Phương pháp bài toán ngược trong dạy học môn toán ở trường phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
Khoa Toán


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy
GVHD
: Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh
SVTH
: Lê Thị Ngọc Phượng

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
5-2001


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
Khoa Toán


LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:
PHƯƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƯỢC
TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN
Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : Phương pháp giảng dạy
GVHD
: Th.S-GV.C Nguyễn Văn Vĩnh
SVTH
: Lê Thị Ngọc Phượng

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
5-2001


MỤC LỤC
A.Đặt vấn đề .............................................................................................................................. 1
B. ................................................................................................................................................ 5
CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN.............................................................................................. 5
1. Cơ sở triết học: ............................................................................................................ 5
2. Cơ sở tâm lí học: ......................................................................................................... 5
3.Cơ sở logic: .................................................................................................................. 7
CHƢƠNG II: CÁC PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC..... 9
PHẦN I: PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁPBÀI TOÁN NGƢỢC ( Hình Học)
.......................................................................................................................................... 13
1. Cấu trúc định lý......................................................................................................... 13
2. Thiếp lập mệnh đề đảo ; ............................................................................................ 14
2.1.Thiết lập mệnh đề đảo sử dụng phép nghịch đảo của chứng minh : ................... 23
2.2. Thiết lập mệnh để đảo bằng cách thay đổi phần giái thích: ............................... 25
2.3. Lập mệnh đề đảo bằng việc lựa chọn khái niệm loại: ........................................ 26
2.4. Lập mệnh để đảo bằng việc tìm các hệ quả: ...................................................... 29
3.Phƣơng pháp chứng minh mệnh để đảo ..................................................................... 33
3.1.Phƣơng pháp sử dung định lý thuận để chứng minh đảo : .................................. 33
3.2.Phƣơng pháp cực hạn trong chứng minh bài toán ngƣợc: .................................. 35

4.Bài toán quỹ tích ........................................................................................................ 38
5. Bài tập vận dụng phƣơng pháp bài toán ngƣợc. ....................................................... 40
PHẦN II : PHƢƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC (Đại sốGiải Tích) .......................................................................................................................... 60
CHƢƠNG III: TỔ CHỨC DẠY HỌC BẰNG PHƢƠNG PHÁP BÀI TOÁN NGƢỢC
(Qua một số tiết học ở THCS) ............................................................................................. 85
Bài 1:HÌNH CHỮ NHẬT ............................................................................................. 85
Bài 2:Hằng Đẳng Thức (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ........................................................... 87
C.KẾT LUẬN .......................................................................................................................... 90


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
(1) Trong giai đoạn hiện nay, mối quan tâm của giáo viên đối với các kiến thức về
tâm lí học dạy học đƣợc tăng lên đáng kể. Điều này là dễ hiểu bởi lẽ, sự hoàn thiện tay nghề
của giáo viên về cơ bản phụ thuộc vào việc ngƣời thầy sử dụng các kiến thức về tâm lí học
dạy học nhƣ thế nào, ở mức độ nào.
Các khả năng hoàn thiện phƣơng pháp làm việc của giáo viên hoàn toàn phụ thuộc
vào kĩ năng điều khiển hợp lí các hoạt động tƣ duy của học sinh trong quá trình dạy học.Để
tiến hành điều khiển các hoạt động tƣ duy của học sinh lẽ tất nhiên ngƣời thầy phải dựa trên
các kiến thức về tâm lý học dạy học, tức là dựa vào hệ thống các tính quy luật đã đúc kết
trong đó những kiến thức về tâm lí học, về lí luận dạy học, phải dựa trên phƣơng pháp tƣơng
hợp áp dụng hệ thống các tính quy luật trong dạy học môn Toán.
"Phƣơng pháp bài toán ngƣợc" trong dạy học môn Toán ở trƣờng phổ thông có thể
giúp ngƣời thầy điều khiển hợp lí và tích cực hóa các hoạt động tƣ duy của học sinh và là
cách tiếp cận tốt nhằm đạt đƣợc các mục đích đặt ra trong dạy học.
(2) Qua các lần cải cách giáo dục ở nƣớc ta, trên thực tế phƣơng pháp giáo dục, đào
tạo thay đổi rất ít. So với sự thay đổi của mục tiêu và nội dung thì phƣơng pháp giáo dục thay
đổi không nhiều và hiện nay khá lạc hậu so với thế giới.
Nhìn chung, việc dạy học của chúng ta vẫn làm cho học sinh thụ động, hoặc là tuy có

những biểu hiện tích cực mà vẫn cứ thụ động trong quá trình học tập. Các phƣơng pháp dạy
học truyền thống tuy có đặt vấn đề và giải quyết vấn đề tích cực hóa quá trình nhận thức của
học sinh nhƣng vẫn đặt nó trong khuôn khổ cứng nhắc của lối dạy học truyền thụ một chiều,
nặng về vai trò của thầy và chƣa đánh giá đúng mức vai trò hoạt động năng động, sáng tạo, tự
thích ứng của học sinh trong 1 xã hội phát triển. Việc đổi mới các phƣơng pháp dạy học phải
bổ khuyết mặt yếu kém nói trên, nâng trình độ phát triển đa dạng, phức hợp, toàn diện của
hoạt động dạy học theo yêu cầu ngày càng cao của xã hội phát triển.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|1


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

(3) " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " đƣợc hiểu là sự áp dụng một cách đồng bộ các
nhiệm vụ dạy học :
a) Nghiên cứu một cách hợp lí và đồng thời các phép toán và các thao tác, đảo ngƣợc
của nhau nhƣ :
- phép cộng

- Phép trừ

- Phép nhân

- Phép chia

- Phép nâng lên lũy thừa

- phép khai căn

- Nhóm các số hạng vào trong ngoặc

- Bỏ dấu ngoặc

-Logarit hóa

- Phép mũ hóa

b) Trong quá trình dạy học môn Toán, một điều rất quan trọng là so sánh các khái
niệm đối lập nhau khi xem xét chúng đồng thời. Chẳng hạn:
- Định lý thuận

- Định lý đảo

- Hàm số

- Hàm số ngƣợc

- Hàm số tuần hoàn

- Hàm không tuần hoàn

- Các hàm tang

- Hàm giảm

Nói chung là các bài toán thuận và ngƣợc của nhau.
Ví du: Thuận : Vẽ đồ thị hàm số bậc hai
y = f(x) = ax2 + bx +c

Ngƣợc: Tìm tam thức bậc hai cho biết tọa độ các điểm nào đó của Parabol.
c) Có thể so sánh đối chiếu các khái niệm cùng loại hoặc các khái niệm tƣơng tự,
chẳng hạn:
- Phƣơng trình

- Bất phƣơng trình

- Cấp số cộng

- Cấp số nhân

- Phép hợp các tập hợp

- Phép giao các tập hợp

- Phép hội các mệnh đề

- Phép tuyển các mệnh đề

- Đạo hàm

- Tích phân

hay so sánh hai cách phân chia của cùng một tập hợp các đối tƣợng theo các dấu hiệu
khác nhau ...
d) Có thể so sánh đối chiếu các phƣơng pháp giải Toán với nhau, chẳng hạn nhƣ:

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|2

ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

- Giải hệ phƣơng trình = phƣơng pháp đồ thị

- Giải hpt = pp giải tích

- Chứng minh định lý hoặc giải toán bằng

-Chứng minh định lý và

phƣơng pháp phân tích

giải toán bằng pp tổng hợp

- Chứng minh bằng phƣơng pháp lập luận

- Chứng minh = đồ thị

Một trong những kết quả quan trọng thu đƣợc do việc áp dụng những khía cạnh khác
nhau trên đây của " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc" là tích cực hóa hoạt động của học sinh
trong đó tạo cho học sinh có khả năng tự mình phát biểu đƣợc một định lý, lập ra đƣợc một
bài toán mới và tìm cách giải chúng. Việc sử dụng phƣơng pháp bài toán ngƣợc cho phép lôi
cuốn, thúc đẩy hoạt động nhận thức của học sinh.
Thực tiễn dạy học cho thấy: thay vì giải các bài tập khác nhau, nên cho học sinh giải 2
bài tập là ngƣợc của nhau; thay cho việc chứng minh 2 định lý khác nhau của nên cho học
sinh chứng minh 2 định lý là ngƣợc của nhau, sẽ có tác dụng kích thích mạnh mẽ hoạt động
tƣ duy của học sinh. Ngoài điều đó, do việc học sinh nắm đƣợc các thủ thuật lập các bài toán
ngƣợc mà giáo viên có thể thực hiện đƣợc cá nhân hóa việc dạy học, tiếp cận có phân loại đối

với học sinh giỏi, khá, trung bình...
Hoạt động của học sinh do vậy mà mang đặc trƣng sáng tạo. Học sinh biết tự mình đặt
ra các giả thuyết và kiểm tra tính đúng đắn của nó, nhận biết các khẳng định không đúng
bằng cách dẫn ra đƣợc các phản ví dụ: Với cách học tập nhƣ vậy, các kiến thức của học sinh
trở nên sâu hơn, vững chắc hơn, tƣ duy logic đƣợc phát triển.
Xuất phát từ tình hình trên, em đã chọn đề tài " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc trong dạy
học môn Toán ở trƣờng phổ thông "
Nhiệm vụ của đề tài gồm những phần sau:
1.Trình bày cơ sở lí luận của " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc ". Nhiệm vụ này
đƣợc giải quyết trong chƣơng 1 của luận vãn.
2. Trên cơ sở lí luận ta đề ra phƣơng án áp dụng " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc"
trong chƣơng trình Toán phổ thông: Hình học, đại số và giải tích. Nhiệm vụ 2

đƣợc

giải quyết trong chƣơng I của luận văn.
3. Đề xuất việc tổ chức dạy học bằng" Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " (PPBTN) vào
một số tiết học ở chƣơng trình Toán phổ thông. Nhiệm vụ 3 đƣợc giải quyết trong chƣơng III
của luận văn.
● Để đạt đƣợc yêu cầu đặt ra, phƣơng pháp nghiên cứu bao gồm:

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|3


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

1. Nghiên cứu một cách có hệ thống các tài liệu về cơ sở lí luận dạy học, cơ sở triết
học, tâm lí học và logic học của " PPBTN "

2. Xem xét hệ thống bài tập chƣơng trình phổ thông nghiên cứu vấn đề nào có thể lật
ngƣợc lại, để xây dựng những bài toán ngƣợc đào sâu tƣ duy học sinh hơn.
3. Xem xét việc dạy học lí thuyết và vận dụng " PPBTN " đề ra một
số tiết học dạy bằng phƣơng pháp này.
● Trong xu hƣớng cải thiện tình hình giảng dạy và học tập ở trƣờng phổ thông hiện nay, em
hy vọng khoa luận này với phƣơng pháp dạy học mới phát huy tính sáng tạo của học sinh sẽ
đóng góp một phần nhỏ vào công cuộc nâng cao chất lƣợng giáo dục và đào tạo của đất nƣớc.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|4


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

B.
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN

1. Cơ sở triết học:
Trong tác phẩm " Bút kí Triết học",V.I.Lênin khẳng định " Hạt nhân của phép biện
chứng là sự thống nhất và đấu tranh của các mặt đối lập ".
Sự khám phá ra bản chất đối lập của các sự vật và hiện tƣợng, đòi hỏi phải xem xét
đồng thời các bộ phận và các mặt đối lập nhau. Nếu nhƣ các bộ phận và các mặt đôi lập
không đƣợc nhìn nhận, xem xét đồng thời mà lại tách rời nhau thì chắc chắn mối liên quan
giữa chúng sẽ không đƣợc nhận thức sâu sắc, đầy đủ và có cơ sở bằng sự xem xét đồng thời.

2. Cơ sở tâm lí học:
a) Nhà tâm lí học ngƣời Bỉ, Jean Piaget, đã rất quan tâm nghiên cứu các thao tác đảo
ngƣợc. Ông đã rút ra từ thực nghiệm " Hiệu ứng Piaget": Tuy theo mức độ phức tạp của
nhiệm vụ tƣ duy mà vai trò của sự đảo ngƣợc không ngừng tăng lên.

Thực nghiệm của Piaget: thực nghiệm đƣợc tiến hành ở trẻ em độ tuổi mẫu giáo
Đầu tiên ông rót nƣớc từ 1 bình A ( có chia vạch ) vào bình B rộng và sau đó vào bình C hẹp
hơn, lƣợng nƣớc rót vào 2 bình là nhƣ nhau
Câu hỏi đƣợc đặt ra : " Nƣớc trong bình B và bình C, ở bình nào nhiều hơn ?”

 Trẻ em đa số cho rằng: nƣớc bình C nhiều hơn.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|5


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Để chỉ cho trẻ thấy lƣợng nƣớc 2 bình là nhƣ nhau, Piaget lần lƣợt cho san nƣớc
ngƣợc lại lần lƣợt từ bình B và bình C vào bình A. Lúc này, toàn bộ các em lại nói lƣợng
nƣớc nhƣ nhau.
Chính thao tác đảo ngƣợc làm trẻ thấy đƣợc nƣớc ở bình B và bình C là nhƣ nhau, xóa
bỏ đƣợc ngộ nhận.
* Nhà sinh lý học thần kinh nổi tiếng ngƣời Nga, Pavlốp, cũng đã có những nghiên
cứu về bản chất sinh lý học của các mối liên hệ thuận và đảo trong tƣ duy. Ông cho rằng nếu
2 trung khu thần kinh liên hệ thống nhất với nhau thì các quá trình kích thích tác động diễn ra
giữa chúng ở cả 2 hƣớng thuận - ngƣợc.
Học thuyết của Pavlốp về các phản xạ có điều kiện đƣợc vận dụng trong quá trình dạy
học môn Toán. Các quy tắc định nghĩa, khái niệm, chứng minh định lý, giải toán trong quá
trình dạy học trở thành một chuỗi các phản xạ có điều kiện và trở nên vững chắc ở ngƣời học
một khi chúng đƣợc lặp đi lặp lại nhiều lần có hệ thống ổn định trong cả 2 chiều thuận và
đảo. Chính điều này cho phép chống lại " tính ì" trong tƣ duy.
"Sự đối lập đan xen của các tác nhân kích thích tƣơng phản ảnh hƣởng tích cực đến
quá trình tƣ duy" - Pavlốp.

b) Một sự liên hệ giữa 2 quá trình P1 và P2 diễn ra trong nhận thức, trong đó quá trình
thứ nhất P1 diễn ra kéo theo sự xuất hiện của quá trình P2 đƣợc gọi là một liên tƣởng.
Chẳng hạn 1 học sinh cấp I nhìn thấy trên bảng có bài toán: 4 + 3 = □ ( quá trình P1 )
Khi đó các em đọc kết quả là 7 ( quá trình P2) Bởi vì quá trình P1 kéo theo sự xuất
hiện quá trình P2 ở học sinh nên ta có liên tƣởng ( P1, P2) ở ngƣời học.
Nếu chính em học sinh đó biết tách 7 = 3 + □ thì ta nói ở em học sinh có 1 liên tƣởng
đảo ngƣợc Việc chuyển từ phép cộng (6 + 5 = 11) sang phép trừ ( 11-6 = 5) Việc chuyển từ
phép nhân (4x3=12) sang phép chia (12:3 = 4) Việc chuyển từ định lý thuận sang định lý
đảo.... đều dựa trên mối liên hệ thuận và đảo ( các liên tƣởng ) trong tƣ duy học sinh.
Nhƣ vậy, mối liên hệ ngƣợc có liên quan đến đặc trƣng tâm lý của quá trình dạy học
gắn liền với sự xuất hiện các liên tƣởng.
Khi xem xét, đánh giá các sự kiện diễn ra trong quá trình dạy học, chúng ta cần phải
phân biệt 2 phạm trù : logic và tâm lí.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|6


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Liên tƣởng là 1 khái niệm tâm lí học, liên tƣởng hoặc là xuất hiện hoặc không xuất
hiện. Còn tính đúng, sai của mệnh đề lại là khái niệm logic.
Nghệ thuật dạy học là ở chỗ phải củng cố các liên tƣởng cần thiết và đúng đắn, đồng
thời sàng lọc các liên tƣởng không cần thiết, không đúng đắn.
c) Năng lực Toán học:
Krutecxki, nhà tâm lí học ngƣời Nga trong cuốn sách " Tâm lí năng lực Toán của học
sinh " cho các năng lực sau là năng lực cơ bản để nắm vững toán học:
a.Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các tài liệu Toán học.
b.Năng lực cô đặc và thu gọn nhanh quá trình suy luận và hệ thống các phép toán

tƣơng ứng trong khi giải toán.
c.Năng lực chuyển đổi nhanh và dễ dàng sang quá trình tƣ duy đảo ngƣợc khi nghiên
cứu các tài liệu toán học. Chẳng hạn, nếu 1 học sinh biết chuyển nhanh từ việc giải các bài
toán số học bằng các phép toán tách rời sang việc giải bài toán bằng cách vận dụng trực tiếp
công thức thì ở đây xuất hiện cả năng lực khái quát hóa, cả năng lực thu gọn quá trình suy
luận.
Ba năng lực Toán nêu ở trên có liên quan chặt chẽ với nhau trong quá trình học Toán.
Trong đó, năng lực chuyển đổi tƣ duy từ quá trình thuận sang quá trình đảo ngƣợc đƣợc coi là
yếu tố khởi đầu, xác định năng lực Toán nói chung ở học sinh.
Trên cơ sở tâm lí học vừa nêu ta thấy trong dạy học môn Toán không thể không vận
dụng, phƣơng pháp bài toán ngƣợc. Một vấn đề khi đƣợc nhìn nhận đồng thời 2 mặt thuận và
đảo thì tính chính xác sẽ đảm bảo tránh tuyệt đối những nghi ngờ, lƣỡng lự. Mà đó là điều
quan trọng nhất của việc học Toán.

3.Cơ sở logic:
a) Hình vuông logic;
Các định lý Toán học dù đƣợc phát biểu dƣới hình thức nào thì về cơ bản đều có thể
tách ra thành 2 phần A và B, đồng thời có cấu trúc logic là
mệnh đề kéo theo: A=>B
Mệnh đề A đƣợc gọi là giả thuyết.
Mệnh đề B đƣợc gọi là kết luận.
Nếu gọi mệnh đề A => B (1) là mệnh đề thuận thì:
● Mệnh đề : B => A gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề (1)
● Mệnh đề:

gọi là mệnh đề phản của mệnh đề (1)

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|7

ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

● Mệnh đề :
gọi là mệnh đề phản đảo của mệnh đề (1)
Ta chứng minh đƣợc:

Ta có hình vuông logic:

b)Đinh lý Gobe:
Nhƣ đã biết, nếu mệnh đề thuận A => B đúng thì mệnh đề đảo B =>A có thể đúng và
cũng có thể sai.
Vấn đề đặt ra trong điều kiện nào, nếu mệnh đề thuận đúng mà không phải đi xem xét
tính đúng, sai có thể kết luận ngay trong mệnh đề đảo cũng đúng. Định lý sau đây cho ta cần
giải đáp vấn đề đặt ra.
* Đinh lý Gobe: Giả sử ta có 1 dãy n các mệnh đề đúng: Ai =>Bi ( i = 1,2,..n) thỏa
điều kiện sau:
a.Các giả thiết Ai ( i = 1,2,...,n) cũng là tất cả những tình hình có thể xảy ra cùng 1
vấn đề không tƣơng thích. Nghĩa là Ai và Aj (i≠j) không thể đồng thời cùng đúng và bao giờ
cũng có 1 cái đúng.
b.Các kết luận Bi ( 1 = 1,2,...,n) cũng là tất cả những tình hình có thể xảy ra của cùng
1 vấn đề không tƣơng thích.
Khi đó, n mệnh đề đảo Bi => Ai( i = l,2,...,n) cũng đúng.
c).Một số hình thức đảo của các mệnh đề có điều kiên phức tạp
Thuận

Đảo

A1A2 =>B

•
•
•

Đảo toàn bộ: B => A1A2
Đảo bộ phận: BA1 => A2
Đảo bộ phận: BA2=> A1

A=>B1B2

•
•
•

Đảo toàn bộ :B1 B2 => A
Đảo bộ phận: B1 => A
Đảo bộ phận: B2 => A

A1 v A2 => B

•
•
•

Đảo toàn bộ: B => A1 v A2
Đảo bộ phận: B => A1
Đảo bộ phận: B => A2

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|8


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP BÀI
TOÁN NGƯỢC.
Nội dung giáo trình toán ở trƣờng phổ thông ở mức độ hoàn toàn cho phép sử dụng
"phƣơng pháp bài toán ngƣợc". Chẳng hạn, trong hình học khái niệm định lí đảo đã đƣợc đƣa
vào. Ngoài điều đó trong sách giáo khoa đã có các bài tập phát biểu và chứng minh định lí,
mệnh đề đảo một số bài toán.
Cùng với mệnh đề đảo của các mệnh đề đã cho, các học sinh đã gặp trong khi giải các
bài tập giải tích và trong một số chủ đề khác.
Tất cả điều đó muốn nói: trong việc dạy học hình học,phƣơng pháp các bài tập đảo
của nhau cần đƣợc chú ý đầy đủ.
Việc áp dụng phƣơng pháp vào các giờ học đại số và phần đầu giải tích cũng cho phép
nắm tốt hơn các phƣơng pháp giải bài tập mặc dù có đặc thù, phƣơng pháp giải riêng.
Nhiệm vụ lập các bài toán là đảo của các bài toán đã cho, trong cách giải của chúng trẻ em đã
bắt đầu từ cấp I. Làm việc với các bài toán đảo là kinh nghiệm đầu tiên của học sinh khi bình
luận (phê phán) toán học tự mình. Rất tiếc thậm chí đến các lớp 4-5, khó phát hiện ra, dù chỉ
là các nhận xét cho phƣơng pháp tiến bộ chỉ ra.
Để lập đƣợc bài toán đảo, ta đƣa giá trị của các đại lƣợng phải tìm vào phần giả thiết
của bài toán, con coi một trong các đại lƣợng đã cho là ẩn.
Ví du 1:
Cho bài toán thuận:" Từ cùng một địa điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau có hai
ngƣời đi ra với vận tốc 7Km/h và 8Km/h. Hỏi sau 2 giờ khoảng cách giữa hai ngƣời bao xa?"
Giải:

Sau 1 giờ hai ngƣời cách nhau: 7+8=15(Km)

Sau 2 giờ hai ngƣời cách nhau: 15.2=30(Km)

Để lập bài toán ngƣợc ta đƣa đại lƣợng tìm đƣợc (30Km) vào giả thiết. Còn giả sử cần
tìm một trong các đại lƣợng chƣa biết, ta nhận đƣợc các bài toán ngƣợc sau:

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

|9


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Bài toán la: Từ cùng một điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau hai ngƣời đi bộ ra
với vận tốc 7Km/h và 8Km/h. Hỏi sau bao lâu thì khoảng cách giữa họ là 30Km?
Bài toán lb: Từ cùng một điểm nhƣng theo hai hƣớng ngƣợc nhau hai ngƣời đi ra. Sau
hai giờ khoảng cách giữa họ là 30Km. Tìm vận tốc ngƣời thứ hai nếu vận tốc ngƣời thứ nhất
là 7Km/h?
Khi lập bài toán đảo, nếu ta thay đổi hợp lí các giá trị của các đại lƣợng đã cho sẽ làm
cho học sinh nhận thức tốt hơn lời giải các bài tập.
Ta có thể xem bài toán sau đây là đảo bài toán một:
Bài toán lc: Từ một điểm theo hai hƣớng ngƣợc nhau có hai ôtô đi ra với vận tốc
70Km/h và 90Km/h. Sau bao lâu khoảng cách giữa họ là 480Km?
Việc lập một bài toán ngƣợc một cách hợp lí không phải đối với tất cả các bài toán.
Trong mỗi trƣờng hợp cụ thể, giáo viên nên giải thích mục đích giáo pháp của bài toán
ngƣợc. Để học sinh nắm tốt hơn phƣơng pháp giải cần phải đặt cho học sinh các câu hỏi là
ngƣợc với bài toán đã giải ở một mức độ xác định.
Trong ví dụ qua ta thấy phƣơng pháp các bài toán ngƣợc nhau không dẫn đến việc
thay đổi đơn giản các giả thiết và kết luận của bài toán.
Xét ví du 2:
Cho bài toán thuận:"Có hai vòi nƣớc chảy vào một cái bể. Vòi một chảy đầy bể trong

5 giờ, vòi hai chảy đầy bể trong 7 giờ.
a,Nếu hai vòi cùng chảy từ đầu vào bể thì sau bao lâu bể đầy?
b,Nếu có một vòi tháo ra trong 25 giờ thì cạn bể. Vậy khi mở cả ba vòi cùng một lúc
trong bao lâu bể đầy nƣớc?"
Giải:
a,Trong một giờ vòi một chảy đƣợc bể.
Trong một giờ vòi hai chảy đƣợc

bể.

Trong một giờ cả hai vòi chảy đƣợc
=>Cả hai vòi chảy đầy bể trong: 1:
b,Trong 1 giờ vòi vòi 3 tháo ra

bể
giờ.

bể.

=>Trong một giờ cả ba vòi chảy đƣợc:

bể.

=>Cả ba vòi chảy đầy bể trong:

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 10

ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Ta có các bài toán ngƣợc sau:
Bài toán 2a: Hai vòi nƣớc cùng chảy vào bể sau

giờ thì đầy.

Nếu chảy một mình thì vòi 1 chảy đầy bể trong năm giờ. Hỏi:
a, Vòi 2 chảy một mình thì thời gian bao lâu để bể đầy.
b, Ngƣời ta mở cả hai vòi cùng chảy vào bể nhƣng sau

giờ

mới đầy bể vì bấy giờ đáy bể có một lổ thủng. Hỏi lổ thủng này có thể làm cạn bể trong mấy
giờ?
Xét những bài toán này thật thú vị. Muốn lập và giải đƣợc chúng ngƣời
học phải có cái nhìn tổng quát, hiểu kĩ và rõ mối liên quan giữa các đại lƣợng. Thật đáng tiếc,
trong sách giáo khoa ta không bắt gặp đƣợc những bài toán ngƣợc này.
Chẳng hạn ở sách giáo khoa lớp 6 có bài:
7/40: a, Một vòi chảy đầy bể trong 3 giờ. Hỏi trong 1 giờ vòi chảy bao nhiêu phần bể. Một
vòi khác chảy đầy bể trong 4 giờ. Hỏi trong 1 giờ vòi chảy bao nhiêu phần bể?
b,Nếu 2 vòi chảy chung thì trong mấy giờ đầy bể?
8/40: Một tổ công nhân làm một mình sửa xong một đoạn đƣờng trong 6 giờ. Tổ khác
làm một mình thì sửa xong đoạn đƣờng đó trong 5 giờ. Nếu cả hai tổ cùng làm thì trong một
giờ sửa đƣợc mấy phần đoạn đƣờng?
Ta có thể hƣớng dẫn học sinh cách lập bài toán ngƣợc và yêu cầu làm bài tập.
Xét bài toán 9/43: Vận tốc riêng của chiếc thuyền (tức vận tốc thuyền lúc nƣớc yên
lặng) là 6,5 Km/h, vận tốc dòng nƣớc là 2,5 Km/h. Hãy tính thời gian mà thuyền xuôi dòng từ
bến sông A đến bến sông B dài 18 Km và thời gian mà thuyền ngƣợc dòng từ B về A.
Giải: Vận tốc xuôi dòng bằng 6,5+2,5=9 Km/h

giờ

Vận tốc ngƣợc dòng bằng 6,5-2,5=4 Km/h
giờ
Ta có những bài toán ngƣợc sau:
Bài 9a: Một con thuyền xuôi dòng từ bến A đến bến B dài 18 Km mất 2 giờ. Biết
vận tốc dòng nƣớc là 2.5 Km/h. Tìm vận tốc riêng của thuyền và thời gian thuyền ngƣợc
dòng từ B về A?

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 11


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Bài 9b: Một con thuyền ngƣợc dòng từ bến sông B về bến sông A dài 18Km mất
4,5 giờ với vận tốc riêng là 6,5 Km/h. Hãy tìm xem thuyền bị cản bởi vận tốc dòng nƣớc bao
nhiêu và tính thời gian thuyền xuôi dòng từ A đến B.
Tuy nhiên ta cũng gặp một số bài toán ngƣợc nhau trong sách giáo khoa. Ví dụ:
4/57: Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều cao 1,5 m, chiều rộng bằng 0,8 chiều cao,
chiều dài bằng 120% chiều cao. Tim thể tích bể?
Thì bài 5/73 là ngƣợc của nó:
Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều dài l,8m, chiều rộng bằng 2/3 chiều dài và thể
tích là 3,24m3. Tính chiều cao của bể.
Ta có thể bổ sung một bài ngƣợc nữa: Một cái bể hình hộp chữ nhật có chiều rộng 1,2
m. Chiều cao bằng 5/4 chiều rộng và thể tích là 3,24m3. Tinh chiều dài bể.
Hoặc bài tập 10b/73 là ngƣợc của bài 2/57.
Bài 2/57:Trong thùng có 60 lít xăng. Ngƣời ta lấy ra lần thứ nhất 40%, lần hai 3/10 số
xăng đó. Hải trong thùng còn bao nhiêu lít xăng?

Bài l0b/73:Sau khi lấy thùng đựng xăng ra lần thứ nhất 4/11 thùng, lần thứ hai 2/5
thùng thì còn lại 131ít. Hỏi thùng khi đầy xăng có bao nhiêu lít?
Ta thấy các dạng ngƣợc của bài 2/57 là:
Bài 5/98: Bài kiểm tra toán lớp 6A sau khi chấm đƣợc xếp thành ba loại, điểm tốt
chiếm 25% tổng số bài, số bài điểm khá chiếm 2/3 tổng số bài, số bài loại trung bình là 4 bài.
Tim số học sinh của lớp 6A.
Bài 10/73:Sau khi cắt lấy 5/9 tấm vải, rồi lấy một/4 tấm vải thì còn mảnh dài 7m. Hỏi
cả tấm vải dài bao nhiêu mét?
Qua trên ta thấy "phƣơng pháp bài toán ngƣợc"cũng có đƣợc lƣu ý tới nhƣng chƣa
đƣợc xây dựng thành hệ thống, chƣa đƣợc phát triển có qui mô.
Thông qua ví dụ trên, chúng ta đặt ra câu hỏi: Việc phát biểu và giải các bài toán
ngƣợc có thể mang đến cho học sinh ích lợi gì?
● Thứ nhất, thấy ngay đƣợc: kích thích hoạt động tƣ duy học sinh. Học sinh có cảm giác nhƣ
tự bản thân mình biết đặt ra đƣợc bài toán mới và giải quyết nó.
● Thứ hai, học sinh hiểu sâu sắc hơn những mối quan hệ có tính qui luật của các đại lƣợng
tham gia vào các quá trình có trong dữ kiện bài toán thuận.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 12


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

● Thứ ba,hoạt động tƣ duy diễn ra tạo tiền đề thuận lợi và chuẩn bị về mặt tâm lí tốt cho học
sinh trƣớc khi đi tới khái niệm "Định lí đảo" mà học sinh sẽ làm quen trong hình học.

PHẦN I: PHƯƠNG ÁN ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁPBÀI TOÁN
NGƯỢC ( Hình Học)
1. Cấu trúc định lý

Để tạo đƣợc bài toán ngƣợc với bài toán đã cho ta lập mệnh đề đảo với định lý đã cho
và kiểm tra tính đúng đắn của nó.Vậy ta phải nắm rõ đƣợc cấu trúc của định lý đó.
- Mệnh đề toán học mà tính đúng đắn của nó đòi hỏi đƣợc chứng
minh gọi là định lý.
- Một định lý bất kì đều có thể tách ra phần : giải thích, giả thiết và kết luận.
* Phần giải thích: đƣợc tách ra bằng con đƣờng thiết lập các đối tƣợng và các quan hệ
mà trên đó giả thiết và kết luận định lý đã cho. Có thể thay đổi phẩn giải thích trong 1 số giới
hạn do tính tới giả thiết.
Nhƣ vậy, bất kì định lý nào cũng có thể biểu diễn đƣợc dƣới dạng
sau:
P / "nếu A thì B ", trong đó

P : giải thích
A: giả thiết
B: kết luận

Ví dụ: Từ các tia AC và CA trong cấc nửa mặt phẳng khác nhau đối với đƣờng thẳng
AC đƣớc đặt các góc bằng nhau. Nếu qua điểm O trung điểm đoạn AC dựng đƣờng thẳng cắt
cạnh của các góc ở điểm B và D thì AB = CD.
Ở đây: phần giả thích : gạch dƣới
giả thiết: BÂC = A ̂ D
và OA = OC

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 13


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Có thể chuyển 1 bộ phận bất kì của giả thiết vào phần giải thích, chẳng hạn AO = OC.
Khi đó giả thiết:
Khái niệm phần giải thích cần thiết để giải thích 1 số vấn đề logic, gắn liền với định lý
đảo. Chúng ta không cần bắt buộc giải thích cho học sinh. Đối với học sinh chỉ cần làm cho
các em hiểu đƣợc trong 1 định lý cần tách đƣợc 2 phần : giả thiết và kết luận.
Chẳng hạn: lấy ví dụ:
*Định lý : " Tổng các góc kể bù bằng 180° " Việc xác định giả thiết và kết luận còn
có nghĩa tách ra không tƣờng minh, ở phần giải thích có thể tiến hành qua trò chuyện
- Trong định lý này đối tƣợng nào đƣợc xem xét?
- Hai góc.
- Điều gì đƣợc nói về chúng ?
- Nếu chúng kề bù nhau thì tổng 180°.
- Giả thiết của định lý là gì ?
- Các góc kề bù.
- Còn kết luận ?
- Tổng các góc bằng 180°
Xét ví du khác: " Trong 1 tam giác cân trung tuyến thuộc cạnh đáy là đường
cao".

* Trong định lý này đối tƣợng nào đƣợc xem xét ?
- Tam giác cân và đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác này với điểm trên cạnh đối diện
* Cái gì là giả thiết của định lý ?
- Trung tuyến
* Cần chứng minh cái gì ?
- Đoạn thẳng là này chiều cao

Nhân xét: Ta có thể dịch chuyển sự bằng nhau của các cạnh của tam giác vào giả thiết
của định lý.

2. Thiếp lập mệnh đề đảo ;

Nếu định lý đã cho đƣợc phát biểu dƣới dạng mệnh đề :
''Nếu A thì B" hay A => B
thì định lý đảo sẽ là " nếu B thì A " hay B =>A ngƣợc lại mệnh đề " Nếu A thì B " thì đảo của
nó là " nếu B thì A "
Do đó để áp dụng thành công " Phƣơng pháp bài toán ngƣợc " cần thiết hình thành
cho học sinh thủ thuật tách ra giả thiết và kết luận của

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 14


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

một định lý hay một bài tập nào đó, dạy cho học sinh phát biểu các mệnh đề dƣới
dạng " nếu. . thì ". Việc hình thành thủ thuật này xảy ra khi giải bài tập, mặc dù bản thân thủ
thuật nhiều khi không đƣợc nhận thức. Khi tách ra giả thiết và kết luận là giai đoạn cần trên
đƣờng đi tới nhận đƣợc mệnh đề đảo, thì chú ý của học sinh đƣợc cố định vào chúng 1 cách
có mục đích. Sau khi giả thiết và kết luận đƣợc tách ra thì việc phát biểu mệnh đề đảo là hoàn
toàn dễ dàng.
Ví dụ :
Định lý : "Trong một tam giác cân, trung tuyến dựng từ đỉnh là đƣờng cao "
Trong các tài liệu giáo khoa, khẳng định tƣơng ứng đƣợc nói rằng:
" Trong tam giác cân, trung tuyến dựng từ đỉnh vừa là đƣờng cao và là đƣờng phân giác" thì
khẳng định này cần giải thích rõ cho học sinh ở đây có sự hợp nhất
( gộp ) 2 định lý mà 1 định lý đã đƣợc nêu ở trên.
• Hãy phát biểu định lý trên dạng " Nếu A thì B "?
-" Nếu tam giác là cân thì trung tuyến là đƣờng cao "
- Phát biểu mệnh đề đảo ?
-" Nếu trong 1 tam giác, trung tuyến là đƣờng cao thì nó là tam giác cân "

Ta chứng minh định lý đảo này là đúng cùng 1 hình vẽ khi chứng minh định lý thuận.
Nhận thấy, nếu 1 học sinh nhanh ý sẽ lập đƣợc 1 khẳng định:
" Nếu trong 1 tam giác trung tuyến là phân giác thì tam giác đó là cân ". Việc chứng
minh hoàn toàn có thể.
Trong tài liệu các định nghĩa về các dấu hiệu bằng nhau của các tam giác đƣợc dẫn ra
1 số các khác nhau về việc lập mệnh đề đảo của học sinh.
Giả sử cho

có thể nói gì về các yếu tố của tam

giác ?
Các học sinh nhận xét rằng ở các tam giác này (theo đn) Các cạnh và các góc tƣơng
ứng bằng nhau

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 15


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Nhận thấy trên hình vẽ : Â = Â1, AB = A1B1
Sau đó ta kẻ phân giác AD, A1D1 ?
- AD = A1D1
- Hãy chứng minh
∆ABD = ∆A1B1D1 ( g.c.g Â1 = Â, AB = A1B1, ̂

̂ )

Dựa trên đó ta có thể phát biểu định lý sau: " Nếu 2 tam giác ABC và A1B1C1 bằng

nhau thì ở chúng các góc A = A1, AB = A1B1 và 2 phân giác AD = A1D1"
Hãy phát biểu mệnh đề đảo của định lý đã cho : " Nếu trong các tam giác ABC và
A1B1C1 có Â = Â1, AB = A1B1 và 2 phân giác AD = A1D1 thì các tam giác này bằng nhau
".
Nhƣ vậy, nhờ giáo viên học sinh có thể nhận đƣợc 1 định lý mới và khẳng định nhận
đƣợc có trong bài tập 22 SGK:
" Chứng minh sự bằng nhau của 2 kim giác theo 2 góc, theo phân giác của góc này và
theo cạnh kề với góc này " ( Hình học Horoperol A.B)
Không phải định lý nào, mệnh đề đảo của nó cũng cần đƣợc phát biểu, chứng minh.
Có thể do tính giá trị của nó không cao và xét theo quan điểm thông tin và giáo pháp chúng
không có giá trị.
Trong 1 số trƣờng hợp khác, để chứng minh các mệnh đề đảo đỏi hỏi các kiến thức
mà học sinh có khi còn chƣa đƣợc học. Do đó, giáo viên cần lƣu ý chƣơng trình các em học
mà ta có các yêu cầu phù hợp. Nếu kiến thức chƣa đủ để chứng minh mệnh đề đảo thì chỉ cần
yêu cầu phát biểu mệnh đề đảo.
Chẳng hạn, đề nghị học sinh ghi các mệnh đề đảo của bài tập:
CMR: Trong 1 tam giác cân
a) Các phân giác ứng với các đỉnh ở đáy xuống 2 cạnh bên là bằng nhau.
b) Các trung tuyến thuộc 2 cạnh bên bằng nhau.
c) Các đƣờng cao ứng với các đĩnh ở đáy đến 2 cạnh bên bằng nhau.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 16


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

Giả thiết là tam giác cân, từ đó ta có các mệnh đề đảo :
a. Nếu trong 1 tam giác có 2 phân giác bằng nhau là tam giác cân.

b. Nếu trong 1 tam giác 2 trung tuyến bằng nhau là tam giác cân.
Ở học sinh lớp 7, ta không yêu cầu kiểm tra tính chính xác của các mệnh
đề đảo vì lí do các em chƣa đủ kiến thức để chứng minh. Và đến lớp 8
yêu cầu chứng minh.
* Chứng minh mệnh đề đảo a : "Nếu trong 1 tam giác có 2 đƣờng phân giác bằng nhau thì
đó cân ".

chứng minh;
Phƣơng pháp phản chứng giả sử
Xét

và

có :

BC=BC (Cạnh chung)
BD=CE (giả thiết)
(Do

và BD và CE là phân giác)

(1) (Định lý liên hệ cạnh và góc

)

Kẻ
là hình bình hành

do

cân vì

)

Mâu thuẫn với giả sử, tƣơng tự cũng sai khi giả sử
=> tam giác ABC cân tại A.

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 17


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

*Chứng minh mệnh đề đáo b: " Trong 1 tam giác 2 trung tuyến bằng nhau là tam giác cân".

do BE =CF => CK = BH
Ta có BCHK là hình thang => BCHK là hình thang cân

Do BK = AC (BKAC là hbh)
CH = AH ( ABCH là hbh)
AC = AB
ABC cân ở A
* Mệnh đề đảo có thể không đúng
Không phải mệnh đề đảo nào cũng đúng cả, để ở học sinh không có ấn tƣợng sai là
mọi mệnh đề đảo đều đúng thì cần phải dẫn ra các định lý hoặc các bài tập mà ở đó mệnh đề
đảo đó là sai.
Xét bài tập 20/37 - Hình học Hoporerol.A, B.
CMR : Trong hai tam giác bằng nhau ABC và A1B1C1 các trung tuyến dựng từ các
đỉnh A và A1 bằng nhau

Mệnh đề đảo : " Nếu các trung tuyến dựng từ các đĩnh A và A1 của các tam giác : ABC và
A1B1C1 bằng nhau thì các tam giác này bằng nhau
Mệnh đề đảo này sai.
Ta chỉ ra phản ví dụ sau:

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 18


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

ở hình vẽ : 2 tam giác ABC và A1B1C1 có chung trung tuyến AM nhƣng
Giáo viên cần đƣa ra 1 số bài tập khác để giải thích đƣợc nó, học sinh tự mình phải
khẳng định đƣợc một số mệnh đề đảo là sai.
Ví Dụ : Hãy kiểm tra mệnh đề đảo của các định lý sau có đúng hay không ?
1. Nếu
thì
Và các đƣờng cao dựng từ B và B1
Là bằng nhau.
2. Nếu 2 góc kề bù thì tổng là 180°
3. Nếu 1 tam giác là đều là nó là tam giác cân
4. Nếu trong một tam giác đều ABC, các điểm K,M,N là
trung điểm của các cạnh thì
đều.
5. Nếu 1 góc của là tù thì 2 góc còn lại đều nhọn.
6. Đề đảo nhận đƣợc tƣơng ứng
Giải:
1.Nếu 2 ABC và A1B1C1 có ̂ ̂ và có và các đƣờng các đƣờng cao dựng từ
đó bằng nhau thì 2 tam giác đó bằng nhau (Sai)

Phản ví dụ :
ABC và A1B1C1 có ̂
Và chung đƣờng cao BH nhƣng
không bằng nhau

̂

2.Nếu 2 góc có tổng là 180° thì 2 góc đó kề bù nhau(Sai)
Phản ví dụ :

nhƣng và
không kề bù

3.Nếu 1 tam giác là cân thì nó cũng đều. (Sai)
Phản ví dụ :

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 19


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

AB=AC ≠BC

4.Nếu ∆KMN đều thì ∆ABC cũng đều với K,M,N là trung điểm của các cạnh(Đúng)
do ∆ABC ~ ∆KMN
5.Nếu 1 tam giác có 2 góc đều nhọn thì góc còn lại là tù.(Sai).
Phản ví dụ ;
∆ABC đều có

Nhƣng

là nhọn.
cũng là góc nhọn.

* Một định lý cổ thế có một số mệnh đề đảo khác nhau:
Nếu mệnh đề thuận có dạng ABC => D
Thì mệnh đề đảo có các dạng : D=>ABC
BD => AC,DC => AB
AD =>BC
DBC =>A
ADC =>B,DAB => C
Nếu tiền đề của mệnh đề thuận là phức hợp thì có thể phát biểu 1 số mệnh đề đảo. Các mệnh
đề đảo này có thể đúng hoặc sai.
* Xét ví dụ: "Trong 1 tam giác cân, trung tuyến thuộc cạnh đáy là đường cao ".
Ta viết định lý thuận dƣới dạng
D: ∆ABC, M∈BC, A: AB=AC
B: AM là trung tuyến
C: AM là đƣờng cao
Vậy, mệnh đề thuận : P,AB=>C
Ta có các mệnh đề đảo sau :
1. P,AC=>B : ∆ABC cân có đƣờng cao AM cũng là đƣờng trung tuyến
2. P,BC=>A : ∆ABC có đƣờng cao AM cũng là trung tuyến thì ∆ABC cân
SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 20


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

AM là đƣờng cao,

3.P,C=>AB

Ví dụ 2: Trên các cạnh của

thì AM là trung tuyến và ABC cân

cân ABC với đáy AC đặt các đoạn bằng nhau AK và

CM thì AM=CK
Ta có các phần :
Giải thích P

A: BA=BC
B: AK=CM
C: AM=CK
Định lý có dạng : P,AB=>C
Một số mệnh đề đảo :
1.P,C => AB :Nếu trong

có AM=CK,

thì

cân (AB=BC) và AK=CM (Sai)
AM=CK
Nhƣng

không cân

Và

2. P,BC => A : Trong

có AK=CM và AM=CK với
thì

3. P,AC => B : Trong

cân(AB=BC) (Đúng)
cân (AB=BC) và AM=CK với

thì

AK=CM. (Sai)
Phản ví dụ :
cân có AM=CK
Nhƣng

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 21


ĐHSP – Khóa luận tốt nghiệp 1997 – 2001

VD 3: Trên trung tuyến BD của ∆ABC cân đáy
AC, lấy M và K
CMR : ∆AMK=∆CMK

P: ∆ABC ; DϵAC; M,KϵBD.
A: BA=BC
B: BD là trung tuyến
C: ∆AMK=∆CMK

Đề bài: P,AB=>C
Xét mệnh đề đảo P,C => AB : "Nếu ∆ABC có ∆AMK =∆CMK với K,M ∈ BD, D ∈
AC thì ∆ABC cân (BA=BC) và BD là trung tuyến". (Đúng)
CM: ∆AMK=∆CMK

=> MD là phân giác
Do ∆AMC cân => MD cũng là trung tuyến => BD là trung tuyến ∆ABC
Mà MD cũng là đƣờng cao nên BD là đƣờng cao trong ∆ABC
Vậy ∆ABC cân tại B.
Ngoài ra ta còn có các mệnh đề đảo:
P,AC => B
P, BC =>A
Đều đúng và mỗi mệnh đề đều dƣ giả thiết để chứng minh (Vì chỉ cần P,C=>B,
P,C=>A).
* Vấn đề thay đổi thuật ngữ bằng các định nghĩa;
Có nhiều bài toán và định lý: phần giải thích và phần giả thiết giấu kín trong 1 số
thuật ngữ kí hiệu cho 1 khái niệm. Khi đó việc phát biểu bài toán ngƣợc có nhiều khó khăn.
Trong các trƣờng hợp đó, để phát biểu định lý đảo và bài toán ngƣợc ta cần chỉ rõ thuộc tính
đặc trƣng của khái niệm thể hiện bằng thuật ngữ.
Ví dụ: Xét định lý: " Đƣờng trung bình của 1 hình thang thì song song với 2 đáy và
bằng nửa tổng 2 đáy "
P:ABCD là hình thang AD//BC
E ∈ AB,F ∈ CD
gt: EA=EB, FD =FC

SVTH: Lê Thị Ngọc Phượng

| 22