Bài giảng môn nguyên lý máy chương 10

Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

Chương 10

CƠ CẤU BÁNH RĂNG PHẲNG
10.1. ĐẠI CƯƠNG
I. Đònh nghóa và phân loại
1. Đònh nghóa:
Cơ cấu bánh răng là cơ cấu có khớp loại cao dùng để truyền chuyển động quay giữa các
trục với một tỉ số truyền xác đònh nhờ sự ăn khớp trực tiếp giữa các khâu có răng (được gọi là
bánh răng).

a)

b)

e)

d)

f)

c)

g)

h)

Hình 10.1

Bm. Thiết kế máy

- 151 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

2. Phân loại:
Cơ cấu bánh răng (BR) được phân thành nhiều loại theo nhiều quan điểm khác nhau như sau:

{
{
{

{
{
{
Trong chương này ta chỉ xét đến cơ cấu bánh răng phẳng, cụ thể là xét đến cặp bánh răng
hình trụ tròn ăn khớp ngoài.
3. Vài đònh nghóa về bánh răng hình trụ răng thẳng

wx

sx

tx

ri r
x

re
ri

o

r

a)

re

b)
Hình 10.2

- Xét tiết diện thẳng góc với trục của bánh răng hình trụ răng thẳng như hình 10.2, trên vòng
tròn có bán kính rx , ta đònh nghóa các khái niệm sau:
• Biên dạng răng
: là hai đoạn cong của hai cạnh bên của mỗi răng.
Bm. Thiết kế máy

- 152 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

• Rãnh răng

: là khoảng trống giữa hai răng.

• Vòng tròn đỉnh răng

: là vòng tròn đi qua đỉnh răng, bán kính re .

• Vòng tròn chân răng

: là vòng tròn đi qua chân răng, bán kính ri .

• Chiều cao răng

: là khoảng cách giữa vòng đỉnh và vòng chân răng.

• Chiều dày răng s x

: là chiều dài cung chắn giữa hai biên dạng của một răng.

• Chiều rộng rãnh răng wx : là chiều dài cung chắn giữa hai biên dạng của một rãnh răng.
• Bước răng t x

: là chiều dài cung chắn giữa hai biên dạng cùng phía của hai
răng kề nhau.

- Ta có:

t x = s x + wx =

2 π rx
Z

(10.1)

trong đó Z là số răng của bánh răng.

- Trong quá trình làm việc của cặp bánh răng, các cặp biên dạng trên hai bánh răng lần lượt
kế tiếp nhau tiếp xúc và truyền chuyển động cho nhau:
• Sự tiếp xúc và truyền chuyển động cho nhau được gọi là sự ăn khớp.
• Hai biên dạng ăn khớp với nhau gọi là cặp biên dạng đối tiếp.
•

Hai bánh răng ăn khớp với nhau (có những cặp biên dạng ăn khớp với nhau) gọi là
cặp bánh răng đối tiếp.

II. Đònh lý cơ bản về ăn khớp
Trong thực tế ta hay gặp cặp bánh răng truyền chuyển động với tỉ số truyền cố đònh. Ta
xét điều kiện để cặp biên dạng b1 , b2 đảm bảo yêu cầu truyền động này.
1. Tỉ số truyền:
O2

ω2
n

B

M

b2

P
A

n

b1

ω1
O1

Bm. Thiết kế máy

- 153 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

Hình 10.3

- Xét sự ăn khớp của một cặp biên dạng đối tiếp b1 , b2 (là đường cong bất kỳ nào đó) quay
quanh tâm O1 và O2 như hình 10.3. Tại thời điểm đang xét, b1 , b2 đang tiếp xúc nhau tại
điểm M .
- Thay khớp cao M bằng một khâu AB và hai khớp thấp A và B , trong đó A và B

là tâm cong của hai thành phần khớp cao trên biên dạng b1 , b2 tại M . Do đó AB cũng
chính là pháp tuyến chung của cặp biên dạng b1 , b2 tại M .
- Tại thời điểm đang xét, cơ cấu bánh răng tương đương với cơ cấu 4 khâu bản lề O1 ABO2 .
Giao điểm P của O1O2 và AB chính là tâm quay tức thời trong chuyển động tương đối
giữa hai khâu đối diện O1 A và O2 B . Theo đònh lý Willis ta có:

ω1 O2 P
=
ω2 O1 P

(10.2)

Như vậy, đường pháp tuyến chung nn của hai biên dạng chia đoạn nối tâm O1O2 thành
hai đoạn tỉ lệ nghòch với vận tốc góc khi cặp biên dạng truyền chuyển động cho nhau.
2. Đònh lý cơ bản về ăn khớp:
- Từ (10.2) ta thấy, để i12 =

ω1 O2 P
=
= const thì điểm P phải cố đònh.
ω2 O1P

- Ta có đònh lý cơ bản về ăn khớp như sau:
“Muốn tỉ số truyền cố đònh thì pháp tuyến chung của cặp biên dạng đối tiếp phải luôn luôn
cắt đường nối tâm ở một điểm cố đònh”.
- Điểm cố đònh P được gọi là tâm ăn khớp.
3. Vòng lăn:
- Q tích của tâm ăn khớp P khi hai bánh răng chuyển động là hai vòng tròn tâm O1 , O2 ,
bán kính rl1 = lO1P , rl2 = lO2P được gọi là hai vòng lăn do hai vòng tròn này tiếp xúc tại P

(

)

và lăn không trượt lên nhau VP1 = VP2 .
- Các điểm trên biên dạng răng không thuộc vòng lăn sẽ vừa lăn vừa trượt lên nhau khi hai
bánh răng làm việc.
- Một cặp bánh răng phẳng được gọi là nội tiếp hay ngoại tiếp nếu hai vòng lăn của chúng
nội tiếp hay ngoại tiếp nhau.

Bm. Thiết kế máy

- 154 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

10.2. BÁNH RĂNG THÂN KHAI VÀ ĐẶC ĐIỂM ĂN KHỚP CỦA BÁNH
RĂNG THÂN KHAI
Có nhiều đường cong làm biên dạng răng đảm bảo tỉ số truyền cố đònh. Nhưng do chế tạo,
lắp ráp, sức bền, … nên trong kỹ thuật, đường thân khai của vòng tròn được dùng nhiều nhất
để làm biên dạng răng. Bánh răng có biên dạng là đường thân khai của vòng tròn được gọi là
bánh răng thân khai. Sau đây ta chỉ xét bánh răng thân khai.
I. Đường thân khai phù hợp với đònh lý cơ bản về ăn khớp
1. Đường thân khai và tính chất:
K

M

N
r0

∆

M0

O

K0

Hình 10.4
a) Đường thân khai:
- Cho đường thẳng ∆ lăn không trượt trên vòng tròn tâm O , bán kính r0 (hình 10.4),
điểm M trên đường thẳng ∆ sẽ vạch trong mặt phẳng một đường cong gọi là đường thân
khai của vòng tròn, gọi tắt là đường thân khai.
- Vòng tròn (O, r0 ) gọi là vòng tròn cơ sở.
b) Tính chất đường thân khai:
Từ cách hình thành đường thân khai, ta suy ra một số tính chất của đường thân khai như
sau:
- Pháp tuyến của đường thân khai là tiếp tuyến của vòng tròn cơ sở và ngược lại.
- Đường thân khai không có điểm nào nằm trong vòng cơ sở.
- Tâm cong tại điểm M bất kỳ của đường thân khai là điểm N nằm trên vòng tròn cơ
sở, bán kính cong NM bằng chiều dài cung NM 0 .

Bm. Thiết kế máy

- 155 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Các đường thân khai của cùng một vòng tròn cơ sở là những đường cách đều, có thể
chồng khít lên nhau. Khoảng cách giữa các đường thân khai bằng cung chắn giữa các
đường thân khai đó đo trên vòng tròn cơ sở: MK = M 0 K 0 .
2. Phương trình đường thân khai:
M
N

r0

∆
αx
t

αx
θx
O

M0

Hình 10.5
- Chọn OM 0 làm vò trí chuẩn với O làm gốc. Điểm M trên đường thân khai được xác

đònh bỡi hai thông số:
 rx = OM

 θ x = M 0OM

(10.3)

- Từ M kẽ tiếp tuyến MN với vòng tròn cơ sở và kẻ Mt ⊥ OM . Góc α x = ∆, Mt được
gọi là góc áp lực trên vòng tròn bán kính rx . (Khi dùng đường thân khai làm biên dạng răng
của bánh răng, vì ∆ là pháp tuyến của đường thân khai tại M nên khi truyền lực, ∆
chính là phương của lực truyền. Mặt khác phương vận tốc của điểm M chính là phương
vuông góc với OM . Suy ra, góc áp lực α x = ∆, Mt ).
- Ta có:

θ x = NOM 0 − NOM =

NM 0
−αx
r0

(10.4)

- Thay NM 0 = NM = r0 .tgα x vào (10.4), ta được:

θ x = tgα x − α x

(10.5)

- Vậy phương trình đường thân khai là:

Bm. Thiết kế máy

- 156 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

r0

 rx =
cos α x

 θ = tgα − α
x
x
 x

(10.6)

- Hàm số (10.5) được gọi là hàm thân khai của góc α x , ký hiệu là invα x ( α x = invα x ).
2. Đường thân khai phù hợp với đònh lý cơ bản về ăn khớp
ω2

O2

n

r02

M

P
b1
n

b2

r01

O1
ω1

Hình 10.6
- Xét hai biên dạng thân khai b1 , b2 tiếp xúc tại M của hai vòng tròn cơ sở (O1 , r01 ) và

(O , r )
2

02

như hình 10.6.

- Qua M kẻ pháp tuyến chung nn của hai biên dạng. Theo tính chất của đường thân khai,

nn cũng chính là tiếp tuyến chung của hai vòng tròn cơ sở.
- Vì hai vòng tròn cơ sở có tâm và bán kính cố đònh nên tiếp tuyến chung cố đònh và phải cắt

đường nối tâm O1O2 tại điểm P cố đònh.
- Như vậy, nếu dùng đường thân khai làm biên dạng răng thì đònh lý cơ bản về ăn khớp được
thỏa mãn, tức là sẽ đảm bảo tỉ số truyền cố đònh. Nói cách khác: đường thân khai phù hợp
với đònh lý cơ bản về ăn khớp.
- Từ đây trở đi, ta chỉ xét bánh răng có biên dạng là đường thân khai và được gọi là bánh
răng thân khai.
Bm. Thiết kế máy

- 157 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

II. Đặc điểm ăn khớp của bánh răng thân khai
1. Đường ăn khớp, góc ăn khớp

ω2

O2

αl

rl2

P

t

n

r02

αl

M

t

b1

αl
n

b2

rl1

r01

O1
ω1

Hình 10.7
- Từ chứng minh trên, ta nhận thấy q tích của điểm tiếp xúc M giữa hai biên dạng đối
tiếp là đường thẳng cố đònh (tiếp tuyến chung nn của hai vòng cơ sở), đường thẳng này gọi
là đường ăn khớp lý thuyết.

- Góc ăn khớp α l là góc giữa tiếp tuyến chung tt của hai vòng lăn kẻ qua điểm P với
đường ăn khớp lý thuyết nn . Đây chính là góc áp lực trên vòng lăn (vì tt chính là phương
vận tốc của những điểm trên vòng lăn) và được tính bởi:

cos α l =
 r01
 rl
 1

α l = ar cos 

r01
rl1

=

r0 2

(10.7)

rl2

r

 = ar cos  0 2
 rl

 2







(10.8)

với rl1 và rl2 là hai bán kính vòng lăn của hai bánh răng 1 và 2.
- Đường ăn khớp, góc ăn khớp, vòng lăn là các thông số phụ thuộc vào khoảng cách tâm
O1O2 , tức là phụ thuộc vào vò trí tương đối giữa hai bánh răng. Khi khoảng cách tâm thay đổi,
rl1 và rl2 thay đổi theo, do đó α l và vò trí đường ăn khớp cũng thay đổi theo.
Bm. Thiết kế máy

- 158 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

2. Khả năng dòch tâm
- Ta có:
r0 2
i12 =

ω1 O2 P rl 2 cos α l r0 2
=
=

=
=
= const
r01
r01
ω2 O1P rl1
cos α l

(10.9)

- Khi khoảng cách tâm thay đổi, bán kính các vòng lăn thay đổi, nhưng tỉ số truyền của cặp
bánh răng không đổi. Đây là đặc điểm đồng thời cũng là ưu điểm của cặp bánh răng thân
khai vì nó đảm bảo tỉ số truyền không đổi dù cho khoảng cách tâm không chính xác (do chế
tạo, lắp ráp, …).
3. Điều kiện ăn khớp đều của một cặp bánh răng
Đònh lý cơ bản về ăn khớp chỉ xét cho một cặp biên dạng đối tiếp. Khi một cặp bánh răng
làm việc thì các cặp biên dạng lần lượt ăn khớp nhau. Để cho một cặp bánh răng truyền
chuyển động với tỉ số truyền không đổi thì các cặp biên dạng phải thay nhau ăn khớp một
cách liên tục. Muốn vậy phải thỏa các điều kiện nhất đònh sau:
a) Điều kiện ăn khớp đúng (ăn khớp chính xác)

t N2

n

b2'
M

b1'
b2

n

M'

b1

t N1

Hình 10.8
- Xét một cặp bánh răng ăn khớp như trên hình 10.8. Khi cặp biên dạng b1 , b2 ăn khớp tại
M thì cặp biên dạng tiếp theo b1' , b2' có thể:
•

Tiếp xúc nhau tại M ' trên đường ăn khớp lý thuyết nn . Trường hợp này t N1 = t N 2
và từng cặp biên dạng của hai bánh răng đối tiếp vừa độc lập vừa kế tiếp nhau nên

Bm. Thiết kế máy

- 159 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

quá trình ăn khớp của hai bánh răng là liên tục. Ta gọi đây là cặp bánh răng ăn khớp
đúng (hay ăn khớp chính xác).
•

Không tiếp xúc nhau mà cách nhau một khoảng như hình (đường biên dạng nét đứt).
Trường hợp này t N1 > t N 2 và có thể khi cặp biên dạng b1 , b2 thôi ăn khớp trên đường

nn thì b1' , b2' vẫn chưa vào ăn khớp trên đường nn . Vì vậy quá trình truyền động
không liên tục nên không đảm bảo tỉ số truyền là cố đònh. Mặt khác khi cặp biên
dạng b1' , b2' vào ăn khớp sẽ gây ra va đập làm bộ truyền chóng hỏng.
- Gọi t N1 , t N2 là bước đo trên đường ăn khớp của hai bánh răng và t01 , t02 là bước đo trên
vòng cơ sở của hai bánh răng. Theo tính chất đường thân khai, ta có:

t N 1 = t01

(10.10)

t N 2 = t0 2

- Như vậy, điều kiện để cặp bánh răng ăn khớp đúng là bước trên đo trên đường ăn khớp hay
bước đo trên vòng cơ sở của hai bánh răng phải bằng nhau, tức là:
(10.11)

t01 = t02

- Các thông số t01 , t02 là thông số chế tạo. Vậy điều kiện ăn khớp đúng chỉ phụ thuộc vào
việc chế tạo bánh răng, không phụ thuộc vào việc lắp ráp.
b) Điều kiện ăn khớp trùng

O2
re2

ω2

n
N2

B

αl

P

t

b2

A
n

t
b1

N1
ω1

re1

O1
Hình 10.9
Bm. Thiết kế máy

- 160 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Gọi A và B là giao điểm của hai vòng đỉnh của hai bánh răng 2 và 1 với đường ăn khớp
lý thuyết nn .
- Trong quá trình ăn khớp, cặp biên dạng đối tiếp chỉ có thể tiếp xúc nhau trên đoạn AB
của đường ăn khớp nn . Đoạn AB được gọi là đoạn ăn khớp thực. Nếu bánh răng 1 là chủ
động và có chiều quay như hình vẽ thì:
+ A được gọi là điểm vào khớp.
+ B được gọi là điểm ra khớp.
- Giả sử cặp bánh răng thỏa diều kiện ăn khớp chính xác. Khi b1 , b2 tiếp xúc tại điểm ra
khớp B , trong đoạn ăn khớp thực AB có thể:
+ Đã có một cặp biên dạng khác vào khớp: t N < AB ;
+ Chưa có một cặp biên dạng nào vào khớp: t N > AB ;
+ Có một cặp biên dạng vừa vào khớp tại A : t N = AB .
- Để các cặp biên dạng lần lượt vào ăn khớp một cách liên tục, tránh va đập (ảnh hưởng đến
tỉ số truyền), phải đảm bảo điều kiện trùng khớp (hay điều kiện ăn khớp trùng):
(10.12)

AB ≥ t N

hay

ε=

AB AB
=
≥ 1,1
tN
tO

(10.13)

trong đó ε được gọi là hệ số trùng khớp. Đây chính là số cặp răng trung bình đồng thời ăn
khớp trên đoạn ăn khớp thực.
- Mọi yếu tố làm tăng, giảm đoạn ăn khớp thực AB đều làm tăng, giảm ε , nên ta thấy
điều kiện ăn khớp trùng không những phụ thuộc vào chế tạo mà còn phụ thuộc vào lắp ráp
(phụ thuộc vào vò trí tương đối giữa hai bánh răng).
- Ta có:
AB = N1B − N1 A
= N1B − ( N1 N 2 − N 2 A)
= N1 B + N 2 A − N1 N 2
= re21 − ro21 + re22 − ro22 − (N1P + PN 2 )

(

= re21 − ro21 + re22 − ro22 − rl1 sin α l + rl2 sin α l
= re21 − ro21 + re22 − ro22 − O1O2 sin α l

Bm. Thiết kế máy

- 161 -

)
(10.14)

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Thay (10.14) và t N = tO =

2π rO1, 2

vào (10.13), ta được:

Z1, 2

re21 − ro21 + re22 − ro22 − O1O2 sin α l
2π rO1, 2

ε=

(10.15)

Z1, 2

⇒ ε phụ thuộc vào điều kiện chế tạo (re , r0 , t0 ) và điều kiện lắp ráp (O1O2 , α l ) .

c) Điều kiện ăn khớp khít
- Khi cặp bánh răng đã thỏa mãn điều kiện ăn khớp đúng và ăn khớp trùng vẫn có thể không
đảm bảo ăn khớp liên tục khi vận tốc góc ω1 của bánh chủ động thay đổi.

n'

n

M

M'
m2'

b2'
n

m2

P

m1
m1'

b1
'
1

b

b2
n'

ω1

Hình 10.10
- Xét hai bánh răng ăn khớp như hình 10.10: khi cặp biên dạng b1 , b2 ăn khớp tại M trên
đường ăn khớp lý thuyết nn thì cặp biên dạng b1' , b2' có thể:
•

Tiếp xúc nhau tại M ' trên n' n' .

Không tiếp xúc nhau mà cách nhau một khoảng như hình (đường biên dạng nét đứt).
- Ở trường hợp đầu, hai biên dạng của một răng tiếp xúc với hai biên dạng rãnh răng của
bánh răng kia. Đây là trường hợp ăn khớp khít. Trong trường hợp này, nếu vận tốc góc ω1
•

của bánh chủ động thay đổi (giảm hay đổi chiều) thì quá trình chuyển động vẫn được duy trì
một cách liên tục do b'1 tiếp xúc với b'2 .
- Ở trường hợp sau, nếu vận tốc góc ω1 của bánh chủ động thay đổi thì do quán tính, ω2
của bánh 2 vẫn không thay đổi đến khi b'1 vượt qua khe hở, tiếp xúc với b'2 thì quá trình
chuyển động mới tiếp tục. Như vậy quá trình truyền chuyển độntg không liên tục dẫn đến tỉ
số truyền thay đổi và va đập.
- Do đó, để bộ truyền làm việc tốt ngay cả khi vận tốc góc của bánh chủ động thay đổi thì
cặp bánh răng phải ăn khớp khít.
Bm. Thiết kế máy

- 162 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Trên hình 10.10: hai vòng lăn của hai bánh răng tiếp xúc nhau tại điểm P . Vòng lăn của
bánh 1 cắt biên dạng bánh 1 (trong trường hợp ăn khớp khít) ở m1 và m'1 . Vòng lăn của
bánh 2 cắt biên dạng rãnh răng của bánh 2 ở m2 và m'2 . Vì hai vòng lăn không trượt lên
nhau nên:

m1 P = Pm2

(10.16)

m'1 P = Pm'2
Suy ra:
(10.17)

m1m'1 = m2 m'2

Vậy, điều kiện ăn khớp khít của một cặp bánh răng là: Bề dày răng trên vòng lăn của bánh
này bằng bề rộng rãnh trên vòng lăn của bánh kia:
(10.18)

sl1, 2 = wl2 ,1

- Điều kiện ăn khớp khít không những phụ thuộc vào chế tạo mà còn phụ thuộc vào lắp ráp
(do vòng lăn phụ thuộc vào vò trí tương đối giữa hai bánh răng).
4. Hiện tượng trượt và mài mòn biên dạng răng
a) Hệ số trượt
- Khi hai bánh răng ăn khớp với nhau, các điểm trên biên dạng răng không thuộc vòng lăn sẽ
vừa lăn vừa trượt lên nhau. Điều này dẫn đến mòn biên dạng răng. Độ mòn biên dạng răng
phụ thuộc vào độ dài cung trượt.
- Cung trượt trên một biên dạng răng là cung vừa lăn vừa trượt đối với biên dạng răng đối

tiếp với nó trong cùng một khoảng thời gian.

n

b2'
b2
M

M'
M 2'

P
K

b1

N1'

b1'

N1

n

M 1'

dϕ1

ω1
O1

Hình 10.11
Bm. Thiết kế máy

- 163 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Trên hình 10.11, cặp biên dạng 1, 2 ở vò trí b1 , b2 ăn khớp tại M . Sau một góc quay nhỏ
đến vò trí b1' , b2' ăn khớp tại M ' . Lúc này điểm M 1 (điểm M thuộc biên dạng 1) đến vò
trí M '1 , điểm M 2 (điểm M thuộc biên dạng 2) đến vò trí M '2 . Như vậy, từ vò trí ăn khớp
ở M đến vò trí ăn khớp ở M ' , bòên dạng 1, 2 trượt các cung:

ds1 = M ' M '1

(10.19)

ds2 = M ' M '2

Hai cung trượt này không bằng nhau và cung trượt nào ngắn hơn sẽ mòn nhiều hơn. Để
đánh giá độ mòn do trượt, ta đưa ra đại lượng gọi là hệ số trượt µ :

µ1 =

ds1 − ds2

ds
= 1− 2
ds1
ds1

(10.20)

µ2 =

ds2 − ds1
ds
=1− 1
ds2
ds2

(10.21)

b) Tính hệ số trượt
- Gọi K là giao điểm giữa hai tiếp tuyến với vòng tròn cơ sở bánh 1 đi qua M và M '1 .
- Gọi dϕ1 là góc quay của bánh 1 khi biên dạng 1 đi từ vò trí b1 đến b'1 .
- Khi dϕ1 đủ nhỏ, ta có thể xem N1 ≡ K ≡ N '1 ; và cung trượt M ' M '1 có thể xem là cung
tròn bán kính N1M ' , góc chắn cung là dϕ1 :

ds1 = N1M '. dϕ1

(10.22)

ds2 = N 2 M '. dϕ 2

(10.23)

- Lý luận tương tự, ta có:

- Thay (10.22) và (10.23) vào (10.20) và (10.21) ta nhận được:
dϕ
N 2 M '. 2
N 2 M ' . dϕ 2
dt = 1 − N 2 M '.ω2
=1−
µ1 = 1 −
ϕ
d
N1M '.ω1
N1M '. dϕ1
N1M '. 1
dt

(10.24)

dϕ1
N M ' . dϕ1
dt = 1 − N1M '.ω1
µ2 = 1 − 1
= 1−
ϕ
d
N 2 M ' . dϕ 2
N 2 M ' .ω 2
N 2 M '. 2
dt

(10.25)

N1 M ' .

Bm. Thiết kế máy

- 164 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

Hay

µ1 = 1 −

N2M '
⋅ i21
N1M '

(10.26)

µ2 = 1 −

N1M '
⋅ i12

N2M '

(10.27)

- Từ các công thức trên ta thấy:
•
•

Hai hệ số trượt của cặp điểm đối tiếp bao giờ cũng trái dấu nhau, hệ số có giá trò âm
bao giờ cũng có giá trò tuyệt đối lớn hơn.
Hệ số trượt µ phụ thuộc vò trí điểm tiếp xúc, tại tâm ăn khớp ta có µ1 = µ 2 = 0 .

- Đồ thò µ1 , µ 2 như hình 10.12. Hai đường đồ thò µ1 , µ 2 được gọi là đường cong trượt.

µ
µ
+1

+1

P

A
N1

µ1max

B
µ 2 max

N2

µ1

i12 .µ1

µ2
−∞

−∞

Hình 10.12
- Từ đồ thò ta thấy:
•

Khi cặp biên dạng ăn khớp trong khoảng N1P thì:
µ1 có giá trò âm. Suy ra ds1 < ds2 : bánh răng 1 mòn nhiều hơn bánh răng 2.
bánh 1 (bánh chủ động) làm viêc ở phần chân răng, bánh 2 làm việc ở phần
đầu răng, nên chân răng bao giờ cũng mòn nhiều hơn đầu răng.

•

Trong cùng một khoảng thời gian bánh nhỏ (giả sử là bánh 1) quay i12 lần nhiều hơn
bánh lớn nên ứng với mòn trên bánh lớn do tác dụng của hệ số trượt µ 2 thì mòn trên
bánh nhỏ do tác dụng của trượt sẽ là i12 .µ1 . Cặp bánh răng chỉ ăn khớp trên đoạn ăn
khớp thực AB nên độ mòn do trượt lớn nhất là i12 .µ1 tại A và do trượt lớn nhất là

µ 2 tại B .
Bm. Thiết kế máy

- 165 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

10.3. KHÁI NIỆM VỀ HÌNH THÀNH BIÊN DẠNG THÂN KHAI
I. Nguyên lý hình thành biên dạng thân khai
1. Các phương pháp
Có hai phương pháp hình thành biên dạng thân khai đó là phương pháp chép hình và
phương pháp bao hình.
a) Phương pháp chép hình
- Biên dạng thân khai có được là do chép đúng hình dáng của dụng cụ cắt.
- Có hai kiểu dao để cắt chép hình:
• Dao phay ngón: phần cắt của dao có đường sinh là đường thân khai, tiết diện qua trục
giống như một rãnh răng thân khai. Khi cắt, dao vừa quay quanh trục và vừa tònh tiến
theo phương đường sinh của phôi. Sau khi cắt hết chiều dài đường sinh, trên phôi được
2π
một rãnh răng. Quay phôi một góc
rồi tiếp tục gia công rãnh răng kế tiếp.
Z

Hình 10.13
•

Dao phay đóa: dao có dạng đóa, phần cắt của dao có đường sinh là đường thân khai,
các lưỡi dao bố trí trên vành đóa. Khi cắt, dao quay quanh trục còn phôi tònh tiến theo

phương đường tâm của phôi.

Hình 10.14
Trong cả hai trường hợp, ta đều nhận được trên phôi rãnh răng mà biên dạng thân khai
chép đúng hình dáng của dụng cụ cắt.
Bm. Thiết kế máy

- 166 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

b) Phương pháp bao hình
- Biên dạng thân khai là bao hình của một họ đường bò bao tức là dùng dao cắt lên phôi một
họ đường mà đường bao hình của nó là đường thân khai làm biên dạng răng.
- Họ đường bò bao có thể là họ đường thẳng (dùng một thanh răng làm dao gọi là thanh răng
sinh như hình 10.15); hoặc họ đường thân khai (dùng một bánh răng làm dao gọi là bánh răng
sinh như hình 10.16).

Phôi

r

ω

r

v

Dao (thanh răng sinh)
(a)

(b)

Hình 10.15

Bm. Thiết kế máy

- 167 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

Hình 10.16

2. Nguyên tắc hình thành biên dạng thân khai bằng dao thanh răng
a) Chứng minh thanh răng và bánh răng thân khai có thể ăn khớp với nhau:
ω

r0
n
a

a'
M'

αt

M

H

b'2

b2

n

b'1

b1

v
Hình 10.17

Hình 10.18
Bm. Thiết kế máy

- 168 -

TS. Bùi Trọng Hiếu

Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Giả sử tại thời điểm ban đầu, biên dạng của thanh răng b1 và biên dạng của bánh răng b2
tiếp xúc nhau tại M trên đường ăn khớp nn (hình 10.17). Đường nn là pháp tuyến
chung của chúng đồng thời là tiếp tuyến với vòng tròn cơ sở.
- Vì biên dạng răng của thanh răng là một đoạn thẳng nên các pháp tuyến của nó đều song
song nhau. Khi cho thanh răng tònh tiến, các pháp tuyến này không đổi phương và đường
nn luôn là một pháp tuyến của nó.
- Khi b1 tònh tiến đến b'1 , b2 quay đến b'2 và chúng tiếp xúc với nhau tại M ' thì đường
nn vẫn là tiếp tuyến của vòng tròn cơ sở.

- Do đó, tại bất kỳ vò trí nào, đều có thể cho biên dạng răng của thanh răng tiếp xúc với biên
dạng răng của bánh răng vì đường nn lúc nào cũng có thể lấy làm pháp tuyến chung của
chúng. Như vậy, thanh răng và bánh răng thân khai luôn luôn tiếp xúc và truyền chuyển
động cho nhau.
b) Quan hệ động học trong truyền động thanh răng-bánh răng:
- Từ vò trí ăn khớp M đến vò trí M ' :
+ Thanh răng tònh tiến một đoạn ds = MH với vận tốc v =
+ Bánh răng quay một góc dϕ =

ds
,
dt

dϕ
aa'
.
với vận tốc góc ω =

dt
r0

- Ta có tỉ số:

v

ω

=

ds MH
=
aa'
dϕ
r0

(10.28)

- Theo tính chất đường thân khai và theo hình vẽ:
(10.29)

aa' = MM ' = MH . cos α t

- Thay (10.29) vào (10.28) ta nhận được:
v

ω

=

r0
cos α t

(10.30)

- Vì bán kính vòng cơ sở r0 và góc ăn khớp α t (cũng là góc nghiêng cạnh răng của thanh
răng) đều là những hằng số, nên

v

ω

= const . Vậy, trong quá trình ăn khớp, vận tốc tònh tiến

của thanh răng và vận tốc góc của bánh răng có một tỉ lệ nhất đònh tính theo (10.30).
Bm. Thiết kế máy

- 169 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

c) Vẽ biên dạng thân khai

ω phôi

vdao
Hình 10.19

Cách vẽ biên dạng thân khai như sau (hình 10.19):
- Cho thanh răng tònh tiến với vận tốc v ,
- Cho phôi quay tròn quanh trục với vận tốc góc ω ,
- v và ω thỏa điều kiện (10.30),
- Tại mỗi thời điểm, một cạnh răng của thanh răng sẽ vạch trên phôi một đường thẳng.
Cuối cùng sẽ nhận được trên phôi họ đường thẳng bao hình là đường thân khai.
II. Thông số chế tạo cơ bản của bánh răng thân khai
1. Dạng của thanh răng sinh

h 't

αt

αt

st

wt

tt

h ''t

Hình 10.20

Để thống nhất qui cách bánh răng, ta qui đònh hình dáng, kích thước thanh răng sinh trên

H.10.20 như sau:
- Dạng răng của thanh răng sinh là hình thang cân có các đường chân răng, đường đỉnh
răng song song với nhau.
- Góc áp lực α t chính là góc đỉnh răng, bằng góc nghiêng của cạnh thanh răng. Thông
thường α t = 200 (đôi khi bằng 180 hay 150 ).
Bm. Thiết kế máy

- 170 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Bước răng tt là khoảng cách giữa hai biên dạng cùng phía của hai răng kề nhau. Bước
răng đo trên bất kỳ đường thẳng nào song song với đường đỉnh răng (hay đường chân
răng) đều bằng nhau.
- Modun là thông số đặc trưng cho kích thước của răng trên thanh răng và được qui đònh
theo tiêu chuẩn.
mt =

tt

π

(10.31)

- Tương tự như bánh răng, thanh răng cũng có bề dày răng st , bề rộng rãnh wt và có

quan hệ:
tt = st + wt

(10.32)

- Đường trung bình: là đường chia chiều cao răng thành hai phần bằng nhau. Trên đường
trung bình ta có:
t π mt
st = wt = t =
(10.33)
2
2
- Khoảng cách giữa đường trung bình và đường đỉnh răng gọi là chiều cao đỉnh răng h't .
Khoảng cách giữa đường trung bình và đường chân răng gọi là chiều cao chân răng h' 't .
h't = h' 't = 1,25 mt

(10.34)

- Chiều cao răng là khoảng cách giữa đường đỉnh răng và đường chân răng:
ht = h't + h' 't = 2,5 mt

(10.35)

- Ở đầu răng, chân răng không để sắc cạnh mà lượn tròn. Chiều cao phần lượn tròn, bán
kính cung tròn đều được tiêu chuẩn. Rõ ràng phần lượn tròn không tham gia cắt để tạo
biên dạng thân khai, cho nên phần đầu răng tham gia cắt chỉ có chiều cao bằng mt .
2. Thông số chế tạo cơ bản của bánh răng
a) Vòng chia
- Trong quá trình hình thành biên dạng thân khai bằng dao thanh răng, vòng tròn trên phôi
r

có vận tốc đúng bằng vận tốc tònh tiến v của dao thanh răng,
bán kính r = OP =
cos α t
nghóa là vòng tròn này lăn không trượt với dao thanh răng và được gọi là vòng chia của
bánh răng. Đường thẳng trên thanh răng tiếp xúc với vòng chia là đường chia.
Bm. Thiết kế máy

- 171 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Bán kính vòng chia phụ thuộc vào tỉ số vận tốc

v

ω

của thanh răng và phôi trong lúc chế

tạo mà không phụ thuộc vào khoảng cách giữa chúng, nên vòng chia là một thông số chế
tạo (vòng chia hoàn toàn xác đònh sau khi chế tạo xong bánh răng). Mọi thông số của
bánh răng được đặc trưng bằng thông số đo trên vòng chia.
b) Modun bánh răng
- Modun là thông số cơ bản về kích thước của bánh răng thân khai, được tính như sau:
m=

t

π

(10.36)

trong đó t là bước răng trên vòng chia.
- Bước trên vòng chia bằng bước trên đường chia ( t = tt ), nên modun bánh răng bằng
modun của dao thanh răng chế tạo ra bánh răng đó: m = mt .
- Các thông số khác của bánh răng đều tính theo modun và modun được tiêu chuẩn hóa ( m
= 1

1,25

1,5

1,75

2

2,25

…). Chẳng hạn bán kính vòng chia được tính theo

modun như sau:
m=

⇒

t 2π r
=
π Zπ

(10.37)

1
mZ
2

(10.38)

r=

- Sở dó không dùng bán kính r mà lại dùng modun m làm thông số cơ bản về kích thước
vì r đặc trưng cho kích thước của bánh răng, còn m mới đặc trưng cho kích thước của
răng. Có thể độ lớn ( m ) của răng giống nhau ở trên các bánh răng có độ lớn r khác
nhau vì số răng Z khác nhau.
- Thông số m cũng thuận lợi hơn t vì tuy cả hai ( m , t ) đều đặc trưng cho kích thước của
răng nhưng t là một số vô tỉ (rất phiền phức trong tính toán).
c) Góc áp lực trên vòng chia
- Vòng chia là vòng lăn trong quá trình chế tạo nên góc áp lực trên vòng chia có thể coi là
góc ăn khớp trong quá trình chế tạo và được tính theo công thức:

cos α =
Bm. Thiết kế máy

- 172 -

r0

r

(10.39)
TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

- Góc áp lực này chính bằng góc nghiêng của răng trên thanh răng:

α = αt

(10.40)

⇒ Góc áp lực là thông số cơ bản về dạng răng. Thật vậy, nếu ta giữ nguyên r , khi thay
đổi góc α , bán kính vòng cơ sở r0 sẽ thay đổi, dẫn đến dạng của cạnh răng thay đổi theo.
- Tóm lại, modun m và góc áp lực trên vòng chia α là hai thông số cơ bản về kích thước,
hình dáng của răng thân khai. Hai thông số này cũng bằng hai thông số cơ bản của răng
trên thanh răng sinh để cắt ra bánh răng.
- Bước trên vòng cơ sở:

t01 =

t02 =

2π r01

Z1

2π r02

Z2

=

2π r1 cos α1
= π m1 cos α1
Z1

(10.41)

=

2π r2 cos α 2
= π m2 cos α 2
Z2

(10.42)

- Do đó điều kiện ăn khớp đúng của cặp bánh răng là:
t01 = t02

m1 cos α1 = m2 cos α 2

⇔

(10.43)

- Để đảm bảo (10.43), tiện nhất ta nên chọn:

 m1 = m2

 α1 = α 2

(10.44)

tức là chế tạo hai bánh răng ăn khớp bởi cùng một dao. Điều kiện ăn khớp đúng chỉ phụ
thuộc vào chế tạo mà không phụ thuộc vào lắp ráp.
- Theo (10.9), ta tính được tỉ số truyền như sau:
1
m Z cosα 2
Z
r2 cos α 2 2 2 2
i12 =
=
=
= 2
1
r01 r1 cos α1
m1 Z1 cosα1 Z1
2

r0 2

Bm. Thiết kế máy

- 173 -

(10.45)

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

10.4. BÁNH RĂNG TIÊU CHUẨN VÀ BÁNH RĂNG CÓ DỊCH DAO
I. Bánh răng tiêu chuẩn và bánh răng có dòch dao:
1. Khái niệm

n

P
n

δ <0

(a)
n

P
δ >0

n

(b)
Hình 10.21

- Trong quá trình chế tạo bánh răng thân khai bằng thanh răng, nếu ta đặt dao thanh răng sao
cho đường trung bình của nó trùng với đường chia tức là tiếp xúc với vòng chia trên phôi thì
bánh răng được chế tạo ra gọi là bánh răng tiêu chuẩn. Ngược lại, nếu đường trung bình
không trùng với đường chia thì ta nhận được bánh răng không tiêu chuẩn (hay bánh răng dòch
chỉnh, bánh răng có dòch dao).
- Khoảng cách giữa đường trung bình và đường chia gọi là độ dòch dao δ và được tính theo
modun:

δ = ξ mt

(10.46)

với ξ là hệ số dòch dao (hệ số dòch chỉnh).
- Qui ước:
• δ < 0 và ξ < 0 : khi đường trung bình nằm gần tâm bánh răng hơn đường chia (hình
10.21a).
• δ > 0 và ξ < 0 : khi đường trung bình nằm xa tâm bánh răng hơn đường chia (hình
10.21b).
Bm. Thiết kế máy

- 174 -

TS. Bùi Trọng Hiếu


Bài giảng NGUYÊN LÝ MÁY

Chương 10: Cơ cấu bánh răng phẳng

2. Kích thước của răng

- Trên đường trung bình của thanh răng, bề dày răng bằng bề rộng rãnh:

π mt

st = wt =

2

=

πm

(10.47)

2

- Trường hợp bánh răng tiêu chuẩn, vì vòng chia lăn không trượt với đường trung bình nên bề
dày răng của bánh răng bằng bề rộng rãnh của thanh răng ( s = wt ); và bề rộng rãnh của
bánh răng bằng bề dày răng của thanh răng ( w = st ).
- Do đó:
s=w=

π mt
2

=

st

b

a

c

πm

(10.48)

2

wt

b'

c'

a'

αt

δ

Hình 10.22

- Trường hợp bánh răng không tiêu chuẩn, vì đường trung bình không trùng với đường chia
(cách đường chia một đoạn δ = ξ mt như hình 10.22) nên bề dày răng trên đường chia sẽ là:

st = bb' = aa' − 2ac = aa' − 2bc tgα t
π


= mt  − 2 ξ tgα t 
2


(10.49)

- Bề rộng rãnh trên vòng chia của bánh răng là:
π

w = st = mt  − 2 ξ tgα t 
2


Bm. Thiết kế máy

- 175 -

(10.50)

TS. Bùi Trọng Hiếu