Bài giảng toán cao cấp 1 chương 2 hoàng văn thắng

Chương 2: MA TRẬN – ĐỊNH THỨC
Bài 1. Các khái niệm cơ bản về ma trận
I.

Các khái niệm cơ bản về ma trận

1.

Khái niệm ma trận

2.

Đẳng thức ma trận

3.

Ma trận không và ma trận đối


II.

Các dạng ma trận

1.

Ma trận vuông

2.

Ma trận tam giác

3.

Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị

III.

Các phép biến đổi ma trận

1.

Các phép biến đổi sơ cấp

2.

Phép chuyển vị ma trận


I. Các khái niệm cơ bản về ma trận
1) Ma trận là gì?
2
A=
5

3
1

−4
,
0

5
= 2
1

1
−3
0

−1
4
2

(A và B là các ví dụ về ma trận.)
Tại sao phải có ma trận?


Đối với hệ:
+ = 7
3 − =5
Dễ dạng nhận thấy nghiệm:

= 3,

= 4.

Đối với hệ kích thước lớn hơn, chẳng hạn:

2
5
3

+
= 7
− 2
−
− 4
= 2
+ 4 +10 =1
−
= 5
−
6

Ma trận sẽ giúp bạn…


Định nghĩa: Ma trận là một bảng số được
xếp theo dòng và cột.
Một ma trận có m dòng, n cột được gọi là
ma trận cấp

×

Dạng tổng quát là:


 a11 a12
a
a
21

22

A
 

 a m1 a m2

 a1n 
 a 2n 
 

 a mn  mn

Dấu
ngoặc
đơn

 a11 a12
a
a 22
21
A
 

a m1 a m2

 a1n 
 a 2n 

 


 a mn  mn

Dấu
ngoặc
vuông

Có thể Ký hiệu dạng thu gọn:

=

×


Trong đó

là phần tử nằm ở dòng i, cột j

của ma trận A.
Ví dụ 1: Cho ma trận:
1
= 4
1
⟶

= 5,



−2

−3
−1

3 −4
5 2
0 −1

= −2,

×

= −1


=

Ví dụ 2: Lập ma trận

×

1nếui + jchẵn
a =
2nếui + jlẻ
Giải:

a
a
=? =?

1

2
=
1
2

2
1
2
1

a
=?

a
=?

1 2
2 1

1 2
2 1

cho biết:


2. Đẳng thức ma trận
Định nghĩa: Hai ma trận được gọi là bằng
nhau khi và chỉ khi chúng có cùng cấp và
các phần tử ở vị trí tương ứng đôi một
bằng nhau.

Tức là, A = a

×

,B = b

×

a = b
Thì: A = B ⟺
∀i = 1,2, … , m; j = 1,2, … , n


Ví dụ: Cho

Khi đó,

=

=

⟺

,
=1
=2
=3
=4
=5
=6

1 2
= 3 4
5 6


3. Ma trận không và ma trận đối
Định nghĩa 1: Ma trận không là ma trận có
tất cả các phần tử bằng không.
Ký hiệu: 0

×

0 m n

0 0  0
0 0  0


    


 0 0  0  mn


Định nghĩa 2: Ma trận đối của một ma trận
A là ma trận cùng cấp mà mỗi phần tử của
nó là số đối của các phần tử tương ứng của
ma trận A.
Ký hiệu: ma trận đối của A là – A.

Như vậy,

=

×

⟶− = −

×


Ví dụ: Lập ma trận đối của ma trận sau:

 4 0
 4 0 




A   5 2    A   5 2 
 7 4 
7 4




II. Các dạng ma trận
1. Ma trận vuông
Định nghĩa: Ma trận vuông là ma trận có số
dòng bằng số cột.

Một ma trận có số dòng và số cột đều bằng
n được gọi là ma trận vuông cấp n.
Ma trận vuông cấp n có dạng tổng quát:

 a11 a12
a
a 22
21
A
 

 a n1 a n 2

 a1n 

 a 2n

 

 a nn 

Đường
chéo
chính


Chú ý:
=

Đối
×

với

ma

trận

vuông:

người ta gọi tổng các

phần tử trên đường chéo chính là vết
của ma trận đó:
ế ( )=

+

+ ⋯+


2. Ma trận tam giác:
Định nghĩa: Ma trận tam giác là ma trận
vuông có các phần tử nằm về một phía
của đường chéo chính bằng 0.
Có hai loại ma trận tam giác:

a11 a12  a1n 


a 22  a 2n



 


a mn 

 a11

a

a 22
21


 



a m1 a m2  a mn 

Ma trận
tam
giác
dưới

Ma trận
tam
giác
trên


3. Ma trận đường chéo và ma trận đơn vị
Định nghĩa: Ma trận đường chéo là ma trận
vuông có tất cả các phần tử nằm ngoài
đường chéo chính bằng 0.
Ma trận đường chéo cấp n có dạng:
 a11



a
22







a

nn 

 7 0 0 

A   0 4 0


 0 0 9




Định nghĩa: Ma trận đơn vị là ma trận
vuông có tất cả các phần tử trong đường
chéo chính bằng 1, nằm ngoài đường chéo
chính bằng 0.

1 0  0
1 0 0

0 1  0


 E3   0 1 0 
E  En  
0 0 1
   




0 0  1

1. Các phép biến đổi sơ cấp
Định nghĩa: Các phép biến đổi sau đây đối
với một ma trận được gọi là các phép biến
đổi sơ cấp.
Phép 1:

Đổi chỗ hai dòng (cột) của ma

trận cho nhau.


≠ 0.

Phép 2:

Nhân một dòng (cột) với số

Phép 3:

Biến đổi một dòng(cột) bằng cách

cộng vào nó tích của một dòng(cột) khác
với một số k tùy chọn.
2. Phép chuyển vị ma trận
Cho ma trận

=

×

. Bằng cách xoay


các dòng của A thành các cột tương ứng ta
được ma trận A’
=

á ò
×

ộ ươ



à

ứ

Ma trận chuyển
vị của ma trận A

′=

′

×


Ví dụ: Tìm ma trận chuyển vị của ma trận
sau:

1
= 4
1

−2
−3
−1

1
−2
Đs: A =
3
−4

3 −4
5 2
0 −1
4
−3
5
2

Nhận xét: ′ =

⟶
×

1
−1
0

−1
∀,

=5

⟶ ′
×

=5


§ 2. CÁC PHÉP TOÁN ĐỐI VỚI MA TRẬN
I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận
với số
1. Định nghĩa phép toán
2. Các tính chất cơ bản
II. Phép nhân ma trận với ma trận
1. Định nghĩa phép toán
2. Các tính chất cơ bản


I. Phép cộng ma trận và nhân ma trận
với số.
Định nghĩa 1: Cho hai ma trận cùng
cấp

× :

=

×

,

=

×

Tổng của hai ma trận A và B là một ma
trận cấp

× .