TỔNG hợp CÔNG THỨC xác SUẤT THỐNG kê

Xác suất
Chương 1: Biến cố và xác suất
Công thức cộng: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)
Công thức nhân: P(AB) = P(A).P(B/A)
n

P( A) = ∑ P( H i ).P( A / H i )
i =1

Công thức xác suất đầy đủ:
P( H i / A) =

Công thức Bayes:

P ( H i ).P ( A / H i )
P ( A)

Chương 2: Biến ngẫu nhiên
F(x) = P(X1 – F(a)

P (a < x < b) = F(b) – F(a); P (x
F(x) là hàm liên tục trên R
+∞

∫

−∞

b

f ( x) = ∫ f ( x) = 1
a

( với x không thuộc đoạn a,b thì f(x) = 0 )
n

E ( X ) = ∑ xi pi

Kì vọng: Cho bảng:

Phương sai:

i =1

E( X ) =

+∞

∫ xf ( x)

−∞

Cho hàm:

V ( X ) = E ( X 2 ) − [ E ( X )]2

σ = V (X )
Độ lệch chuẩn:

Chương 3: Quy luật phân phối xác suất
1.Quy luật không – một – A(P): E = p; V = pq;

σ = pq

2.Quy luật nhị thức – B(n,p): E = np; V = npq = np(1-p)

+∞

)=


P (λ )

3.Quy luật Poisson –

:E=V=

λ

npq

4. Quy luật siêu bội M(N,n): E = np; V=

5. Quy luật phân phối đều U(a,b)

: E=

E (λ )

6. Quy luật phân phối lũy thừa

: : E=

N (µ ,σ 2 )

7. Quy luật phân phối chuẩn
P(a < x < b) = φ0 (

a+b
2

: E=

N −n
N −n
= np (1 − p )
N −1
N −1

,V=
1
λ

µ

( a − b) 2
12

, V=

, V=

b−µ
a−µ
) − φ0 (
)
σ
σ

φ0 (a) = −φ0 (−a )

( phụ lục 5 )
8. Quy luật khi bình phương

χ 2 ( n)

9. Quy luật Student T(n): E=0, V=

: E=n, V=2n
n
n−2

Chương 4: Biến ngẫu nhiên 2 chiều
( chắc không có đâu )
m

P( xi ) = ∑ P ( xi , y j )
j =1

F ( x, y ) = P ( X < x , Y < y )

f(x,y)=F”(x,y)

n

P ( y j ) = ∑ P ( xi , y j )
i =1

1
λ2

σ2



Thống kê
1
( n1 X 1 + n2 X 2 + ... + nk X k )
n

X=

Trung bình mẫu:

Phương sai mẫu

S

S2 =

2

:

Phương sai tổng thể

S *2

2
1
( n1 X 12 + n2 X 2 2 + ... + nk X k 2 − nX )
n −1

S *2 =

:

1 k
∑ ( X i − m )2
n i =1

(

m

là trung bình tổng thể )

I. Ước lượng tham số:
1.Ước lượng kỳ vọng:

1.1: Đã biết

σ

X−

2

:

σ
σ
uα /2 < µ < X +
uα /2
n
n

µ
Ước lượng với chặn trên (tối đa):
X−

Ước lượng với chặn dưới (tối thiểu):
ε=

Độ chính xác:

(phụ lục 5)

σ
uα
n
σ
uα < µ
n

σ
uα /2
n

I = 2ε =

2σ
uα /2
n

Khoảng tin cậy:
1.2: Chưa biết

Với

Với

X−

n ≥ 30

σ2
s

s
uα /2 < µ < X +
uα /2
n
n

:
n < 30

P( X −

:

S n −1
S n −1
tα /2 < µ < X +
tα /2 ) = 1 − α
n
n

(phụ lục 8)


1.3: Hiệu 2 kỳ vọng:
σ 12 σ 2 2
σ 12 σ 2 2
X1 − X 2 −
+
.uα /2 < µ1 − µ2 < X 1 − X 2 +
+

.uα /2
n1
n2
n1
n2

2. Ước lượng phương sai

2.1: Đã biết

µ

2.2: Chưa biết

:
µ

σ2

nS *2
nS *2
2
< σ < 2( n )
χα2(/2n )
χ1−α /2

:

(phụ lục 7)

(n − 1) S 2
(n − 1) S 2
2
<
σ
<
χα2(/2n −1)
χ12(−αn −/21)
S12 ( n2 −1,n1 −1) σ 12 S12 ( n2 −1,n1 −1)
f1−α /2
< 2 < 2 fα /2
S22
σ2
S2

2.3: Ước lượng tỉ số 2 phương sai:

3. Ước lượng tần suất

f−

p

f (1 − f )

:

II. Kiểm định giả thuyết
1.Kiểm định kỳ vọng:

a) Biết phương sai

σ2

:

X − µ0
σ/ n

Wα = { z > uα /2 }

Đối thuyết hai phía:
Đối thuyết bên trái:

z=

Wα = {z < −uα }

Đối thuyết bên phải:

Wα = {z > uα }

b) Chưa biết phương sai

σ2

:

n

uα /2 < p < f +

(phụ lục 9)

f (1 − f )
n

uα /2


z=

n > 30

: Giống trên,

Nếu

Nếu

( X − µ0 ) n
s

n ≤ 30

z=

:

( X − µ0 ) n

s

Wα = { t > tαn −/21}

Đối thuyết hai phía:
Đối thuyết bên trái:

Wα = {t < −tαn −1}

Đối thuyết bên phải:

Wα = {t > tαn −1}

Z0 =

c) So sánh 2 kì vọng:
Đối thuyết 2 phía:

X − Y − ( µ1 − µ2 )

σ 12 σ 22
+
n
m

Wα = { Z 0 > tα /2 }

Đối thuyết bên trái:

Wα = {Z 0 < −tα }

Wα = {Z 0 > tα }

Đối thuyết bên phải:

2.
g=

Kiểm

f − p0
p0 (1 − p0 )
n

định

Đối thuyết 2 phía:

tỉ

lệ:
g=

3. Kiểm định phương sai:
Wα = { g > tα /2 }

Đối thuyết bên trái:

Đối thuyết 2 phía:

Wα = {g < χ12(−αn −/ 21) ; g > χα2(/2n −1) }

σ 2 < σ 02

Wα = {g < −tα }

Đối thuyết bên trái

Wα = {g > tα }

Đối thuyết bên phải

Đối thuyết bên phải:

( n − 1) s 2
σ 02

σ > σ0
2

Wα = {g < χ12(−αn −1) }

:
2

:

Wα = {g > χαn −1}


g=

4. So sánh 2 phương sai:
σ 12 ≠ σ 2 2

Đối thuyết hai phía
Đối thuyết bên phải

:

s12
s2 2

(

s1 > s2

)

Wα = { g < f1(−mα−/21,n −1) ; g > fα(/2m −1,n −1) }

σ 12 > σ 2 2 : Wα = {g > fα( m−1,n −1) }

(phụ lục 9)