số âm trong dạy học toán ở trường phổ thông, một nghiên cứu so sánh giữa lào và việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

VONGSAVENG Chanthaveesouk

SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TỐN Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT
NGHIÊN CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO
VÀ VIỆT NAM.
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

SỐ ÂM TRONG DẠY HỌC TỐN Ở
TRƯỜNG PHỔ THÔNG: MỘT NGHIÊN
CỨU SO SÁNH GIỮA LÀO VÀ VIỆT
NAM.

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số:

Tốn-07-025

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS.Lê Thị Hồi Châu

Thành phố Hồ Chí Minh - 2011

MỤC LỤC
MỤC LỤC......................................................................................... 3
T
1

T
1

MỞ ĐẦU ........................................................................................... 6
T
1

T
1

1.Lý do chọn đề tài ............................................................................................. 6
T
1

T
1

2.Khung lý thuyết tham chiếu ............................................................................ 7
T
1

T
1

2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại .................. 7
T
1

T
1

2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại ............................................. 7
T
1

T
1

2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại ............................................................. 7
T
1

T
1

2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động ................................................. 8
T
1

T
1

2.2. Thuyết nhân học: .................................................................................. 10

T
1

T
1

3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu .......................................................... 10
T
1

T
1

Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN VỀ
T
1

KHÁI NIỆM SỐ ÂM .................................................................................. 13
T
1

1.1.Mục tiêu của chương .................................................................................. 13
T
1

T
1

1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm ..................... 13
T

1

T
1

1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm ................................... 18
T
1

T
1

Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN
T
1

ĐIỂM SO SÁNH ......................................................................................... 20
T
1

2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG CHƯƠNG
T
1

TRÌNH TỐN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM .................................................. 20
T
1

2.1.1. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thơng ở
T

1

Lào ............................................................................................................... 21
T
1

2.1.2. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thơng Việt
T
1

Nam .............................................................................................................. 23
T
1

2.2. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1 ................................................................. 25
T
1

T
1


2.2.1. Khái niệm số âm: ............................................................................... 25
T
1

T
1

2.2.2. Giá trị tuyệt đối của một số ................................................................ 29

T
1

T
1

2.2.3. So sánh hai số (hữu tỉ) ....................................................................... 29
T
1

T
1

2.2.4. Các phép toán..................................................................................... 31
T
1

T
1

2.2.4.1. Phép cộng, trừ ............................................................................. 31
T
1

T
1

Định lý: ........................................................................................... 32
T
1

T
1

2.2.4.2. Phép nhân ................................................................................... 32
T
1

T
1

2.2.4.3.

Phép

T
1

chia

..................................................................................................................... 34
2.2.4.4. Các tổ chức toán học liên quan đến số âm ................................. 34
T
1

T
1

2.3. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I2 ................................................................. 42
T

1

T
1

2.3.1. Khái niệm số âm ................................................................................ 42
T
1

T
1

2.3.2. So sánh hai số nguyên ........................................................................ 42
T
1

T
1

2.3.3. Cộng hai số nguyên............................................................................ 42
T
1

T
1

2.4.KẾT LUẬN ................................................................................................ 45
T
1

T
1

2.4.1. Đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm ........................................... 45
T
1

T
1

2.4.2. Về quy tắc nhân hai số âm ................................................................. 47
T
1

T
1

Chương 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM GIỚI THIỆU THỰC
T
1

NGHIỆM ..................................................................................................... 48
T
1

3.1. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI GIÁO VIÊN ................................................. 48
T
1

T

1

3.1.1. Câu hỏi thực nghiệm: ......................................................................... 48
T
1

T
1

3.1.2. Phân tích a priori các câu hỏi thực nghiệm........................................ 49
T
1

T
1

3.1.3. Phân tích a posteriori ......................................................................... 53
T
1

T
1

3.2. THỰC NGHIỆM ĐỐI VỚI HỌC SINH................................................... 55
T
1

T
1

3.2.1. Các bài toán thực nghiệm .................................................................. 55
T
1

T
1


3.2.2. Phân tích a priori các bài tốn thực nghiệm ...................................... 56
T
1

T
1

3.2.2.1. Bài toán 1.................................................................................... 56
T
1

T
1

3.2.2.2. Bài toán 2.................................................................................... 57
T
1

T
1

3.2.2.3. Bài toán 3.................................................................................... 58

T
1

T
1

3.2.2.4. Bài toán 4.................................................................................... 59
T
1

T
1

3.2.2.5. Bài toán 5.................................................................................... 60
T
1

T
1

3.3. Phân tích a posteriori thực nghiệm của HS ............................................... 61
T
1

T
1

KẾT LUẬN ..................................................................................... 65
T
1

T
1

TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................. 66
T
1

T
1

PHỤ LỤC ........................................................................................ 67
T
1

T
1


MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Khái niệm số âm có một vai trò quan trọng trong sự phát triển của toán học và
trong thực tế. Ý nghĩa của số âm được tìm thấy nhiều trong thực tiễn. Khi chưa
được học số âm, các em HS cũng đã bắt gặp chúng đâu đó nhiều trong cuộc sống.
Số âm tuy phát biểu rất đơn giản, có thể xem một cách THUẦN TUÝ như là số
dương gắn với dấu “ – ” đằng trước nhưng khi thực hiện các phép toán (cộng, trừ,
nhân, chia, so sánh,…) HS gặp khơng ít khó khăn.
Trong chương trình mơn tốn bậc trung học cơ sở (PTCS) của Cộng hòa Dân chủ
Nhân dân Lào (CHDCNDL) khái niệm số âm được đưa vào giảng dạy ở lớp 6, 7.
Đây là một nội dung rất hay nhưng cũng khá khó đối với học sinh. Nếu như trước

khi nghiên cứu số âm, HS chỉ thực biện được phép trừ khi số bị trừ lớn hơn số trừ
thì nay, phép tính này. Nhưng giải thích như thế nào cho học sinh (HS) về kết
quả âm của một phép tính trừ, chẳng hạn 3 – 8 = – 5 là gì ? Liệu HS có hiểu bản
chất của các quy tắc tính tốn và so sánh trên tập hợp Z hay không ? Chúng ta
biết rằng trong lịch sử các nhà toán học cũng đã từng phải đi tìm nghĩa của số âm
bằng mơ hình lỗ lãi trong thương mại. Nhưng dường như mơ hình này khơng cho
phép giải thích quy tắc “tích (thương) hai số âm là một số dương”. Câu hỏi về
tính hợp thức này đã phải được họ giải thích bằng cách chuyển sang phạm vi
hình học. Nhưng điều đó không phải dễ đối với HS bậc THCS. Nếu tiếp cận theo
thuật ngữ NGỮ (signifiant – cái biểu đạt) và NGHĨA (signifié – cái được biểu
đạt) thì lúc này, dấu “ – ” được tìm thấy với ba nghĩa khác nhau : dấu “ – ” của
phép trừ, của số âm và số đối. Ví dụ (-5) là âm 5, (-5) là số đối của 5 và là dấu “
– ” trong phép toán, chẳng hạn 3 – 5.
Sơ bộ tìm hiểu, chúng tơi nhận thấy sự mơ hồ trong cách hiểu về số âm đã làm
cho HS thật sự lúng túng khi vận dụng vào giải bài tập. Chẳng hạn, nhiều học
sinh ghi =
− x x, =
x 2 x và cho rằng − x khơng có nghĩa vì hễ có dấu “ – ” ở
trước thì đó là số âm, có dấu “+” thì là số dương
Là một sinh viên Lào tôi chọn đề tài “nghiên cứu về số âm trong dạy học tốn ở
trường phổ thơng” cho luận văn thạc sĩ của mình. Câu hỏi mở đầu là:
1. Khái niệm số âm được trình bày như thế nào trong chương trình tốn
bậc THCS ở Lào?
2. Những sai lầm thường gặp của HS Lào khi học về số âm? Chúng xuất
phát từ những nguyên nhân nào? Có thể khắc phục được không?


2.Khung lý thuyết tham chiếu
Để trả lời những câu hỏi trên, trước hết chúng tôi xuất phát từ quan niệm về “sai
lầm và nguồn gốc của chủng” vốn được thừa nhận rộng rãi trong cộng đồng các

nhà nghiên cứu Pháp. Những ý kiến trình bày dưới đây được chúng tơi trích ra từ
cuốn sách song ngữ Việt-Pháp Nhập mơn didactic tốn (2009)của nhóm tác giả
Annie Bessot, Claude Comiti, Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến.
2.1. Sai lầm và chướng ngại. Giải thích sai lầm và chướng ngại
2.1.1. Khái niệm về sai lầm và chướng ngại
“Trong logic tiếp cận quá trình học tập được phát triển bởi Piajet, Bachelard
và Brousseau thì kiến thức thu được là kết quả của một sự thích nghi của
học sinh với tình huống – tình huống này biện minh cho sự cần thiết của
kiến thức được nói đến bằng cách chứng tỏ hiệu quả của nó.
Trong một sự học tập bởi việc thích nghi với tình huống, kiến thức được
xây dựng ở học sinh thường mang tính địa phương, gắn liền một cách tùy
tiện với những kiến thức khác. Nó cũng thường mang tính chất tạm thời và
có thể là khơng hồn tồn chính xác.”
Quan điểm này dẫn đến một cách nhìn mới trên những sai lầm của học sinh:
“Sai lầm không phải chỉ là hậu quả của sự không hiểu biết, không chắc
chắn, ngẫu nhiên theo cách nghĩ của những người theo chủ nghĩa kinh
nghiệm và chủ nghĩa hành vi, mà cịn có thể là hậu quả của những kiến thức
đã có từ trước, những kiến thức đã từng có ích đối với việc học tập trước
kia, nhưng lại là sai, hoặc đơn giản là khơng cịn phù hợp nữa đối với việc
lĩnh hội kiến thức mới. Những sai lầm kiểu này không phải là không dự
kiến trước được, và chúng tạo nên những chướng ngại.” (Brousseau, 1983).
Ở cùng một chủ thể, những sai lầm khác nhau có thể có một nguồn gốc chung.
Việc phân tích sai lầm có thể làm nổi bật lên một chướng ngại của việc học tập”.
2.1.2. Đặc trưng của chướng ngại
Cần phải nói rõ rằng khơng phải mọi khó khăn đều có thể được xem là chướng
ngại.
Trước hết, chướng ngại là một kiến thức, một quan niệm.
“Kiến thức, quan niệm này tạo ra những câu trả lời phù hợp trong một số
ngữ cảnh thường xuyên gặp, nhưng lại dẫn đến những câu trả lời sai ở

ngồi những ngữ cảnh này. Để có một câu trả lời chính xác và đúng trong
mọi trường hợp, cần phải có sự thay đổi trong quan điểm.”
Các chướng ngại được phân biệt tùy theo nguồn gốc của chúng. Có bốn kiểu
chướng ngại chủ yếu sau :
-

Chướng ngại khoa học luận, là chướng ngại gắn liền với sự phát triển lịch
sử của những kiến thức mà việc loại bỏ nó địi hỏi phải được đưa vào một
cách tường minh trong tri thức cần phải chuyển tải đến học sinh.

-

Chướng ngại didactic, là những kiến thức sinh ra từ sự chuyển đổi
didactic, chúng dường như chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn dự án dạy học
của từng hệ thống giáo dục.

-

Chướng ngại thuộc về sự phát triển cá thể, là chướng ngại gắn liền với
những hạn chế về nhận thức của một học sinh ở một thời điểm nào đó
trong q trình phát triển của nó.

-

Chướng ngại văn hóa, là chướng ngại được lưu hành trong cuộc sống văn
hóa, đã được giải quyết về mặt khoa học, nhưng vẫn luôn luôn tồn tại.

“Chỉ có những chướng ngại khoa học luận là những chướng ngại mà việc
vượt qua chúng đóng một vai trị quyết định trong việc xây dựng tri thức.

Và người ta có thể tìm lại những chướng ngại khoa học luận trong lịch sử
phát sinh của chính khái niệm đang được nói đến.
Những chướng ngại didactic chủ yếu sinh ra từ sự lựa chọn việc chuyển đổi didactic của
khái niệm, và như vậy nó đặc trưng cho thể chế mà khái niệm này sống trong đó.”

2.1.3. Quan niệm và qui tắc hành động
Nếu sai lầm của HS không phải là ngẫu nhiên mà có thể dự đốn trước được thì
làm thế nào để dự đốn và giải thích chúng ? Trả lời câu hỏi này, người ta đã sử
dụng khái niệm quân niệm và quy tắc hành động.
• Quan niệm
Quan niệm là một mơ hình được nhà nghiên cứu xây dựng để phân tích ứng xử
nhận thức của học sinh trước một kiểu vấn đề liên quan đến một khái niệm toán
học.
G.Brousseau định nghĩa quan niệm là: “một tập hợp các quy tắc, cách thực
hành, tri thức cho phép giải quyết một cách tương đối tốt một lớp tình huống và
vấn đề, trong khi đó lại tồn tại một lớp tình huống khác mà trong đó quan niệm


này dẫn đến thất bại, hoặc nó gợi lên những câu trả lời sai, hoặc kết quả thu
được một cách khó khăn trong điều kiện bất lợi”.
Việc nghiên cứu quan niệm có thể được làm từ hai sự tiếp cận (bổ sung cho nhau):
-

Phân tích những chiến lược và sản phẩm của học sinh;

-

Nghiên cứu khái niệm về mặt khoa học luận, trong mối liện hệ với các
định nghĩa và tính chất khác nhau.
• Qui tắc hành động

“Quy tắc hành động là một mơ hình được xây dựng nhằm giải thích và chỉ
rõ những kiến thức mà học sinh đã sử dụng để đưa ra câu trả lời khi thực
hiện một nhiệm vụ xác định. Quy tắc hành động này liên quan đến một hay
nhiều tính chất tốn học gắn bó rất chặt chẽ với các quy trình hay câu trả
lời của học sinh.
Các quy tắc hành động được chỉ rõ qua việc nghiên cứu những câu trả lời
sai của học sinh, vẫn có thể mang lại câu trả lời đúng trong một số tình
huống. Những tình huống đó xác định phạm vi hợp thức của quy tắc hành
động. Thông thường thì phạm vi hợp thức này khơng rỗng, thậm chí nó có
thể dường như rất rộng đối với học sinh, bởi vì những tình huống mà học
sinh gặp lại gia cố thêm cho nó. Một câu trả lời sai thường đến từ việc áp
dụng một quy tắc hành động ở ngồi phạm vi hợp thức của nó.”
Một vấn đề được đặt ra : bằng cách nào, ta có thể dự đốn trước những quan
niệm mà HS có thể có về một đối tượng tri thức ? những quy tắc hành động nào
có thể chi phối ứng xử liên quan đến tri thức đó của HS ?
Với cách giả thích về thuật ngữ quan niệm và quy tắc hành động như trên, chúng
ta thấy là điều này phải được tiếp cận từ ba nghiên cứu :
-

Nghiên cứu đặc trưng của tri thức

-

Nghiên cứu sản phẩm của HS khi họ được đặt trước những tình huống mà
tri thức này có thể can thiệp.

Để nghiên cứu đặc trưng của tri thức, cần phải xem xét tri thức đó về phương
diện khoa học luận : đâu là lý do nảy sinh, phát triển của tri thức ? nó có vị trí,
vai trị gì, có quan hệ ra sao với các tri thức khác ? trong q trình xây dựng nó,

các nhà tốn học đã phải vượt qua những trở ngại, khó khăn nào ? sự thay đổi gì
trong quan niệm cho phép hình thành nên nó ? … Rất nhiều câu hỏi có thể được
trả lời từ nghiên cứu đặc trưng khoa học luận của tri thức.


Nhưng, để bàn về việc dạy học tri thức đó thì như vậy hồn tồn chưa đủ, bởi vì,
để có thể tồn tại và phát triển trong một thể chế dạy học nào đó, tri thức phải bị
biến đổi cho phù hợp với những ràng buộc và điểu kiện do thể chế quy định.
Phân tích cuộc sống của tri thức trong thể chế là một nghiên cứu không thể bỏ
qua khi bàn về việc dạy học tri thức đó. Liên quan đến nghiên cứu này, chúng tơi
sẽ đặt mình trong phạm vi của Thuyết nhân học trong didactic toán, mà người ta
thường nói một cách ngắn gọn là thuyết nhân học.
2.2. Thuyết nhân học:
Trong lý thuyết nhân chủng học, chúng tôi sẽ sử dụng các khái niệm: “quan hệ
thể chế”, “quan hệ cá nhân”, “tổ chức toán học”.
Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) được xác định thơng qua
nghiên cứu các tổ chức tốn học, các praxéologie là một khái niệm do Chevallard
(1998) đưa ra mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế
đối với đối tượng tri thức O. Theo Chevallard, mỗi praxéologie là một bộ phận

gồm bốn thành phần [Τ,τ ,θ , Θ] , trong đó T là một kiểu nhiệm vụ, τ là kỹ thuật
cho phép giải quyết T, θ là cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ là lý thuyết
giải thích cho cơng nghệ θ.
3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu
Quan hệ thể chế với một đối tượng tri thức sẽ được làm rõ thơng qua việc nghiên
cứu các tổ chức tốn học gắn liền với nó mà thể chế đã thiết lập. Ngồi ra, chúng
tôi thừa nhận một giả thuyết công việc đã được tác giả Lê Thị Hoài Châu (1997)
phát biểu trong luận án của mình như sau :
“Việc đối chiếu cuộc sống của tri thức trong một thể chế khác sẽ cho phép
làm rõ những đặc trưng của thể chế mà ta muốn nghiên cứu”.

Thể chế mà chúng tôi chọn để đối chiếu là thể chế dạy học số âm ở Việt Nam,
bậc THCS, theo chương trình và sách giáo khoa (SGK) hiện hành. Giống như
chương trình của Lào, số âm cũng được giảng dạy ở lớp 6 và lớp 7. Để thuận
tiện, chúng tôi quy ước gọi I1 là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 của Lào, còn I2
là thể chế dạy học số âm ở lớp 6, 7 củaViệt Nam, theo chương trình và SGK hiện
hành.
Thừa nhận giả thuyết công việc nêu trên và trong khung lý thuyết đã được lựa
chọn, chúng tôi phát biểu lại các câu hỏi nghiên cứu như sau :
Q 1 : Liên quan đến số âm, các tổ chức toán học nào được soạn thảo trong hai bộ
SGK Lào và Việt Nam ? Đâu là những đặc trưng của quan hệ của hai thể chế I1,
R

R


I2 với đối tượng O – số âm ? Chúng có những điểm gì giống nhau ? khác nhau ?
Đâu là những điều kiện và ràng buộc của việc dạy học O trong mỗi thể chế ?
Q 2 : Khó khăn của HS khi tiếp xúc với khái niệm số âm ?
R

R

Q 3 : Những khó khăn này có thể sinh ra từ quan niệm hay quy tắc hành động nào
? Liệu những kiến thức về tập hợp các số tự nhiên mà các em biết trước đó có là
trở ngại và nguyên nhân dẫn đến những sai lầm khi thực hiện các phép toán trên
tập hợp số nguyên âm khơng?
R

R

Đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên là mục đích nghiên cứu của chúng tơi.
Để trả lời câu hỏi, chúng tôi sẽ tiến hành hai nghiên cứu độc lập, nhưng có tác
dụng bổ sung cho nhau, một nghiên cứu điều tra khoa học luận về khái niệm số
âm và một nghiên cứu thể chế với đối tượng này.
Đối với nghiên cứu thứ nhất, chúng tôi sử dụng kết quả của các nghiên cứu đã
tồn tại mà chúng tôi được biết về lịch sử của khái niệm số âm. Ở đây chúng tôi sẽ
cố gắng làm rõ sự tiến triển cũng như nghĩa của khái niệm số âm.
Đối với nghiên cứu thứ hai, chúng tơi sẽ phân tích hai bộ SGK hiện đang được sử
dụng ở Lào và Việt Nam, làm rõ sự giống và khác nhau giữa trong cách trình bày
khái niệm số âm, những điều kiện và ràng buộc thể chế gắn với khái niệm đó.
Ở mức độ tri thức bác học, nghiên cứu điều tra khoa học luận giúp cho chúng tôi
hiểu được nguồn gốc phát sinh và bản chất của khái niệm số âm. Đó sẽ là cơ sở
cho việc xác định chướng ngại khoa học luận gắn liền với khái niệm số âm.
Ở mức độ tri thức cần giảng dạy, sự phân tích thể chế dạy học giúp cho chúng tôi
hiểu rõ khái niệm số âm xuất hiện ở đâu, như thế nào, giữ vai trị gì trong thể chế.
Nó cũng giúp cho chúng tơi xác định nguồn gốc didactic của những khó khăn mà
học sinh thường gặp. Từ đó đưa ra dự đoán kiểu sai lầm chủ yếu mà học sinh
phạm phải gắn liền với khái niệm số âm.
Như vậy, hai nghiên cứu trên sẽ cho phép chúng tôi đưa ra những giả thuyết
nhằm mục đích trả lời cho các câu hỏi Q2, Q3. Các giả thuyết sẽ được kiểm
chứng (hay bác bỏ) bằng một thực nghiệm dành cho học sinh lớp 6, 7 và một
thực nghiệm trên giáo viên hai nước.
Kết quả nghiên cứu được chúng tơi trình bày trong ba chương.
Chương 1: ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM SỐ ÂM
Do khơng có điều kiện thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về lịch sử hình thành tri
thức, chúng tôi sẽ sử dụng lại kết quả của Nguyễn Thiện Chí.


Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG QUAN ĐIỂM
SO SÁNH

Chúng tôi nghiên cứu mối quan hệ thể chế với đối tượng số âm. Thông qua việc
nghiên cứu, phân tích chương trình, sách giáo viên, sách giáo khoa, sách bài tập
hiện hành ở các lớp 6, 7. Chúng tôi sẽ cố gắng làm rõ cách xây dựng khái niệm
số âm, cũng như chỉ ra được các tổ chức toán học cùng với sự tiến triển của
chúng qua các khối lớp, bậc học.
Nghiên cứu quan hệ thể chế cho phép, chúng tôi trả lời câu hỏi và đưa ra các giả
thuyết nghiên cứu.

Chương 3: THỰC NGHIỆM
Với những giả thuyết, chúng tôi cần kiểm chứng. Để làm được điều này, chúng
tôi xây dựng và tiến hành thực nghiệm: Thực nghiệm đối với giáo viên và học
sinh qua các phiếu học tập.


Chương 1 : MỘT SỐ ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN
VỀ KHÁI NIỆM SỐ ÂM

1.1.Mục tiêu của chương
Mục tiêu của chương là nghiên cứu lịch sử hay khoa học luận về khái niệm số âm
nhằm làm rõ các đặc trưng của đối tượng này trong quá trình nảy sinh và phát
triển của nó
Đặc trưng khoa học luận và đặc trưng sư phạm của khái niệm số âm là gì? Phần
này chúng tôi lấy lại kết quả nghiên cứu của Nguyễn Thiện Chí.
Cụ thể chúng tơi nhắm đến trả lời các câu hỏi sau đây:
1. Khái niệm “số âm” có những đặc trưng cơ bản nào về mặt khoa học
luận?
2. Chướng ngại gì gắn liền với số âm?
1.2Phân tích khoa học luận lịch sử hình thành khái niệm số âm
Một lần nữa, chúng tơi nhắc lại rằng tồn bộ phần này được chúng tôi lấy từ luận
văn của tác giả Nguyễn Thiện Chí.

Những người Trung Quốc đã sử dụng những số âm từ thế kỷ đầu tiên của thời
đại chúng ta. Thông thường họ dùng những que tính màu đen để biểu thị các số
âm, những que màu đỏ để biểu thị các số dương. Liu Hui (220-280) đã giải thích
và dạy các phép tính số học bằng cách liên kết với các que tính. Tuy nhiên những
số âm chỉ xuất hiện như là hỗ trợ cho tính tốn, nghĩa là cơng cụ trung gian,
khơng có số âm trong những phát biểu của bài tốn, cũng khơng có trong các câu
trả lời. Trong thời kỳ này số âm được hiểu như số “tiền nợ”Diophante
(khoảngthế kỉ thứ 3, sau công nguyên) không chấp nhận những phương trình
dạng như 4 = 4x + 20 1, bởi nghiệm của chúng là “vô lý”. Diophante xem số âm
là số “vô lý”.
F
0
P

P

−

−

Ẩn số x được ki hiệu là s’, bên phải ẩn số Diophante ghi hệ số, ví dụ 4x được viết là s’ δ (trong đó δ =
4). Khi cộng ông viết số hạng này sát số hạng kia, dùng chữ l để chỉ đẳng thức. Như vậy phương trình ở
1

−

trên được viết là s’ δ

−

−

κ l δ , với κ =20.


Brahmagupta (598-660) là nhà toán học lớn người Ấn Độ thế kỷ VI và VII. Qua tác
phẩm của ông người ta xác nhận rằng: “Ông là người đầu tiên đưa ra số 0 và những
số âm. Và ông đã dùng những số này trong tính tốn những “khoản tiền” ”.
Các nhà toán học Ấn Độ xem số âm là “số lỗ”, là “món nợ”. Quy tắc cộng các số
được viết là: “Tổng của hai số lãi là số lãi, tổng của hai số lỗ là số lỗ, tổng của
số lãi và số lỗ là hiệu của chúng và nếu hai số đó bằng nhau thì tổng bằng
khơng”. Trong giai đoạn này số âm được trình bày dưới dạng các “khoản nợ”.
Nó khơng được sử dụng mà chỉ được coi như một khả năng lý luận. Mặt khác
Brahmagupta đã sử dụng dấu chấm (.) để chỉ số “tiền nợ”.
Vào năm 1484, trong tác phẩm “khoa học về các số” của mình Chuquet (1445−

1500) đã đưa vào số mũ âm, chẳng hạn 5

3m
P

(m là từ chữ la tinh minus nghĩa là
P

trừ) là kí hiệu của 5-3, nói chung a k m là ký hiệu của a − k . Như vậy, trong thời kỳ
này ông dùng ký hiệu chữ m với một vạch nhỏ trên đầu để chỉ phép trừ và cho cả
số âm.
P

P

Số âm được hiểu theo nghĩa là số “thiếu”. Tuy nhiên lúc bấy giờ số âm chưa
được chấp nhận.
Ở phương tây những số âm xuất hiện vào cuối thế kỷ XV, khi giải phương trình.
Chẳng hạn, qua tác phẩm “Các qui tắc đại số” của nhà toán học người Ý Cardan
(1501-1576) người ta xác nhận rằng: “Cardan là người đầu tiên đã nhận ra nhiều
giá trị của ẩn số trong những phương trình và ơng phân biệt các số dương, số
âm. Chính ơng đã đề nghị một phương trình bậc hai: x2 + 4x = 21 và nhận thấy
các giá trị của x là +3 và số hư 7”. Cardan gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”. Ông
P

P

dùng ký hiệu m để chỉ số “hư”. Ký hiệu này trùng với ký hiệu của phép toán trừ
mà Chuquet đã sử dụng.
Vào năm 1637, trong tác phẩm “hình học” của mình Descartes (1596-1650) đã
giới thiệu các nghiệm của một phương trình như sau: “Đơi khi một vài nghiệm
thì được gọi là “hư” hoặc nhỏ hơn 0, khi giả sử x để chỉ số lượng thiếu nó là 5
thì x + 5 ∝ 2 0, lấy x + 5 nhân với x3 – 9xx + 26x – 24 ∝ 0 thì được x4 – 4x3 –
19xx + 106x – 120 ∝ 0. Phương trình này có bốn nghiệm, trong đó ba nghiệm
thật là 2, 3, 4 và một nghiệm hư là 5”.
P

P

P

P

P

P

P

F
1
P

2

Kí hiệu
dấu “=”

∝ được đưa vào năm 1557 bởi Robert Record (1510 – 1558) tương ứng với ngày nay là kí hiệu


Như vậy, Descartes gọi nghiệm âm là nghiệm “hư”, số “nhỏ hơn 0”, số “thiếu”.
Dấu “-” trong đoạn trích trên dùng để chỉ phép trừ, kí hiệu này được giới thiệu
bởi nhà bác học Tiệp Vidman (1489).
Các số âm đã phải trải qua nhiều khó khăn trong một thời gian dài vẫn chưa được
công nhận, số âm được hiểu theo nghĩa như số “tiền nợ”, số “thiếu”, các nghiệm
âm của phương trình gọi là số “vơ lý”, nghiệm “hư”, bên cạnh nghiệm thật là số
dương. Các nghiệm này sinh ra từ giá trị của chữ chưa biết trong phương trình.
Đến khi hình học giải tích của Descartes ra đời, số âm được chấp nhận vào thế kỉ
thứ 17 sau khi được Descartes biểu diễn trực quan trong hình học giải tích. Với
sự giải thích hình học số âm như là các đoạn thẳng có hướng (chẳng hạn các
đoạn thẳng hướng theo chiều ngược, di chuyển theo chiều ngược với chiều đã
chọn). Ông biểu diễn số âm trên trục số vào bên trái điểm 0 với cách viết như 1,-2, -3,…Từ đó kí hiệu dấu“-” được gán để chỉ số âm đã xuất hiện. Như vậy, sự
xuất hiện của dấu “-” là một dấu hiệu chỉ số âm. Điểm đáng chú ý ở đây là dấu “” trong ký hiệu số âm trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới

thiệu vào năm 1489.
Vào năm 1748, Maclaurin (1698-1746) đã hình thành các quy tắc nhân: nhân một số
âm với một số dương, nhân hai số âm như sau: “Với a và n là các số dương thì:
n × [a + (-a)] = n × 0 = 0 (1)
n × [a + (-a)] = n × a + n × (-a) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: n × a + n × (-a) = 0
Vì n × a là số dương nên n × (-a) là số âm
n là số dương và (-a) là số âm nên tích của một số dương và một số âm là một số âm
(-n) × [a + (-a)] = (-n) × 0 = 0
(-n) × [a + (-a)] = (-n) × a + (-n) × (-a)
Do đó: (-n) × a + (-n) × (-a) = 0
Mà (-n) × a là số âm (vì nhân một số dương với một số âm)
Suy ra: (-n) × (-a) là một số dương
Vì (-n) là số âm và (-a) là số âm nên tích của hai số âm là một số dương”
Trong chứng minh trên Maclaurin đã đề cập đến việc dùng ký hiệu chữ, nhưng ở
đây chữ chỉ đại diện cho số dương và do đó chẳng hạn (–a) được hiểu là số âm.
Như vậy đã có thời kỳ mà (-a) ln được xem là số âm (vì ln giả thiết a > 0).


Vào năm 1766, trong sách giáo khoa của mình Euler (1707-1783) đã khẳng định
sự tồn tại phép toán 25 - 40 = -15 và những số âm thì nhỏ hơn 0. Ông đã xem 2
dãy số: 0, 1, 2, 3, 4,…,-4, -3, -2, -1, 0 hợp lại thành tập số nguyên. Euler định
nghĩa bốn phép toán trên những số này.
Trong giáo trình giải tích của mình (1821), Cauchy (1789-1857) đã định nghĩa số
(để chỉ số cụ thể) và đưa ra quy tắc nhân dấu dựa trên các ký hiệu “+” và “-” như
sau: “Những số bao gồm phần bằng số và trước nó có dấu “+” hoặc “-”. Dấu “+”
hoặc “-” đặt trước một số sẽ làm thay đổi nghĩa của số đó, gần như là một tính từ
đổi thành danh từ. Những số mà đằng trước có dấu “+” gọi là những số
dương, những số mà đằng trước có dấu “-” gọi là những số âm. Trong trường
hợp mà ở đó chữ a được đại diện bởi một số thì ký hiệu – a để chỉ số đối của a.

Theo sự thỏa thuận này thì nếu A đại diện cho số bất kỳ, người ta có: a = +A, b
= -A. Ta có: +a = +A, +b = -A, -a = -A, -b = +A.
Nếu trong bốn phương trình này, người ta đặt lại a, b và giá trị của chúng trong
ngoặc đơn thì sẽ có: +(+A) = +A; +(-A) = -A; -(+A) = -A, -(-A) = +A. Trong
mỗi cơng thức này dấu ở vế phải gọi là tích của hai dấu ở vế trái. Việc xem xét
duy nhất những phương trình ở trên đủ để hình thành quy tắc của những dấu”.
Từ đoạn trích trên, chúng tơi nhận thấy Cauchy đã sử dụng cùng một ký hiệu dấu
“-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” mang nghĩa số âm (trong trường hợp số cụ
thể), dấu “-” mang nghĩa số đối (trong trường hợp ký hiệu chữ). Theo chúng tơi
đây chính là trở ngại cho việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển từ số cụ
thể sang số hiện diện dưới dạng chữ.
Theo quan điểm của Wilckens (1800) thì ơng đưa ra việc phân biệt rõ ràng giữa
dấu của phép toán với dấu của một số, để giải thích sự khác nhau ơng đề nghị
một khái niệm số đối của một số a được ký hiệu bởi a và số đối ở đây được xác
định bởi phương trình: a + a = 0. Bằng cách sử dụng a như là dấu của một số
đối của a, ông đưa đến định nghĩa: “đối với một số nguyên bất kỳ b, số đối của nó
là b được cho bởi phương trình b + b = 0. Vì vậy phép trừ tổng quát trên
những số nguyên được định nghĩa bởi: a – b = a + b ”
Theo quan điểm của Hankel (1867), được thể hiện trong giáo trình: “lý thuyết
của số phức”. Ơng giải thích phép nhân hai số đối:
“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)
0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)
Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”


Từ cách trình bày trên đã cho thấy Hankel kí hiệu (oppa) để chỉ số đối của số a.
Với cách ký hiệu này thì ơng đã phân biệt một cách rõ ràng dấu “-” của số đối
(trong cách ký hiệu số đối của Cauchy) và dấu “-” của phép toán trừ.
Bảng 1. Sự tiến triển của khái niệm số âm
Thời điểm

Liu Hiu (220-280)
Diophante(Thế kỉ thứ
3)

Kí hiệu của số âm
Các que tính màu
đen
Khơng có kí hiệu

Brahmagupta(598-660) Dấu chấm (.)
−

Chuquet (1445-1500)

m

Cardan (1501-1576)

m

Descartes (1596-1650)

−

Dấu “-”

Đối

Đặc trưng của số

tượng

âm

số cụ thể
Số cụ thể
Số cụ thể

Số âm được hiểu
như số “tiền nợ”
Số âm được hiểu
như số “vô lý”
Số âm được hiểu
như số “tiền nợ”

Số cụ thể

Số âm được hiểu
như số “thiếu”

Số cụ thể

Số âm được hiểu
như số “hư”

Số cụ thể

Số âm được chấp
nhận, sự giải thích
hình học số âm như

là các đoạn thẳng có
hướng.

Maclaurin (1698-1746) Dấu “-”

Chữ chỉ
đại diện - a được hiểu là số
cho
số âm
dương

Dấu “-”

Số cụ thể

Số âm được hiểu
như một ký hiệu
gồm số dương và
dấu “-” đứng trước.

Số cụ thể

Số âm được hiểu
như một ký hiệu
gồm số dương và
dấu “-” đứng trước.

Euler (1707-1783)

Cauchy (1789-1857)

Dấu “-”


Dấu “-”

Chữ

- a được hiểu là số đối
của a

Tóm lại, trong lịch sử, số âm đã có các đặc trưng khoa học luận cơ bản sau
đây:
- Số âm được sinh ra từ nhu cầu tính tốn các “khoản tiền”, giải phương
trình,…Trong một thời gian dài số âm khơng được chấp nhận, chẳng hạn các
nghiệm âm của phương trình được gọi là nghiệm “hư”, số “vô lý”, số “thiếu”.
Cuối cùng số âm cũng được chấp nhận vào thế kỉ thứ 17, sau khi được Descartes
biểu diễn trực quan trong hình học giải tích, với sự giải thích hình học số âm như
là các đoạn thẳng có hướng. Cuối cùng đã xóa bỏ sự khác biệt về nguyên tắc
giữa các nghiệm âm và nghiệm dương.
- Ký hiệu của số âm đã được sử dụng qua các giai đoạn lịch sử: Các que
màu đen, dấu chấm, m (trùng với dấu của phép toán trừ m mà chuquet đã sử
dụng), dấu“-” (trùng với dấu “-” của phép toán trừ mà Vidman đã giới thiệu).
Điều này cho thấy tính khơng thống nhất trong việc sử dụng ký hiệu gắn với số
âm. Hơn nữa đã có thời kỳ (-a) được hiểu là số âm (vì ln giả thiết a dương).
- Đã có các quan điểm khác nhau trong cách sử dụng kí hiệu số đối của một
số, chẳng hạn, theo Hankel thì số đối của a, kí hiệu là oppa, theo Wilekens thì số
đối của a, kí hiệu là ā. Với các quan điểm này tạo thuận lợi cho việc phân biệt
dấu của số âm và dấu của phép toán trừ. Tuy nhiên, Cauchy lại sử dụng cùng một
kí hiệu dấu “-” với hai nghĩa khác nhau, dấu “-” là dấu hiệu chỉ số âm (trong

trường hợp số cụ thể) và là dấu chỉ số đối (trong trường hợp đối tượng “chữ”).
Điều này dẫn đến trở ngại trong việc hiểu nghĩa của dấu “-” trong bước chuyển
từ số cụ thể sang số hiện diện dưới dạng kí hiệu chữ. Theo chúng tơi đây được
xem như là kiểu trở ngại liên quan đến phức tạp về nghĩa của dấu “-” trong bước
chuyển từ số cụ thể sang chữ.
Như vậy, việc phân tích lịch sử cho phép chúng tôi chỉ ra chướng ngại chủ yếu
liên quan đến số âm: Dấu “-” trong kí hiệu số âm xét trên tập hợp các số cụ thể
có thể tạo nên chướng ngại cho việc hiểu số âm trên tập hợp các số hiện diện
dưới dạng chữ.
1.3.Về các quy tắc cộng, trừ, nhân chia trên các số âm
Giải thích như thế nào về các quy tắc cộng, trừ nhân chia hai số a, b, trong đó có
ít nhất một số âm ?


Rõ ràng là trong dạy học toán ở trường phổ thơng thì cách giải thích trên tập N
khơng phải lúc nào cũng mở rộng được cho trường hợp này. Chẳng hạn, nếu
trước kia a + b được giải thích qua phép đếm a đồ vật và b đồ vật, thì bây giờ a +
b, với a, b ∈ Z là gì ?
Về câu hỏi này, ta thấy là mơ hình « tiền nợ » hay « lỗ, lãi » sẽ cho phép đưa ra
câu trả lời. Ví dụ : lãi a (a > 0) đồng, lỗ b (b > 0) đồng thì a + (-b) sẽ là khoản
tiền lỗ hay lãi tùy theo |a| và |b|, từ đó có quy tắc cộng hai số trái dấu ; hay nợ a
(a > 0) đồng và nợ b (b > 0) đồng thì thành nợ (a + b) đồng, tức là

(− a ) + (−b) = − (a + b) (quy tắc tính tổng hai số âm).
Trong cách tiếp cận phép nhân a.b (a, b ∈ Z, a > 0, b < 0) như là phép cộng lặp
lại a lần b thì ta cũng có thể dùng mơ hình đó để giải thích quy tắc nhân hai số
trái dấu. Nhưng với mơ hình đó thì làm sao giải thích quy tắc dấu trong phép tốn
nhân, chia hai số âm ?
Giải thích của Hankel (1867) và Maclaurin (1748) mà chúng tơi đã trích dẫn trong
phần trên cho ta một câu trả lời thỏa đáng. Chẳng hạn, giải thích do Hankel đưa

ra là :
“0 = a × 0 = a × (b + oppb) = ab + a × (oppb)
0 = 0 × (oppb) = (a + oppa) × (oppb) = a × (oppb) + (oppa × oppb)
Vì vậy: (oppa) × (oppb) = ab”
Bằng ngôn ngữ của đại số hiện đại, chúng ta thấy phải đặt hai phép toán cộng,
nhân vào vành số nguyên Z và trường số thực R, thì các tiên đề của cấu trúc vành
và trường (cụ thể là tiên đề về tính phân phối của phép nhân và phép cộng) sẽ
cho phép ta giải thích được những quy tắc tính tốn kiên quan đến hai phép tốn
đó và hai phép tốn ngược (trừ, chia) của chúng nói chung, đặc biệt là quy tắc
nhân (chia) hai số âm.


Chương 2: MỘT NGHIÊN CỨU THỂ CHẾ ĐẶT TRONG
QUAN ĐIỂM SO SÁNH
Đặt nghiên cứu của mình trong thể chế dạy học số âm ở hai Nước Việt Nam và
Lào để đi tìm lời giải cho những câu hỏi sau là mục đích của chúng tơi ở chương
này:
Trong chương này chúng tơi sẽ cố gắng tìm những yếu tố trả lời cho câu hỏi:
-

Sự giống nhau và khác nhau giữa hai bộ sách giáo khoa Việt Nam và Lào
trong khi trình bày khái niệm số âm?

-

Đối với học sinh sự khác nhau giữa số âm và phép “-” theo quan niệm của
họ là gì ?

-

Với cách hiểu đó đã đưa cho họ những sai lầm và khó khăn nào ? cụ thể
chúng biểu hiện ra sao?

Thể chế mà chúng tôi quan tâm ở đây là thể chế dạy học số âm trong chương
trình hiện hành của Lào. Để tiện lợi trong trình bày, chúng tơi gọi đây là I1. Việc
nghiên cứu quan hệ của thể chế I1 với đối tượng O – số âm - sẽ được thực hiện
trước hết thông qua phân tích chương trình Tiểu học và Trung học cơ sở. Phân
tích này sẽ làm rõ tiến trình hình thành các tập hợp số trong dạy học toán bậc phổ
thơng của Lào. Sau đó, chúng tơi sẽ tiến hành một phân tích chi tiết sách giáo
khoa lớp 7, lớp mà khái niệm số âm và các kiến thức liên quan đến chúng được
đưa vào.
Phân tích quan hệ của thể chế I1 sẽ được đặt trong quan điểm so sánh. Cụ thể,
như đã nói trong phần mở đầu, việc đối chiếu thể chế I1 với một thể chế I2 khác,
mà ở đây chúng tôi chọn là thể chế dạy học số ngun theo chương trình hiện
hành ở trường phổ thơng Việt-Nam, sẽ giúp làm nổi bật những đặc trưng trong
quan hệ của I1 đối với O.
2.1. TIẾN TRÌNH XÂY DỰNG CÁC TẬP HỢP SỐ ÂM TRONG
CHƯƠNG TRÌNH TỐN THCS LÀO VÀ VIỆT NAM
Trước hết, chúng tơi phải giải thích rõ là hệ phổ thông của Lào trước đây gồm 11
lớp. Nhưng kể từ năm học 2010-2011 thì hệ phổ thơng đã có thêm lớp 12. Với sự
xuất hiện này, quá trình đào tạo phổ thơng cũng được phân thành ba bậc như
Việt-Nam : bậc tiểu học từ lớp 1 đến lớp 5, bậc trung học cơ sở từ lớp 6 đến lớp
9, bậc trung học phổ thông từ lớp 10 đến lớp 12.


2.1.1. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thơng
ở Lào
Như mọi chương trình khác, việc nghiên cứu các tập hợp số được bắt đầu ngay từ
lớp 1 với tập N. Số tự nhiên được hình thành thông qua việc đếm các đồ vật. Ở
đây, học sinh học các phép toán cộng và trừ trong phạm vi các số từ 0 đến 100.

Vấn đề so sánh hai số tự nhiên cũng được nêu ra thông qua các thuật ngữ “nhiều
hơn, ít hơn”.
Sang lớp 2, tập hợp các số được nghiên cứu mở rộng đến các số trong phạm vi
1000 và hiển nhiên là các phép toán, quan hệ thứ tự cũng được mở rộng cho các
số này. Người ta đưa vào các phép tính có nhớ ở lớp 3. Việc nghiên cứu tập số tự
nhiên N cùng với các phép toán và quan hệ thứ tự trên nó hồn thiện ở cuối học
kỳ 1 của lớp 4.
Khái niệm phân số (dương) được trình bày ở lớp 4 và tiếp tục nghiên cứu ở lớp 5.
Cũng ở lớp này, người ta giới thiệu số thập phân (dương), các phép toán và quy
tắc so sánh các số thập phân. Số thập phân được trình bày như là một loại phân
số đặc biệt (phân số có mẫu số là 10, 100, 1000, …)
Như vậy, kết thúc bậc tiểu học học sinh đã làm việc với các số tự nhiên. Bốn
phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và quy tắc so sánh trên tập hợp các số đó
cũng đã được nghiên cứu.
Chương trình bậc trung học cơ sở bắt đầu từ lớp 6. Ở đây, người ta dành một thời
lượng quan trọng để nhắc lại các kiến thức số học đã được đưa vào ở Tiểu học.
Giống như ở Tiểu học, chương trình lúc này vẫn khơng chia theo từng chương
riêng mà cấu thành từ 37 bài với sự đan xen các nội dung về số học, hình học,
thống kê mơ tả. Các nội dung về hình học và thống kê mô tả chiếm 23 bài. 3 bài
dành cho ôn tập cuối lớp. Còn lại 11 bài tập trung cho phần nghiên cứu các tập
hợp số. Một trong những nội dung quan trọng của chương trình tốn lớp 6, là bộ
sung, hệ thống hóa những kiến thức đã được nghiên cứu ở bậc tiểu học về số tự
nhiên, phân số, số thập phân với bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia. 11 bài đầu
tiên của chương trình Tốn lớp 6 dành cho mục tiêu này. Ở đây, chương trình
đưa vào những nội dung sau :
-

Viết và đọc số tự nhiên và số hữu tỉ

-

So sánh số tự nhiên và số hữu tỉ

-

Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số tự nhiên và số hữu tỉ

Số hữu tỉ được hiểu là số thập phân hữu hạn, có thể viết được dưới dạng phân số.


Chính ở bài số 12 “Kiến thức phổ biến về số nguyên” mà người ta mới đưa vào
khái niệm số âm. Như thế, dầu thuật ngữ “số hữu tỉ” đã xuất hiện trước đó, thực
chất người ta chỉ nghiên cứu các số hữu tỉ khơng âm mà thơi.
Chương trình tốn lớp 7 gồm 10 chương :
Chương 1 : So sánh số nguyên dương, số nguyên âm
Chương 2 : Hệ thức tỉ lệ, thống kê
Chương 3: Phép nhân, phép chia số nguyên
Chương 4: Lũy thừa, phương trình, bất phương trình
Chương 5: Hàm số và đồ thị
Chương 6: Đối xứng
Chương 7: Hình tam giác
Chương 8: Diện tích
Chương 9: Diện tích và thể tích
Chương 10: Đường thẳng trong mặt phẳng
Trong chương trình tốn này ta thấy là phần đại số và hình học đan xen nhau.
Như thế, việc xây dựng tập hợp các số nguyên Z được thực hiện chủ yếu ở lớp 7.
Trong chương trình này, người ta đưa vào quy tắc so sánh các số nguyên, các
phép toán trên tập Z cũng được nghiên cứu ở lớp 7. Phương trình, bất phương
trình bậc nhất ax + b = 0, ax + b > 0 trước kia đã từng được nói đến (nhưng chỉ
trong trường hợp a, b ∈ N và phương trình có nghiệm khơng âm) nay được xem

xét cho cả trường hợp a, b ∈ Z và nghiệm cũng có thể thuộc Z.
Ở lớp 8, vấn đề mở rộng tập hợp số khơng thuộc phạm vi chương trình. Trên tập
hợp số hữu tỉ chương trình đưa vào các kiến thức về đa thức và phân thức đại số,
giải phương trình và bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Số thực được giảng dạy ở chương đầu tiên của lớp 9, chỉ có một bài học được
đưa ra nhằm giới thiệu khái niệm số vô tỉ, số thực, so sánh các số thực.
Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng tập số thực R trong chương trình tốn
phổ thơng của Lào có thể được mơ tả theo sơ đồ sau :


Phân số, số thập
phân (dương)

Q
Q

N
Số nguyên âm

Z

R

Phân số, số thập
phân (âm)

Sơ đồ 1

2.1.2. Tiến trình xây dựng các tập hợp số trong chương trình phổ thơng
Việt Nam

Theo chương trình của Việt Nam, số nguyên âm bắt đầu được nghiên cứu trong
SGK toán lớp 6 tập 1. Các nội dung về số nguyên âm được trình bày thành một
chương (chương 2) dạy trong 29 tiết, với 13 bài sắp xếp như sau :
§1. Làm quen với số nguyên âm.
§2. Tập hợp các số nguyên.
§3. Thứ tự trong tập hợp các số nguyên.
§4. Cộng hai số nguyên cùng dấu.
§5. Cộng hai số ngun khác dấu.
§6. Tính chất của phép cộng các số nguyên.
§7. Phép trừ hai số nguyên.
§8. Các quy tắc dấu ngoặc.
§9. Quy tắc chuyển vế.
§10. Nhân hai số nguyên khác dấu.
§11. Nhân hai số ngun cùng dấu.
§12. Tính chất của phép nhân.
§13. Bội và ước của một số nguyên.
 Mục tiêu của chương này là nhằm giúp học sinh:
1. Biết được sự cần thiết của các số nguyên âm trong thực tiễn và trong toán
học.
2. Phân biệt và so sánh được các số nguyên.
3. Tìm được số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên.
4. Biết được nhu cầu cần thiết phải mở rộng tập Ν
5. Nhận biết và đọc đúng số nguyên âm trên trục số


6. Hiểu và vận dụng đúng các quy tắc thực hiện các phép tính cộng, trừ,
nhân, chia các số nguyên, các tính chất của phép tính trong các tính tốn
khơng phức tạp, các quy tắc chuyển vế, dấu ngoặc trong các biến đổi các
biểu thức, đẳng thức.
7. Hiểu được các khái niệm bội, ước của các số nguyên; biết cách tìm các

bội, ước của một số nguyên.
Chương đầu tiên của chương trình tốn lớp 7 dành cho việc xây dựng tập số hữu
tỉ Q và sau đó là tập số thực R. Trước hết người ta mở rộng các kiến thức về số
nguyên âm cho tập số hữu tỉ, được định nghĩa như là tập các số thập phân hữu
hạn hoặc vơ hạn tuần hồn. Sau đó, người ta đưa vào khái niệm số thực với tư
cách là số hữu tỉ hoặc số vô tỉ (số thập phân vô hạn khơng tuần hồn). Các quy
tắc tính tốn đã có trên Q được mở rộng cho R. Như vậy, có thể xem là việc xây
dựng tập R đã hoàn thiện từ lớp 7. Tuy nhiên, đến lớp 9, chương trình quay trở
lại xem xét R, nhưng tập trung vào việc phân biệt rõ căn (bậc 2) số học với căn
đại số của một số thực dương và vấn đề rút gọn các biểu thức có chứa căn (bậc 2,
bậc 3).
Phân tích trên cho thấy tiến trình xây dựng các tập hợp số ở trường phổ thông
Việt Nam cũng giống như ở Lào. Tiến trình đó đã được chúng tơi mơ tả bởi sơ đồ
1. Tuy nhiên, nếu như ở Lào, phải đến lớp 9 tập R mới được nghiên cứu thì điều
này đã có thể xem như hồn thiện ở lớp 7.
Liên quan đến số âm thì chương trình của Lào phân việc nghiên cứu chúng qua
ba lớp : lớp 6 và 7 đề cập số nguyên âm, các phép tính trên tập số nguyên, so
sánh hai số nguyên; các quy tắc tính cộng, trừ, nhân, chia và so sánh sau đó được
xem xét trên các phân số (dương, âm) cũng ở lớp 7. Các quy tắc này sau đó được
mở rộng cho tập R, nghiên cứu ở lớp 9.
Ở Việt Nam, tồn bộ nội dung về số âm có trong chương trình lớp 6 và 7 của Lào
được xem xét trọn vẹn trong hai chương của chương trình tốn lớp 6 ở Việt
Nam : chương 2 – Số nguyên, và chương 3 – Phân số. Tập số thực thì đã được
nghiên cứu ngay từ lớp 7, ở đó người ta mở rộng các quy tắc tính tốn và so sánh
đã được xây dựng trên Q.
Dưới đây chúng tôi sẽ đi sâu vào phân tích quan hệ của mỗi một thể chế đối với
đối tượng số âm. Với những gì đã được làm rõ qua phân tích chương trình ở trên,
ta thấy các kiến thức về số âm được xây dựng chủ yếu trong Z, sau đó là trong Q,
cịn đối với R thì người ta chỉ việc mở rộng những gì đã kiến thiết được trong Q,
bởi R được xem như là tập các số thập phân (hữu hạn, vô hạn tuần hồn hoặc

khơng tuần hồn). Nhận xét đó dẫn chúng tơi đến việc tự giới hạn phân tích các


vấn đề về số âm ở lớp 6 và lớp 7 của Lào, lớp 6, 7 của Việt Nam, là những lớp
mà tập Z và Q được nghiên cứu. Lưu ý rằng trước đó các phép tốn và quy tắc so
sánh hai số đã được xem xét đầy đủ trên các tập N và Q+.
P

P

Những gì vừa nói giải thích cho sự lựa chọn hai thể chế I1 (thể chế dạy học toán
ở lớp 6, lớp 7 của Lào) và I2 (thể chế dạy học toán ở lớp 6, 7 của Việt Nam) mà
chúng tơi đã nói đến trong phần mở đầu của luận văn.
Với mục đích nghiên cứu quan hệ thể chế I1, I2 đối với O – số âm, chúng tơi sẽ
phân tích SGK, tham khảo sách giáo viên (SGV). Để thuận tiện cho việc trình
bày kết quả nghiên cứu, chúng tôi dùng các ký hiệu SGK L6 , SGK L7 , SGK V7 ,
SGK V7 , để chỉ lần lượt SGK toán lớp 6, 7 của Lào, rồi lớp 6, 7 của Việt nam, còn
SGV L6 , SGV L6 , SGK V7 , SGK V6 , SGV V7 để chỉ các cuốn SGV ứng với những
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

SGK đó.
2.2. SỐ ÂM TRONG THỂ CHẾ I1
2.2.1. Khái niệm số âm:
Theo quy định của chương trình, trong ba bài cuối cùng của lớp 6 (bài 12: Số
nguyên; bài 13: Cộng số nguyên; bài 14: Trừ số nguyên) học sinh được làm quen
với số âm.

Ở bài 12, SGK L6 đưa số âm vào như sau :
R

R

1. Hoạt động1
Có một người thống kê việc bn bán của mình theo bảng sau. Hãy điền
thêm các giá trị vào bảng
Giá mua

Giá bán

Lời và lỗ

Kí hiệu

Kết quả

200

250

Lời 50

+

+50

300

300

500

450

800

400

2000

2500

400

300

Hoạt động 2 : Có một người đi bộ sao cho khoảng cách giữa các bước đi
không đổi, người đó bắt đầu xuất từ 0. Quan sát bước đi của người đó và
ghi nhận lại các giá trị