Chương 1 tín HIỆU và hệ THỐNG rời rạc THỜI GIAN

1
Chng 1
TN HIU V H THNG RI RC THI GIAN
Tớn hiu l s trỡnh by thụng tin di dng d liu, õm thanh, hỡnh nh, video.Cú nhiu cỏch
phõn loi tớn hiu nhng cỏch ta chia tớn hiu thnh dng tng t (liờn tc theo thi gian) hoc s (ri
rc thi gian) . X lý tớn hiu l s dng mch v h thng (gm c phn mm v phn cng) tỏc
ng lờn u vo v nhn tớn hiu ngừ ra theo cỏch m chỳng ta mong mun.
H thng s cú rt nhiu im thun li hn so vi h thng liờn tc chng hn khụng cú nhiu, d ct
d v truyn i. chuyn mt tớn hiu liờn tc sang dng s, ta phi ly mu tớn hiu, lng t v
mó húa giỏ tr sang dng nh phõn. Tớn hiu ly mu gi l tớn hiu ri rc thi gian. Tuy nhiờn, s
lý tớn hiu trong h thng s (chng hn nh mỏy tớnh), cú th thc hin c tt c ba bc trờn.
Thụng thng hai bc cui, lng t v mó húa nh phõn c hiu ngm, vỡ vy cm t ri rc thi
gian v s tng ng v hoỏn i cho nhau.
Bờn cnh tớn hiu m ta mong mun, õy cng cú nhng thnh phn khụng c hoan
nghờnh nh nhiu, can nhiu ..nhng thnh phn ny chỳng ta mun loi b hoc ti thiu húa.
H thng cú th l mch logic n gin, nhng chng trỡnh n gin, hoc nhng cu trỳc
phc tp bao gm c phn cng v phn mm nh mỏy tớnh. Chỳng ta s tho lun nhng loi h
thng s khỏc nhau. õy gi s h thng l tuyn tớnh v bt bin i theo thi gian . Mt h thng
mu thng thy l nhng b lc.
1.1 TN HIU LIấN TC THI GIAN CONTINUOUS TIME SIGNALS

L mt tớn hiu cú s bin i biờn theo thi gian. Biờn cú th l hiu in th, dũng, cụng
sut Tuy nhiờn trong mch v h thng, biờn thng c trỡnh by di dng hiu iờn th.
Tớn hiu liờn tc theo thi gian (hay tớn hiu analog) cú biờn bin i khỏc nhau theo thi
gian. Chỳng thng c to ra bi mch in t, nhng ngun t nhiờn nh nhit, õm thanh,
videov c chuyn thnh tớn hiu in t bng nhng u dũ v b chuyn i. Tớn hiu c
minh ha bng dng súng d dng quan sỏt.
1.1.1 Trỡnh by toỏn hc ca tớn hiu
Thay vỡ mụ t tớn hiu bng t ng hoc dng súng, cỏch c th v chớnh xỏc hn l din t di dng
toỏn hc. S trỡnh by toỏn hc ca tớn hiu trong min thi gian v min bin i thỡ cn thit cho s
phõn tớch , thiờt k mch v h thng. Mt vớ d n gin hỡnh 1.1 khụng th gii quyt bng ngụn

ng miờu t hoc mch.
Circuit
Maùch

Input
Vaứo

R

1Vppủủ -1kHz
1kHz
1V

560

C
0,1F
0.1F

Hỡnh.1.1:Ngừ
rai tớn
hiu
l gỡ?
Hỡnh1.9: Baứ
toaự
n phaõ
n tớch

Output
Ra

?


2
Tín hiệu sin
Tín hiệu Sin hoặc sóng sin là tín hiệu tương tự phổ biến nhất. (Hình 1.2). Nó nhẵn, dễ tạo, có nhiều
thuộc tính và ứng dụng. Diễn tả toán học được cho bởi.
x(t)
x(t) = Acos( Ω t + o)
A

(1.1)

T

Acos0
0

t

–A
Hình.1.2: Tín hiệu sin
Ở đây A là giá trị đỉnh, Ω là tần số gốc (radians/s), t là thời gian (sec), Φo là pha ban đầu (radians) là
phase khi t = 0, Ω = 2F với F là tần số (Hz), T = 1 / F = 2/Ω là chu kỳ (sec).
Sự diễn tả bên trên chứa tất cả những đối số cần thiết: biên độ (đỉnh, rms, trung bình), và sự
tuần hoàn (chu kỳ, tần số). Ngược lại, dạng sóng, ngoại trừ giá trị hằng số thì không có tính cô động.
Ví dụ: Cho sóng vuông (hình 1.3) biểu thức toán học gồm một phần cho biên độ, một phần cho sự tuần
hoàn.
T

x(t) = –A ,
(1.2)
 t 0
2
T
+A ,
0t 
2
x(t) = x(t  nT) , n = 1, 2, 3 …
Sóng Sin và vuông là xác định. Với những tín hiệu ngẫu nhiên, nhìn chung ta không thể trình bày dạng
toán học của chúng. Nhiễu điện và can nhiễu là những ví dụ của tín hiệu ngẫu nhiên.
x(t)
A

–T/2

0

T/2

T

2T

t

–A
Hình.1.3: Sóng vuông đối xứng
1.1.2 Một số tín hiệu đặc biệt
Ở đây có hai tín hiệu thường được sử dụng trong phân tích mạch và xử lý tín hiệu.

(a) Xung đơn vị
Xung đơn vị (Hàm delta Dirac) là hình thức cải tiến từ một xung chữ nhật đối xứng với độ rộng xung
 và biên độ 1 /  khi  → 0 (Hình.1.4). Biểu diễn toán học
(t) =  ,
t=0


3
t0

0 ,

( t)dt




=1

(1.3)

Theo định nghĩa này,
(–t) = (t)

(1.4)

1


(t)

(t-t0)

A(t)





 0 
2
2
(a)

t

0

t

0

(b)

t

t0

0

(c)

t

(d)

Hình.1.4: Xung đơn vị (t )
Xung có biên độ A thay vì 1ta viết A(t) (Hình.1.4c). Nếu xung đơn vị chậm đi to, ta có (t – to)
(Hình.1.4d), thì:
(t – tO) =  ,
0 ,

t = tO
t  tO

(1.5)


t2
 (t  tO )dt t1 (t  tO )dt = 1,

t1 < tO < t2

Một tín hiệu x(t) khi nhân với xung đợn vị trễ thời điểm to (t  t 0 ) có giá trị x(to) tại to:
x(t)(t – to) = x(to)

(1.6)

(b) Bậc đơn vị:
Hình 1.5 là bậc đơn vị. Tín hiệu tăng đột ngột từ 0 lên 1 tại thời điểm t=0, sau đó duy trì không đổi.

Hoạt động giống với sự đóng mở của một công tắc điện tử. Diễn tả công thức toán học:
u(t) = 0 ,
t<0
1 ,
t0
(1.7)

1

[

0

0

t

(a)

(b)

Au( t 0 – t)

A

Au(t)

A

u(t)

t

0

t0

t

(c)

Hình.1.5: Bậc đơn vị
Xung đơn vị (t) và bậc đơn vị u(t) liên hệ với nhau như sau:
u (t )   (t ' )dt' = 0 ,

t<0

1 ,

t0

t

du(t )
(t ) 
dt

(1.8a)
(1.8b)

4
1.1.3 Tín hiệu phức
Đại lượng vật lý tự nhiên, bao gồm tín hiệu là những giá trị thực. Tuy nhiên thỉnh thoảng tín hạng ảo j
=  1 được thêm vào để tạo sự thuận tiện về mặt toán học, chẳng hạn như tính toán sự khác nhau về
phase của hiệu điện thế và dòng trong mạch điện AC. Sau đây là một tín hiệu phức:
x(t) = 5cos  t – j5sin  t
Một tín hiệu phức bao gồm phần thực và phần ảo.
x(t) = x R (t) + jx I (t)
(1.9)
Trong hệ tọa độ cực, một tín hiệu phức có thể diễn tả gồm thành phần biên độ và pha (Hình.1.6)
x(t) = x R (t) + jx I (t) = x(t ) e j (t )

(1.10)

Ảo

x(t)

x I (t)

x(t )
(t)
x (t)
(t)

0

Thực

R

Hình.1.6: Tín hiệu phức và tọa độ cực
Ký hiệu độ lớn x(t ) và phase Φ(t ) hoặc argx(t) hoặc  x(t). Ta có:

x(t )  x 2R ( t )  x 2I ( t )
Φ(t )  tan1

(1.11a)

x I (t )
x R (t )

(1.11b)

Chú ý độ lớn là giá trị tuyệt đối, trong khi biên độ là giá trị có dấu, nhưng ta cũng không cần chú ý tới
sự khác nhau của hai thành phần này
Ví dụ 1.1.1
Cho một tín hiệu phức

. Tìm phần thực, phần ảo, độ lớn và phase.

Giải:
– Phần thực: x R (t) = 5cos  t
– Phần ảo: x I (t) = –5cos  t



– Độ lớn: x(t )  ( 5 cosΩ t ) 2  (5 cosΩ t ) 2



1/ 2

 5 2 cosΩ t

 5 cosΩ t
 tan1 (1) = –450 Không phụ thuộc t
5 cosΩ t
Theo sự diễn tả này ta có thể xem một tín hiệu phức như một vector và viết x(t)

– Phase: Φ(t )  tan1

Ảo

x(t)

xI(t)

0

(t)
-(t)

xR(t) = x*R(t)

Thực

x*I(t)
x*(t)

5

Hình.1.7: Tín hiệu phức x(t) và liên hiệp phức x*(t)
Hai đại lượng phức có cùng phần thực nhưng đối nhau phần ảo là liên hiệp phức của nhau (Hình 1.7).
Vì vậy, với một tín hiệu phức x(t), thì liên hiệp phức của nó là công thức (1.12),
x*(t) = xR(t) – jx(t) = x(t ) e  j (t )

(1.12)

1.1.4 Tín hiệu mũ phức
Công thức (1.1) là một tín hiệu sin thực. Mũ phức, hay Sin phức thì phổ biến hơn. Biểu diễn chung:
x(t )  Ae j (t 0 )
[]

(1.13)

Phasor là trình bày vector của tín hiệu (Hình.1.8). Nó tuần hoàn với chu kỳ 2 radians.
Ảo


t

xI(t)

x(t)



A
0

t

(t=0)

0

xR(t)

Thực

Hình.1.8: Trình bày Phasor dạng mũ
Từ một mũ phức, phần sin thực được dẫn xuất bởi hai cách. Đầu tiên lấy phần thực

x R (t) = Re[Acos(  t + o) + jAsin(  t + o)]
= Acos(  t + o)
(1.14)
Ảo


x(t)
A

t
0
x*(t)

2xR(t)



-0
-t

-

Thực


6

Hình.1.9: Cộng phasor x(t) vào liên hiệp thức x* (t) để hình thành phần thực 2 x R (t )
Đây là hình chiếu của phasor lên trục thực. Cách thức hai là sử dụng hai phasors, x(t) và liên hiệp phức
của nó x*(t) (Hình. 1.9), sau đó lấy trung bình.






1
x(t )  x * (t )
2
1
=
(1.15)
Ae j Ot O   Ae  j Ot O 
2

Chú ý khi hai phasors quay theo hai hướng đối nghich tại tần số gốc Ω và   , tổng kết quả bằng hai
lần sin thực.

x R (t) =



1.2 NHIỄU
Những sự biến thiên ngẫu nhiên chồng lên tín hiệu biểu diễn thông tin ngoài ý muốn của ta được gọi
chung là nhiễu. Trong thiết bị điên tử và mạch, nhiễu phát sinh do sự chuyển động của các electrons
(tốc độ không đồng nhất, sự va chạm)….những nhiễu này gọi là nhiễu nhiệt. Những thiết bị điện tử
hoạt động dựa trên nhiễu nhiệt cũng phát sinh ra nhiễu. Một số hiện tượng như sẫm chớp, sự đóng mở
của công tắc điện tử cũng gây ra xung nhiễu (vì nổ phát sinh biên độ cao). Mặt trời cũng phát sinh
nhiễu nhiêt. Nhiễu có thể là nhiễu nội, ngoại hoặc can nhiễu.
Một nhiễu đặc biệt, hay can nhiễu, mà chúng ta nên biết là sóng vô tuyến 50Hz/60Hz từ công suất dây
điện. Nhiễu này đi vào trong cơ thể chúng ta và mạch điện bằng sóng điện từ trường. Công suất cung
cấp cho mạch điện là từ nguồn can nhiễu 50Hz/60Hz.
Dựa vào đặc điểm tần số, nhiễu được phân biệt thành nhiễu trắng và nhiễu hồng….Nhiễu trắng tạo sự
thuận tiện đối với mô hình cũng như trong tần số vì nó có mật độ phổ công suất S(F) không thay đổi
theo tần số F. Hình 1.10 chỉ S(F) có giá trị cố định No/2. Khi nhiễu trắng xuyên qua lọc, nhiễu ngõ ra
sẽ không còn trắng vì đặc điểm tần số của lọc.
S(F)
N0/2

0

F(Hz)

Hình.1.10: Mật độ phổ công suất của nhiễu trắng.
1.2.1 Hàm mật độ phổ và hàm phân bố tích lũy

Ở trên là sự phụ thuộc của nhiễu vào tần số. Ở đây ta xét những khía cạnh quan trọng khác của
nhiễu. Đầu tiên, nhiễu được mô hình hóa như một biến thiên ngẫu nhiên, chú thích là x. Xác suất sự
xuất hiện nhiễu tại những biên độ khác nhau là hàm mật độ xác suất (PDF), hoặc xác suất, chú thích là
p(x). Hàm phân bố xác suất, hoặc hàm phân bố tích lũy (CDF), chú thích P(x) định nghĩa như sau:
x

P(x)   p(x)dx


(1.16)

Hai đặc tính cơ bản của biến ngẫu nhiên là trung bình, chú thích m (hoặc  ) , là thành phần momen
đầu tiên tại gốc, và phương sai, momen thứ hai, chú ý  2 ,


7



m  E[x] 




(1.17)

xp(x)dx

σ 2  E[(x  m)2 ] 






(x  m)2 p(x)dx

(1.18)

Với E là độ lệch chuẩn (hoặc giá trị mong muốn).
Bình phương phương sai gọi là độ lệch chuẩn, chú thích  .
Trong phân bố đồng nhất, giá trị của x nằm trong dải:
1
p(x) 
, axb
ba
PDF và CDF chỉ trong hình 1.11. Trung bình và phương sai tương ứng,
p(x)

(1.19)

P(x)

1
ba

1
1
2

a

0

m

b

x

0

a

m

b

x

Hình.1.11: Phân bố đ ồ ng nhấ t có trung bình m
ab
2
(b  a) 2
2 
12
1.2.1 Phân bố Gauss.
m

(1.20)

(1.21)

Thực tế, rất nhiều biến đổi ngẫu nhiên có phân bố Gauss (hay phân bố chuẩn). PDF và CDF
của nhiễu Gauss trắng tương ứng:
1

p x  

Fx  

2πσ

e x

2

/2 σ 2

(1.22)

 px dx
x

(1.23)



 2 là phương sai (  là độ lệch chuẩn). Phân bố có hìnnh dạng của một quả chuông úp (hình 1.12).
Xác suất đỉnh (tại x = 0) là
p(x)

P(x)

pP

1
2 
1
e

-

1
2 

1.0

0,5


0
x
0
Hình.1.12:Phân bố Gauss có trung bình không và phương sai  2

x


8
1

pP 

2 

e 0 / 2 

1

2

(1.24)

2 

Tại khoảng cách x   xác suất là
2
2
1
1
1
1
(1.25)
p 
e  / 2 
.
 0,606
2 
e 2 
2 

Phương sai  càng nhỏ thì chuông càng hẹp, nghĩa là, phân bố được trung tâm hóa.
Khi hiệu điện thế DC m bị gián đoạn bởi nhiễu, phân bố xác suất là phân bố gauss của nhiễu
nhưng trung bình được dịch đến một trung bình mới (Hình.1.13). Trung bình m có thể âm hoặc dương.
Phân bố xác xuất trở thành.
p x  

1

e  x  m 

2

2 πσ

/2 σ2

(1.26)

p(x)

pP

p

0

m-

m

x

m+

Hình.1.13: Phân bố Gauss có trung bình dương
1.3 LẤY MẪU TÍN HIỆU
Tín hiệu tương tự, nói chung, liên tục theo thời gian. Trong xử lý tín hiệu số, chúng ta không sử dụng
tín hiệu tương tự mà thay bằng biên độ của nó mà được lấy mẫu tại những khoảng thời gian lặp lại,
những biên độ này được gọi là mẫu. Vấn đề ta phải lấy mẫu tín hiệu sao cho những mẫu này trình bày
đúng tín hiệu nghĩa là từ những mẫu ta có thể tái tạo lại gần đúng tín hiệu tương tự ban đầu.
1.3.1 Mẫu của tín hiệu liên tục thời gian
Lấy mẫu một tín thiệu liên tục thời gian là chuyển nó vào dạng rời rạc thời gian để có thể xử lý trong
hệ thống số. Thực sự, sau khi lấy mẫu còn hai quá trình xử lý khác là lượng tử và mã hóa binary.
Nhưng thực tế, bộ chuyển đổi tương tự sang số (ADC or A/D) đã thực hiện cả ba bước trên.
Tín hiệu tương tự x(t)
Mẫu x(nT)

4T
0

5T
t

T

2T

3T

6T

Hình.1.14: Mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu (chu kỳ) T
Hình 1.14 diễn tả quá trình lấy mẫu tín hiệu tại khoảng lấy mẫu t=nT, với n là số nguyên, n =
0, 1, 2,.., -1, -2,…. Đây là quá trình lấy mẫu đồng nhất mà ta sử dụng thường xuyên, thực tế hiếm khi


9
đề cập tới lấy mẫu không đồng nhất. Để thuận tiện chúng ta ký hiệu mẫu tín hiệu x(t) là x(nT ) hoặc

xˆ (n) .
Cách lấy mẫu tín hiệu? Nhìn hình 1.15. Đỉnh là tín hiệu x(t), giữa là tín hiệu lấy mẫu s(t), đây
là những xung hẹp t có biên độ bằng 1. Nhân hai tín hiệu với nhau ta có được những giá trị tức thời
của x(t) hay còn gọi là những mẫu x(nT). Vì vậy lấy mẫu thực tế là nhân tín hiệu tương tự x(t) với tín
hiệu lấy mẫu (hay hàm lấy mẫu) s(t):
(1.27)
x(t )  x(nT )  x(t )s(t )
x(t)

0

t
(a) Tín hiệu tương tự

s(t)
1

t
0

8T

t

2T
4T
8T
(c) Mẫu (tín hiệu rời rạc thời gian)

t

2(T )

4T

6T

(b) Tín hiệu lấy mẫu

x(nT )
xˆ (n)
6T
0

Hình.1.15: Lấy mẫu bằng xung hẹp (t )
Hình 1.16a minh họa quá trình xử lý, hình 1.16b chỉ một công tắc điện (hình 1.15b) như là cách tiến
hành lấy mẫu. Khi công tắc đóng trong thời gian ngắn, tín hiệu cho qua, mở không có tín hiệu xuất
hiện.
x(t)
(a)

x

xˆ (t )  x(t )s(t )

s(t)

x(t)
(b)

x(nT )

s(t)

Hình 1.16: Nguyên tắc lấy mẫu (a) Nhân (b) Công tắc
Khoảng thời gian T được gọi là khoảng lấy mẫu hoặc chu kỳ lấy mẫu, f s  1 / T là tần số lấy
mẫu (Hz or samples/sec) hoặc tốc độ lấy mẫu. Mẫu được viết như x(nT) nhưng T thường được lấy
bằng 1, vì vậy mẫu được ký hiệu chung là x(n). n là chỉ số hoặc mẫu.


10
Nhìn hình 1.14 và 1.16 ta có thể hỏi tốc độ lấy mẫu nào là phù hợp nghĩa là tốc độ lấy mẫu
nên quá xa, quá gần hoặc ở giữa. Đây là một câu hỏi lớn và được trả lời như sau. Ví dụ lấy mẫu một
sóng sin x(t) có chu kỳ Tx và tần số Fx = 1/Tx tại tốc độ lấy mẫu f s (hình 1.17). Hình 1.17 thể hiện kết
quả cùng một sóng sin nhưng khác tần số lấy mẫu f s . Trong trường hợp một fs = 8Fx,, mẫu gần và
trình bày tốt tín hiệu (từ mẫu chúng ta có thể tái tạo lại tín hiệu). Trường hợp hai fs = 4Fx, những mẫu
này vẫn trình bày tín hiệu (tưởng tượng chúng ta nối lại thành công những giá trị mẫu để lấy lại sóng
tam giác khi xuyên qua một lọc tương tự thông thấp để làm trơn ngõ ra). Trường hợp cuối fs = 2Fx, tốc
độ lấy mẫu bằng hai lần tần số tín hiệu. Đây là trường hợp tranh cãi: phu thuộc vào những điểm lấy
mẫu sóng có thể hoặc không trình bày lại được tín hiệu.

0

Tx

0

Tx
(b) fs= 4Fx

(a) fs= 8Fx

Tx

0

(c) fs= 2Fx

Hình.1.17: Lấy mẫu sóng sin có tần số Fx  1 / Tx tại những tốc độ lấy mẫu khác nhau f s
1.3.2 Định lý lấy mẫu
Chúng ta xét một tín hiệu liên tục thời gian x(t) trình bày thông tin chẳng hạn như âm thanh. Phổ tần
số | Xˆ ( F ) | được giả sử như trong hình 1.18a, FM là tần số lớn nhất.
X(F)
(a)

F
-FM 0

FM

F

ˆ F 
X

(b)
-2fs

-fs
Khoảng Nyquist

-FM 0



fs/2

-fs/2

FM fs-FM

fs fs+FM

2fs

Xˆ F 




(c)

-fs -fs/2 0 fs/2

-2fs

fs

F

2fs

ˆ F 
X

(d)


-2fs

0
-fs
-fs/2
fs/2

fs

2fs



F

11

Hình.1.18: Phổ tần số hai bên (a) Tín hiệu tương tự, (b) lấy mẫu tín hiệu f s  FM , (c) Lấy mẫu
tín hiệu f s  2FM , (d) Lấy mẫu tín hiệu f s  2FM
Tín hiệu được lấy mẫu bằng một xung hẹp tuần tự biên độ 1 như trên, chuỗi Fourier (xem phần 3.1)
của hàm lấy mẫu là

st  

t
Tx

2

t
Tx



 cos 2mf t

(1.28)

s

m 1

Tx là chu kỳ cơ bản của tín hiệu x(t ) . Vì vậy mẫu được cho bởi

xˆ t   xt st  

t
Tx

xt   2

t
Tx



 xt cos 2mf t
m 1

(1.29)

s


Điều này cho thấy phổ tần số X (F ) của tín hiệu được lấy mẫu bao gồm phổ tần số của tín hiệu tương
tự (với một thừa số nhân t/Tx) và những họa tần 2fs, 3fs… Phổ này cũng có thể lấy được bằng cách
biến đổi Fourier (xem phần 3.2) thay vì chuỗi Fourier.
Trong hình 1.18b giải phổ không trùng lắp vì vậy chúng ta có thể phục hồi tín hiệu tương tự
bằng một lọc thông thấp lọc giải trung tâm, hoặc lọc thông dải lọc những dải băng khác. Tất cả những
giải tấn số chứa cùng thông tin nhưng khác tần số. Hình 1.18d chúng ta không thể phục hồi tín hiệu
tương tự. Vì vậy trường hợp hạn giới hạn là hình 1.18c. Từ sự quan sát này, định lý lấy mẫu được phát
biểu như sau:
Để những mẫu trình bày đúng tín hiệu tƣơng tự ban đầu, tần số lấy mẫu phải lớn hơn
hai lần thành phần tần số lớn nhất của tín hiệu tƣơng tự:

fs > 2FM
(1.30)
Tần số giới hạn 2FM được gọi là tốc độ Nyquist, và khoảng tần số trung tâm [-fs/2, fs/2] gọi là khoản
Nyquist.

Ví dụ nếu một sóng có tần số cơ bản 1 kHz và ọa tần thứ hai 2kHz, sau đó tốc độ lấy mẫu phải lớn
hơn 2 x 2 kHz = 4 kHz, hay lớn hơn 5 kHz. Một ví dụ khác là âm thanh trong hệ thống điện thoại. Âm
thanh bị hạn chế bởi một lọc thông cao tương tự FM = 3.4 kHz, sau đó tần số lấy mẫu phải lớn hơn 2 x
3.4 = 6.8 kHz, hay lớn hơn 8 kHz .
Trường hợp trong hình1.18d, đây là hiện tượng aliasing sẽ được thảo luận kế tiếp.
1.3.3 Aliasing
Ta muốn biết việc gì xảy ra khi tín hiệu được lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist., hay định lý lấy mẫu không
thỏa mãn. Nhìn hình 1.19. Tín hiệu tần số thấp x1(t) được lấy mẫu 4 lần tại S1, S2, S3 và S4 trong một
chu kỳ tín hiệu, vì vậy fs = 4Fx1. Từ những mẫu chúng ta có thể phục hồi lại x1(t). Cho tín hiệu tần số
cao x2(t), ở đây cũng được lấy mẫu 4 lần S1, S2, S3 và S4 trong 9 chu kỳ của tín hiệu này. Vì vậy tần số
lấy mẫu (4/9) Fx 2 , lấy mẫu dưới tốc độ Nyquist. Từ những điểm mẫu của x2(t) ta sẽ phục hồi x1(t) mà
không phải x2(t). Vì vậy tín hiệu tần số cao khi lấy mẫu dưới ngưỡng sẽ được phục hồi như tín hiệu tần
số thấp. Hiện tượng này được gọi là aliasing, và tần số thấp được phục hồi lại được gọi là alias của
tín hiệu tần số cao ban đầu.

.

S2
S1

.

x1(t)

x2 (t)

S3

.

.S

5

.

S4

t


12

Hình .1.19:Tín hiệu tần số thấp x1 (t ) và tín hiệu tần số cao x 2 (t ) được lấy mẫu tại cùng những điểm
S1 , S 2 , S 3 , S 4 , S 5
Để tránh aliasing, ở đây có hai cách giải quyết: Một là nâng tần số lấy mẫu để thỏa định lý lấy mẫu,
cách khác là lọc bỏ thành phần tần số cao không cần thiết từ tín hiệu liên tục thời gian. Chúng ta loại
bỏ tần số tín hiệu bằng sự ảnh hưởng của một lọc thông thấp được gọi là tiền lọc chống aliasing, để
giữ tần số cao nhất bằng hoặc ít hơn một nửa cường độ tốc độ lấy mẫu. Nếu lọc không hoàn hảo,
chúng ta xem như thừa nhận. Ví dụ trong xử lý âm thanh, nếu lọc thông thấp cho phép những tần số
trên 3,4 kHz đi qua dù biên độ nhỏ, tần số lấy mẫu phải 8kHz hoặc cao hơn.
Hiện tượng aliasing có thể biểu diễn toán học. Xem một tín hiệu mũ phức có tần số F được lấy
mẫu tại khoảng thời gian T, mẫu tín hiệu x(nT):
x(t )  e j 2Ft  x(nT )  e

j 2FnT

Bây giờ xem một tín hiệu khác F  mfs , m = 0, 1, 2 … , mà được lấy mẫu để có xm(nT):
xm (t )  e j 2( F  mf s )  xm (nT )  e j 2( F  mf s ) nT

vì
fsT = 1
do đó

and

e j 2mf s nT  e j 2mn  1

xm nT   e j 2  F mf s   e j 2fnT e j 2mFs nT  e j 2FnT  xnT 

(1.31)

Kết quả cho thấy hai tín hiệu xm(t) và x(t) tại tần số khác nhau có cùng tốc độ lấy mẫu. khi phục hồi
tín hiệu từ những mẫu này, những tín hiệu thuộc khoảng Nyquist [-fs/2, fs/2] (Hình1.18b) sẽ được phục
hồi, ngược lại những tín hiệu có tần số bên ngoài khoảng Nyquis có thể bị alise trong khoảng này.
Tóm lại, với một tín hiệu tương tự có tần số F được lấy mẫu tại tốc độ fs , đầu tiên chúng ta phải cộng
hoặc trừ tần số như sau:
f0 = F  mfs ,

m= 0, 1, 2, . . .

(1.32)

và sau đó tìm tần số nằm trong khoảng Nyquist, đây là những tần số được phục hồi
ví dụ 1.3.1

Một tín hiệu có tần số 50Hz được lấy mẫu 80Hz. Tần số phục hồi là bao nhiêu? Lặp lạ khi được lấy
mẫu 120Hz.
Giải
Với F = 50 Hz, fs = 80 Hz, Tín hiệu được lấy mẫu dưới ngưỡng (không thỏa định lý lấy mẫu). Khoảng
Nyquist [-40 Hz, 40 Hz]. Mẫu không chỉ có tần số F = 50 Hz mà còn gồm những tần số F  mfs =
100  m80, m = 0, 1, 2…, đó là những tần số:
fo = 50, 50  80, 50  160, 50  240 …
= 50, 130, -30, 210, -110, 290, -190 …
Chỉ tần số -30 Hz nằm trong khoảng Nyquist, vì vậy tín hiệu phục hồi sẽ là -30 Hz (30Hz và đảo phase
). Tín hiệu này là alias của tín hiệu gốc 50Hz. Chú ý rằng 30Hz là sự khác nhau 80 Hz – 50 Hz.
Bây giờ, tần số lấy mẫu 120 Hz thỏa mãn định lý lấy mẫu, vì vậy tần số gốc 50Hz sẽ được
phục hồi. Không có những tần số khác fo = 50  m120 = 50, 170, -70, 290, -190, … nằm trong
khoảng Nyquist [-60 hZ, 60 Hz], ngoại trừ tần số gốc 50 Hz.


13
Ví dụ 1.3.2
Một hệ thống DSP sử dụng tần số lấy mẫu fs = 20 kHz để xử lý tín hiệu audio có tần số giới hạn 10
kHz, nhưng lọc thông thấp cho phép tần số lên đến 30Hz đi qua dù biên độ nhỏ. Tín hiệu nào chúng ta
lấy lại từ những mẫu.
Giải
Từ tốc độ lấy mẫu fs = 20 kHz, khoảng Nyquist [-10kHz, 10kHz]. Vì vậy những tần số audio 0 –
10kHz sẽ được phục hồi. Những tần số audio từ 10 – 20 kHz là alias trong giải tần số 0–10 kHz. Kết
quả là sự méo dạng gây ra bởi sự chồng chập của 3 dải tần số.
Chúng ta kết thúc phần này với giản đồ khối của một hệ thống DSP nói chung hình 1.20. Tín
hiệu số ngõ ra y(n) từ đơn vị DSP được chuyển từ số sang tương tự (DAC hoặc D/A) trở thành tín
hiệu tương tự thô trước khi qua một lọc thông thấp hay hậu lọc. Tín hiệu tương tự tái tạo cuối cùng là
x0 (t ) có mẫu như tín hiệu vào x(t) hoặc khác, phụ thuộc vào sự xử lý của khối DSP và chất lượng của
những khối khác.
Ví dụ 1.3.3

Xét tín hiệu
x(t) = 4 + 3cost + 2cos2t + cos3t
(t: ms)
(a) Tìm tần số Nyquist
(b) Nếu tín hiệu được lấy mẫu tại tần số bằng một nửa lần tần số Nyquist frequency, tìm tín hiệu
cuối cùng x0(t) là alias của x(t).
Giải
(a) Vì đơn vị thời gian là ms, tín hiệu có 4 tần số
F1 = 0Hz, F2 = 0,5kHz, F3 = 1kHz, F4 = 1,5kHz
Tần số cao nhất fmax = f4 = 1.5kHz, tốc độ Nyquist 2x1.5kHz = 3kHz. Tín hiệu được lấy mẫu tại tốc
độ lơn hơn 3kHz sẽ không có biệt danh.
(b) Khi tín hiệu được lấy mẫu tại 1.5kHz hiện tượng alias sẽ xuất hiện. Bây giờ khoảng Nyquist
[-0.75, 0.75)kHz. Hai tần số f1 và f2 nằm trong khoảng này thì không bị biệt danh, ngược lại hai tần số
f3 và f4 nằm ngoài khoảng Nyquist thì xuất hiện hiện tượng biệt danh:
F30 = F3  mFs = 1mod(1,5) = 1 - 1,5 = - 0,5kHz
F40 = F4  mFs = 1,5mod(1,5) = 1,5 - 1,5 = 0kHz
Tín hiệu được phục hồi x0(t) có những tần số f10, f20, f30 and f40. Vì vậy tín hiệu tương tự được phục hồi
lại có dạng
x(t) = 4cos2F1t + 3cos2F2t + 2cos2F30t + cos2F40t
= 4 + 3cost + 2cos(-t) + cos0 = 5 + 5cost
10

x(t)

0

T

x 0(t)

2T

3T

4T

5T

6T

7T

8T

9T

Hình. 1. 20: Ví dụ 1.3.3 (tín hiệ u cho x(t) và tín hiệ u phụ c hồ i x0(t))

t


14
Tín hiệu x(t) và x0(t) vẽ trong hình. 1.20. x0(t) nằm bên trọng khoảng Nyquist, nghĩa là nó chứa
những thành phần tần số thấp và trơn hơn. Phổ của x(t) và những thành phần phổ trích ra cũng nằm
trong khoảng Nyquist (Hình. 1.21).
Như đề cập ở trước, một tiền lọc tương tự thơng thấp được sử dụng để loại bỏ những tần số
vào khơng cần thiết để tần số lấy mẫu khơng q cao. Khi lọc khơng phải là lọc lý tưởng nó sẽ khó để
loại bỏ những thuộc tính alias.
Ví dụ 1.3.4
Một tín hiệu audio gồm những thành phần

(t) = 2Acos10t + 2Bcos30t + 2Ccos50t + 2Dcos60t
+ 2Ecos90t + 2Fcos125t
(t: ms)
Tín hiệu đi qua một tiền lọc tương tự H(f) và sau đó được lấy mẫu tại tốc độ 40kHz, cuối cùng được
phục hồi bằng một lọc tương tự lý tưởng –fs/2, fs/2 (Hình. 1.21a)
xa(t)
Tín hiệu
tương tự
vào

Tiền lọc
H(f)

x(t)
Tín hiệu
tương tự
sau lọc

Lấy mẫu
40kHz

xâ(t)
x(nT)

Khôi phục
lý tưởng

Tín hiệu
số
(các mẫu)

x0(t)
Tín hiệu
tương tự
tái lập

Hình 1. 21a: Ví dụ 1.3.4 (Mộ t hệ thố ng ayudio
DSP)
Tìm tín hiệu tương tự được phục hồi x0(t) với những điều kiện như sau:
(a) Khơng có tiền lọc, nghĩa là H(f) = 1 tại tất cả tần số
(b) Khi H(f) là một lọc thơng thấp lý tưởng có tần số cắt tại 20kHz.
(c) Khi H(f) là lọc thực tế có những đặc tính cho như trong hình 1.21b, nó bằng từ O0t0 20Hz và
sau đó dốc 60dB/octave. Bỏ qua hiệu ứng pha
Giải
Tín hiệu audio có những thành phần
FA = 5kHz,
FB = 15kHz,
FC = 25kHz,
FD = 30kHz,
FE = 45kHz,
FF = 62,5kHz
Vì chỉ những thành phần FA and FB là tín hiệu, vì vậy tín hiệu được cho có dạng
x0(t) = x01(t) = 2Acos10t + 2Bcos30t
Ta thay cosin bằng thành phần phức và lấy biến đổi Fourier. Thành phần thứ nhất là

2 A cos 2FAt  Ae 2jFAt  Ae 2jFAt  A F  FA   A F  FA  (1.34)
H(f)

1
-30dB/octave

-30dB
-60dB

-60dB/octave
lý
tưởng
0

20

f
40

60

kHz

HÌnh 1.21b: Tiế p ví dụ 1.3.4c (phổ củ a x(n))


15
Lặp lại quá trình lấy mẫu với phổ là tích dƣơng và âm của fs. Những thành phần C, D, E, F nằm
bên ngoài khoảng Nyquist [-20, 20]kHz là những tần số alias
FC=25  = FC - Fs = 25 - 40 = - 15kHz
FD=30
 = FD - Fs = 30 - 40
= - 10kHz
FE=45
 = FE - Fs = 45 - 40

= 5kHz
FF=62,5  = FF – 2Fs= 62,5 - 2x40 = - 17,5kHz
(a) Khi ở đây không có tiền lọc, tín hiệu ra x(t) giống tín hiệu vào x a(t). Hậu lọc phục hồi những
thành phần tần số nằm trong khoảng Nyquist [-20kHz, 20kHz) và tín hiệu bị alias trong khoảng này:
x0(t) = 2Acos10t + 2Bcos30t + 2Ccos(-215t)
+ 2Dcos(-210t) + 2Ecos25t + 2Fcos(-217,5t)
= 2(A+E)cos10t + 2(B+C)cos30t + 2Dcos20t + 2Fcos35t
(1.35)
Tín hiệu audio bao gồm tín hiệu gốc 5 và 15kHz với hai tần số alias10 và 17.5kHz. Vì vậy tín hiệu
audio ngõ ra x0(t) khác với tín hiệu vào xa(t).
(b) Khi sử dụng lọc thông thấp lý tưởng với tần số cắt f2/2 = 20 kHz tín hiệu x(t) cũng như tín
hiệu x01(t) chứa những tần số fA và fB như trước, tất cả những tần số khác được loại bỏ. Vì vậy, ở đây
không có alias.
(c) Khi sử dụng lọc thực tế như hình 1.21b, thành phần tín hiệu ngõ ra của lọc được thay bằng
biên độ và pha. Ví dụ, thành phần fA sẽ là
H
2 A cos 2FAt 
2 A H FA  cos2FAt  FA 

Bở qua sự thay đổi pha, ngõ ra
x(t) = 2AH(FA)cos10t + 2BH(FB)cos30t + 2CH(FC)cos50t
+ 2DH(FD)cos60t + 2EH(FE)cos90t + 2FH(FF)cos125t
Vì thành phần fA và fB nằm trong vùng nơi đáp ứng lọc là 1 (0 dB) vì vậy
H(fA)=H(fB)= 1
 Y(f) 
D C

E

B

F

A

A

B

(-19.3dB)
CD

(-35.1dB)
(-70.1dB)
E
(-98.6dB)
F
f

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 kHz
khoaûng
Nyquist
Ví dụ 1.21d: Tiế p ví dụ 1.34d continued (phổ ngõ ra vớ i lọ c thự c tế ).
Ta biết rằng n octave được định nghĩa như sau

F 
n  log 2  2 
 F1 

or

F2
 2n
F1

Số octave từ tần số cắt fa/2 là

log 2

FC
25
 log 2
 0.322 octave
Fs 2
20

Vì vậy sự giảm tại FC là
60dB/octave x 0.322 octave = 19.3dB

(1.36)


16
Ngược lại, sự giảm AdB tại tần số F tương ứng với tần số cắt fs/2

AdB  20 log 10

H F 

hay

H  f s 2

H F 

H  f s 2

 10  A 20

(1.37)

Với H(fs/2)= 1 = 0dB. Vì vậy, đáp ứng biên độ tại fC là

H FC   10 19,3 20 

1
9

Giống như vậy cho việc tính những đáp ứng biên độ khác. Kết quả:

H FD   10 35,1 20 

1
57
1
H FE   10 70,1 20 
3234
1
H FF   10 98,6 20 
85114

Vì vậy ngõ ra x(t) của lọc là

x(t) = 2Acos10t + 2Bcos60t +
+

2C
2D
cos50t +
cos60t
9
57

2E
2F
cos90t +
cos125t
3234
85114

Vì những thành phần tần số bên ngoài khoảng Nyquist bị suy giảm, nên tín hiệu biệt danh cũng giảm.
Vì vậy tín hiệu phục hổi là




x0(t) = 2  A 

E 
C


 cos10t + 2  B   cos30t

3234 
9
2F
2D
+
cos20t +
cos35t
85114
57

(1.38)

Đáp ứng tần số biên độ của lọc thực chỉ trong hình 1.22. Tần số dừng f sb và độ suy giảm AC giống như
khi biệt danh cũng ở mức cho phép. Tần số lấy mẫu được chọn như sau:
fs = ft + fch

(1.39)

Vì vậy tần số Nyquist fs/2 nằm giữa vùng chuyển tiếp. Sự suy giảm tại tần số f so với tần số tham
chiếu f0 là

A f dB  20 log 10

H f 

(1.40)

H  f0 

Đáp ứng của lọc thông thấp tại tần số f lớn hơn tần số cắt

H F   a

1
FN

F lôùn

(1.41)

Với a là hằng số phụ thuộc loại lọc và N là bậc lọc. Sự suy giảm tại tần số cao, a cho bằng 1.


17

 H(F)
Tiền lọc lý tưởng
Vùng chuyển tiếp

Ac
F
-Fsb-fs/2 -f pb

dải
chận

0

fpb fs/2 fsb

dải thông

dải
chận

Hình 2.12 : Tiền lọc chống biệt danh thông thấp thực tế
1
f lớn
A f dB  20 log 10 N  20 N log 10 F

f

(1.42)

Với một lọc thực tế có đáp ứng tần số H(F) phổ ngõ ra là
X(f) = H(F)Xa(F)
(1.43a)
Với Xa(f) là phổ của tín hiệu vào tương tự. Độ suy giảm dB được cho bởi
AX(f) = A(f) + AXa(f)
(1.43b)
Với AX(f) = -20log10 Xf  / Xf 0  , và AXa(f) = -20log10 X a f  / Xf 0  . Khi tín hiệu x(t) được lấy
mẫu, phổ của X(f) được lặp lại tại những khoảng lấy mẫu và sự suy giảm AX(f) quyết định sự trùng lắp
của phổ được lặp lại, nghĩa là cấp độ của sự biệt danh. Tiền lọc được chọn để sự suy giảm Ax(f) với sự
suy giảm Axa(f) của phổ đầu vào đủ cao để giảm alias.
Ví dụ 1.3.5
Một tín hiệu audio có đáp ứng biên độ bằng phẳng với những tần số lên đến 4kHz và sau đó giảm
15dB/octave. Tần số lấy mẫu 12kHz.

(a) Nếu khơng sử dụng tiền lọc, tính hiện tượng alias trong tín hiệu mong muốn ở tần số 1 đến 4
kHz.
(b) Sử dụng một tiền lọc để giảm những thành phần biệt danh trong tín hiệu audio ở dải tần số
hơn.
Giải
(a) Vì sự lấy mẫu, dải tần số trung tâm của X(F) lặp lại sau mỗi tần số lấy mẫu f s = 12 kHz (Hình.
1.23). Vì tính chất đối xứng của dải phổ nên phần cắt cụt bằng nhau và sự suy giảm a và b tại tần số 4
và 8 kHz bằng nhau và bằng a = b = 15dB. Những tần số trong vùng cắt cụt bị suy giảm 15dB hoặc
lớn hơn. Vì vậy sự suy giảm khơng đủ tốt

dải phổ giữa

lặp lại thứ -1

X(f)

-15dB/octave

lặp lại thứ +1

0dB
-15dB a
-16

-12

-8

-4

0

4

khoảng tần
số giữa

Hình. 1.23 : Ví dụ 1.3.5

b
8

12

16

F (KHz)


18
(b) Nếu một tiền lọc được sử dụng với tần số dải qua F pf = 4 kHz, thì tần số dải dừng là Fsp = fa –
Fpb = 12 – 4 = 8 kHz. Sự suy giảm tại tần số này với chình tín hiệu là 15dB. Tại tần số này sự suy giảm
của lọc là Asf (dB).
Vì a = b và với sự u cầu a = 50dB, thì
b = 15 + Asb = x  50 (dB)
Asb  50 - 15 = 35dB
Vì vậy tiền lọc có đáp ứng phẳng lên đến 4kHz, và bắt đầu dừng tại 8kHz
Ví dụ 1.3.6
Một tín hiệu tương tự có phổ phẳng lên đến tần số F M, sau đó phổ bị phân huỷ đi α dB/octave. Tiền lọc
tự biệt danh có đáp ứng phẳng cũng lên đến tân số F M sau đó đáp ứng giảm β dB/octave. Với u cầu

bên trong dải tần số lên đến 4 kHz những thành phần bị biệt danh phải giảm hơn A dB. Tìm tần số lấy
mẫu nhỏ nhất.
Giải
Tần số cắt dải qua là Fpb = FM và tần số bắt đầu dải dừng tại f sb = fs – fM. T. Trên tần số fM sự suy giảm
tại một tần số chắc chắn F là tổng của sự suy giảm tín hiệu và sự suy giảm của tiền lọc.
(1.44)

dải phổ giữa

lặp lại thứ -1

X(f)

-15dB/octave

lặp lại thứ +1

0dB
-15dB a
-fs

-FM

-4

0

4

khoảng tần

số giữa

b
FM

fs

F

Hình. 1.24 : Ví dụ 1.3.6

Sự suy giảm là (α + β) dB/octave. Vì sự đối xứng chẵn của phổ ta có
a = Ax(Fsb) = Ax(fs - FM)
Vì sự u cầu a ≥ A dẫn đến
Ax(fs - FM) ≥ A
Thay vào (1.44) ta có
≥A
Tần số lấy mẫu nhỏ nhất là
fs = FM + 2A/(α + β)FM
Nếu sự suy giảm α và β được cho ở dạng dB/decode thay vì dB/octave thì log10 được sử dụng thay vì
log2 và kết quả sẽ là
fs = FM + 10A/(α + β)FM


19
Ví dụ trên chỉ rằng để loại đi tiền lọc can nhiễu biệt danh tần số lấy mẫu phải lớn hơn tóc độ
Nyquist (ít nhất một vài lần), lọc thích hợp là một lọc bậc 4.
Nếu tần số lấy mẫu gần với tốc độ Nyquist ta phải sử dụng một lọc bậc 10 .
Ta kết thúc phần này bằng một giản đồ khối của một hệ thống DSP hoàn hảo hình.1.20). Tín
hiệu số ngõ ra y(n) từ đơn vị DSP được chuyển đổi bằng bộ chuyển đổi (DAC or D/A) trở lại thành

tín hiệu tương tự sau khi qua một hậu lọc thông thấp. Tín hiệu tương tự phục hổi lại sau cùng x0 (t )
giống với tín hiệu ngõ ra x(t) hoặc khác phụ thuộc vào sự xử lý của khối DSP và chất lượng của
những khối khác.
x(t)

Antialiasing
prefilter
(lowpass)

Analog signal

Digital
Signal
in

ADC
Sampling
Quantization
Coding

Digital
signal
out

DSP

x(n)

DAC

y(n)

Postfilter
(lowpass)

Recovered analog signal

Hình .1.25 Sơ đồ khối của DSP tổng quát

x 0 (t)
(t)
1.4 TÍN HIỆU RỜI RẠC THỜI GIAN
Như đã phát biểu, mẫu của tín hiệu liên tục thời gian hình thành tín hiệu rời rạc thời gian tương ứng.
Những mẫu này đã được lượng tử và mã hóa nhị phân để trở thành tín hiệu số thật sự. Tuy nhiên hai
quá trình cuối, lượng tử và mã hóa nhị phân có thể được hiểu, vì vậy khi nói rời rạc thời gian hay số
chúng ta hiểu giống nhau.

...

1

2
-3

-4

x(n)

3
1

-2 -1

3

1

0

3

2
2

-2

1
4

5

..
.

n

-2

-1

(a) Thời gian vô hạn
3

x(n)
2

2
0
-4

2

0 -2 -1
-3

0

1

-1

3

0

0

4

5

-1
-2
(b) Thời gian hữu
hạn
Hình.1.21: Tín hiệu rời rạc thòi gian

n


20

Hình 1.26 là một ví dụ. Biên độ của những mẫu x(n) có giá trị bất kỳ: dương, âm, không, hoặc
không xác định, thực hoặc phức (thường cho là phức). Tín hiệu có thể là vô hạn, tồn tại ở mọi thời
gian, hữu hạn, tồn tại trong một khoảng thời gian ngắn, thường lấy xung quanh gốc.
Để thuận tiện, chúng ta có thể viết hai tín hiệu ở hình 1.21 như dạng tương ứng sau:
x(n) = [ ... 1, -2, 2, 3, 1, -1, 2, -2, 1, 3 ... ]
x(n) = [ -2, -1, 2, 2, -1, 3 ]
Hình thức này, tín hiệu rời rạc thời gian gọi là chuỗi (hoặc chuỗi rời rạc thời gian). Chú ý rằng chúng
ta phải có mẫu đặc biệt tại gốc, ví dụ viết nét đậm, gạch dưới hoặc kèm theo một mũi tên.
1.4.1 Tín hiệu rời rạc thời gian cơ bản
Chúng ta có những tín hiệu rời rạc thời gian cơ bản, giống với trường hợp liên tục thời gian (xem
phần 1.1.2).
(a) Mẫu đơn vị
Mẫu đơn vị hay gọi là xung đơn vị là tín hiệu có biên độ bằng 1 tại gốc và 0 tại nơi khác hình 1.22a
(n) = 1 ,
n=0
(1.45)
0,
n0

Chú ý rằng tín hiệu rời rạc thời gian không phải những phiên bản được lấy mẫu của bản sao tương tự
(xem phần 1.1.2) nhưng (n)  (n) (1.4).
x(n) = (n)

1

(a) Mẫu đơn vị

-2

-1

(b) Bậc đơn vị

0

1
2
x(n) = u(n)

3

n

1
...
-2

-1

0

1

2

n

3

x(n) = r(n)
1

(c) Dốc đơn vị

...
-2

-1

0

1

2

3

n

Hình.1.27: Ba tín hiệu cơ bản
(b) Bậc đơn vị
Bậc đơn vị được định nghĩa như sau (Hình.1.27b)
u(n) = 1 ,

n0

(1.46)


21
0,

n < 0 (or n ≤ -1)

(c) Dốc đơn vị
Đây là một tín hiệu phân kỳ (biên độ đi đến vô cực khi n tiến tới vô cực), định nghĩa như sau
(Hình.1.27c)
r(n) = n ,
0,

n0
n < 0 (or n <=-1)

(1.47)

x(n)
1

-2

...

-1

0

1

2

n

3

(a) 0 < a < 1
x(n)
...

1
-2

-1

0

1

2

3

n

(b) a > 1
x(n)
1
1
-2

-1

0

...

3
2

n

(c) -1x(n)
1
-2

-1

1

0

(d) a < -1
Fig.128: Mũ thực

2

3

4

...
n


22
(d) Mũ thực
Mũ thực là một tín hiệu cực, định nghĩa như:
x(n) = an,
0,

n0
n<0

(1.48)

a là hằng số thực. Có 4 trường hợp khác nhau hình 1.28, 2 trường hợp hội tụ, 2 phân kỳ
1.4.2 Sin, tần số số, chu kỳ, mũ phức
Tín hiệu liên tục (công thức 1.1)) được lấy mẫu tại chu kỳ T :
x(t) = Acos(  t + 0)  A cos(nT   0 )

(1.49)

với A là biên độ, Ω = 2F là tần số gốc (rad/s), F tần số (Hz), Φo pha ban đầu (rad), T = 1/F = 2/Ω
chu kỳ (sec).
Biểu thức của tín hiệu cosin rời rạc thời gian:
x(n) = Acos( n + 0)

(1.50)

Với A là biên độ , n chỉ số thời gian , và đại lượng  sẽ được thảo luận sau.Ví dụ:
x(n) = Acos(n/6 + /3)
Dạng sóng được vẽ ở hình 1.29, nơi hình dạng sóng sin và chu kỳ thể hiện rõ, nhưng nó không phải
lúc nào cũng vậy
x(n)
A
...

A/2
2

-10 -8 -6
-14 -12

-4 -2 0

0

4

6

14
8 10 12

...

n

-A



Hình.1.29: Tín hiệu x(n)  cos n  
6
3


So sánh (1.49) và (1.50) chúng ta có sự liên hệ cơ bản sau:

  T

(1.51)

Đơn vị của  là (rad/s) (s) = rad, nhưng thường được hiểu radians/mẫu.  được gọi là tần số số định
nghĩa  = 2f với f là tần số (cycles/sample). Tín hiệu sin số hoàn thành một chu kỳ khi:
n  2 radians
Hoặc
2
radians/mẫu


n
Vì vậy  có thể được xem như gốc được mở rộng bởi hai mẫu liên tục khi mẫu được phân bố đồng
nhất trên đường tròn tâm tại gốc.
Vì Ω  2F and T  1 / f s Chúng ta có công thức (1.51)

ω  2π
Hoặc

F
fs

(1.52)


23

f 

F
fs

(1.53)

(Nhớ rằng F là tần số tương tự đơn vị Hz, f s tần số lấy mẫu đơn vị samples/cycle, f tần số số đơn vị
mẫu/chu kỳ). Chú ý rằng tần số số  và f phụ thuộc vòa tần số tương tự F và tần số lấy mẫu f s .
Cũng lưu ý là cả ω và f là liên tục (chỉ f s là rời rạc). Chúng ta sẽ tần số gốc số  thường xuyên và
nó được gọi là tần số số cho ngắn gọn. Tuy nhiên một số tác giả thường thích sử dụng f.
Liên hệ giữa  và F được chỉ trong hình 1.25. Hình trên chỉ mối liên hệ theo thang tuyến tính,
ngược lại hình dưới chỉ mới liên hệ trong một đường tròn. Nhớ rằng tần số tương tự F không tuần

hoàn, nó có giá trị giữa   to  , trong khi tần số số  là đường tròn, sự biến thiêng của nó quanh
một đường tròn với chu kỳ 2 , với khoảng tần chu kỳ trung tâm [, ] tương ứớng với khoảng
Nyquist [-fs/2, fs/2] (Fig.1.18). Điều này có nghĩa tín hiệu sin có những tần số  khác nhâu trong
khoảng phân biệt, trong khi đó sin có tần số bên ngoài khoản sẽ là alias với bên trong.

...



...

3 fs
2

fs

-3

-2



fs
2

-

0

fs

2

fs

0



2

3 fs
2

...

F (Hz)

. . .  (radians/sample )

3

Khoảng Nyquist

f 
 
F  s 
2 
4 

 (F=fs/2)

 =0 (F=0)
0

- (F=-fs/2)



f 
 
F   s 
2 
4 

Hình.1.30: Liên hệ giữa tần số tương tự F và tần số gốc số 
Sự tuần hoàn của tín hiệu sin rời rạc
Trong hình 1.29 tín hiệu cos (n/6 + /3). Hình của những mẫu rõ rang bao gồm cả sin và tuần hoàn.
Tín hiệu rời rạc thì tuần hoàn với chu kỳ 12 mẫu (bằng cách đếm mẫu và tính 2/(/6) = 12).
Tuy nhiên, ở đây có những trường hợp nơi tín hiệu rời rạc là tuần hoàn nhưng hình bao không
phải là sin hoặc tuần hoàn. Ví dụ, tín hiệu x(n)  cos 5n / 6 được vẽ trong hình 1.31. Hình bao không
ôm hình dạng của sin, nhưng nó tuần hoàn với chu kỳ 12 mẫu (bằng cách đếm mẫu và tính 2/(/6) =
12)
Cũng như vậy, ở đây cũng có trường hợp những mẫu của tín hiệu rời rạc thời gian nằm trên hình
sin và hình bao tuần hoàn nhưng tín hiệu không tuần hoàn, những mẫu không tạo thành một sự tuần
hoàn.
x(n)

-1
0
-2

1

1

4

1
2 3

6
5

8
7

11
9

1

16

13
12

14 15

18
17

20
19

23
21 22

24

n


24

10

Hình.1.31: Tín hiệu x(n)  cos(5n / 6)
Vì vậy, sự tuần hoàn của tín hiệu sin rời rạc thì hơi bị nhập nhằn, và chúng ta muốn ở đây nên có một
số tiêu chuẩn.Vì điều này, bắt đầu với sin rời rạc cos n tuần hoàn ở chu kỳ N mẫu:

cos n  cos (n  N )  cos(n  N )
Để thỏa điều kiện này N phải là bội số nguyên m nào đó của 2 :
m nguyên
N  2m ,
Hoặc

ω
m
 f 
2π

N

(1.54)

Như vậy tín hiệu sin số chỉ tuần hoàn khi  / 2 (hoặc f) là một số hữu tỉ (tỉ số hai số nguyên). Chu
kỳ thật sự N sẽ bằng với phân số m/N sau khi đơn giản hóa ( bỏ đi phần thừa số chung). Nếu  / 2
không phải là một số hữu tỉ thì tín hiệu không tuần hoàn. Như đã nói ở trươc, tín hiệu rời rạc có thể
tuần hoàn hoặc không nhưng hình bao của những mẫu thì luôn tuần hoàn. Sau đây là một số ví dụ:
 Tín hiệu cos(n / 6) tuần hoàn vì  / 2  ( / 6) / 2  1 / 12 (một số hữu tỉ) và tuần hoàn ở chu
kỳ 12 mẫu.
 Tín hiệu cos 5n / 6 tuần hoàn vì  / 2  (5 / 6) / 2  5 / 12 (một số hữu tỉ) và tuần hòan ở
chu kỳ 12 mẫu.
Tín hiệu cos n / 8 tuần hoàn với chu kỳ 16 mẫu, nhưng cos0.4n thì không bằng
(  / 2  0.4 / 2 không phải là một số hữu tỉ). Chúng ta có thể vẽ hai tín hiệu này với 30 mẫu đầu
tiên để kiểm tra.
Một điểm về sự tuần hoàn của tín hiệu sin rời rạc nên được thêm vào trước khi chúng ta đi qua
phần này: Một sự thay đổi nhỏ trong tần số số có thể dẫn đến một sự thay đổi lớn trong chu kỳ. Ví dụ:
 / 2  51/ 100 chu kỳ là 100 nhưng but với /2 = 50/100 = 1/2, chu kỳ là 2.


Mũ phức -Complex exponential
Xem tín hiệu x(n) = an với là một số phức, gọi là mũ phức hoặc sin phức. Ta viết:
a = r ej 
Tín hiệu trở thành
x(n) =( r e j )n = rn e jn = 2 n (cos n  j sin n)
Đây là tín hiệu phức. Phân ra thành phần thực và ảo:
xR(n) = rn cosn 
xI(n) = rn sinn 
Từ đây ta có biên độ (độ lớn) và pha
x(n) = x R2 n  x I2 n  r n

(n) = tan1

x I n 
= tan1 (tgn  )= n 
x R n 

Thật ra từ biểu thức (1.56) ta thấy ngay hai kết quả trên

(1.55)
(1.56)


25

n

n

Hình.1.27: ví dụ 1.4.1
Ví dụ 1.4.1
Vẽ xR(n), xI(n), │x(n)│, và Φ(n) khi r = 0.9 và = /10.
Giải
Ta có:

x(n)  0.9n e jn / 10
xR (n)  0.9n cos n / 10
xI (n)  0.9n sin n / 10