Bài giảng toán cao cấp 1 chương 3 hoàng văn thắng

Chương 3:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
(LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT)

Ta đã biết một phương pháp sơ cấp để
giải hệ pttt (pp Gauss). Chương này sẽ
đưa thêm một phương pháp khác để
khảo sát hệ pttt một cách tổng quát
hơn nhờ vào công cụ ma trận và định
thức.


Các vấn đề định tính và định lượng,
chẳng hạn: Khi nào hệ có nghiệm? Có
bao nhiêu nghiệm? Mô tả tập hợp
nghiệm? Tìm nghiệm? Sẽ được giải
đáp trong chương quan trọng này.
Tât nhiên trong thực hành ta có thể kết
hợp nhiều phương pháp để cho kết
quả nhanh chóng và gọn gàng nhất!!


Trước tiên ta xét hai phương pháp là
phương pháp ma trận và phương
pháp định thức để giải một loại hệ đặc
biệt là: Hệ Cramer
§ 1: Phương pháp ma trận và định
thức
1. Hệ Cramer:

Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ pttt thỏa
mãn 2 điều kiện:


Số phương trình bằng số ẩn.



Ma trận hệ số không suy biến
(

( )≠ )

Ví dụ: Hãy cho biết hệ sau có là hệ
Cramer?


−
−
+

+
+
+

=
=−
=

Giải:

 Hiển nhiên: số PT = số ẩn (= )


=

=

−
−

=

Vậy hệ đã cho là hệ Cramer.

≠


2. Phương pháp ma trận.
Một hệ pttt luôn viết được dưới dạng
ma trận: AX = B (1)
Nếu hệ (1) là hệ Cramer thì
( )≠

⟶∃
=

⟺

. Từ đó,

⟺
=

=
⟺

=

=


Như vậy, Hệ Cramer luôn có nghiệm
duy nhất:
=
Phương pháp giải hệ nhờ công thức
trên được gọi là phương pháp ma trận
Ví dụ: Giải hệ sau bằng phương pháp
ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo):


−
−
+

+
+
+

=

=−
=

Giải:



=

=

−
−

=

≠

 Hệ trên là hệ Cramer nên nó có
nghiệm duy nhất:

=


GABRIEL CRAMER
( 1704 – 1752)

Gabriel Cramer sinh ngày 31/7/1704 tại
Geneva, Thụy Sĩ mất 4/1/1752

ở

Bangnols-sur-ceze Pháp, Gabriel có rất
nhiều cố gắng trong việc học tập.


Năm 1722, khi mới 18 tuổi ông đã đạt
được học vị tiến sĩ cho luận án dựa
trên lý thuyết của âm thanh. Cramer nổi
tiếng là một người biên soạn thiên tài.
Cuốn sách nổi tiếng nhất của ông là “
Introduction à l’analyse des lignes
courbes algébraique”, trong đó có qui
tắc Cramer nổi tiếng.


Định lý sau đây còn gọi là Quy tắc
Cramer:
Định lý: Hệ Cramer n ẩn số , , … ,
luôn có nghiệm duy nhất xác định bởi
công thức:
=
Trong đó,

,
=

=

,…,

=

( ), A - ma trận hệ số


Cột thứ j

=

⋮



Các cột
còn lại
giống hệt
của d

Chứng minh:
Hệ Cramer luôn có nghiệm duy nhất:
=


⋮

⟶

=

⋯

⋯

⋯

=

=

⋯
⋯
⋱ ⋯
⋯

+

⋮

⋮
+⋯+

Chính là


⟶

=

∎

Ví dụ: Giải hệ sau bằng quy tắc Cramer
−
−
+

+
+
+

=
=−
=

Giải:



=

=

−
−

=

≠

Ví dụ: Tìm m để hệ sau đây là hệ
Cramer, khi đó hãy giải hệ bằng quy
tắc Cramer.
−

+
+
+

−
−
+

= −

−
−

=
=−
=

Giải:



=

=

+


§2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
TỔNG QUÁT
1. Các dạng biểu diễn của hệ phương
trình.
 Dạng khai triển (dạng tổng quát):
Hệ phương trình tuyến tính n ẩn số
,

,…,

có dạng:


⋯

+
+
⋯
+

⋯

+ ⋯ +
+ ⋯ +
⋯
⋯
⋯

+ ⋯ +

 Dạng ma trận

=


=



=

×

: ma trận hệ số

: cột ẩn số

⋮
×

⋯

=
=

⋯ ⋯
=



Nhận xét: Hệ có nghiệm ⟺ Cột
= hạng tự do B: cột
số
hạng
tự do.
số
biểu
diễn
tuyến
⋮
tính qua các cột của ma trận hệ
số ×, , … , .

 Dạng véc tơ:

+


+ ⋯+

=

:cột hệ số của ẩn thứ j(cột j của
ma trận hệ số)


2. Điều kiện có nghiệm

Định lý (Cronecker - Capelli)
“Hệ

phương

trình

tuyến

tính

có

nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma
trận hệ số bằng hạng của ma trận mở
rộng:

=

”

Chứng minh(gồm hai phần)


 Giả sử hệ có nghiệm, ta cần chứng
=

minh:

.

+ Thật vậy, theo định nghĩa về hạng ta
có:

=

,

,…,

= (

,

,…,

; )

+ Vì hệ có nghiệm nên: B bdtt qua
,
⟶

,…,
,

⟶
,…,

=

,

=
,…,

;


 Giả sử :

=

. Ta cần chứng

minh hệ có nghiệm
=

+ Thật vậy, Giả sử:

= ,

Lấy một cơ sở của hệ véc tơ cột của
A:

,

,…,

. Dễ thấy

,

(hệ con ĐLTT có số véc tơ bằng hạng)

,…,
cũng là

cơ sở của hệ véc tơ cột của . Suy ra,
B bdtt qua

,

,…,

⟶


⟶B bdtt qua

,

,…,

lại gán hệ số bằng 0). Như

(mỗi véc tơ còn

vậy, cột số hạng

tự do B bdtt qua các cột của ma trận

hệ số, do đó hệ có nghiệm. Định lý
được chứng minh.
3. Khảo sát tổng quát hệ pttt
Xét hệ pttt n ẩn số:

,

,…,


Trước tiên ta tìm hạng của ma trận hệ
số và ma trận mở rộng:

, ( )

 Nếu

≠ ( ) ⟹ Hệ vô nghiệm.

 Nếu

=

= : Hệ có nghiệm.

Để tìm nghiệm, ta chọn một định thức
con cơ sở bất kỳ của A. Không mất
tổng quát ta giả sử:

=

…
…

=

⋯

⋯

⋯
⋯

≠
⋯ ⋯
⋯

Là một định thức con cơ sở của A.
Do

= , nên D đồng thời cũng là

định thức con cơ sở của . Từ đây suy
ra, r dòng đầu của

là một cơ sở của

hệ véc tơ dòng của nó.

Suy ra, các dòng từ dòng thứ r+1 đến
dòng m bdtt qua r dòng đầu. Từ đó ta
có thể biến đổi các dòng r+1,…,m
thành các dòng bằng 0. Điều này
chứng tỏ hệ ban đầu tương đương với
hệ sau (giữ lại các PT có cùng chỉ số
dòng với định thức con cơ sở):