AssR ( H Ri ( M ) n ) còn ổn định tiệm cận không?

0

+

Năm 2002 trong một bài báo (xem [11]), M. Brodman, M. Katzman và R.Y.
Sharp đã trả lời cho các câu hỏi trên một cách chính xác. Kết quả được thể hiện
trong định lí sau:


5

(1) (Định lí 2.3.8)
Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng cấu của vành Noether giao hoán
chính quy, M = ⊕ n∈ M n là R-môđun phân bậc khác không, hữu hạn sinh và không
là R+ -xoắn.
=
f : f R+ ( =
M ) inf{i ∈  : H Ri + ( M ) không

Đặt

(

hữu

hạn

sinh}

thì

)

AssR0 H Rf+ ( M )n =
{p ∩ R0 : p ∈ Proj ( R ) và depthM p + ht ( p + R+ ) / p =f }

với mọi n << 0
Cũng trong bài báo đó, họ đã dùng một ví dụ của Singh (xem [9]) để chứng
minh rằng khi i > f thì tập AssR ( H Ri ( M )n ) không ổn định tiệm cận khi n → −∞ ,
+

0

cụ thể họ thu được định lí sau:
(2) (Định lí 2.4.15)
Kí hiệu R / là vành  [ X , Y , Z ,U ,V ,W ] / [ XU + YV + ZW ]
Cho −d ∈  với d ≥ 3 , p ∈  là số nguyên tố. Khi đó:

(

)

i) p ∈ Ass H R3 ( R / )− d nếu và chỉ nếu p ∈ ∏ ( d − 2 )

(

/
+

)

ii)
=
AssR H R3 ( R / )
−d
/
0

/
+

{( X ,Y , Z )}  {( q, X ,Y , Z ) : q ∈ ∏ ( d − 2 )}

iii) Tập các số nguyên

{( Ass ( H
R0/

3
R+/

(R )
/

−j

)) : j ≥ 3} không xác định

{ j ∈  : j ≥ 3 và ( p, X ,Y , Z ) ∈ Ass ( H
{ j ∈  : j ≥ 3 và ( p, X ,Y , Z ) ∉ Ass ( H ( R ) )} là vô hạn

iv)

Các

tập

sau

R0

R0

(

3
R+/

3
R+/

(R )
/

−j

)}

và

/

−j

)

v) AssR H R3 ( R / )− n không ổn định tăng với n → −∞
/
0

/
+

Những vấn đề trên có vai trò quan trọng trong chuyên ngành đại số, đại số
giao hoán và đại số đồng điều, vì thế nó thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán
học.
Mục đích của luận văn này là hệ thống lại một số kiến thức cần thiết về đại
số giao hoán, đại số đồng điều có liên quan đến vấn đề tìm hiểu và nghiên cứu, sau


6

đó trình bày lại chi tiết bài chứng minh cho kết quả (1). Bên cạnh đó sẽ trình bày
một cách hệ thống các bổ đề tính chất để đi đến kết quả (2).
Bài luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1 trình bày lại các kiến thức cơ sở về đại số giao hoán, đại số đồng
điều nhằm phục vụ việc chứng minh các kết quả của chương sau.
Chương 2 gồm hai phần, phần 1 phần chính của bài luận văn, phần này trình
bày các bổ đề liên quan sau đó trình bày chi tiết bài chứng minh kết quả (1). Phần 2
trình bày các bổ đề liên quan sau đó dẫn đến kết quả (2).

Dù đã hết sức cố gắng nhưng vì còn nhiều hạn chế trong nhận thức nên luận
văn này không tránh khỏi thiếu sót, rất mong nhận được ý kiến đóng góp, xây dựng
của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp.


7

Bảng ký hiệu
Ký hiệu

Ý nghĩa

0

tập hợp số tự nhiên



tập hợp số nguyên

⊕ n ≥ 0 Rn

tổng trực tiếp của họ các vành Rn

R/I

vành thương của R theo I

Spec(R)

tập hợp các iđêan nguyên tố của R

*Spec(R)

tập hợp các iđêan nguyên tố phân bậc của R

V(I)

tập hợp các iđêan nguyên tố chứa I

S −1 R

vành các thương của vành R

Rp

vành địa phương tại p

dim( R)

số chiều của vành R

R l1 , l2 ,..., lr 

vành đa thức lấy hệ số trên R

{
}
sup {i ∈  ...}

cận trên đúng của một tập hợp

Hom(A,B)

tập hợp tất cả các đồng cấu từ A đến B

Supp(M)

tập hợp các iđêan nguyên tố có M p ≠ 0

Ann(M)

linh hóa tử của M

Var(I)

tập hợp Supp(R/I)

Proj(R)

tập p ∈ *Spec( R) : p ⊇
/ R+

inf i ∈  ...

cận dưới đúng của một tập hợp

{

}

8

Chương 1: Kiến thức cơ sở
1.1 Iđêan nguyên tố liên kết
Định nghĩa 1.1.1. Cho R là một vành Noether và M là một R – mô đun. Một iđêan
nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu nó thỏa một trong
hai điều kiện tương đương sau:
(i) Tồn tại một phần tử x ∈M sao cho Ann(x) = p .
(ii) M chứa một mô đun con đẳng cấu với R/ p .
Tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu Ass R (M).
Tính chất 1.1.2. Cho R là vành, giả sử p là phần tử tối đại của {Ann(x) | x ∈M,
x ≠ 0}. Khi đó p ∈ Ass R (M).
Hệ quả 1.1.3. Ass R (M) = ∅ ⇔ M = 0
Hệ quả 1.1.4. Giả sử S là tập con nhân của R. Đặt R ' = S −1R , M ' = S −1M . Khi đó

AssR ( M ') =f ( AssR ' ( M ')) =AssR ( M ) ∩ {p | p ∩ S =
∅}
Trong đó f : Spec( R ') → Spec( R) là một đồng cấu tôpô.

( ) {

}

Đặc biệt, AssR Mp =
qRp | q ∈ AssR ( M ),q ⊆ p
p

Định lý 1.1.5. Cho R là vành Noether và M là một R – mô đun. Khi đó Ass R (M) ⊆

Supp R (M), và với mọi phần tử tối tiểu của Supp R (M) đều nằm trong Ass R (M).
Hệ quả 1.1.6. Giả sử I là iđêan của vành R. Khi đó iđêan nguyên tố liên kết tối tiểu
của R- mô đun R/I là iđêan nguyên tố tối tiểu của I.


9

Định lý 1.1.7. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh, M ≠ 0 .
Khi đó tồn tại dãy các mô đun con (0) = M0 ⊂ ... ⊂ Mn−1 ⊂ Mn = M sao cho

Mi

Mi−1

≅R

pi với mọi pi ∈ Spec( R),1 ≤ i ≤ n.

Bổ đề 1.1.8. Nếu 0 → M ' → M → M '' → 0 là một dãy khớp các R – mô đun thì
khi đó Ass( M ') ⊆ Ass( M ) ⊆ Ass( M ') ∪ Ass( M '')
Tính chất 1.1.9. Cho R là vành Noether và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Khi đó
Ass(M) là hữu hạn. Hơn nữa, AssR ( M ) ⊆ V ( Ann( M )) và mỗi phần tử tối tiểu của

V ( Ann( M )) đều thuộc AssR ( M ) . Vì thế Ann(M) là giao các iđêan nguyên tố
liên kết của M.
Tính chất 1.1.10. Nếu N là R – mô đun con của M. Khi đó

AssR ( N ) ⊆ AssR ( M ) ⊆ AssR ( M / N ) ∪ AssR ( N )
1.2 Độ cao của một iđêan
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử R là một vành, R ≠ 0 . Một chuỗi hữu hạn của n + 1 iđêan

nguyên tố

p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ .... ⊃ pn được gọi là chuỗi nguyên tố có độ dài n.

Nếu
độ cao của

p∈ Spec( A)

thì cận trên của chuỗi nguyên tố với p = p0 được gọi là

p kí hiệu là ht( p ).

Nhận xét 1.2.2.
(i) Nếu ht( p ) = 0 điều đó có nghĩa

p là một iđêan nguyên tố tối tiểu của R.


10

(ii) Nếu I là một iđêan chính của R. Độ cao của I là độ cao thấp nhất của
iđêan nguyên tố chứa I. Tức
là: ht(I )
=

inf{ht(p)|p ⊇ I} .

1.3 Chiều của một iđêan
Định nghĩa 1.3.1. Cho R là vành, chiều của R được định nghĩa là cận trên của độ

cao của các iđêan nguyên tố trong R.

=
dim( R) sup{ht(p) | p ∈ Spec( R)}
Nếu dim(R) là hữu hạn thì nó chính là chiều dài của chuỗi nguyên tố dài nhất
trong R.
Nhận xét 1.3.2.
(i) ht(p) dim( Rp ), p ∈ Spec( R)
=
(ii) Với mọi iđêan I của R ta có: dim( R ) + ht(I ) ≤ dim( R)

I

Tính chất 1.3.3. Giả sử M ≠ 0 là một R – mô đun khi đó số chiều của mô đun M
được định nghĩa

dim( M ) = dim  R



Ann( M ) 

Khi M = 0 ta qui ước dim(M) = -1.
Tính chất 1.3.4. Với R là vành Noether và M ≠ 0 là hữu hạn sinh trên R thì ta có
các điều kiện tương đương sau:
(i) M là một R – mô đun có chiều dài hữu hạn.
(ii) Vành

R

Ann( M )

là vành Artin.


11

(iii) dim(M) = 0.
1.4 Độ sâu của môđun
Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
sinh khác 0. Dãy các phần tử a1,..., an ∈ R được gọi là dãy M – chính quy nếu:
(i)

M / (a1,..., an )M ≠ 0

(ii) a i là phần tử

M / (a1,..., an )M - chính quy, với mọi i = 1,.., n .

Độ dài của M – dãy là số phần tử của dãy. M – dãy không có phần tử nào gọi
là M – dãy có độ dài 0.
Chú ý 1.4.2.
(i) a ∈ R là phần tử M – chính quy nếu a không là ước của 0 trong M.
(ii) a1,..., an ∈ R được gọi là M – dãy chính quy khi và chỉ khi

M / (a1,..., an )M ≠ 0 và ai ∉p với mọi p∈ AssR ( M / (a1,..., an )M ) với mọi
i = 1,.., n .
Định nghĩa 1.4.3. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
sinh khác 0. Lấy a là iđêan của R sao cho

M ≠ aM và a1,..., an là M – dãy

chính quy tối đại trong a nếu không tồn tại phần tử

an+1 ∈a sao cho

a1,..., an , an+1 là M – dãy chính quy có độ dài n +1.
Định nghĩa 1.4.4. Cho R là vành giao hoán Noether và M là R – mô đun hữu hạn
sinh khác 0. Lấy
của M trong

a

a

là iđêan của R sao cho M ≠ aM . Khi đó mọi dãy chính quy

đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong

a

và các dãy


12

chính quy tối đại của M trong
M trong

a có cùng độ dài. Độ dài này gọi chung là độ sâu của

a , kí hiệu là depth( a , M).

Nhận xét 1.4.5. Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại
dãy chính quy

a1,..., an

phải có các phần tử thuộc

M ≠ (a1,..., an )M . Chú ý ta có M ≠ mM

m . Khi đó mọi M –

m , đơn giản vì

theo bổ đề Nakayama. Do đó dãy các

phần tử của R là M – dãy chính quy khi và chỉ khi nó là M – dãy chính quy trong

m . Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là
depth(M).
Tính chất 1.4.6. Giả sử

a là iđêan của R và M là hữu hạn sinh. Khi đó

=
depth(a, M ) inf{i | Hai ( M ) ≠ 0}
1.5 Hàm tử xoắn
Định nghĩa 1.5.1. Cho M là một R – mô đun, tập hợp

Γa ( M )=  (0 : a n )= {m ∈ M | ∃n ∈ N ,a n m= 0} là mô đun con của M.
n∈N

Nếu f : M → N là đồng cấu các R - mô đun.
Khi đó ta có f Γa ( M ) ⊆ Γa ( N )
Thật vậy với mọi x ∈Γa ( M ) ⇒ ∃n ∈ N : a n x = 0
Khi đó

a n f ( x) =
0 ⇒ f (a n x ) =
0.

Ta định nghĩa ánh xạ =
Γa ( f )

f |Γa ( M ): Γa ( M ) → Γa ( N ) . Thì Γa (−) là một

hàm tử hiệp biến trong phạm trù các R – mô đun.


13

Ta gọi Γa (−) là hàm tử
Bổ đề 1.5.2. Cho

a – xoắn.

a là mộ iđêan của vành Noether R. Giả sử M hữu hạn sinh. Các

phát biểu sau đây là đúng:
(i) Γa ( M ) ≠ 0 nếu và chỉ nếu

a ⊆ ZD( M )

Trong đó ZD( M ) = {a ∈ R:∃0 ≠ m ∈ M sao cho a.m = 0}

(

)

(

)

(ii) Ass Γa ( M ) =
Ass( M )  V (a ) và Ass M / Γa ( M ) =
Ass( M ) \ V (a ) .
Tính chất 1.5.3. Γa (−) bảo toàn tính khớp trái của dãy khớp ngắn.
Chứng minh
f
g
Cho 0 
→ M 
→ N 
→ L là dãy khớp.

Tác động Γa (−) và ta được
Γa ( f )
Γa ( g )

Γa ( N ) →
Γa (L )
0 → Γa ( M ) →

Khi đó Γa ( f ) là đơn cấu. Ta chứng minh kerΓa (g) ⊇ ImΓa ( f )

Γa (gf ) =
0
Thật vậy Γa (g)Γa ( f ) =
Giả sử x ∈ ker Γa (g) ⊆ ker g =
Imf .
n
∃m ∈ M , n ∈ N : f (=
m) x,a=
x 0

Khi đó=
0

n
a=
x a n f (=
m) f (a n m)

Do f đơn cấu nên a n m = 0 R = L  X ,Y , Z ,U ,V ,W  m ∈Γa ( M ), x ∈Γa ( f )

⇒ kerΓa (g) =imΓa ( f ) .

■

14

Định nghĩa 1.5.4. (Xem [6, 1.2.1 Definition]) Cho R−môđun M. Khi đó ta định
nghĩa:
i) M là môđun không xoắn ⇔ Γa ( M ) =0
ii) M là môđun xoắn ⇔ Γa ( M ) =M
Bổ đề 1.5.5. (Xem [6, 2.1.1 Lemma]) Cho M là R−môđun
i) Nếu a chứa một phần tử khác uớc của không trên M thì M là môđun không xoắn
ii) Giả sử M hữu hạn sinh. Khi đó M là môđun xoắn khi và chi khi a chứa một
phần tử khác ước của không trên M.
Bổ đề 1.5.6. (Xem [6, 2.1.7 Corollary])
i) Cho M là môđun xoắn. Khi đó Hai ( M ) = 0 với mọi i > 0
ii) Với mỗi R−môđun N, ta có Hai ( Γa ( N ) ) =
0 với mọi i > 0
iii) Với mỗi R−môđun N, tồn tại toàn cấu tự nhiên

π : N → N / Γa ( N )
và đẳng cấu

Hai (π ) : Hai ( N ) → Hai ( N / Γa ( N ) ) với mọi i > 0
Bổ đề 1.5.7. (Xem [6, 2.1.12]) Cho M là R−môđun. Ta có

Ass ( Γa ( M ) )  Ass ( M / Γa ( M ) )
Ass ( Γa ( M ) ) ∩ Ass ( M / Γa ( M ) ) =
∅ và AssM =
1.6 Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.6.1. Cho M là R – mô đun và

a là iđêan của R. Cho giải nội xạ của

M
µ
d
d
→ M 
→ I0 →
→ I → .....
0 
I1 → .... → Ii 
0

Tác động hàm tử

i

a - xoắn Γa (−) vào dãy khớp trên ta được phức:

Γa (d )
0 
→ Γa (I0 ) → .... → Γa (Ii ) 
→ Γa (Ii +1 ) → ..... là dãy khớp
i


15

Khi đó

ker(Γa (di ))

Im(Γa (di−1))

là mô đun đối đồng điều thứ i của phức và

được gọi là mô đun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan
là Hai (M) =

ker(Γa (di ))

Im(Γa (di−1))

a . Kí hiệu

.

Nhận xét 1.6.2.
(i) Nếu M là R – mô đun nội xạ thì Hai (M) = 0, ∀i > 0
(ii) Γa (M) ≅ Ha0 (M)
(iii) Mọi phần tử của Hai (M) linh hóa bởi

a n với n nào đó.

Tính chất 1.6.3. Cho R là vành Noether S là tập đóng nhân của R, M là R – mô
đun,

a là ideal của R. Thì
ΓS−1a (S−1M)
S−1 (Γa (M)) =
S−1 (Hai (M)) ≅ HSi −1a (S−1M) với mọi i.

Đặc biệt (Hai (M)) p ≅ Hai R p (M p ) với mọi iđêan nguyên tố
Tính chất 1.6.4. Giả sử (R,

p của R.

m ) là vành địa phương, M là R – mô đun hữu hạn

sinh. Thì Him (M) là mô đun Artin với mọi i.
g
f
Tính chất 1.6.5. Cho dãy khớp ngắn 0 → L 
→ N 
→ M → 0 khi đó với mỗi

→ Hai+1 (L) và những đồng cấu nối tạo
i ∈ N . Tồn tại một đồng cấu nối Hai (N) 

nên một dãy khớp dài


16

Ha (f )
Ha (g)
0 → Ha0 (L) 

→ Ha0 (M) 
→ Ha0 (N)
0

0

1

1

i

i

Ha (f )
Ha (g)
E

→ H1a (L) 

→ H1a (M) 
→ H1a (N)
E

→ ....
Ha (f )
Ha (g)
E

→ Hai (L) 

→ Hai (M) 
→ Hai (M)

E

→ Hai+1 (L) 
→ ...

(

)

Định nghĩa 1.6.6. Ass R Hai (M) = {p∈ Spec(R)|∃x ∈ Hai (M) : Ann(x) =
Tính chất 1.6.7. Cho (R,

p}

m ) là vành Noether địa phương với số chiều d, a là một

iđêan của R và M là R – mô đun hữu hạn sinh. Thì

(

)

(

)

(

(i) Ass R Hai (M) = Ass R Hom R R / a,Hai (M)

)

(ii) Ass R Hai (M) hữu hạn với i = 0,1.

(

)

(iii) SuppR Hai (M) hữu hạn với mọi i nếu dim(R / a ) ≤ 1 .
Tính chất 1.6.8. Cho R là vành địa phương và M là R – mô đun hữu hạn sinh với số

(

)

chiều d ≤ 3 . Thì Ass R Hai (M) hữu hạn với mọi iđêan
Tính chất 1.6.9. Với mỗi iđêan nguyên tố

a của R.

p của R ta có

p∈ Ass ( Hai (M) ) ⇔ pR p ∈ Ass ( Hai R p (M p ) )
1.7 Vành và môđun phân bậc
Định nghĩa 1.7.1. Vành R được gọi là vành phân bậc nếu R có dạng:

R = ⊕ R n trong đó R n R m ⊆ R n + m
n ≥0

Định nghĩa 1.7.2. Cho R là vành phân bậc, một R - mô đun M là một R – mô đun

phân bậc nếu M = ⊕ M n sao cho R n M m ⊆ M n + m
n∈Z


17

Nhận xét 1.7.3.
i) Một đồng cấu của R – mô đun phân bậc là một đồng cấu f : M → N sao
cho f (M n ) ⊆ N n với mọi n ≥ 0 .
ii) Một mô đun con N của M được gọi là mô đun con phân bậc nếu

N=
⊕(N ∩ M n ) .
iii) Nếu N là mô đun con phân bậc của M thì M N cũng là R - mô đun phân
bậc M N = ⊕ M n N ∩ M .
n
iv) Nếu R là vành phân bậc thì R + = ⊕ R n là một iđêan của R.
n >0

Tính chất 1.7.4. Cho R là vành phân bậc, các mệnh đề sau tương đương:
(i) R là vành Noether.
(ii) R 0 là vành Noether và R là R 0 – đại số hữu hạn sinh.
Nhận xét 1.7.5. Cho R là một vành phân bậc R = ⊕ R n thì tồn tại các phần tử
n ≥0

l1 ,l2 ,...,lr ∈ R1 sao cho R = R 0 [l1 ,l2 ,...,lr ] .
Tính chất 1.7.6. Cho R là một vành Noether phân bậc và M là một R – mô đun
phân bậc khi đó.
(i) Mọi iđêan nguyên tố liên kết
phần tử thuần nhất x của M sao cho

p của M là iđêan phân bậc và tồn tại một

p = Ann(x).

(ii) Với mỗi p ∈ Ass(M) chúng ta có thể chọn một p – nguyên sơ phân bậc

Q(p) sao cho (0) =



p∈Ass(M)

Q(p) .


18

Định nghĩa 1.7.7. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là N 0 – phân bậc, R 0 là vành
n ≥0

Noether, R + =
⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R.
n >0

Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh.
n∈Z

Với i ∈ N 0 ta có HiR + (M) là mô đun đối đồng điều địa phương của M đối
với iđêan R + .

Khi đó HiR + (M) là R - mô đun phân bậc và HiR + (M) = ⊕ HiR + (M)n .
n∈Z

Tính chất 1.7.8. Giả sử (R,

m ) là vành địa phương và M là R – mô đun phân bậc

hữu hạn sinh. Thì
(i) Him (M)n = 0, ∀i ∈ N và n đủ lớn.
(ii) Him (M)n là R 0 – mô đun Artin với mọi i, với mọi n.
Định nghĩa 1.7.9. Cho R = ⊕ R n là vành Noether, R là N 0 – phân bậc, R 0 là vành
n ≥0

Noether. R + =
⊕ R n ⊆ R là một iđêan của R.
n >0

Giả sử M = ⊕ M n là một R – mô đun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó với
n∈Z

mỗi i ∈ N 0 ta có

(

)







i
AssR HiR + (M) =
p0 + R + | p0 ∈  Ass R 0 (H R + (M)n ) 


n∈Z



Định nghĩa 1.7.10. (Xem [6, 13.1.2 Definition]) Cho R là vành phân bậc, giả sử

R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc giao hoán và f : R → R ' là đồng cấu vành.
Ta nói f thuần nhất nếu f ( Rn ) ⊆ R 'n với mọi n ∈ 


19

Giả sử M ' = ⊕ n∈ M 'n là R’−môđun phân bậc thì sự phân hoạch tổng trực tiếp dẫn
đến R−môđun M ' R có cấu trúc như R−môđun phân bậc
Vì vậy hàm  R :C ( R ' ) →C ( R ) có tính thu hẹp

(

) (M )

Do đó ta có thể viết M /  R =

/

n

n

với mọi n ∈ 

Rn

Định lí 1.7.11. (Xem [6, 13.1.6 Theorem]) Giả sử R = ⊕ n∈ Rn là vành phân bậc và
iđêan a cũng phân bậc, R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc Noether giao hoán
Giả sử f : R → R / là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó:

( H ()  )
i

a R/

R i∈
0

( ( ))

và Hai   R

( )

Đẳng cấu Λ = λ i

i∈ 0

i∈ 0

có tính thu hẹp

(

: Hai R/ (  )  R

)

i∈ 0

( ( ))

≅

→ Hai   R

i∈ 0

có tính thu hẹp

Do đó với mỗi i ∈  0 và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R−đẳng cấu

( )

( )

≅
→ Hai M /

λMi : Hai R M / 
/

/

Định lí 1.7.12. (Xem [6, 13.1.8 Theorem]) Giả sử R = ⊕ n∈ Rn là vành phân bậc và
iđêan a cũng phân bậc, R ' = ⊕ n∈ R 'n là vành phân bậc Noether giao hoán
Giả sử f : R → R / là đồng cấu vành thuần nhất. Khi đó:

( H () ⊗
i
a

R

R/

)

i∈ 0

( )

Đẳng cấu ρ i

i∈ 0

(

và Hai R/

(

(() ⊗

: Hai (  ) ⊗ R R /

R

)

R/

i∈ 0

))

i∈ 0

có tính thu hẹp

(

≅

→ Hai R/

(() ⊗

R

R/

))

i∈ 0

có tính thu hẹp

Do đó với mỗi i ∈  0 và mỗi R’−môđun M’ phân bậc tồn tại R’−đẳng cấu
≅
ρ Mi : Hai ( M ) ⊗ R R / 
→ Hai R ( M ⊗ R R ' )
/

Định lí 1.7.13. (Xem [6, 15.1.2 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và iđêan a cũng
phân bậc, sinh bởi các phần tử có bậc dương. Giả sử p1 , p2 ,..., pn ∈ Spec ( R ) sao cho
với mọi i = 1,2,..., n ta có a ⊄ pi thì tồn tại phần tử trong a \ ( p1  p2  ...  pn )


20

Định lí 1.7.14. (Xem [6, 15.1.5 Theorem]) Cho R = ⊕ n∈ Rn là vành phân bậc, giả
0

sử M là R−môđun hữu hạn sinh. Khi đó:
i) Với mọi i ∈  0 và mọi n ∈  , R0 −môđun H Ri ( M ) hữu hạn sinh
n
+

ii) Tồn tại r ∈  sao cho H Ri ( M ) = 0 với mọi i ∈  0 và mọi n ≥ r
n
+

Bổ đề 1.7.15. (Xem [4, 2.2 Corollary]) Cho ( A0 ,m0 ) là vành Noether địa phương,
giả sử A = A0 ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ ... là A0 −đại số phân bậc và A0 / m0 đóng đại số,

H = ⊕ n∈ H n là A−môđun phân bậc. Giả sử tồn tại tập U ⊆ A1 thỏa các điều kiện sau:
i) U=

{=u

}

u mod m0 A1 | u ∈ U có dạng V − ( 0 ) với V ⊆ A1 / m0 A1 là k−không gian

vectơ có số chiều bằng 2
ii) Với mọi h ∈ H , tồn tại v ∈  sao cho U v h = 0
iii) Với mọi x ∈ U , ( 0 : x ) là A−môđun có chiều dài hữu hạn
H

Khi đó H là A−môđun có chiều dài hữu hạn.
1.8 Các phép biến đổi iđêan
Định nghĩa 1.8.1. (Xem [6, 2.2.1 Definition])

( )

n
Ta kí hiệu Da := lim
 HomR a ,• :C ( R ) →C ( R ) là hàm R-tuyến tính. Khi đó với

n∈

(

)

n
mỗi R-môđun M, ta gọi Da := lim
 HomR a , M là phép biến đổi iđêan của môđun
n∈

M theo a .
Bổ đề 1.8.2. (Xem [6, 2.2.4 theorem])
i) Kí hiệu Id :C ( R) →C ( R)
Khi đó tồn tại các phép biến đổi tự nhiên:

ξ=( ξa ) : Γa → Id
=
η ( ηa ) : Id → Da

(

)

=
ζ 0 ζ a0 : Da → Ha1


21

Sao cho với mỗi R−môđun M ta có:
a) ξ M : Γa ( M ) → M là ánh xạ bao hàm

(

b) Với mỗi g ∈ M , η M ( g ) là ảnh trong Da ( M ) của đồng cấu fn ,g ∈ HomR a n , M

)

cho bởi fn ,g (r ) = rg với mọi r ∈a n (với n ∈  )
ξM
ηM
ζM
c) Dãy sau khớp: 0 → Γa ( M ) 
→ M 
→ Da ( M ) 
→ Hai ( M ) → 0
0

ii) Cho i ∈  , M là R−môđun. Với mỗi n ∈  , đồng cấu nối

(

)

(

)

β ni ,M : ExtRi a n , M → ExtRi +1 R / a n , M là đẳng cấu dẫn đến R-đẳng cấu

(

)

(

≅
i
n
i +1
n
β Mi : lim
→ lim
 ExtR a , M 
 ExtR R / a , M
n∈

n∈

)

≅
Ta định nghĩa γ Mi : R i Da ( M ) 
→ Hai +1 ( M ) cho bởi γ Mi := φai +,M1 β Mi  ϕai ,M

Với

(φ )

i +1
a
i∈ 0

(ϕ )

i
a i∈
0

(

( )

)

≅
i
n


→ Hai
:  lim
 ExtR R / a , • 
 n∈
i∈ 0

(

: R i Da

)

i∈ 0

(

i∈ 0

)

≅
i
n


→  lim
 ExtR R / a , • 
 n∈
i∈ 0

≅
Suy ra γ i : R i Da 
→ Hai

(

) ( −1) γ
i

iii) Với mỗi i ∈  , đặt ζ i = ζ ai :=

i

( )

thì ζ

j

j∈ 0

(

: R i Da

)

j∈ 0

(

→ Haj +1

)

j∈ 0

là

đồng cấu duy nhất của những dãy nối mà dẫn đến phép biến đổi tự nhiên

ζ 0 : Da → Hai
Bổ đề 1.8.3. (Xem [6, 2.2.13 Corollary]) Cho e : M → M ' là đồng cấu các R−môđun
mà Kere và Cokere là a − xoắn thì:
i) Ánh xạ Da ( e ) : Da ( M ) → Da ( M ' ) là đẳng cấu
ii) Tồn tại duy nhất R−đồng cấu ϕ ' : M ' → Da ( M ' ) sao cho biểu đồ sau giao hoán
e
M 
→M'

ηM

ϕ/
Da ( M )


22

Tức là ϕ ' = Da ( e )  η M '
−1

iii) ϕ ' đẳng cấu khi và chỉ khi η M đẳng cấu
Bổ đề 1.8.4 (Xem [6, 2.2.16 Theorem]) Cho a ∈ R . Khi đó tồn tại:

(

)

n

=
ω ' : DRa lim
 HomR Ra , • → ( • )a
n∈

(

)

Sao cho với R−môđun M và f ∈ DRa ( M ) được biểu thị bởi ft ∈ HomR Ra t , M (với

( )

t ∈  ), ta có ω 'M ( f ) = ft a t / a t

1.9 Chiều hữu hạn của môđun
Định nghĩa 1.9.1. (Xem [6, 9.1.3 Definition]) Cho M là R−môđun hữu hạn sinh. Ta

( )

định nghĩa chiều hữu hạn fa M của M theo a như sau:

fa (=
M ) inf{i ∈  : Hai không hữu hạn sinh}
= inf {i ∈  : a ⊆/

( 0 : H ( M ))}
i
a

Chú ý:
•

fa ( M ) hoặc là một số dương hoặc bằng ∞

( )

• Vì Ha0 hữu hạn sinh nên suy ra fa =
M inf{i ∈  0 : Hai không hữu hạn sinh}
Định nghĩa 1.9.2. (Xem [6, 9.1.5 Definition])
Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và b là một iđêan của R sao cho b ⊆ a . Ta định
nghĩa b -chiều hữu hạn fab ( M ) của M đối với iđêan a như sau:

{

fab ( M ) = inf i ∈  : b ⊆/

( 0 : H ( M ) )}
i
a

Định nghĩa 1.9.3. (Xem [6,9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh. Với
iđêan nguyên tố p ∈ Spec ( R ) \ Var ( a ) , ta định nghĩa a -độ sâu điều chỉnh
adja depthM p của M tại p như sau:


23

adja depthM=
: depthMp + ht ( a + p) / p

p
Định nghĩa 1.9.4. (Xem [6, 9.2.2 Definition]) Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và
b là một iđêan của R sao cho b ⊆ a . Ta định nghĩa b -tối tiểu a -độ sâu điều chỉnh
của M, kí hiệu λab , như sau:
λab inf {adja depthM p : p ∈ Spec ( R ) \ Var (b)}
=

= inf {depthM p + ht ( a + p) / p : p ∈ Spec ( R ) \ Var (b)}

Bổ đề 1.9.5. (Xem [6, 9.5.2 Theorem]) Giả thiết R là ảnh đồng cấu của vành

( )

( )

Noether giao hoán chính quy, M là R−môđun hữu hạn sinh thì λaa M = fa M

( )

Tức là tồn tại i ∈  sao cho Hai M không hữu hạn sinh nếu và chỉ nếu

sup p ( M ) ⊄ Var ( a )

( )

Hơn thế nữa, số i ∈  bé nhất sao cho Hai M không hữu hạn sinh bằng

{

}

min depth M p + ht ( a + p ) / p : p ∈ Supp ( M ) \ Var ( a )

Bổ đề 1.9.6. (Xem [6, 13.1.17 Theorem]) Cho R là vành phân bậc và là ảnh đồng
cấu của vành Noether giao hoán chính quy, iđêan a phân bậc; giả sử b là iđêan
phân bậc của R sao cho b ⊆ a . Giả sử M là R−môđun phân bậc hữu hạn sinh thì

{
inf {depthM

}

=
fab ( M ) inf adja depthM p : p ∈ *Spec ( R ) \ Var ( b )
=

p

}

+ ht ( a + p ) / p : p ∈ *Spec ( R ) \ Var ( b )

Đặc biệt:

{

}

=
fa ( M ) inf depthM p + ht ( a + p ) / p : p ∈ *Spec ( R ) \ Var ( a )

Bổ đề 1.9.7. (Xem [5, 5.6 Proposition]) Cho M là R−môđun phân bậc và hữu hạn

( )

( ( ) ) ổn định tiệm cận khi n → −∞

sinh, giả=
sử f : f R M ∈  thì AssR H Rf M
+

0

+

n


24

Chương 2: Một số tính chất của iđêan nguyên
tố liên kết của của các thành phần phân bậc
của môđun đối đồng điều địa phương
2.1 Khái niệm về sự ổn định tiệm cận
Định nghĩa 2.1.1. Giả sử ( Sn ) n∈ là họ các tập hợp. Ta nói Sn là ổn định tiệm cận
khi n → −∞ nếu tồn tại n0 ∈  sao cho Sn = Sn với mọi nn0 .
0

Như vậy, tập hợp AssR ( H ( M ) n ) được gọi là ổn định tiệm cận khi n → −∞
i

R+

0

nếu tồn tại n0 ∈  sao cho:
=
AssR0 ( H Ri + ( M ) n ) AssR0 ( H Ri + ( M ) n0 ), ∀nn0

Chú ý 2.1.2. Sn là ổn định tiệm cận khi n → −∞ ta có thể gọi ngắn gọn là Sn ổn
định tiệm cận.
Định nghĩa 2.1.3. Giả sử ( Sn ) n∈ là họ các tập hợp. Ta nói Sn là thuần hóa nếu
S n = ∅ với mọi n đủ nhỏ hoặc Sn ≠ ∅ với mọi n đủ nhỏ.
Tập H Ri ( M ) được gọi là thuần hóa khi H Ri ( M ) = 0 với mọi n đủ nhỏ hoặc
+

+

H Ri + ( M ) ≠ 0 với mọi n đủ nhỏ.

Nhận xét 2.1.4. Nếu AssR ( H Ri ( M ) n ) ổn định tiệm cận thì H Ri ( M ) là thuần hóa.
Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn chúng ta nhìn lại một số kết quả
đã có về tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng
điều địa phương mà các nhà toán học đã nghiên cứu được.
+

0

+

2.2 Sự ổn định tiệm cận của iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân

bậc của môđun đối đồng điều địa phương
Định lý 2.2.1. Cho R0 là vành địa phương và M là R – môđun phân bậc hữu hạn
sinh. Giả sử i ∈  0 sao cho H Rj ( M ) là R – môđun hữu hạn sinh với mọi j < i. Khi
+

đó AssR ( H ( M ) n ) ổn định tiệm cận.
Định lý 2.2.2. Cho M là R – môđun phân bậc hữu hạn sinh. Đặt
f : fR ( =
M ) inf{i ∈  : H Ri ( M ) không hữu hạn sinh}
=
0

i
R+

+

+

Khi đó AssR ( H ( M ) n ) ổn định tiệm cận.
0

f
R+