Bài giảng toán cao cấp chương 1 ths nguyễn phương

Chương 1:
Giới hạn và liên tục của hàm số một biến
Th.S NGUYỄN PHƯƠNG

Khoa Giáo dục cơ bản
Trường Đại học Ngân hàng TPHCM
Blog:
Email:
Yahoo: nguyenphuong1504
Ngày 11 tháng 2 năm 2014

1


1

Khái niệm về hàm số
Khái niệm
Một số tính chất của hàm số
Các hàm số sơ cấp

2

Giới hạn của dãy số
Khái niệm
Cấp số cộng
Cấp số nhân
Giới hạn dãy số

3

Giới hạn hàm số
Định nghĩa
Các định lí về giới hạn

4

Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)
Định nghĩa
Ứng dụng vô cùng bé để tính giới hạn

5

Hàm số liên tục
Khái niệm
Tính chất

6

Ứng dụng trong kinh tế
2


Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Định nghĩa
Cho tập D ⊂ R, D φ. Hàm số f có miền xác định D là một quy tắc cho tương
ứng mỗi số x ∈ D với một và chỉ một số thực y.
Kí hiệu: f : D → R

x −→ y = f(x).
D được gọi là miền xác định của hàm số f.

Ví dụ
Cho hàm số f(x) = x3 + x2 . Tìm f(1), f(−1), f(a), f(a − 1).

Định nghĩa (Đồ thị hàm số)
Đồ thị hàm số f có miền xác định D là tập hợp
{(x, y)|y = f(x), x ∈ D}.

3


Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Định nghĩa (Hàm từng khúc)
Hàm số f được gọi là hàm từng khúc khi hàm số này được viết thành biểu
thức khác nhau trên miền xác định D.

Ví dụ
Hàm



x2
f(x) = 

2x + 1

là một hàm từng khúc.

nếu x > 1,
nếu x 1.


Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Ví dụ
Một hãng cho thuê xe oto với giá 3 ngàn/1km nếu quãng đường chạy xe không
quá 100km. Nếu quãng đường chậy xe vượt quá 100km thì ngoài số tiền phải
trả cho 100km đầu còn phải trả thêm 1,5 ngàn/km. Gọi x là số km xe thuê đã
chạy và f(x) là phí thuê xe, ta có



nếu 0 x 100,
3x
f(x) = 

300 + 1, 5x nếu x > 100.
Ta thấy f(x) là một hàm từng khúc và
x = 50 thì f(x) = 3.50 = 150 (ngàn),
x = 150 thì f(x) = 300 + 1, 5.150 = 525 (ngàn).

5

Khái niệm về hàm số

Khái niệm

Định nghĩa (Hàm ẩn)
Giả sử y là một hàm theo biến x mà ta chỉ biết giữa y và x liên hệ với nhau
bởi phương trình
F(x, y) = 0.
Khi đó y được gọi là hàm ẩn của biến x xác định bởi phương trình F(x, y) = 0.

Ví dụ
Cho y là một hàm số theo biến x được xác định bởi
xy2 − 2xy + 1 = 0
thì y là một hàm ẩn theo biến x.

6


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Hàm số đơn điệu
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng I,
Hàm số f(x) được goi là tăng (giảm) trong I nếu ∀x1 , x2 ∈ I sao cho
x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 ) (f(x1 ) > f(x2 )).
Hàm số tăng hoặc giảm trên khoảng I được gọi là hàm số đơn điệu trong I.

Chú ý
Hàm số f(x) được gọi là không tăng (giảm) trong khoảng I nếu ∀x1 , x2 ∈ I

sao cho x1 < x2 thì f(x1 ) f(x2 ) (f(x1 ) f(x2 )).
Hàm số tăng (giảm) còn được gọi là hàm số đồng biến (nghịch biến).

Hàm số chẳn (lẻ)
Hàm số f(x) xác định trên tập đối xứng D
Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẳn nếu
f(−x) = f(x).
Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu
f(−x) = −f(x).
7


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Hàm số tuần hoàn
Hàm số f(x) xác định trên tập hợp D được gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại T
thỏa mãn ∀x ∈ D thì x + T ∈ D và f(x + T) = f(x) (1).
Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức (1) được gọi là chu kỳ của hàm f(x).

Hàm bị chặn
Hàm số f(x) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M(m) sao cho với
mọi x ∈ D thì f(x) M (f(x) m).
Hàm số f(x) vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới được gọi là bị chặn.

Hàm hằng
Hàm số f(x) được gọi là hàm hằng nếu tồn tại C sao cho
f(x) = C, ∀x ∈ Ω.

8


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Hàm ngược
Định nghĩa (Hàm ngược)
Cho hàm số f(x) xác định trên miền D, I là hàm đồng nhất, tức là I(x) = x.
Nếu tồn tại hàm g(x) sao cho
f ◦ g = I; g ◦ f = I
thì g được gọi là hàm ngược của f. Kí hiệu: f −1 .
Như vậy,
x = f −1 (y) ⇐⇒ y = f(x), ∀x ∈ D.

Ví dụ
Tìm hàm ngược của hàm f(x) = (x − 1)2 , x 1.
Giải
Giả sử y = (x − 1)2 , x 1, ta có y 0. Do đó,
x−1=
Vậy hàm ngược là x =

√
√
y hay x = y − 1.

√
y − 1.
9

Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Các hàm số sơ cấp
Định nghĩa (Hàm hợp)
Cho hàm f(x) xác định trên miền D, u(x) xác định trên D sao cho f(D) ⊂ E.
Khi đó, hàm hợp của hai hàm f và u là một hàm. Kí hiệu u ◦ f, với
u ◦ f(x) = u(f(x)).

Ví dụ
Viết hàm h(x) = (3x + 1)5 dưới dạng hàm hợp.
Giải
Đặt f(x) = 3x + 1; g(x) = x5 . Khi đó,
g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(3x + 1) = (3x + 1)5 .

10


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Định nghĩa (Hàm cơ bản)
Hàm đa thức (an xn + an−1 xn−1 + ... + a0 ), hàm mũ (ax ), hàm lũy thừa (xa ),
hàm lượng giác (sin; cos; tan), hàm logarit (loga b), hàm lượng giác ngược
(arcsin; arccos; arctan) là những hàm có bản.
Các phép toán trên hàm số

Định nghĩa
Cho hai hàm số f(x), g(x) xác định trên miền Ω ⊂ R. Ta có các phép toán sau:
Tổng (hiệu) của f(x), g(x) là hàm f(x) + g(x)(f(x) − g(x)).
f(x)
Tích (thương) của f(x), g(x) là hàm f(x).g(x)
, g(x) 0 .
g(x)

11


Khái niệm về hàm số

Một số tính chất của hàm số

Định nghĩa (Hàm sơ cấp)
Hàm sơ cấp là hàm được tạo thành từ các hàm cơ bản bởi một số hữu hạn các
phép toán và phép lấy hàm hợp.

Ví dụ
Các hàm số
y = ln(x2 − 1), y =

x2 . log3 x
2x3 − 3
;y =
− 3x + 1
arccos(1 − 3x)

x4

là các hàm số sơ cấp.

12


Giới hạn của dãy số

Khái niệm

Định nghĩa
Một hàm số x : N∗ → R, n −→ x(n) được gọi là một dãy số. Ký hiêu: (xn ).
Dãy (xn ) được gọi là tăng (giảm) nếu xn < xn+1 (xn > xn+1 ).
Một dãy tăng hay giảm còn được gọi là dãy đơn điệu.
Dãy (xn ) được gọi là bị chặn trên (dưới) nếu tồn tại M > 0 sao cho
xn M ( tồn tại m sao cho xn m), ∀n ∈ N∗ .
Một dãy được gọi là bị chặn nếu vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

13


Giới hạn của dãy số

Cấp số cộng

Định nghĩa (Cấp số cộng)
Dãy (xn ) được gọi là một cấp số cộng với công sai d nếu thỏa
xn = xn−1 + d.

Định lý
Cho một cấp số cộng xn , ta có các tính chất sau:
Số hạng tổng quát thứ n có dạng
xn = x1 + (n − 1)d.
Tổng n số hạng đầu tiên là
Sn = x1 + x2 + ... + xn =

n
(x1 + xn ).
2


Giới hạn của dãy số

Cấp số nhân

Định nghĩa (Cấp số nhân)
Dãy (xn ) được gọi là một cấp số nhân với công bội q nếu thỏa
xn = q.xn−1 .

Định lý
Cho một dãy cấp số nhân (xn ), khi đó ta có các tính chất sau:
Số hạng tổng quát có công thức
xn = x1 .qn−1 .
Tổng n số hạng đầu tiên
Sn = x1 + x2 + ... + xn = x1

(1 − qn )
.
1−q

Giới hạn của dãy số

Giới hạn dãy số

Định nghĩa (Giới hạn dãy số)
Dãy (xn ) hội tụ khi và chỉ khi tồn tại a ∈ R sao cho
∀ > 0, ∃N thỏa ∀n > N thì |xn − a| < .
Kí hiệu:
lim xn = a.

16


Giới hạn hàm số

Định nghĩa

Định nghĩa
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x tiến tới x0 nếu mọi dãy (xn ), xn → x0 thì
lim f(xn ) = L. Kí hiệu: lim f(x) = L.
x→x0

Định nghĩa
Hàm số f(x) có giới hạn là L khi x dần tới x0 nếu
∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho 0 < |x − x0 | < δ thì |f(x) − L| < .

Định nghĩa (Giới hạn một phía)
Số L được gọi là giới hạn trái (giới hạn phải) của hàm số f(x) tại điểm x0 nếu

mọi > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x mà 0 < x0 − x < δ(0 < x − x0 < δ)
thì |f(x) − L| < .
Kí hiệu: lim− = L (giới hạn trái) và lim+ = L (giới hạn phải)
x→x0

x→x0

17


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn

Định lý
Giới hạn lim f(x) = L tồn tại khi và chỉ khi tồn tại lim− f(x), lim+ f(x) và
x→x0

x→x0

lim f(x) = lim+ f(x) = lim f(x) = L

x→x0

x→x0

x→x0

Ví dụ
Tìm giới hạn của hàm số f(x) =

|x|
khi x → 0
x

Định lý
Giới hạn của một hàm số nếu có là duy nhất.

x→x0


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn

Định lý
Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì
x→a

x→a

i) lim (f(x) ± g(x)) = lim f(x) ± lim g(x);
x→a

x→a

x→a

ii) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x);
x→a

x→a

x→a

lim f(x)

f(x)
x→a
=
(nếu lim g(x)
x→a g(x)
x→a
lim g(x)

iii) lim

0)

x→a

Hệ quả
Nếu các giới hạn lim f(x) và lim g(x) tồn tại, hữu hạn thì
x→a

x→a

i) lim Cf(x) = C lim f(x);
x→a

x→a

k

ii) lim (f(x))k = lim f(x) .
x→a

x→a

19


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn

Ví dụ
x3 + 3x2 − 1
Tính các giới hạn sau: lim
;
x→∞ 2x3 + x − 5

√
x−2
lim
;
x→4 x2 − 5x + 4

Định lý
Giả sử các hàm số f(u), u = u(x) thỏa mãn các điều kiện:

lim u(x) = b và lim f(u) = L.

x→a

u→b

Tồn tại số δ > 0 sao cho với x ∈ (a − δ, a + δ) và x
thì u(x) b. Khi đó lim f (u(x)) = L.
x→a

Định lý (Định lí kẹp)
Cho các hàm số f(x), g(x), h(x) và
f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) trên một lân cận của a;
lim f(x) = lim g(x) = L.

x→a

x→a

Khi đó, lim h(x) = L.
x→a

20

a.


Giới hạn hàm số

Các định lí về giới hạn

Mệnh đề
sin x
= 1;
x
1 x
= e.
ii) lim 1 +
x→∞
x
i) lim

x→0

Ví dụ
Tính các giới hạn sau:
sin(5x − 10)
;
a) lim
x→2 sin(2 − x)
x + 3 2x
b) lim
;
x→∞ x + 1
1
c) lim (1 + sin 2x) x .
x→0

21

Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho hàm số α(x),
Hàm số α(x) được gọi là vô cùng bé (VCB) khi x → a nếu lim α(x) = 0.
x→a

Hàm số α(x) được gọi là vô cùng lớn (VCL) khi x → a nếu lim |α(x)| = ∞.
x→a

Tổng hai VCB là một VCB;
Tích một VCB với một đại lượng bị chặn là một VCB;
Tích hai VCL là một VCL;
Tổng của một VCL và một đại lượng bị chặn là một VCL;
1
Nếu α(x) 0 là một VCB thì
là một VCL, ngược lại, nếu α(x)
α(x)
1
là một VCL thì
là một VCB.
α(x)

22

0

Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)

Định nghĩa

Định nghĩa
Cho α(x), β(x) là hai VCB khi x → a. Xét giới hạn
lim

x→a

α(x)
= L.
β(x)

i) Nếu L = 0, ta nói α(x) là VCB cấp cao hơn β(x). Kí hiêu: α(x) = 0(β(x));
ii) Nếu L = 1, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB tương đương. Kí hiệu:
α(x) ∼ β(x);
iii) Nếu L 0, L hữu hạn, ta nói α(x) và β(x) là hai VCB cùng bậc. Kí hiệu:
α(x) = O(β(x)).

23


Vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL)

Ứng dụng vô cùng bé để tính giới hạn

Định lý
Giả sử khi x → a, ta có các cặp VCB tương đương α(x) ∼ α∗ (x); β(x) ∼ β∗ (x)

α∗ (x)
và nếu tồn tại lim ∗
thì
x→a β (x)
α(x)
α∗ (x)
= lim ∗
.
x→a β(x)
x→a β (x)
lim

Chú ý
Khi x → 0, ta
sin x ∼ x;
arcsin x ∼ x
ex − 1 ∼ x;

có các cặp VCB tương đương sau:
tan x ∼ x
arctan x ∼ x
ln(1 + x) ∼ x
ax − 1 ∼ x ln a
a
(1 + x) ∼ 1 + ax, (a 0).


Hàm số liên tục

Khái niệm

Định nghĩa
Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 nếu
i) f(x) xác định tại điểm x0
ii) lim f(x) = f(x0 ).
x→x0

Hàm số y = f(x) liên tục tại x0 có nghĩa là: Khi biến số x dần đến x0 thì giá
trị của hàm số tại x cũng dần đến giá trị của hàm số tại điểm x0 .

Định nghĩa
Hàm số y = f(x) liên tục trái (liên tục phải) tại x0 nếu
i) f(x) xác định tại điểm x0
ii) lim− f(x) = f(x0 )
x→x0

lim f(x) = f(x0 ) .

x→x+
0

25