Chương 2 PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN

1
Chương 2:

PHÂN TÍCH TRONG MIỀN THỜI GIAN
Mô hình tổng quát của hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian (DTSP), hoặc xử lý tín hiệu số (DSP),
được mô tả như hình 2.1. Hệ thống áp tín hiệu vào và cho tín hiệu ra khác só với tín hiệu vào tại một
số đặc điểm (biên độ, tần số, pha…). Ngõ ra là đáp ứng của hệ thống. Một hệ thống có thể có nhiều
hơn một đầu vào và một đầu ra. Hệ thống thường nói đến nhất là lọc số.
Trong chương trước, một hệ thống được mô tả (hoặc trình bày) bởi phương trình tín hiệu vào
ra. Trong chương này, chúng ta sẽ thấy hệ thống được mô tả ngắn gọn bằng đáp ứng xung của nó. Ngõ
ra là kết quả nhân chập tín hiệu vào và đáp ứng xung. Đáp ứng chuyển tiếp cũng được nhắc đến một
cách ngắn gọn. Phần kế tiếp sẽ nói đến lọc số và giải phương trình

Tín hiệu vào

Hệ thống

Tín hiệu ra

x(n)

LTI (LSI)

y(n)

Hình.2.1: Mô hình tổng quát của hệ thống DTSP (hoặc DSP)
2.1 ĐÁP ỨNG XUNG
Ta tìm cách khác để mô tả ngắn gọn hệ thống rời rạc thời gian.
 (n)

1

-3 -2 -1 0 1 2 3
(a) Xung tại n = 0
1
-k

 (n+k)

n

 (n-k)

-2 -1

0

1

2

1

k

n

(b) Xung tại n = k và tại n = -k
Hình.2.2: Mẫu đơn vị
Xét tín hiệu mẫu đơn vị (Hình.2.2)
n=0

 (n) = 1 ,
0,
n 0
Khi mẫu dịch chuyển đến thời điểm k trong tương lai (k > 0) tín hiệu là
n=k
 (n-k) = 1 ,
0,
n k
Khi mẫu dịch chuyển về quá khứ tại thời điểm –k (k > 0), tín hiệu là

(2.1)

 (n + k) = 1 , n = -k
0 , n  -k
Bây giờ, xem sự diễn tả một tín hiệu theo xung mẫu đơn vị. Trong hình 2.3 giá trị của x(n) khi n = 1
và 3, ta có thể viết (1.6).
x(n = 1) = x(1)  (n - 1) = 3 x 1 = 3


.
. .
2

1

.
. .
x(n)

4

3

3

3

1

2

. .
2

1

0

-4 -3 -2 -1 0

1

2 3

4

n

Hình.2.3 : Tín hiệu ví dụ
Giống như vậy khi n = 2

[

x(n = 2) = x(2)  (n – 2) = 2 x 1 = 2
Vì vậy, tín hiệu tổng quát x(n) có thể diễn tả như


x n   x k n  k 

(2.2)

k  

2.1.1 Đáp ứng xung
Đáp ứng xung của một tín hiệu định nghĩa như ngõ ra (đáp ứng), chú thích h(n), khi ngõ vào là mẫu
đơn vị  (n). Đáp ứng xung có thể thực hoặc phức, nhưng thường là thực. Hình 2.4 là một ví dụ
Hệ thống
S

Vào
x(n) = (n)
 (n)

Ra


y(n) = h(n)

1

h(n)

...

-2

-1

0

1

2

n

-2
-1
Hình.2.4 : Định nghĩa và ví dụ của đáp ứng xung

...
0

1

2

n

2.1.2 Hệ thống FIR và IIR
Khi kích một mẫu đơn vị  (n), đáp ứng xung h(n) của hệ thống có thể hiện hữu hữu hạn (hình 2.5a)
hoặc vô hạn (hình 2.5b). Trường hợp đầu hệ thống có đáp ứng xung hữu hạn (FIR), và trường hợp sau

hệ thống có đáp ứng xung lâu vô hạn (IIR).
Hoặc, có thể phân loại hệ thống thành dạng đệ qui hoặc không đệ quy thay vì IIR hoặc FIR. Ta sẽ thảo
luận sau.
Nhân quả (Phần 1.6.2) của một hệ thống thể hiện trên đáp ứng xung của nó. Với hệ thống
nhân quả h(n)= 0 khi n<0 (hoặc n  -1), ngược lại hệ thống là phi nhân quả. Cả hai hệ thống trong
hình 2.5 là phi nhân quả.
2.1.3 Tính đáp ứng xung từ phƣơng trình tín hiệu vào
Từ đinh nghĩa của đáp ứng xung ta có thể áp một mẫu đơn vị vào hệ thống và lấy tín hiệu ra, hoặc đáp
ứng xung. Mặc khác, ta có thể tính nó từ phương trình tín hiệu như trình bày ở đây. Ở đây có nhiều
cách khác nhau để tính đáp ứng xung.


3
°

2

3

°

3
°°°

°°°

Hình.2.5: Ví dụ của hệ thống (a) FIR, (b) IIR

Ví dụ 2.1.1
Tìm đáp ứng xung của hệ thống khi phương trình tín hiệu vào ra được cho bởi

y(n) = 0.8y(n – 1) + x(n)
Giải
Thay x(n) bằng (n) thì y(n) là h(n):
h(n) = 0.8h(n – 1) + (n)
Nhớ rằng (n) = 1 khi n = 0, và bằng 0 ở những giá trị khác, giả sử hệ thống nhân quả, có nghĩa h(n)
= 0 với n < 0, ta có
[

h(0) = 0.8h(-1) + (0) = 1
h(1) = 0.8h( 0) + 1 = 0.8
h(2) = 0.8h( 1) + (2) = 0.8 2
h(3) = 0.8h( 2) + (3) = 0.8 3
...
h(n) = 0.8 n u (n)
Hệ thống là IIR và ổn định vì h(n) hội tụ (xem phần 2.4). Thường ta không lấy kết quả cuối cùng như
trên (xem ví dụ 2.6.4).
2.1.4 Tìm phƣơng trình tín hiệu vào ra từ đáp ứng xung
Khi biết đáp ứng xung của hệ thống, ta có thể tính phương trình tín hiệu vào ra, minh họa bằng ví dụ
sau:
Ví dụ 2.1.2
Đáp ứng xung của hệ thống tuần hoàn với chu kỳ 3 mẫu.
h(n) = [ 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 ... ]
Tìm phương trình tín hiệu vào ra.
Giải
Sự trễ được cho bởi 3 mẫu.


4
h(n - 3) = [ 0, 0, 0; 1, 2, 3; 1, 2, 3; 1, 2 … ]
Tính sự khác nhau

h(n) - h(n - 3) = [ 1, 2, 3; 0, 0, 0; 0, 0 … ]
= (n)  2(n  1)  3(n  2)
Thì

h(n)  h(n  3)  (n)  2(n  1)  3(n  2)
Phương trình tín hiệu vào ra là
y(n) = y(n - 3) + x(n) + 2x(n - 1) + 3x(n - 2)
2.2 NHÂN CHẬP SỐ
Trên là định nghĩa đáp ứng xung. Trong phần này ta sẽ thấy một cách ngắn gọn tầm quan trọng của
đáp ứng xung và đây cũng là đặc điểm của hệ thống LTI (hoặc LSI).
2.2.1 Tổng nhân chập
Với tín hiệu vào được diễn tả theo mẫu đơn vị trong công thức (2.2), ngõ ra của hệ thống S là
 

y(n) = S[x(n)] = S   xk n  k 
k 

Với một hệ thống tuyến tính

 

yn   S   xk n  k    xk S n  k 
k 
 k 

(2.3)

Kế đến, nếu hệ thống bất biến thời gian
S[(n - k)] = h(n - k)

(2.4)

Thì ngõ ra là


yn    xk hn  k 

(2.5)

k  

Đây là tổng nhân chập (hoặc tổng chập) trong DTSP (hoặc DSP), tương tự với tích chập trong hệ
thống tương tự. Chú ý, dấu sao được sử dụng để chú thích cho nhân chập.


y n   x n   h n    x k h n  k 

(2.6)

k  

Điều này có nghĩa nếu biết đáp ứng xung h(n) của một hệ thống, ta có thể tìm ngõ ra tín hiệu y(n) với
bất kỳ tín hiệu vào x(n). Vì điều này, đáp ứng xung được xem là đặc tính thời gian (hoặc đặc điểm)
của hệ thống. Tổng được lấy từ   đến  , nhưng trong thực tế thường là tổng hữu hạn, nên việc
tính toán được thực hiện dễ dàng.
2.2.2 Cách tính tổng nhân chập
Với hệ thống tương tư, nhân chập được tính bằng tích phân. Công việc này dễ hơn trong hệ
thống số vì nhân chập được tính bằng cách lấy tổng. Nó là một ý kiến hay để bắt đầu tính bằng phương
pháp giản đồ. Những bước gồm:
1. Đổi biến số n thành biến số k, viết x(k), h(k). Chọn x(k) cố định, h(k) dịch.

2. Lấy ảnh gương của h(k) tức tạo ảnh h(-k) đối xứng qua h(k) qua trục biên độ. Tạo ảnh gương


còn gọi là gấp ảnh. Ở n=0, tính tổng nhân chập y0   xk h k  .
k  

3. Dịch chuyển h(-k) bằng cách thêm thông số trược n tức tạo h(n-k). Cho n=1, 2, 3, …. Để h(nk) dịch chuyển phải (về tương lai), ở mỗi trị số của n tính tổng nhân chập. Tăng n lên cho đến
khi thấy tổng chập tiếp tục bằng không (tức h(n-k) đã trượt qua khỏi x(k)).


5
4. Bây giờ đảo hướng dịch chuyển n= -1, -2, -3... để dịch h(n-k) về trái (về quá khứ), ở mỗi trị
số của n tính tổng nhân chập cho đến khi thấy tổng nhân chập tiếp tục là không (tức h(n-k) đã
trược qua khỏi x(k)).
Quá trình tính tổng nhân chập có thể được tổng kết như sau: trộn-dịch-nhân-cộng
Ví dụ 2.2.1
Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là:
x(n) = [0, 1, 2, 3, 1, 0]
h(n) = [0, 1, 2, 2, 0]
Biểu tượng in đậm là mẫu tại gốc. Tìm ngõ ra tín hiệu y(n) = x(n)  h(n).
Giải
Xử lý qua những bước đã nêu bên trên
x(k)

h(k)

(1)

2

1
-3 -2 -1

(2)
n=0

0

3

k

2

2

1

0

2

2

3

k

4

2

1

3

k

-2 -1

0

2

4

0

1

9
k

3

k

-2 -1 0

1

x(k)h(2-k)
2

3

k

2 3

6

4

2 1
2

k

3

3

2

1
2

1

2

1

x(k)h(1-k)

0

 4

2

k

h(2-k)

-2 -1

0

1

h(1-k)

-3 -2 -1

-2 -1

1

x(k)h(-k)

2

(3b)
n=2

2

1

3

2

1

h(-k)

-3 -2 -1

(3a)
n=1

2

  11

1

k

-2 -1 0 1

2

3

k

k

Hình.2.6 : Ví dụ 2.2.1
Tiếp tục, ta có   8, 2, 0. Kế đến, đảo ngược hướng dịch như bước 4. Tín hiệu ra cuối cùng là
k

y(n) = [ ... 0, 1, 4, 9, 11, 8, 2, 0, ... ]



Phƣơng pháp chuỗi (Vector)
Ở đây có những phương pháp khác tính nhân chập số. Phương pháp giản đồ là cơ bản và minh hoạ rõ.
Một số tác giả thích phương pháp ma trận. Bên cạnh, phương pháp chuỗi (vector) ít tốn thời gian và là


6
một lựa chọn tốt. Trong phương pháp này ta phải luôn viết những mẫu tại gốc cùng một cột. Với ví dụ
trên, ta xử lý như sau:
x(k)
h(k)

n = 0: h(-k)
x(k) h(-k)
n = 1: h(1-k)
x(k) h(1-k)

=
=
=

[ ..., 0, 0, 0, 1, 2, 3, 1, 0, 0, ... ]
[ ..., 0, 0, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ]
[ ... , 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, 0, ... ]

=

[ ..., 0, 0, 0, 2, 2, 0, 0, 0, 0, ... ] 

=

[ ... , 0, 0, 0, 2, 2, 1, 0, 0, 0, ... ]

=

[ ..., 0, 0, 0, 2, 4, 3, 0, 0, 0, ... ] 

 =4
k

 =9
k

Trên là hai phương pháp tính có thể được lập trình bằng máy tính.
Một quan sát quan trọng là khi ta nhân chập hai chuỗi rời rạc thời gian có chiều dài M và N,
ta sẽ lấy được một chuỗi có chiều dài
L=M+N–1

(2.7)

Ví dụ 2.2.2
Tín hiệu vào và đáp ứng xung tương ứng là
x(n)  u(n)
a 1

h(n)  a n u(n) ,

Tìm tín hiệu ra
Giải
Để h(k) cố định và x(k) dịch. Điều này có thể giải thích trong phần 2.3.1 bên dưới. ta tính nhân chập
như sau:


y ( n)  h ( n )  x ( n )   h ( k ) x ( n  k )
k  

Ta đi qua những bước như đã nói để lấy được hình 2.7.
Để tính ngõ ra y (n) tiếp theo ta dùng công thức chuỗi hình học hữu hạn sau:


1  x  x 2  x 3  ...   xn 
n 0

x = a, thì sự giới hạn là

1
.
1 a

1
, |x|1
1 x



2.3 CÁC ĐẶC TÍNH CỦA NHÂN CHẬP SỐ
Một vài đặc tính của nhân chập số cho phép cấu hình sự kết nối hệ thống khác nhau.
2.3.1 Tính hoán vị
Đổi biến n - k = k’, hoặc k = n - k’ trong công thức nhân chập




k  

k ' 

yn    xk hn  k    xn  k 'hk '
Và thay biến số tạm k’ bằng k, ta có




k  

k  

yn    xn  k hk    hk xn  k   hk  xk  n 

Có nghĩa, trật tự nhân chập bị đảo ngược. Vì vậy ta có hai công thức cho nhân chập:

(2.8)


7
x(k)

1 1

1

h(k)

1

1

...
-3 -2 -1

...

1

1

1

0

1 2

k

-2 -1

x(0-k)
1
0

-3 -2 -1

3

0

-2 -1

0

0

0

1 2

3

0 0
k

-2 -1

0

1

0

0

1 2

3

1 2

2

3

k

0

0

0

1

2

3

 1
k

k

h(k)x(1-k)

k

-2 -1

 1  a

a

0 0
0

1

0

0

2

3

k

k

h(k)x(2-k)
1
0

0

1

a 3 ...

1

x(2-k)
1
-1

0

a2

h(k)x(0-k)

x(1-k)
1

...

a

a

0 0

3

k

-2 -1

0

1

a2
2

  1  a  a2
k

0
3

k

y(n)

1
1a

limit

1+a+a2
1+a
1

0 0
-2 -1 0

1 2

3

4

5

n

Hình.2.7 : Ví dụ 2.2.2

y ( n)  x ( n) * h( n) 



 x ( k ) h( n  k )

(2.9a)

k  

Và

y ( n)  h( n) * x ( n) 



 h( k ) x ( n  k )

(2.9b)

k  

Vào

Ra

Hệ thố ng

x(n)

h(n)

y(n) = x(n)  h(n)

h(n)

x(n)

y(n) = h(n)  x(n)

Hình.2.8 : Hoán vị giữa tín hiệu vào và đáp ứng xung với cùng ngõ ra.

Bằ ng nhau


8
Trong sự tính toán nhân chập ta thường để chuỗi dài hơn cố định, và dịch chuyển chuỗi ngắn hơn.
Đặc tính giao hoán của nhân chập có nghĩa ta có thể hóan đổi tín hiệu vào với đáp ứng xung
của hệ thống mà không ảnh hưởng đến ngõ ra. Ý tưởng này được minh họa trong hình 2.8.
2.3.2 Tính kết hợp
Có thể chứng minh
[x(n)  h1(n)]  h2(n) = x(n)  [ h1(n)  h2(n)]

(2.10)

Hình 2.9 giải thích thuộc tính này. Nơi hai hệ thống trong chuỗi (mắc chồng) có thể được thay thế chỉ

bằng một đáp ứng xung được nhân chập với hai đáp ứng xung.
x(n)

x(n)  h1(n)

h1(n)
x(n)

h2(n)

h(n) = h1(n)  h2(n)

[x(n)h1(n)]h2(n)
Bằ ng nhau
x(n)[h1(n)h2(n)]

Hình.2.9 : Đáp ứng xung của hai hệ thống mắc chồng nhau
Ví dụ 2.3.1:
Hai hệ thống mắc chồng có đáp ứng xung
h1 (n)  a n u (n)
h2 ( n )  b n u ( n )

Tìm đáp ứng xung tương đương
Giải
Đầu tiên a và b nên nhỏ hơn 1 để đảm bảo chuỗi hội. Chú ý rằng cả đáp ứng xung là nhân quả. Đáp
ứng xung tương đương là:


h(n)  h1 (n)  h2 (n)   h1 (k )h2 (n  k )
k  

Giới hạn thực tế của tổng là k = 0 và k = n (xem phần 2.3.4 sau), vì vậy
n

h(n)   a k b k n u (k )u (k  n)
k 0

n a
 bn   
k  0 b 
Sử dụng chuỗi hình học

k

M

1  x x 2  ...  x M   x k 
k 0

Từ công thức này khi

1  x M 1
1 x

,

x 1

(2.11)

ta có công thức 2.8. Vì x = a/b nên
n 1

a
1  
n 1
n 1
b  b a
h( n)  b n

a
ba
1
b
2.3.3 Tính phân phối
Có thể chứng minh
x(n)  [h1 (n)  h2 (n)]  x(n)  h1 (n)  x(n)  h2 (n)

(2.12)


9
Ý nghĩa hệ thống được minh họa trong hình 2.10. Với hai hệ thống được kết nói song song có thể thay
bằng một đáp ứng xung là tổng của hai.
h1(n)

x(n)

x(n)h1(n)
+

h2(n)
x(n)

x(n)[h1(n)+x(n)h2(n)]

x(n)h2(n)
x(n)[h1(n)]+h2(n)]

h(n) = h1(n)+h2(n)

nhö
Bằ ng nhau
nhau

Hình 2.10: Đáp ứng xung của hệ thống song song.
2.3.4 Đáp ứng xung của tín hiệu và hệ thống nhân quả.
Vì đáp ứng xung là một đặc tính của hệ thống. Chẳng hạn, một hệ thống nhân quả sẽ phản ảnh bằng
đáp ứng xung của nó. Từ sự nhân chập (2.9b) ngõ ra tại thời điểm n 0 là:


1

k 0

k 

yn0    hk xn0  k    hk xn0  k 
Để tín hiệu ra y(n0) không phụ thuộc vào những giá trị tương lai (n > n0) của tín hiệu vào x(n), thành
phần thứ hai trong công thức trên phải bằng 0, điều này có nghĩa, h(k)=0 với k<0. Khi k giảm ta kết

luận
h(n) = 0 tại n < 0
Vì vậy, một hệ thống nhân quả ngụ ý rằng đáp ứng xung của nó là nhân quả và ngược lại. Ngõ ra tại
thời điểm n 0 là thành phần đầu của công thức.


yn0    hk xn0  k 
k 0

Với bất kỳ thời điểm n


y n    h k x n  k 
k 0

(Tín hiệu nhân quả)

(2.13a)

(Tín hiệu nhân quả)

(2.13b)

Có nhân chập x(n)  h(n) với kết quả
yn   x k hn  k 
n

k  

Ở trên, chỉ hệ thống nhân quả thì được xét đến. Bây giờ, nếu tín hiệu vào cũng nhân quả thì kết quả:

yn   hk x n  k 

(Cả hệ thống tín hiệu nhân quả)

(2.14a)

yn   x k hn  k 

(Cả hệ thống tín hiệu nhân quả)

(2.14b)

n

k 0

Và bằng
n

k 0

Để ý lúc bấy giờ giới hạn của tổng nhân chập hai dạng giống nhau với giới hạn tăng theo thời gian n.
Cũng cần nói rõ là khi tín hiệu ra y(n) ở n thì tổng nhân chập được tính đến n, còn trên n thì không ảnh
hưởng gì.
Ví dụ 2.3.2 :
Như trong ví dụ 2.2.2, tín hiệu và đáp ứng xung tương ứng là
x(n) = u(n)
h(n) = a n u(n),

a <1

10
Tìm ngõ ra bằng sự phân tích tính toán.
Giải
Chú ý rằng cả x(n) và h(n) là nhân quả và vô hạn. Điều kiện a < 1 để đảm bảo sự hội tụ của h(n). ta
chọn để ước tính h(n)  x(n), sử dụng (2.14a)


n

k  

k 0

y(n)  h(n)  x(n)   h(k ) x(n  k )   a k u (k )u (n  k )
n

  ak
k 0

Vì vậy kết quả là
y(0) = 1
y(1) = 1 + a
y(2) = 1 + a + a 2
...
y(n) = 1 + a + a

2

+ ... + a n

Tín hiểu ra y(n) không tiến tới  nhưng giả sử tiến tới giá trị hữu hạn của


1
(Xem ví dụ 2.2.2).
1 a

2.3.5 Hệ thống xác định và giải nhân chập
Trong DSP thỉnh thoảng ta cần xác định một hệ thống, giả sử LTI (hoặc LSI), khi ta biết tín hiệu vào
và tín hiệu ra. Hệ thống này được gọi là hệ thống xác định khi ta phải xác định đáp ứng xung của hệ
thống, và sau đó là phương trình tín hiệu vào ra nếu cần thiết.
Lọc thích nghi sử dụng lọc FIR thường được sử dụng để xác định những hệ thống DSP không
biết. Trong lý thuyết điều khiển, xác định hệ thống là một vấn đề quen thuộc.
Với hệ thống nhân quả, ngõ ra được dẫn ra từ sự nhân chập (2.14a) được lặp lại ở đây.
y ( n) 

n

 h( k ) x ( n  k ) ,

n0

k 0

Tại n  0

y(0)  h(0) x(0)

Lấy

h(0) 

y (0)
x(0)

Cho x(0)  0 . Tại n  1 , Ta có
y (n)  h(n) x(0) 

n 1

 h( k ) x ( n  k )
k 0

Lấy

y ( n) 
h( n) 

n 1

 h( k ) x ( n  k )
k 0

x(0)

, n 1

Ví dụ 2.3.3

Để xác định một hệ thống DSP chưa biết (phần cứng hoặc phần mềm) ta áp một tín hiệu x(n) và lấy
ngõ ra y(n) như sau:


11

x(n)  [1, 2,  1,  2,1, 2]
y(n)  [0,1, 4, 3,  4,  3, 4, 4]
Xác định đáp ứng xung.
Giải
Chú ý rằng tín hiệu vào ra là nhân quả. Ta ước lượng đáp ứng xung như sau:
y (0)
h(0) 
0
x(0)
y (1)  h(0) x(1) 1  0(2)
h(1) 

1
x(0)
1
y(2)  h(0) x(2)  h(1) x(1) 4  0( 1)  1(2)
h(2) 

2
x(0)
1

y(3)  h(0) x(3)  h(1) x(2)  h(2) x(1) 3  0(2)  1(1)  2(2)


0
x(0)
1
Tiếp tục ta thấy rằng h(n)  0 với n  3 . Vì vậy đáp ứng xung là
h(n)  [0,1, 2]
Hệ thống là nhân quả như mong đợi
Một phương pháp khác là vấn đề biến đổi trong miền z (Chương 4)
h(3) 

2.4 SỰ ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
Sự ổn định có lẽ là thuộc tính quan trọng nhất của hệ thống thực tế. Khi một hệ thống không ổn định
ngõ ra của nó thay đổi tự do và không có giới hạn, hoặc chương trình máy tính không đưa ra được kết
quả.
Hệ thống xử lý tín hiệu rời rạc thời gian ổn định khi với một tín hiệu vào có biên độ hữu hạn
hệ thống cho tín hiệu ra có biên độ hữu hạn. Đây là tiêu chuẩn ổn định bounded input-bounded
output (BIBO). Về mặt toán học:

x( n )  M x  



y( n )  M y  

Bây giờ ta tính điều kiện của sự ổn định tác động trên đáp ứng xung. Bắt đầu từ tổng nhân chập


yn   xn   hn    xn hn  k 
k 

Lấy trị tuyệt đối giá trị hai bên:







k  

k  

k  

yn    xn hn  k    xn  h n  k   x n   h n  k 

Để x (n ) , y(n ) là hữu hạn nếu


 hk   

k  

Vì k là một biến giả ta thay nó bằng n và viết điều kiên như:
∞

 h  n < ∞

(Điều kiện BIBO ổn định)

(2.15)

n=-∞

Nghĩa là, đáp ứng xung là hữu hạn. Hệ thống FIR là ổn định, ngược lại sự ổn định của hệ thống IIR
đòi hỏi đáp ứng xung phân hủy đủ nhanh theo thời gian.
Ví dụ 2.4.1
Một hệ thống LTI có đáp ứng xung
h(n)
= an , n  0
= bn , n < 0


12
Tìm điều kiện ổn định
Giải
Đáp ứng xung nói chung gồm phần nhân quả và không nhân quả. Điều kiện của sự ổn định là:




n  

n 0

1

n

n

 h( n )   a   b  

n  

Đầu tiên


2

n
 a  1  a  a  ...  

n0

Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.8) sẽ dẫn đến điều kiện a  1 . Bây giờ
1

n



 b 

n  

n 1

1
b

n



1
b



1  1  1  ...  1 1 ,
2


1
b b
b
1


b

1
1
b

1
< 1 hoặc b  1 . Vì vậy điều kiện tổng quát a  1 và b  1 .
b
Ví dụ 2.4.2 [Trích từ A. Antoniou, 2006]
Kiểm tra tính ổn định của hệ thống nhân quả với đáp ứng xung được cho bởi:
(a)
(b)

Giải
(a) Điều kiện ổn định
Điều kiện là

Từ chuỗi hình học (2.11) ta có tổng

Yều cầu sự ổn định

Vì vậy hệ thống là ổn định nếu và chỉ nếu |a| < 1. Chú ý khi a = 1 hoặc a > 1 giới hạn tiến tới vô cực
và hệ thống không ổn định
(b) Bây giờ tổng giá trị tuyệt đối của đáp ứng xung là
Vì sin

ta tách tổng này thành hai phần:

Vì vậy hệ thống không ổn định.



2.5 ĐÁP ỨNG CHUYỂN TIẾP VÀ ĐÁP ỨNG BƢỚC
Trong thực tế ta thường gặp trường hợp tín hiệu được áp cho hệ thống rồi tắt đi. Phản ứng của hệ
thống khi vừa áp tín hiệu hay vừa bị tắt đi được gọi là đáp ứng chuyển tiếp (quá độ, hay giao thời).
Đáp ứng này thường khác với đáp ứng ổn định hay đáp ứng vững, là đáp ứng khi tín hiệu đã được áp
hoặc tắt sau một thời gian dài. Đáp ứng chuyển tiếp là đặc biệt quan trọng của hệ thống, nó nói lên tính


13
chất và tốc độ phản ứng của hệ thống. Thường ta muốn hệ thống dạt đến sự ổn định càng nhanh càng
tốt nhưng phải trơn tru.
2.5.1 Đáp ứng xung bậc

Đáp ứng xung của hệ thống không cho ta biết trước tiếp đáp ứng chuyển tiếp của hệ thống.
Khi ta áp tín hiệu bậc đơn vị x(n)=u(n) vào hệ thống thì tín hiệu ra y(n)=s(n) được gọi là đáp ứng bậc.
Hàm bậc đơn vị u(n) là tổng tích lũy hay còn gọi là tổng chạy của xung đơn vị


u n    n  k 

(2.16)

k 0

Đáp ứng bậc là tổng chạy của đáp ứng xung.


sn   hk 

(2.17a)

k 0

Ngược lại, đáp ứng xung có thể suy ra từ đáp ứng bậc như sau
(2.17b)
Ví dụ 2.5.1
Một hệ thống được miêu tả bởi phương trình vào ra
y(n) = 0,8y(n - 1) + x(n)
Tìm
(a) Đáp ứng bậc
(b) Đáp ứng bậc tương ứng với xung chữ nhật số gồm 5 mẫu biên độ 1 tại n=0 đến n=4 (hình
2.11a)
Giải

Đầu tiên ta tìm đáp ứng xung. Điều này đã được thực hiện trong ví dụ 2.1.1. Kết quả cho như trong
hình 2.11b
(a) Ta áp dụng công thức (2.17) với đáp ứng bậc
s(0) = h(0) = 1
s(1) = h(0) + h(1) = 1 + 0.8 = 1.8
s(2) = s(1) + h(2) = 1 + 0.8 + 0.8 2 = 2.44
s(3) = s(2) + h(3) = 1 + 0.8 + 0.8 2 + 0.8 3 = 2.952
...
1
s   =1 + 0.8 +0.8 2 + 0.8 3 + ... =
= 5.0
1  0.8
Kết quả cho trong hình 2.11c. Chú ý rằng giá trị ổn định (trong trường hợp giá trị cuối) là 50. Theo lý
thuyết, hệ thống cần một sự vô hạn về thời gian để tắt nhưng trong thực tế sự cài đặt thời gian có thể
đạt tời 10 đến 100 lần, phụ thuộc vào sự chính xác của thiết bị.
x(n)
1.0 
(a)

 

-2 -1

0

   

1

2

3

4

 
5

6

n

h(n)
1.0 
(b)

 
-2 -1

0

0.8



1

0.64
 0.512



2

3



...

4

n

s(n)
0.5

limit


14

(b) Ngõ ra tín hiệu y(n) với xung hình chữ nhật có thể tìm theo 2 cách. Đầu tiên, ta xem xung gồm
5 mẫu đơn vị tại n = 0, 1, 2, 3, 4. Thứ hai, ta xem xung gồm một bậc đơn vị giá trị dương tại n=0, và
giá trị âm tại n=5. Ta sử dụng cách 2
y(n) = s(n) - s(n-5)
Vì vậy
y(0) = s(0) - s(-5)
y(1) = s(1) - s(-4)
y(2) = s(2) - s(-3)

y(3) = s(3) - s(-2)
y(4) = s(4) - s(-1)
y(5) = s(5) - s(0)
...

= 1.0 - 0
= 1.8 - 0
= 2.44 - 0
= 2.952 - 0
= 3.362 - 0
= 3.692 - 1

= 1.0
= 1.8
= 2.44
= 2.952
= 3.632
= 2.692

Kết quả cho trong hình 2.11d. Chú ý rằng đáp ứng không đạt đến trạng thái ổn định với biên độ giảm,
không đối xứng với biên độ tăng,
Ví dụ 2.5.2
Một hệ thống có đáp ứng xung vô hạn (IIR)
Tìm đáp ứng ngõ ra so với ngõ vào
a) Bậc đơn vị
b) Xung hình chữ nhật với n = 0 đến n = 50
Giải
a) Vì tín hiệu vào và hệ thống là nhân quả, đáp ứng bậc có dạng

15

Tại n = 0, đáp ứng là

. Sau đó, đáp ứng tăng và đạt đến giá trị trạng thái ổn định

Thật ra bằng cách ước lượng hoặc vẽ ta thấy rằng tại n = 25 đáp ứng đã đạt tới trạng thái ổn định.
a) Xung chứ nhật số
. Từ thời điểm n = 0 đến n = 50 ngõ ra có
dạng u(n):
Như nói ở trước, từ n = 25 ngõ ra có thể được xem như đã đạt đến giá trị ổn định là 4. Vì vậy tín hiệu
ra từ n = 51 là

Tại n = 51,
Và tại

,

Thật ra, từ khoảng n= 70 ngõ ra được xem như bằng không.
Khác với ví dụ trước, trong ví dụ này đáp ứng xung vào kết thúc lâu hơn cho phép hệ thống có
đủ thời gian để đạt đến trạng thái ổn định. Vì vậy tăng đáp ứng tại thời điểm bắt đầu và giảm tại thời
điểm cuối là đối xứng.

Ví dụ 2.5.3 [Trích từ A. Antoniou, 2006]
Một dốc đơn vị x(n) = 0 với n < 0 và x(n) = n với
qui và có những xung tương ứng
n
y(n)

0

0

1
1

2
4

3
10

được áp vào một hệ thống nhân quả không đệ

4
20

(a) Tìm đáp ứng xung hệ thống với
(b) Sử dụng kết quả trong (a) để tìm đáp ứng bậc với
Giải
(a) Ta áp dụng sự nhân chập vào hệ thống

Bây giờ ta tính y(n) với n = 1, 2, …:

5
30

6
40

7

50


16
Tiếp tục ta có y(5) và y(6). Kết quả
h(0) = 1, h(1) = 2, h(2) = 3, h(3) = 4, h(4) = 0, h(5) = 0
(b) Đáp ứng bậc đơn vị được cho bởi

Vì vậy
y(0) = h(0) = 1
y(1) = h(1) + h(0) = 2 + 1 = 3
y(2) = h(2) + h(1) + h(0) = 3 +2 + 1 = 6
y(3) = h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 10
y(4) = h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 15
y(5) = h(5) + h(4) + h(3) + h(2) + h(1) + h(0) = 21
Ví dụ 2.5.4 [Trích từ.Antoniou, 2006]
Hệ thống



Được giả sử nhân quả, tìm đáp ứng của nó để
(a) Mũ escitation
(b) Sin escitation
Giải
(a) Ta tăng chỉ số thời gian n từ không lên đến n và tìm đáp ứng y(n):

Áp dụng công thức chuỗi hình học (2.11) ta có không hình thức gần đúng của đáp ứng xung:

Kết quả có thể mở rộng hơn nữa. Xét đáp ứng tần số
Với

và
Bây giờ đáp ứng y(n) được diễn tả như
(a) Vì hệ thống tuyến tính, ta viết

Vì vậy
Với


17
và
Tổng đáp ứng

Vì

là hàm chẵn và

:

là hàm lẻ theo ω, nghĩa là
and

Ta có kết quả cuối cùng
Thành phần đầu tiên đại diện cho tín hiệu sin mà có đáp ứng ổn định, thành phần thứ hai (khi a<1) là
một tín hiệu sin hủy có đáp ứng chuyển tiếp. Sau một khoảng thời gian nhất định, phụ thuộc giá trị của
đáp ứng chuyển tiếp hệ thống chỉ còn trạng thái ổn định.
2.5.2 Đặc tính cho bởi đáp ứng bậc
Từ (2.17b) ta có thể thay đáp ứng xung trong sự nhân chập bằng đáp ứng bậc:

Vì vậy đáp ứng bậc được chú thích

diễn tả như một sự nhân chập:

của một hệ thống với tín hiệu vào bất kỳ x(n) có thể được
(2.18)

Ngõ ra tín hiệu sẽ là
(2.19)
Vi dụ 2.5.5
Đáp ứng của một hệ thống LTI và ngõ vào có dạng

Tìm ngõ ra
Giải
Từ (2.18) và tín hiệu vào được cho x(n) đáp ứng bậc là
Từ (2.19) ngõ ra là
Bây giờ thay vào biểu thức s(n), chú ý rằng s(n) là nhân quả, ta có


18
Liệu ta có thể tìm được biểu thức tổng quả cho y(n) ?

Để trả lới nghi vấn trên ta có thể đặc tả một hệ thống LTI bằng đáp ứng bậc thay vì đáp ứng
xung. Tuy nhiên sự đặc tả một hệ thống bằng đáp ứng xung thì tổng quát và hữu ích hơn.
Biến đổi z thì hiệu quả trong sự giải quyết những vấn đề tức thời. Vì vậy, chương 4 đáp ứng
tức thời The z-transform is very effective in solving transient problems. Thus, in chapter 4 sẽ nói lại
vấn đề đáp ứng tức thời.
2.6 LỌC SỐ - DIGITAL FILTERS
Lọc số là hệ thống DSP (hoặc DTSP) phổ biến nhất. Mục đích của phần này là giới thiệu một cách
ngắn gọn những loại lọc với công thức khác nhau. Như những lọc tương tự, lọc số tác động lên đầu
vào tín hiệu để tạo tín hiệu ra khác về mặt biên độ, tần số, pha so với tín hiệu vào. Lọc số, giống như
lọc tương tự, bao gồm 4 tần số cơ bản- loại: thông thấp, thông cao, dải qua, chắn dải (xem hình 5.1

chương 5). Đặc tính tần số của lọc được thảo luận ở chương kế sau khi giới thiệu về phân tích Fourier.
Trong phần này, chúng ta phân loại lọc số dựa trên đáp ứng xung và cấu trúc của nó.
2.6.1 Lọc không đệ qui và lọc FIR
Một lọc không đệ qui trình bày tín hiệu ra phụ thuộc chỉ tín hiệu vào tại tất cả thời điểm. Về mặt toán
học, lọc không đệ qui được mô tả bằng phương trình tín hiệu:
M

yn 

 b xn  k 

k  M

(2.20)

k

Với bk là hệ số lọc, có thể thực hoặc phức (thường là thực). Giới hạn được viết như –M và M, nhưng
cũng có thể khác, bao gồm   và  . Với lọc nhân quả, ngưỡng dưới là 0. Về mặt cấu trúc, lọc không
đệ qui gồm ba loại toán hạng: chậm, nhân và cộng. hình 2.12 chỉ sự tiến hành trực tiếp của một lọc
không đệ qui 4 hệ số.
3

y(n)   bk x(n  k )  b0 x(n)  b1 x(n  1)  b2 x(n  2)  b3 x(n  3)
k 0

Trong hình z

1

là đơn vị chậm thời gian (phần 1.5.2 và ví dụ 1.5.3)

x(n)

z 1

x(n  1)

z 1

x(n  2)

z 1

x(n  3)

b0

b1

b2

( h0 )

b3

(h1 )

(h2 )

( h3

+

+

+ )
y(n)

Hình.2.12 : Cấu trúc (tiến hành) của lọc không đệ qui
Đáp ứng xung h(n) có được bằng cách thay x(n – k) bằng (n  k) :

h n 

M

 bk   n  k   b
n
k  M

(2.21)

Kết quả này dẫn đến hai kết luận quan trọng: một hệ số lọc b n là chỉ số đáp ứng xung h(n) tại thời điểm
n. hai, lọc không đệ qui được định nghĩa bởi công thức (2.18) cũng là một lọc có đáp ứng xung hữu
hạn FIR. Tất nhiên khi một hoặc cả hai là  , lọc FIR là một lọc IIR. Tuy nhiên, với trường hợp thực
tế giới hạn là hữu hạn, vì lọc không đệ qui và lọc FIR là giống nhau.
Khi thay b k bằng h(k) ta có thể viết lọc không đệ qui (FIR) như

y n  =
Và lọc nhân quả

M

 h k  x n - k 

k = -M

(2.22a)


19

y n  =

M

 h k  x n - k 

(2.22b)

k =0

Chú ý rằng lọc không đệ qui tiến hành trực tiếp bằng tổng nhân chập
Ví dụ 2.6.1
Xem một lọc trung bình di chuyển gồm năm thành phần
y(n) =

1
[ x(n - 2) + x(n - 1) + x(n) + x(n + 1) + x(n + 2) ]
5

Đây là một lọc không đệ qui. Khi thời gian tăng trung bình di chuyển tăng đó là lý do cho tên gọi
Tín hiệu vào tuần hoàn với chu kỳ 4 mẫu.
x(n) = [ ... 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3 ... ]
Vẽ tín hiệu vào và ra
Giải
Đầu tiên, chú ý rằng đáp ứng xung là

h(2)  h(1)  h(0)  h(1)  h(2)  1/ 5  0.2
Định giá ngõ ra được cho bởi:
y(0) = 0.2[x(-2) + x(-1) + x(0) + x(1) + x(2)] = 0.2[1 + 2 + 3 + 2 + 1] = 1.8
y(1) = 0.2[x(-1) + x( 0) + x(1) + x(2) + x(3)] = 0.2[2 + 3 + 2 + 1 + 2] = 2.0
y(2) = 0.2[x( 0) + x( 1) + x(2) + x(3) + x(4)] = 0.2[3 + 2 + 4 + 2 + 3] = 2.2
…
Tín hiệu vào và ra chỉ trong hình 2.13. Chú ý rằng lọc trung bình di chuyển là một lọc thông thấp vì nó
có khuynh hướng giảm sự thay đổi về biên độ của tín hiệu vào. Tất nhiên, không phải bất kỳ lọc
không đệ qui (FIR) là lọc thông thấp. Nhiều mẫu được lấy trung bình thì ngõ ra trơn tru hơn, nhưng lại
tốn nhiều thời gian xử lý.
Lọc trung bình di chuyển cho thấy một DSP cơ bản, có nghĩa, DSP có thể được tính bằng
những mẫu (phần mềm) tốt như bằng mạch điện (phần cứng).
Lọc là không nhân quả vì giá trị hiện tại của y(n) phụ thuộc vào hai giá trị vào tương lai
x(n=1) và x(n=2). Đây không phải là vấn đề nếu dữ liệu được cất dữ. Trong hệ thống sử lý thời gian
thực (RTP) lọc phải nhân quả. Lọc được cho có thể làm thành nhân quả bằng cách biến tất cả những
mẫu, trừ hiện tại, trở thành quá khứ.
x(n)
(a)

2
...

3

3
2

2

3
2

1

1
-2 -1

0

y(n)
(b)

1 2

2.0

2.2

1.8

2

2

1
3

2.0

4

1.8

5

2.0

6
2.2

1
7

2.0

8

n

2
1.8

...
-2 -1

9 10

...

...
0

1 2

3

4

5

6

7

8

Hình.2.13 : Ví dụ 2.5.1 (a) x(n), (b) y(n)

9 10

n

20

y(n) =

1
[x(n) + x(n – 1) + x(n – 2) + x(n – 3) + x(n – 5)]
5

Bây giờ tín hiệu ra y(n) là trung bình xung quanh mẫu trung tâm x(n – 2).



Ví dụ 2.6.2
Tín hiệu

2n
2n
+ sin
,
60  n  320
60
10
được áp vào một lọc không đệ qui (FIR) có đáp ứng xung
h(n) = 0.1 ,
0n9
0 ,
khác
x(n) = sin

Vẽ tín hiệu vào x(n) và tín hiệu ra y(n).
Giải
Cho ngõ vào gồm những thành phần tần số thấp có 60 mẫu trong chu kỳ 2 và thành phần tần số cao
có 10 mẫu trong chu kỳ 2 .Hình 2.14a mô tả tín hiệu. Đáp ứng xung là một lọc trung bình di chuyển
10 mẫu có biên độ bằng nhau 0.1. Công thức lọc
9

y(n) =  h(k ) x(n  k )
k 0

= h(0)x(n) + h(1)x(n – 1) + ... + h(9)x(n – 9)
= 0.1[x(n) + x(n – 1) + ... + x(n – 9)]
Vì vậy những mẫu ra từ from n = 60 đến tương lai là
y(60) = 0.1[x(60) + x(59) + ... + x(51)]
y(61) = 0.1[x(61) + x(60) + ... + x(52)]
y(62) = 0.1[x(62) + x(61) + ... + x(53)]

x(n)

60

320 n
(a)

y(n)

60

320 n
(b)

Hình.2.14 Ví dụ 2.5.2 (a) tín hiệu vào, (b) tín hiệu ra


21
Hình 2.14b chỉ tín hiệu ra. Thành phần tần số cao hầu như bị loại bỏ, ngược lại thành phần tần số thấp
được giữ lại. Chú ý đáp ứng chuyển tiếp tại thời điểm bắt đầu: chỉ có thành phần x(n) tham gia vào,
tiếp theo có thêm x(n-1) tham gia …. Và sau 10 lần lấy trung bình di chuyển mới có đủ 10 mẫu từ x(n)
đến x(n-9), lúc bấy giờ đáp ứng mới ổn định.
2.6.2 Lọc đệ qui và lọc IIR
Một lọc đệ qui tín hiệu ngõ ra phụ thuộc vào tín hiệu vào tại tất cả thời điểm và cũng phụ thuộc vào tín
hiệu ra trước đó. Phương trình lọc đệ qui nhân quả cho bởi
N

M

k 1

k 0

y(n)   a k yn  k   bk xn  k 

(2.23)

Với ak là hệ số cho phần đệ qui (hồi tiếp), và bk là những hệ số cho phần không đệ qui. Trong lý
thuyết, ngưỡng M, N có thể lên đến  nhưng trong thực tế chúng là hữu hạn. Ngưỡng N là bậc lọc.
Khi tất cả hệ số ak bằng 0 chúng ta có lọc không đệ qui như trên.
Một số tác giả viết phương trình trên như sau:
N

a

k 0

M

k

y (n  k )   bk x(n  k )

(2.24)

k 0

Ta ưu tiên công thức trước. Ta lấy ngưỡng M, N hữu hạn khi đáp ứng xung của lọc là hữu hạn. Thực
ra, đáp ứng xung, nhìn chung, là vô hạn, vì vậy lọc đệ qui là lọc IIR.
Xem cấu trúc (tiến hành) của lọc. Để kết thúc phần này, xét ví dụ có phương trình vào ra.
y(n) = 0.9y(n – 1) – 0.4y(n – 2) + 2x(n) – 3x(n – 1) + 4x(n - 2)
Hình 2.15 là một hình thức tiến hành trực tiếp. Vấn đề về cấu trúc lọc sẽ được thảo luận trong chương
7 vì ở đây có nhiều cấu trúc khác nhau với những đặc tính khác nhau và ứng dụng khác nhau.
Với một lọc không đệ qui, hệ số bk là đáp ứng xung, nhưng lọc đệ qui hệ số bk không phải là
đáp ứng xung. Đáp ứng xung được hình thành từ định nghĩa của đáp ứng xung, nghĩa là, chúng tat hay
x(n-k) bằng xung đơn vị (n – k) và y(n – k) bằng h(n-k) để tìm đáp ứng xung h(n) (phần 2.1.3)
2

x(n)

z 1

+

+

3

z 1

4

y (n)
0.9

-0.4

z 1
z 1

Hình. 2.15: Tiến hành trực tiếp của lọc IIR filter trong ví dụ
Ví dụ 2.6.3
Xét một lọc trung bình di chuyển (lọc không đệ qui) gồm 10 mẫu
y(n) = 0.1[x(n) + x(n – 1) … x(n – 9)]
Tìm công thức lọc đệ qui và đáp ứng xung của nó
Giải
Đầu tiên, xét từ ngõ ra y(n – 1) :
y(n – 1) = y(n – 1) + 0.1[x(n – 1) + x(n – 2) + … + x(n – 10)]
tiếp từ phương trình tín hiệu


22
y(n) – y(n – 1) = 0.1[x(n – 10)]
Vì vậy
y(n) = y(n – 1) + 0.1[x(n) – x(n – 10)]

Đây là một lọc đệ qui. Đáp ứng xung của nó được cho bởi
h(n) = h(n – 1) +0.1[(n) – (n – 10)]
Lặp lại sự tính toán ta có
h(0) = h(1) = h(2) = … = h(9) = 0.1



Ví dụ trên cho thấy rằng lọc đệ qui sự tính toán hiệu quả hơn so với cùng một lọc không đệ
qui, vì chúng cần tính ít thành phần hơn. Nhưng lọc đệ qui là không ổn định nếu những hệ số không
được chọn thích hợp.
Example 2.6.4
Một lọc đệ qui nhân quả được cho bởi phương trình tín hiệu vào ra như sau:
y(n) = y(n – 1) + 0.8y(n – 2) + x(n)
Tìm đáp ứng xung.
Giải
Phương trình đáp ứng dung
h(n) = h(n – 1) + 0.8h(n -2) + (n)
Vì lọc là nhân quả, ta chỉ cần tính h(n) với n  0 :
h(0) = h(-1) + 0.8h(-2) + (0) = 1
h(1) = h( 0) + 0.8h(-1) + (1) = 1
h(2) = h( 1) + 0.8h( 0) + (2) = 1 + 0.8
h(3) = h( 2) + 0.8h( 1) + (3) = 1 + 0.8 + 0.8
...
h(n) = 1 + (n – 1)0.8
n>0
Chú ý rằng đáp ứng xung là vô hạn.
Vấn đề đang quan tâm là nhân chập, tính ngõ ra của tín hiệu lọc FIR là luôn có thể, nhưng lọc
IIR thì không thể vì đáp ứng xung vô hạn, vì vậy cách nào để tính ngõ ra của tín hiệu (xem phần 2.7)
2.6.3 Xử lý khối
Phụ thuộc vào ứng dụng và thiết bị hiện tại (phần mềm, hoặc phần cứng), ta sử dụng quá trình xử lý

offline hoặc online. Trong xử lý online hoặc xử lý mâu, mẫu hiện tại được xử lý cùng với mẫu trước
đó mà đã được cất dữ, mẫu kế tiếp được xử lý với mẫu trước nó trừ mẫu cũ nhất. Xử lý mẫu là xử lý
thực (RTP), nó đòi hỏi tốc độ cao và vì vậy thường tiến hành bằng phần cứng (chẳng hạn xử lý tin
hiệu số)
Khi những mẫu đến liên tục và hệ thống chúng ta không đủ nhanh, ta phải cất dữ dữ diệu đến
trong bộ nhơ và xử lý chúng sau. Đây là xử lý off-line, hoặc xử lý đợt. Ở đây có một vấn đề, vì ta xử
lý cất dữ dữ liệu, hệ thống sử lý có thể là nhân quả và không nhân quả. Hơn nữa, xử lý khối không đòi
hỏi tốc độ quá cao vì vậy thùy túy phần mềm được chọn, trừ phần thu dữ liệu (DAQ).
Cho Lx là chiều dài mẫu, thì mẫu tuần tự là
[

x(n) = [x(0), x(1), …, x(Lx – 1)]
Thường, chú thích vector x thay vì hình thức tuần tự trên (x là một matrận hàng ). Thời gian lấy mẫu:
L
Tx = LxTs = x
(2.25)
fs


Ts

x(n)

23

1

0

2

3

...

Lx – 1

n

Hình.2.16 : Khố i mẫ u củ a chiề u dài L x
y(n)

Input signal sequence ends

0

Lx-1

Lh

Turn – on transient

Steady - state

Lx-1+Lh

n

Turn – off transient

Hình.2.17 :Xử lý một khối
Với Ts là chu kỳ lấy mẫu (khoảng lấy mẫu), f s tần số lấy mẫu (tốc độ lấy mẫu). Hình.2.16 là một ví
dụ. Bây giờ xét một lọc FIR nhân quả với đáp ứng xung có chiều dài Lh
h(n)  [h(0), h(1),..., h( Lh  1)]
Nhân chập của hai chuỗi vô hạn Lx và Lh cho chuỗi ra chiều dài Ly được cho bởi công thức (2.7).

Chuỗi ra gồm 3 phần như trong hình 2.17:
: turn-on transient
0  n  Lh
: steadly – state
Lh  n  Lx  1
Lx  1  n  Lx  1  Lh : turn-on transient

2.7 GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VÀO RA
Phương trình tín hiệu vào ra của lọc đệ qui nhân quả (IIR) (hoặc hệ thống tổng quát) (2.23)

Với ak và bk là hằng số lọcs, và N là bậc lọc. Nhiều tác giả viết phương trình này như sau

Chú ý hệ số ak trong công thức sau có dấu đảo so với những hệ số tương ứng a k trong công thức trước.
Vì vậy, ta nến chọn tình huống này khi sử dụng (3.74) và (4.13a). Ở đây ta đánh dấu * cho công thức
trước.
2.7.1 Giải phƣơng trình và đáp ứng
Tìm phương trình vào ra của tín hiệu trong lọc tổng quát được cho bởi công thức (2.21). Để giải
phương trình cho tín hiệu ra y(n) khi tín hiệu vào x(n), ta cần biết điều kiện đầu (điều kiện bao), có
nghĩa, trạng thái của lọc trước khi áp tín hiệu. Vì điều này, tổng hợp lọc gồm 2 phần: nghỉ thì y(n)=0


24
tại n<0, và hoạt động thì y(n) khác không tại n<0. Thực tế, giải phương trình tín hiệu vào ra số thì
giống với phương trình tín hiệu vào ra tương tự. Xét ví dụ 2.1.1

(2.27)
Cho một tín hiệu x(n) tại n = 0, ngõ ra tại thời điểm đó là
y(0) = 0.8y(-1) + x(0)
Nếu hệ thống hoạt động y(-1) và y(-1), y(-2) tồn tại và nó ảnh hưởng những giá trị của y(n). Vì vậy
y(n) có hai thành phần, một gây ra khi tín hiệu vào x(n) tại n=0, mà không tính đến điều kiện đầu được
gọi là đáp ứng trạng thái không yzs(n), phần khác gây ra bởi điều kiện đầu độc lập với tín hiệu vào
được gọi là đáp ứng vào không yzi(n). Mỗi thành phần tìm được bằng cách giải phương trình vào ra.
Đáp ứng trạng thái không cũng được gọi là đáp ứng ép (forced response) (ép ngõ vào lên hệ thống).
Đáp ứng trạng thái không cũng được gọi là đáp ứng tự nhiên (mà phụ thuộc vào cấu trúc hệ thống).
Tổng của hai đáp ứng là đáp ứng tổng của hệ thống. Tuy nhiên, phụ thuộc vào phương pháp giải
phương trình vào ra, thành phần ép và tự nhiên có hoặc không, nhìn chung, giống như đáp ứng trạng
thái không và đáp ứng ngõ vào không, tương ứng, mặc dù mỗi đôi cộng thêm vào cùng một đáp ứng
tổng.
Khi điều kiện đầu của hệ thống là nhân quả, ứng dụng của ngõ vào tín hiệu cho hai đáp ứng
khác nhau: đápưng tức thời và đáp ứng ổn định. Đáp ứng tức thời tồn tại và trùng lắp lên đáp ứng ổn
định trong một thời gian ngắn sau khi áp tín hiệu vào, ngược lại đáp ứng trạng thái ổn định liên tục với
tín hiệu vào. Một đáp ứng tức thời tồn tại khi tín hiệu vào tắt đột ngột. Vì vậy, ta phải bậc tức thời và
tắt tức thời.
Trong ngôn ngữ của phương trình tín hiệu, đáp ứng tức thời là sự giải đồng nhất của phương
trình tín hiệu, trong khi đó đáp ứng ổn định là giải từng phần. Tổng quát của hai cách giải trên là sự
giải tổng của phương trình.
Thời gian nhân chập của tín hiêu vào x(n) với đáp ứng xung h(n) của hệ thống cho tín hiệu
ngõ ra là tổng của gốc đồng nhất và gốc đặc biệt.
Ta biết rằng trong thế giới tương tự phương trình tín hiệu có thể giả một cách thuận tiện bằng
cách sử dụng biến đổi Laplace. Giống như vậy, trong miền số, ta có thể sử dụng biến đổi z (chương 4)
để tìm phương trình tín hiệu.
Ví dụ 2.7.1
Một hệ thống đệ qui được đặc tả bởi phương trình tín hiệu
Nhận một tín hiệu sin tại thời gian n = 0:
(a) Vẽ x(n).

(b) Tìm tín hiệu ra (giải tổng), đáp ứng ổn định (giải từng phần)
Giải
(a) Hình 2.18 cho ta sự khác nhau của x(n)
(b) Giải trực tiếp phương trình tín hiệu ta có được giải tổng. Khi hệ thống là nhân quả, ta tính ngõ
ra y(0) hình . 2.18b vẽ kết quả. Quan sát hình vẽ ta thấy rằng đáp ứng tức thời tắt tại n=18, sau đó,
chỉ còn đáp ứng ổn định.
1, 2, 1, -1, -2, -1, 1, 2, 1, -1,…
(c) Vì vậy ta có thể dẫn xuất ra dáp ứng trạng thái ổn định đầy đủ từ hình 2.18c. Chú ý đáp ứng
này có cùng dạng sin như đầu vào, cùng tần số nhưng khác pha.Hệ thống này là tuyến tính và bất biến
thời gian (LTI)
Giải từng phần, nghĩa là, đáp ứng trạng thái ổn định mở rộng đến quá khứ (n < 0)
Vì điều kiện đầu bằng không y(-1) = y(-2) = 0, giải đồng nhất bằng không, giải từng phần là hằng số.


25
Vì vậy từ những giá trị biết trước của yhs(n) tại n = -1; và n = -2 ta có thể tính những giá trị khác của
yhs(n):

Kết quả chỉ trong hình 2.18d. Ta có thể kiểm chứng yps(n) + yhs(n) = y(n). giải đồng nhất

Hình. 2.18: Ví dụ 2.7.1

Giống như đáp ứng xung, là đặc tính của hệ thống, không phải của tín hiệu vào. Tần số dao động cảu
giải đồng nhất không giống với tín hiệu vào, nhưng tác động đến hệ thống.
Ví dụ 2.7.2
Xét một hệ thống xử lý tín hiệu số trong hình 2.19. Đầu dò nhiệt độ chuyển nhiệt độ của một lò sưởi
thành hiệu điện thế tương tự được khuyếch đại và đưa đến bộ ADC (bộ chuyển đổi tương tự sang số).
sau đó được lấy mẫu và chuyển đổi sang nhị phân và cất trong mảng X của máy tính.
Oven
Thermo

couple

Amplifier
r

ADC

Array
X

Digital
filter

Array
Y

computer

DAC

Display