Bài giảng xác suất thống kê chương 3 nguyễn ngọc phụng

Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên
Định nghóa
Biến ngẫu nhiên là một phép tương ứng mỗi phần tử ω của Ω với một
số thực.
X : Ω −→ R
ω −→ X(ω)
Tập giá trị của X được kí hiệu là X(Ω)
Ví dụ:
1

2

Tung hai con xúc xắc, gọi X là tổng số chấm của hai con xúc xắc. Ta
có X : ω = (ω1 ; ω2 ) −→ ω1 + ω2
Lấy ý kiến khách hàng về một loại sản phẩm ta được
Ω={"Kém","Bình thường","Tốt"}.
Khi đó, ta đặt X : Ω −→ R
X("Kém")=-1, X("Bình thường")=0, X("Tốt")=1.
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Phân loại biến ngẫu nhiên
Dựa vào tập giá trị của biến ngẫu nhiên, ta chia biến ngẫu nhiên làm 2
loại:
Định nghóa (Biến ngẫu nhiên rời rạc)
Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập đếm được (hữu hạn
hoặc vô hạn) được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc.
X là bnn rời rạc
{x1 , x2 , . . . , xn }
, Ω có n phần tử.
⇔ X(Ω) =
{x1 , x2 , . . . , xn , . . .} , Ω có vô hạn phần tử đếm được.
Định nghóa (Biến ngẫu nhiên liên tục)
Biến ngẫu nhiên mà tập giá trị của nó là một tập không đếm được, được
gọi là biến ngẫu nhiên liên tục.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Phân loại biến ngẫu nhiên

Ví dụï:
1

2

3

Tung 3 con xúc xắc cân đối. Gọi X là tổng số chấm của 3 con xúc
xắc. Ta có X là bnnrr và X(Ω) = {3..18}.
Một người ném bóng vào rổ từ vị trí cách rổ 5m đến khi nào vào rổ
thì ghi nhận lại số lần ném bóng của mình (X). Ta có X là bnnrr và
X(Ω) = N∗ .
Đo mực nước biển ở đảo Cát Bà cho thấy nó dao động từ 3,3m đến
3,9m. Gọi X là mực nước biển ở đảo Cát Bà ở một thời điểm ngẫu
nhiên. Ta có X là bnnlt và X(Ω) = [3, 3; 3, 9].

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Định nghóa
Phân phối xác suất của X còn được gọi là bảng phân phối xác suất của
X, cho biết khả năng X nhận mỗi giá trị trong X(Ω) tương ứng.
X
P

x1

p1

x2
p2

···
···

xn
pn

···
···

với P(X = xi ) = pi

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Tính chất (1)
pi = p1 + · · · + pn + · · · = 1.
i

Tính chất (2)
P(a ≤ X < b) =

pi , xi ∈ X(Ω).
a≤xi
Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc

Ví dụ:
1

Một hộp sản phẩm có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên
từ hộp ra 2 sản phẩm để kiểm tra. Gọi X là số phế phẩm lấy được.
a) Tìm phân phối xác suất của X.
b) Tính P(X < 3).

2

Một người ném bóng từ vị trí cách rổ 5m cho đến khi ném vào rổ
thì dừng. Biết rằng các lần ném độc lập với nhau và khả năng ném

bóng vào rổ ở mỗi lần ném là 0,3. Gọi X là số lần người đó đã ném.
a) Tìm phân phối xác suất của X.
b) Tính xác suất người đó phải ném ít nhất 3 lần.

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên
Phân phối xác suất

(Trường hợp liên tục)
Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục X được đặc trưng bởi
hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất sau:

f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R
+∞

f(x)dx = 1.
−∞

b

P(a ≤ X ≤ b) =

f(x)dx.
a

Nguyeãn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên liên tục
Phân phối xác suất

Ví dụ:
Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất: f(x) =
a) Xác định c.
b) Tìm P(−1 ≤ X ≤

1
).
2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

0
c

x2

,x < 1
,x ≥ 1


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất

Định nghóa (Hàm phân phối xác suất)
Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là FX (x), là
hàm được xác định bởi:
FX (x) = P(X ≤ x), x ∈ R
Hàm phân phối xác suất cho biết khả năng X nhận giá trị từ −∞
đến x.
Nếu X là bnnrr thì
FX (x) =

P(X = xi ) =
xi ≤x

pi .
xi ≤x

x

Nếu X là bnnlt thì FX (x) =

f(t)dt.
−∞

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất

Ví dụ:
1

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất như sau:
X
P

0
0, 2

1
0, 5

2
0, 3

a) Tìm hàm phân phối xác suất của X.
b) Vẽ đồ thị của hàm phân phối xác suất vừa tìm được.
2

Biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất là:
0
,x < 1
f(x) =
. Tìm hàm phân phối xác suất của X.
1
,x ≥ 1
x2

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KÊ


Biến ngẫu nhiên

Phân phối xác suất

Biến ngẫu nhiên
Hàm phân phối xác suất

Tính chất (1)
X là bnn liên tục ⇔ F(x) liên tục trên R.

Tính chất (2)
F(−∞) = 0, F(+∞) = 1.

Tính chất (3)
P(a < X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a) = F(b) − F(a).

Nguyễn Ngọc Phụng - Trường Đại Học Ngân Hàng TPHCM

XÁC SUẤT THỐNG KEÂ