một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Minh Đức

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
THEO MỘT CẶP IĐÊAN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Trần Minh Đức

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN
ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
THEO MỘT CẶP IĐÊAN
Chuyên ngành : Đại số và Lý thuyết số
Mã số
: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2012


LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành chương trình cao học và viết luận văn này, tôi đã nhận được
sự hướng dẫn nhiệt tình của quý thầy cô trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ
Chí Minh, sự động viên và giúp đỡ từ gia đình và bạn bè.
Trước hết, Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Tuấn Nam.
Thầy đã quan tâm sâu sắc, dành nhiều thời gian và công sức hướng dẫn để giúp
tôi hoàn thành luận văn thạc sĩ. Thầy đã hướng dẫn tôi từ khi làm luận văn Đại
học, nhiệt tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian học cao học và
hoàn thành luận văn Thạc sĩ này
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã dạy bảo tôi trong suốt quá trình
học tập. Tôi xin cảm ơn thầy Mỵ Vinh Quang, thầy Trần Huyên, thầy Bùi
Tường Trí, thầy Bùi Xuân Hải đã tận tình dạy bảo và cho tôi nhiều kiến thức về
Đại Số cũng như kiến thức về học tập.
Xin cảm ơn các bạn học trong lớp Đại số K21 cũng như các bạn bè và người
thân đã động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình tôi. Gia đình tôi luôn là nguồn động viên tinh
thần to lớn giúp tôi hoàn thành khóa học và luận văn này.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012
TRẦN MINH ĐỨC


MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Mục lục

MỞ ĐẦU ....................................................................................................................... 1
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ........................................................................ 3
1.1. Một số bổ đề và định nghĩa ................................................................................. 3
1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu ................................................................ 4
1.3. Dãy chính quy – độ sâu ....................................................................................... 5
1.4. Số chiều – hệ tham số .......................................................................................... 6
1.5 . Giới hạn thuận .................................................................................................... 7
1.6. Hàm tử dẫn xuất phải .......................................................................................... 9
1.7. Dãy phổ ............................................................................................................. 10
1.8. Môđun đối đồng điều địa phương ..................................................................... 13
Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG THEO MỘT CẶP
IĐÊAN ......................................................................................................................... 16
2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan ..................................... 16
2.2. Môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và phức Cech............... 27
2.3. Liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan và môđun
đối đồng điều địa phương......................................................................................... 34
2.4. Tính chất triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
theo một cặp Iđêan ................................................................................................... 38
KẾT LUẬN ................................................................................................................. 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 44


1

MỞ ĐẦU
Đối đồng điều địa phương là lý thuyết tối cần thiết và là một công cụ quan
trọng trong đại số giao hoán và hình học đại số. Trong luận văn này, tôi sẽ trình
bày định nghĩa và các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một
cặp iđêan (I, J), đây là một khái niệm tổng quát hơn khái niệm môđun đối đồng
điều địa phương theo một iđêan I.

Trong cả luận văn này, ta giả thiết R là vành Nơte giao hoán và cho I, J là hai
→ Mod R là mở
iđêan của R. Ta định nghĩa được hàm tử (I, J)-xoắn Γ I , J : Mod R 

rộng của hàm tử I-xoắn Γ I . Hơn nữa vì tính khớp trái của hàm tử Γ I , J (Bổ đề
(2.1.3)), với mọi số tự nhiên i ta lấy dãy hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γ I , J
chính là H Ii , J - đây chính là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp
iđêan (I, J).
Một khái niệm quan trọng được xem xét trong luận văn chính là tập:
W( I , J ) =
{p ∈ Spec( R) | I n ⊆ p+ J , n  1}

đây là tập hợp con của Spec( R) (xem định nghĩa (2.1.6)), mệnh đề (2.1.8) chỉ ra
rằng một R-môđun M là (I, J)-xoắn khi và chỉ khi Supp M ⊆ W( I , J ) . Ta cũng
lưu ý rằng khi J = 0 thì hàm tử H Ii , J lại trở thành hàm tử đối đồng điều địa
phương H Ii và tập W( I , J ) lại trở thành tập V ( I ) , nên có thể thấy W( I , J ) là mở
rộng của V ( I ) tương ứng theo một cặp iđêan (I, J).
Luận văn được trình bày thành hai chương. Trong chương một tôi sẽ trình
bày mà không chứng minh một số kiến thức về đại số giao hoán, đối đồng điều
địa phương theo một iđêan để chuẩn bị cho độc giả đọc chương hai. Độc giả có
thể bỏ qua chương một để đọc thẳng chương hai, phần chính của luận văn, trình


2

bày tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan. Cụ thể
như sau:
Trong phần (2.1) của chương hai tôi sẽ trình bày định nghĩa môđun đối đồng
điều địa phương theo một cặp iđêan, định nghĩa tập W( I , J ) và đưa ra một số
tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.

Phần (2.2) trình bày phức Cech suy rộng và đưa ra định nghĩa tương đương
của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan qua phức Cech suy
rộng (định lý (2.2.4)). Từ đây suy ra được một số hệ quả và tính chất quan trọng
của môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.
Tới phần (2.3) sẽ là sự liên hệ giữa môđun đối đồng điều địa phương theo
một cặp iđêan và môđun đối đồng điều địa phương theo một iđêan. Định lý
(2.3.2) cho ta thấy một môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan
chính là một giới hạn thuận của những môđun đối đồng điều địa phương theo
 I , J ) . Còn nếu ( R, m ) là vành địa phương thì ta có
một iđêan trong tập W(
Γ I (M )=

lim
 Γ m , J ( M ) .

 (m,I )
J ∈W

Và phần (2.4) chính là phần trung tâm của luận văn, sẽ trình bày các định lý
về sự triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương theo một
cặp iđêan. Đặc biệt định lý (2.4.1) cho ta đẳng thức:
i
inf {i | H=
inf {depth M p | p ∈ W( I , J )}
I , J ( M ) ≠ 0}

đây chính là mở rộng của định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của Grothendieck
trong trường hợp M là môđun hữu hạn sinh.
Mặc dù có nhiều cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do sự hạn hẹp
trong kiến thức và thời gian nên có thể trong luận văn còn nhiều sai sót, rất

mong được sự nhận xét và phản hồi của quý thầy cô và các bạn.


3

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này cũng như là trong toàn bộ luận văn khi ta nói đến vành R
thì R chính là vành Nơte giao hoán có đơn vị.

1.1. Một số bổ đề và định nghĩa
Bổ đề 1.1.1.(Nakayama) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I
0.
là một iđêan của R. Giả sử IM = M , khi đó tồn tại x ∈ I sao cho (1 + x) M =

Nếu R là vành địa phương và I là iđêan thực sự thì ta suy ra M = 0 .
Bổ đề 1.1.2. (Artin-Rees) Cho R là một vành, M là một R-môđun hữu hạn sinh, I
là một iđêan của R và N là R-môđun con của M. Khi đó tồn tại số tự nhiên n0 đủ
=
∩ N I n − n0 ( I n0 M ∩ N ) với mọi n ≥ n0 .
lớn sao cho: I n M

Định nghĩa 1.1.3. Cho M là một R-môđun. Ta định nghĩa các tập hợp con của
tập Spec( R) các iđêan nguyên tố của R sau:
Supp M =
{p ∈ Spec( R ) | M p ≠ 0}
Ass M = {p ∈ Spec( R ) | ∃x ∈ M : p = Ann( x)}
Min M = {p ∈ Spec( R ) | ∀q ∈ Supp M : q ⊆ p ⇒ q = p}

Tập Supp M được gọi là giá của M, tập Ass M được gọi là tập các iđêan
nguyên tố liên kết của M. Tập Min M chính là tập hợp các phần tử tối tiểu của

tập Supp M .
Mệnh đề 1.1.4. Với mọi R-môđun M ta có bao hàm thức sau:
Min M ⊆ Ass M ⊆ Supp M

Định nghĩa 1.1.5. Cho I là một iđêan của R. Ta đặt:
V (I ) =
{p ∈ Spec( R) | I ⊆ p}


4

Mệnh đề 1.1.6. Nếu M, N là các R-môđun hữu hạn sinh thì ta có:
Supp M = V ( Ann( M ))
Supp M ⊗
=
N Supp M ∩ Supp N

Mệnh đề 1.1.7. Cho dãy khớp các R-đồng cấu: 0 → L → M → N → 0
Thì ta có:
Ass M ⊆ Ass L ∪ Ass N
Supp
=
M Supp L ∪ Supp N

1.2. Bao nội xạ và phép giải nội xạ tối tiểu
Định nghĩa 1.2.1. Cho 0 ≠ M ⊆ N là các R-môđun. Môđun N được gọi là mở
rộng thiết yếu của M nếu với mọi môđun 0 ≠ N ' ⊆ N ta đều có: N '∩ M ≠ 0 .
Định lý-Định nghĩa 1.2.2. Cho M là một R-môđun. Khi đó tồn tại duy nhất (sai
khác một đẳng cấu) R-môđun nội xạ E là mở rộng thiết yếu của M. Ta gọi E là
bao nội xạ của M và ký hiệu E = E ( M ) .

Định nghĩa 1.2.3. Một R-môđun M ≠ 0 được gọi là môđun không phân tích
được nếu M không là tổng trực tiếp của hai môđun con thực sự.
Định lý 1.2.4. (Matlis) Cho E là một R-môđun nội xạ thì ta có:
i. Tồn tại duy nhất một cách phân tích: E = ⊕ Ei trong đó mỗi Ei là môđun nội
i∈I

xạ không phân tích được.
ii. Nếu E là môđun nội xạ không phân tích được thì tồn tại p ∈ Spec( R) sao cho
E = E ( R / p) . Ngược lại E ( R / p) là môđun nội xạ không phân tích được với mọi
p ∈ Spec( R) .

Mệnh đề 1.2.5. Cho vành R, p là một iđêan nguyên tố của R, M là một Rmôđun. Khi đó ta có:


5

i. E ( R / p) là hạng tử trực tiếp của E ( M ) khi và chỉ khi p ∈ Ass ( M ) .
ii. Ass( E ( R / p)) = {p} .
Định nghĩa 1.2.6. Cho M là một R-môđun, phép giải nội xạ tối tiểu của M là
một phép giải nội xạ của M:
d
d
ε
0 
→ M 
→ E 0 
→ E1 
→ E 2 
→ .....
0

1

=
( M ), E1 E (coker
=
ε ), E 2 E (coker d 1 ),....
trong
đó E 0 E=

Mỗi phép giải nội xạ tối tiểu là duy nhất (sai khác nhau một đẳng cấu). Theo
định lý về phân tích môđun nội xạ ta có:
i
E=

⊕

p∈Spec ( R )

E ( R / p) µi ( p, M )

Trong đó µi (p, M ) là số bản sao của E ( R / p) trong tổng trực tiếp, ta gọi

µi (p, M ) là số Bass thứ i của M theo p .
Định lý 1.2.7.(Bass) Cho p ∈ Spec( R) , k (p) =

Rp

pRp

và M là một R-môđun. Khi

đó ta có:
i
=
µi (p, M ) dim
=
dim k ( p) (Ext iR ( R / p, M )) p
k ( p) Ext Rp ( k ( p), M p )

1.3. Dãy chính quy – độ sâu
Định nghĩa 1.3.1. Cho M là một R-môđun. Dãy các phần tử x1 , x2 ,...., xn trong R
được gọi là dãy M- chính quy nếu ( x1 , x2 ,...., xn ) M ≠ M và xi không là ước của
không trong M ( x , x ,...., x ) M với mọi i = 1, 2,...n .
1
2
i −1
Định nghĩa 1.3.2. Cho M là một R-môđun và I là một iđêan của Rthỏa mãn
IM ≠ M . Ta định nghĩa độ sâu của M trong I là:


6

depth R ( I , M ) = sup {n | ( x1 ,..., xn ) laø daõy M - chính quy trong I }

Nếu ( R, m ) là vành địa phương thì ta ký hiệu: depth R M := depth R ( m, M )
Định lý 1.3.3. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R
thỏa mãn IM ≠ M . Ta có:
=
depth R ( I , M ) inf{i | Ext iR ( R / I , M ) ≠ 0}

= inf{depth Rp M p |p ∈ V ( I )}

Mệnh đề 1.3.4. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan của R
thỏa mãn IM ≠ M . Ta có:
=
depth R M p inf{i | µi (p, M ) ≠ 0} .
p

1.4. Số chiều – hệ tham số
Định nghĩa 1.4.1. Cho vành R. Số chiều của R, ký hiệu dim(R) chính là
supremum của độ dài những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố
trong R:
dim
) ∀i 0,1,..., n}
=
R sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ .... ⊂ pn , pi ∈ Spec( R=

Cho M là một R-môđun thì số chiều của M chính là supremum của độ dài
những dây chuyền (nghiêm ngặt) các iđêan nguyên tố trong Supp(M):
dim
=
M sup{n | ∃p0 ⊂ p1 ⊂ .... ⊂ pn , pi ∈ Supp(M),
=
∀i 0,1,..., n}

Nếu M = 0 ta đặt dim M= –1.
Mệnh đề 1.4.2. Cho M, N là các R-môđun hữu hạn sinh.Ta có
dim M = dim( R / Ann( M ))
dim(
=

M ⊗ N ) dim R / (Ann( M ) + Ann( N ))

Định nghĩa 1.4.3. Cho ( R, m ) là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn
inf{n | ∃x1 , x2 ,...., xn ∈ m : Supp( M / ( x1 ,..., xn ) M ) =
{m}}, dãy
sinh. Đặt d =


7

x1 , x2 ,...., xd ngắn nhất các phần tử trong m thỏa Supp ( M / ( x1 ,..., xd ) M ) = {m}

được gọi là một hệ tham số của M.
Mệnh đề 1.4.4. Cho ( R, m ) là vành địa phương, M là một R-môđun hữu hạn
sinh. Dãy x1 , x2 ,...., xd là một hệ tham số của M khi và chỉ khi nó là dãy ngắn
nhất các phần tử trong m thỏa mãn ( x1 , x2 ,...., xd ) + Ann( M ) là iđêan m -nguyên
sơ.
Định lý 1.4.5. Cho ( R, m ) là vành địa phương, M ≠ 0 là R-môđun hữu hạn sinh,
d( M ) là độ dài của hệ tham số của M. Khi đó ta có:
d( M ) = dim M

Mệnh đề 1.4.6. Cho ( R, m ) là vành địa phương, M là R-môđun hữu hạn sinh.
Một dãy M-chính quy có thể mở rộng thànhmột hệ tham số của M. Từ đây ta suy
ra depth M ≤ dim M .
Mệnh đề 1.4.7. Cho ( R, m ) là vành địa phương và x1 , x2 ,...., xn là một dãy trong
m , M là một R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
dim M

( x1 ,.., xn ) M

≥ dim M − n .

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x1 , x2 ,...., xn là một bộ phận của hệ tham số của M.

1.5 . Giới hạn thuận
Định nghĩa 1.5.1. Cho R là một vành, ( I , ≤) là một tập được sắp thứ tự bộ phận.
Một hệ thuận trong phạm trù các R-môđun là: (( M i )i∈I , (ψ ij )i ≤ j ) , trong đó ( M i )i∈I
là một họ các R-môđun, (ψ ij : M i → M j )i ≤ j

là họ các R-đồng cấu sao cho

ψ ii = Id M với mọi i ∈ I và biểu đồ sau đây là giao hoán với mọi i ≤ j ≤ k .
i


8

ψi

j
M i 
→M j
i

j

ψk

ψk

Mk
Định nghĩa 1.5.2. Cho (( M i )i∈I , (ψ ij )i ≤ j ) là một hệ thuận trong phạm trù các Rmôđun. Khi đó tồn tại một R-môđun lim
 M i và họ các đồng cấu
i∈I

(α i : M i → lim
 M i )i∈I sao cho:
i∈I

i. α jψ ij = α i với mọi i ≤ j .
ii. Cho N là một R-môđun, và họ các đồng cấu fi : M i → N thỏa mãn f jψ ij = fi
với mọi i ≤ j . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu θ : lim
 M i → N sao cho biểu đồ
i∈I

sau là giao hoán với mọi i ∈ I :
fi
M i 
→N

α

θ

i

lim
 M i
i∈I

i
lim
 M i được gọi là giới hạn thuận của hệ thuận (( M )i∈I , (ϕ j )i ≤ j ) .
i∈I

Định nghĩa 1.5.3. Tập sắp thứ tự ( I , ≤) được gọi là tập trực tiếp nếu với mọi
i, j ∈ I tồn tại k ∈ I sao cho i ≤ k và j ≤ k .

Mệnh đề 1.5.4. Cho (( M i )i∈I , (ψ ij )i ≤ j ) là một hệ thuận trong phạm trù các Rmôđun, ( I , ≤) là tập trực tiếp, ψ ij : M i → M j là các phép nhúng với mọi i ≤ j . Nếu
ta đặt: M =  i∈I M i và xét họ các ánh xạ nhúng (α i : M i → M )i∈I . Khi đó M
chính là giới hạn thuận của (( M )i∈I , (ψ ij )i ≤ j ) .


9

Định lý 1.5.5. Giới hạn thuận là giao hoán với tích tenxơ. Nếu (( M i )i∈I , (ψ ij )i ≤ j ) là
một hệ thuận, N là một R-môđun thì ta có đẳng cấu tự nhiên sau:
(lim
 M i ) ⊗ N ≅ lim(
 M i ⊗ N )
i∈I

i∈I

Mệnh đề 1.5.6. Giới hạn thuận là bảo toàn tính khớp. Cụ thể, nếu I là tập trực
tiếp và {Li ,α ij } , {M i ,β ij } , {N i ,γ ij } là các hệ thuận các R-môđun trên I. Xét họ các
đồng cấu (ri : Li → M i ) và ( si : M i → N i ) sao cho với mỗi i ∈ I thì dãy sau đây là
dãy khớp:
0 → Li → N i → M i → 0

Thì ta sẽ có dãy khớp sau đây:
0 → lim
 Li → lim
 N i → lim
 M i → 0
i∈I

i∈I

i∈I

Mệnh đề 1.5.7.Trên vành Nơte, giới hạn thuận của những môđun nội xạ là một
môđun nội xạ.

1.6. Hàm tử dẫn xuất phải
Định nghĩa 1.6.1. Cho T :  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến,  và  là hai
phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải
R nT :  → với mỗi n ≥ 0 như sau:

Với mỗi vật B ta chọn một phép giải nội xạ E • ( B) :
d
d
0 
→ E 0 
→ E1 
→ E 2 
→ ....
0

1

Tác động hàm tử T vào phép giải, sau đó lấy đối đồng điều thứ n:
n
( R nT ) B : H=
(T ( E • ( B))
=

Ker Td n
Im Td n −1


10

Định nghĩa này là tốt, không phụ thuộc vào cách chọn phép giải nội xạ.
Định lý 1.6.2. Cho T :  →  là hàm tử cộng tính hiệp biến và khớp trái,  và
 là hai phạm trù Abel trong đó  là đủ nội xạ. Dãy ( R nT ) n ≥0 là dãy hàm tử dẫn

xuất phải của T khi và chỉ khi thỏa mãn:
i. Có đẳng cấu tự nhiên giữa hai hàm tử: R 0T ≅ T .
ii. Với mọi E là vật nội xạ trong  , ta đều có: ( R nT ) E = 0 với mọi n ≥ 1 .
iii. Với mọi dãy khớp trong  : 0 → L → M → N → 0 ta có dãy khớp dài với
đồng cấu nối tự nhiên:
0 → ( R 0T ) L → ( R 0T ) M → ( R 0T ) N → ( R1T ) L → ( R1T ) M → ....
.... → ( R n −1T ) N → ( R nT ) L → ( R nT ) M → ( R nT ) N → ( R n +1T ) L → ....

1.7. Dãy phổ
Định nghĩa 1.7.1. Một môđun song phân bậc là một họ các R-môđun:
M = ( M p ,q )

( p , q )∈×

Nếu M, N là các môđun song phân bậc, một đồng cấu song phân bậc
f : M → N có bậc là (a, b) là một họ các đồng
cấu: f ( f p ,q : M p ,q → M p + a ,q +b ) .
=

Bậc của f được ký hiệu là: deg( f ) = (a, b) .
Nếu ta có đồng cấu song phân bậc f : M → N với deg( f ) = (a, b) thì ta định
nghĩa
, Ker f ( Ker f p ,q ) ⊆ ( M p ,q )
=
Im f (Im f p − a ,q −b ) ⊆ ( N p ,q )=
f
g
→ N 
→ P , dãy này được gọi là
Cho dãy các đồng cấu song phân bậc M 

khớp nếu Im f = Ker g .
Từ đây, nếu loại bỏ q thì ta định nghĩa được môđun phân bậc và đồng cấu
phân bậc một cách tương tự.


11

Định nghĩa 1.7.2. Một lọc của một R-môđun M là một họ ( M p ) p∈ các R-môđun
con của M thỏa mãn M p ⊆ M p +1 với mọi p:
... ⊆ M p −1 ⊆ M p ⊆ M p +1 ⊆ ...

Cho C là một phức, một lọc của Clà họ các phức con ( Fp C) p∈ của C thỏa

mãn Fp C ⊆ Fp +1C với mọi p:
... ⊆ Fp −1C ⊆ Fp C ⊆ Fp +1C ⊆ ...

Định nghĩa 1.7.3. Cho ( M , d ) , trong đó M là một môđun song phân bậc, d là
một đồng cấu song phân bậc có bậc là (a, b) thỏa mãn d .d = 0 . Khi đó ta định
nghĩa được đồng điều H ( M , d ) là một môđun song phân bậc với:
H ( M , d ) p ,q =

Ker d p ,q
Im d p − a ,q −b

Định nghĩa 1.7.4. Một dãy phổ là một dãy ( E r , d r ) r ≥1 trong đó E r là các môđun
song phân bậc, thỏa mãn d r d r = 0 và E r +1 = H ( E r ) với mọi r ≥ 1 .
=
( E1 , d 1 ) Z 2 / B 2 trong đó Z 2 là
Nếu ( E r , d r ) r ≥1 là một dãy phổ, ta
có E 2 H=

chu

trình

và

B2

là

bờ

=
E 3 (=
Z 3 / B 2 ) / ( B3 / B 2 ) H (Z 2 / B 2 , d 2 )

với
(ta

có

B 2 ⊆ Z 2 ⊆ E1 .

thể

Lại

xem E 3 = Z 3 / B 3 )

có
với

B 2 ⊆ B 3 ⊆ Z 3 ⊆ Z 2 ⊆ E1 . Vậy nếu ta quy nạp theo r thì ta có E r = Z r / B r với:
B 2 ⊆ B 3 ⊆ ... ⊆ B r ⊆ Z r ⊆ ..... ⊆ Z 3 ⊆ Z 2 ⊆ E1 (*)

Định nghĩa 1.7.5. Cho ( E r , d r ) r ≥1 là một dãy phổ, họ ( Z r , B r ) r ≥1 được cho như
trên thỏa mãn (*), đặt Z ∞ =  r ≥1 Z r và B ∞ =  r ≥1 B r . Ta định nghĩa giới hạn của
dãy phổ là môđun song phân bậc E ∞ được định nghĩa bởi:
E p∞,q = Z p∞,q / B p∞,q


12

Định nghĩa 1.7.6.

Cho ( F p C) p∈ là lọc của phức Cvà họ phép nhúng

i p : F p → C . Từ đây cảm sinh ra i*p : H • ( F p ) → H • (C ) . Ta định nghĩa lọc cảm

sinh của H n (C ) :
Φ p H n (C ) =
Im i*p

Nếu với mỗi n tồn tại svà t sao cho Φ s H n =
{0} và Φ t H n =
H n thì ta nói lọc
(Φ p H n ) là bị chặn. Khi đó ta có dây chuyền sau với mỗi n.

{0}=Φ s H n ⊆ Φ s +1 H n ⊆ ...... ⊆ Φ t H n = H n

Định nghĩa 1.7.7. Một dãy phổ ( E r , d r ) r ≥1 được gọi là hội tụ đến một môđun
phân bậc H:
E p2,q ⇒ H p + q

nếu có một lọc bị chặn (Φ p H p + q ) của H sao cho: E p∞.q ≅

Φ p H p+q

Φ p −1 H p + q

.

Định nghĩa 1.7.8. Dãy phổ ( E r , d r ) r ≥1 được gọi là suy biến theo trục p nếu
E p2,q = {0} với mọi q ≠ 0 . Dãy phổ ( E r , d r ) r ≥1 được gọi là suy biến theo trục q

nếu E p2,q = {0} với mọi p ≠ 0 .
Định nghĩa 1.7.9: Dãy phổ ( Er , d r ) r ≥1 được gọi là dãy phổ góc phần tư thứ ba
nếu Erp ,q = {0} với mọi p > 0 hoặc q > 0 .
Mệnh đề 1.7.10.Cho dãy phổ ( Er , d r ) r ≥1 góc phần tư thứ ba hội tụ E2p ,q ⇒ H p + q .
i. Nếu dãy phổ suy biến theo trục p, ta có: H n ≅ E2n ,0 .
ii. Nếu dãy phổ suy biến theo trục q, ta có: H n ≅ E20,n .


13

→ b là
Định nghĩa 1.7.11. Cho  là một phạm trù Abel đủ nội xạ, F :  

hàm tử cộng tính. Một vật B của  được gọi là F-tuần hoàn phải nếu
R p ( F ) B = {0} với mọi p ≥ 1 .
G
F
→  
→  là các hàm tử hiệp biến,
Định lý 1.7.12.(Grothendieck) Cho  

cộng tính  ,  ,  là các phạm trù Abel đủ nội xạ. Giả sử F là khớp trái và GE là
tuần hoàn phải với mọi vật nội xạ E trong  . Khi đó với mọi vật A trong  , ta
có dãy phổ góc phần tư thứ ba sau:
=
E2p ,q ( R p F )( R q G ) A ⇒ R p + q ( FG ) A

1.8. Môđun đối đồng điều địa phương
Định nghĩa 1.8.1. Cho R là vành, I là một iđêan của R, M là một R-môđun.
Đặt
Γ I ( M ) =∈
{x M | I n x =
0, n  1}

Ta thấy Γ I ( M ) là một R-môđun con của M. Mặt khác với mọi R-đồng cấu
f : M → N thì f (Γ I ( M )) ⊆ Γ I ( N ) nên ta định nghĩa được Γ I ( f ) : Γ I ( M ) → Γ I ( N )

là thu hẹp của f lên Γ I ( M ) .
Với định nghĩa như trên có thể chứng minh được Γ I là một hàm tử cộng
tính, R-tuyến tính và khớp trái. Hàm tử Γ I được gọi là hàm tử I-xoắn.
M . R-môđun M được
R-môđun M được gọi là môđun I-xoắn nếu Γ I ( M ) =
0.
gọi là môđun I-không xoắn nếu Γ I ( M ) =

Bây giờ ta xét các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử khớp trái Γ I với mọi
i ≥ 0 và ta gọi đây là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I:

H Ii=: R i Γ I


14

Môđun H Ii ( M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan
I.
M ⇔ Supp(M ) ⊆ V ( I ) .
Mệnh đề 1.8.2. Cho M là một R-môđun. Ta có Γ I (M ) =

Đối đồng điều địa phương có nhiều cách định nghĩa tương đương. Sau đây là
định nghĩa theo giới hạn thuận của hàm tử Ext và định nghĩa theo phức Cech.
Định lý 1.8.3. Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R. Ta có đẳng cấu tự
nhiên sau với mọi i ≥ 0 :
i
n
H Ii ( M ) ≅ lim
 Ext R ( R / I , M )
n∈

Định nghĩa 1.8.4. Cho vành R, phần tử a thuộc R. Ta định nghĩa:
=
S a {a n |n ∈ }

Ta thấy Sa là một tập con nhân của R. Do đó với mỗi R-môđun M ta định
nghĩa môđun các thương của M:
M a = S a−1M

Ta định nghĩa phức Cech theo một phần tử a thuộc R là:
−1

Sa
•
→ R →
→ 0)
C=
Ra 
(0 
a

Với a = a1 ,..., an là một dãy các phần tử trong R. Ta định nghĩa phức Cech
theo a = a1 ,..., an là:
s

Ca• = ⊗ Ca•i
i =1

s

= (0 → R → ∏ Rai → ∏ ( Rai ) a j → ....)
=i 1

i< j


15

Do vành ta đang xét là vành Nơte, nên mỗi iđêan I của R là hữu hạn sinh. Từ
đây ta có định nghĩa đối đồng điều địa phương thông qua phức Cech.
I (=
a ) (a1 , a2 ,..., an ) là iđêan của R, M là một RĐịnh lý 1.8.5. Cho R là vành,=

môđun. Ta có đẳng cấu tự nhiên sau với mọi i ≥ 0 :
H Ii ( M ) ≅ H i ( M ⊗ Ca• )

Sau đây là định lý triệt tiêu và không triệt tiêu nổi tiếng của Grothendieck
Định lý 1.8.6. (Grothendieck) Cho M là một R-môđun, I là một iđêan của R.
Ta có:
H Ii ( M ) = 0 với mọi i > dim M

Định lý 1.8.7. (Grothendieck) Cho ( R, m ) là một vành địa phương, M là một Rmôđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Ta có:
H mn ( M ) ≠ 0 với n = dim M

Định lý 1.8.8. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R. Khi
đó ta có:
inf{i | H Ii =
( M ) ≠ 0} depth
=
inf{depth M p | p ∈ V ( I )}
R (I , M )


16

Chương 2: MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
THEO MỘT CẶP IĐÊAN
Trong chương này ta cũng luôn giả thiết R là vành Nơte giao hoán có đơn vị.

2.1. Hàm tử đối đồng điều địa phương theo một cặp Iđêan
Định nghĩa 2.1.1.Cho M là một R-môđun; I, J là hai iđêan của R, ta định nghĩa
tập:
Γ I ,J (M ) =
{ x ∈ M | I n x ⊆ Jx, n  1}

ta thấy I n x ⊆ Jx ⇔ I n ⊆ Ann( x) + J do đó Γ I , J ( M ) =
{ x ∈ M | I n ⊆ Ann( x) + J , n  1}
từ đây ta có thể chứng minh được Γ I , J ( M ) là một R-môđun con của M.
Cho f : M → N là một đồng cấu R-môđun. Ta có f (Γ I , J ( M )) ⊆ Γ I , J ( N ) và
do đó ta định nghĩa R-đồng cấu Γ I , J ( f ) : Γ I , J ( M ) → Γ I , J ( N ) chính là thu hẹp của

f trên Γ I , J ( M ) . Từ đây ta định nghĩa được hàm tử Γ I , J (−)
Định nghĩa 2.1.2.Hàm tử Γ I , J : Mod R → Mod R là một hàm tử hiệp biến cộng
tính, ta gọi đây là hàm tử (I,J)-xoắn.
Với M là một R-môđun ta định nghĩa Γ I , J ( M ) là môđun (I, J)-xoắn của M.
Nếu Γ I , J ( M ) =
M ta nói M là môđun (I, J)-xoắn, nếu Γ I , J ( M ) =
0 ta nói M là
môđun (I, J)-không xoắn.
Nhận xét rằng khi J = 0 thì Γ I , J ≡ Γ I là hàm tử I-xoắn quen thuộc trong đối
đồng điều địa phương.
Bổ đề 2.1.3.Hàm tử (I,J)-xoắn Γ I , J (−) là hàm tử khớp trái.


17

Chứng minh.
f

g

Cho dãy khớp các R-môđun: 0 → L → M → N → 0 ta cần chứng minh dãy:
Γ I ,J ( f )

Γ I ,J ( g )

0 → Γ I , J L → Γ I , J M → Γ I , J N là khớp.

Do Γ I , J ( f ) là thu hẹp của fnên Γ I , J ( f ) là đơn cấu. Hơn nữa vì Γ I , J ( g ) là thu
hẹp của g và g. f = 0 ta suy ra Γ I , J ( g ).Γ I , J ( f ) =
0 do đó Im Γ I , J ( f ) ⊆ Ker Γ I , J ( g )

Ta chỉ cần chứng minh Im Γ I , J ( f ) ⊇ Ker Γ I , J ( g ) .
∀x ∈ Ker Γ I , J ( g ) , ta có g ( x) = 0 và x ∈Γ I , J ( M ) . Do đó có n ≥ 1 sao cho

x , do f là đơn cấu nên ta có:
I n ⊆ Ann( x) + J và tồn tại y ∈ L : f ( y ) =
I n ⊆ Ann( x)=
+ J Ann( f ( y ))=
+ J Ann( y ) + J

Vậy y ∈ Γ I , J ( L) ⇒ x ∈ Im Γ I , J ( f ) suy ra Im Γ I , J ( f ) ⊇ Ker Γ I , J ( g ) ta có điều
phải chứng minh.

Định nghĩa 2.1.4. Với i là số tự nhiên, ta định nghĩa hàm tử dẫn xuất phải thứ i
của Γ I , J là hàm tử H Ii , J : hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo cặp iđêan
I,J.
Với M là một R-môđun ta định nghĩa H Ii , J ( M ) là môđun đối đồng điều địa
phương thứ i của M theo (I,J).
Nhận xét rằng nếu J = 0 thì Γ I ,0 ≡ Γ I nên suy ra H Ii ,0 ≡ H Ii , hàm tử đối đồng
điều địa phương theo một cặp iđêan chính là mở rộng của hàm tử đối đồng điều
địa phương quen thuộc.


18

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương theo
cặp iđêan (I, J).
Mệnh đề 2.1.5.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R; i là số tự nhiên bất kỳ và
M là một R-môđun. Ta có:
i. Γ I , J (Γ I ', J ' ( M )) =
Γ I ', J ' (Γ I , J ( M )) .

ii. Nếu I ⊆ I ' thì Γ I , J ( M ) ⊇ Γ I ', J ( M ) .
iii. Nếu J ⊆ J ' thì Γ I , J ( M ) ⊆ Γ I , J ' ( M ) .
iv. Γ I , J (Γ I ', J ( M )) =
Γ I + I ', J ( M ) .
v. Γ I , J (Γ I , J ' ( M )) =
Γ I , JJ ' ( M ) =
Γ I ,J ∩J ' (M ) .
vi. H Ii + J , J ( M ) = H Ii , J ( M ) .
vii. H Ii , J ( M ) = H i I , J ( M ) .
viii. H Ii , J ( M ) = H Ii , J ( M ) .
Chứng minh. Các tính chất này đều được suy ra từ định nghĩa và chứng minh
khá dễ dàng. Sau đây là chứng minh của phần (vii).
Đầu tiên ta chứng minh tính chất này cho hàm tử (I, J)-xoắn.
(⊇) Lấy x ∈ Γi I , J ( M ) thì tồn tại n ∈  sao cho:

n

I ⊆ Ann( x) + J , ta suy ra:

n

i
I n ⊆ I ⊆ Ann( x) + J , từ đây suy ra x ∈ Γ I , J ( M ) .

(⊆) Ngược lại lấy x ∈ ΓiI , J ( M ) thì tồn tại n ∈  sao cho: I n ⊆ Ann( x) + J , do

R là vành Nơte nên tồn tại m ∈  sao cho
nên suy ra x ∈ Γi I , J ( M ) .

m

I ⊆ I do đó

I

m.n

⊆ I n ⊆ Ann( x) + J


19

Vậy ta có: Γ I , J ≡ Γ

I ,J

mà do hàm tử dẫn xuất phải là duy nhất nên ta có điều

phải chứng minh.

Ta biết rằng tính chất của môđun đối đồng điều địa phương H Ii ( M ) có liên hệ
chặt chẽ đến tập hợp V ( I ) =
{p ∈ Spec( R) | I ⊆ p} . Và khi ta mở rộng lên thành
môđun đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan thì ta có tập hợp sau.
Định nghĩa 2.1.6. Cho I, J là hai iđêan của R. Ta định nghĩa tập hợp sau:
W( I , J ) =
{p ∈ Spec( R) | I n ⊆ p+ J , n  1}

nhận xét rằng khi J = 0 thì W( I , J ) = V ( I ) lại đưa về định nghĩa quen thuộc.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập W( I , J ) .

Mệnh đề 2.1.7.Cho I, I’, J, J’ là các iđêan của vành R. Ta có:
i. Nếu I ⊆ I ' thì W( I , J ) ⊇ W( I ', J ) .
ii. Nếu J ⊆ J ' thì W( I , J ) ⊆ W( I , J ') .
iii. W( I + I ', J )= W( I , J ) ∩ W( I ', J ) .
') W( I , J ∩ J=
') W( I , J ) ∩ W( I , J ') .
iv. W( I , JJ=

v.=
W( I , J ) W(
=
I , J ) W( I , J ) .
vi. Nếu ( R, m ) là vành địa phương, I là iđêan thực sự không là m - nguyên sơ thì:


W(=
m, I )   W( m, J )   {p ∈ Spec( R ) | p ⊄ I }
 I ⊂J


vii. V ( I )
=

W( I , J ) 
=
J

J ∈Spec ( R )\V ( I )

W( I , J )

20

Chứng minh.
Từ (i) đến (v) chứng minh dễ dàng, sau đây là chứng minh của phần (vi) và
(vii)
(vi) Với p ∈ W(m, I ) ⇔ ∃n ≥ 0 : m n ⊆ I + p ⇔ I + p laø m - nguyeân sô hoặc I + p =
R
. Nếu I ⊂ J thì J + m cũng là m - nguyên sơ hoặc J + m =
R nên p ∈ W( m, J ) .
Mặt khác I không là iđêan m - nguyên sơ nên p ⊄ I ( nếu p ⊆ I thì I + p =
I là
iđêan m - nguyên sơ (!)).




 I ⊂J



Ngược lại, với mọi p ∈   W( m, J )   {p ∈ Spec( R) | p ⊄ I } . Đặt J= I + p thì
I ⊂ J , do đó ta được p ∈ W( m , J ) =W( m, I + p) . Từ đó suy ra I + p là iđêan m -

nguyên sơ hoặc I + p =
R , ta được điều phải chứng minh.
(vii) Dễ dàng thấy rằng V ( I ) ⊆  J W( I , J ) ⊆  J ∈Spec ( R )\V ( I ) W( I , J ) , ta cần chứng
minh



J ∈Spec ( R )\V ( I )

W( I , J ) ⊆ V ( I ) . Giả sử p ∉V ( I ) , ta có p ∈ Spec( R ) \ V ( I ) và

p ∉ W( I , p) . Suy ra p ∉  J ∈Spec ( R )\V ( I ) W( I , J ) . Ta có điều phải chứng minh.


M , sau đây là mở
Theo mệnh đề (1.8.2) nếu Supp( M ) ⊆ V ( I ) thì Γ I ( M ) =

rộng của mệnh đề này trong đối đồng điều địa phương theo một cặp iđêan.
Mệnh đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun, các mệnh đề sau là tương đương.
i. M là môđun (I, J)-xoắn.
ii. Min( M ) ⊆ W( I , J )
iii. Ass( M ) ⊆ W( I , J )
iv. Supp( M ) ⊆ W( I , J )


21

Chứng minh.
Do Min( M ) ⊆ Ass( M ) ⊆ Supp( M ) nên (iv) ⇒ (iii ) ⇒ (ii ) là hiển nhiên.
(ii ) ⇒ (iv) : Với p ∈ Supp ( M ) , tồn tại q ∈ Min( M ) sao cho q ⊆ p . Vì q ∈ W( I , J )

nên tồn tại n ≥ 0 sao cho I n ⊆ J + q ⊆ J + p . Vậy p ∈ W( I , J ) .
(i ) ⇒ (iii ) : Nếu p ∈ Ass ( M ) thì tồn tại x ∈ M sao cho p = Ann( x) . Vì M là môđun

(I, J)-xoắn nên tồn tại số tự nhiên n sao cho I n ⊆ J + Ann( x) ⊆ J + p . Do đó

p ∈ W( I , J ) .
(iv) ⇒ (i ) : Ta cần chứng minh rằng Γ I , J ( M ) ⊇ M . Với mọi x ∈ M , do Rx là

môđun hữu hạn sinh nên tập Min( Rx) là hữu hạn.Ta đặt tập Min( Rx) = {p1 , p2 ... ps }
. Vì Min( Rx) ⊆ Supp ( Rx) ⊆ Supp ( M ) ⊆ W( I , J ) , nên với mỗi 1 ≤ i ≤ s đều tồn tại
ni ≥ 0 sao cho I n ⊆ J + pi . Chọn n = max(ni ) thì I n ⊆ J + pi với mọi 1 ≤ i ≤ s , suy
i

1≤i ≤ s

ra I ns ⊆ J + (p1p2 ...ps ) ⊆ J + p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ ps
Mặt khác

Ann( x) =

Ann(Rx) =



p∈Supp(Rx )

p=



p = p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ ps , mà R

p∈Min (Rx )

là vành Noether nên tồn tại m ≥ 0 sao cho ( p1 ∩ p2 ∩ ... ∩ ps ) ⊆ Ann( x) . Kết hợp

m

với bên trên ta có: I mns ⊆ J + Ann( x) , từ đây suy ra x ∈ Γ I , J ( M ) .

Hệ quả 2.1.9.
1. Các mệnh đề sau đây là tương đương cho phần tử x ∈ M .
i. x ∈ Γ I , J ( M )
ii. Supp( Rx) ⊆ W( I , J )