Vi tích phân a1 phép tính tích phân hàm một biến

VI TÍCH PHÂN A1

CHƯƠNG 3.
PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Lê Hoài Nhân

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

1 / 41


Chương 3. Phép tính tích phân hàm một biến
1

Nguyên hàm

2

Tích phân xác định
Định nghĩa
Định lý cơ bản của phép tính tích phân
Công thức Newton - Leibniz

3

Tích phân suy rộng
Tích phân suy rộng loại I
Tích phân suy rộng loại II

4

Ứng dụng của tích phân
Giá trị trung bình
Diện tích hình phẳng
Thể tích vật thể
Độ dài cung
Diện tích mặt tròn xoay
Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

2 / 41


Nguyên hàm

Định nghĩa 1.1 (Nguyên hàm)
Hàm số F (x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f (x) trên khoảng
(a, b) nếu F (x) = f (x) với mọi x ∈ (a, b)

Mọi nguyên hàm của hàm số f (x) đều có dạng F (x) + C với F (x) là
một nguyên hàm của f (x) và C là hằng số tích phân.
Ký hiệu

Ta có

f (x)dx là tập hợp tất cả các nguyên hàm của f (x).
f (x)dx = F (x) + C

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 41


Tích phân xác định
Định nghĩa 2.1
Cho hàm số f (x) xác định trên đoạn [a, b].
Phân hoạch đoạn [a, b] bởi các điểm chia a = x0 < x1 < ... < xn = b.
Trên mỗi đoạn [xi −1 ; xi ] ta chọn điểm ξi và lập tổng
n

In =

f (ξi ).∆xi .
i =1

Cho n → ∞ sao cho max ∆xi → 0. Nếu lim In = I không phụ thuộc
n→∞

vào cách phân hoạch đoạn [a, b] và cách chọn ξi thì ta nói f khả tích

trên đoạn [a, b] và I gọi là tích phân xác định của hàm f trên đoạn
[a, b].

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 41


Định lý cơ bản của phép tính tích phân
Định lý 2.1 (Định lý cơ bản của phép tính tích phân)
x

Cho f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu F (x) =
a

f (t)dt với x ∈ [a, b] thì

x

d
F (x) =
dx

f (t)dt = f (x).
a

Hệ quả 2.1
ϕ(x)

Nếu F (x) =
ψ(x)

Lê Hoài Nhân ()

f (t)dt thì F (x) = f (ϕ(x)).ϕ (x) − f (ψ(x)).ψ (x).

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 41


Định lý cơ bản của phép tính tích phân
Ví dụ 2.1
Tính F (x) biết rằng:
x2
1

F (x) =

x3

1 + t 2 dt.

2

F (x) =

0

√
4
x2

1
dt.
1 + t2

Ví dụ 2.2
x2
1

Cho H(x) = x.

e−

√

t

dt. Tính H (2).

4
sin x
2

Cho f (x) =

y

1+

t 2 dt

và g (y ) =

0
Lê Hoài Nhân ()

f (x)dx. Tìm g

π
.
6

3
TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 41


Định lý cơ bản của phép tính tích phân

Ví dụ 2.3
Tìm hàm số liên tục thỏa phương trình sau


x
1

f (x) = π 1 +

Lê Hoài Nhân ()

1

f (t)dt .

2

x

f (x) = 1 −

f (t)dt.
1

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 41

Định lý cơ bản của phép tính tích phân
Ví dụ 2.4
Dùng quy tắc L’Hospital tính giới hạn
x
1

lim

0

x→0

x

cos tdt
x

.

2

lim

0

x→−∞

arctan2 tdt
√

.
x2 + 1

Ví dụ 2.5
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2x−x 2

F (x) =

cos

1
dt.
1 + t2

0

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 41


Định lý cơ bản của phép tính tích phân
Định lý 2.2 (Công thức Newton - Leibniz)
Cho f liên tục trên đoạn [a, b]. Nếu Φ(x) là một nguyên hàm của f (x)
b

trên đoạn [a, b] thì
a

f (x)dx = Φ(b) − Φ(a)

Ví dụ 2.6
Dùng các phương pháp đã biết tính các tích phân
1
1

I1 =

arcsin xdx
0
√

2

0
3

I3 =

x −1
dx
x2 + x + 1

− 12

3

x arctan xdx

I2 =
0

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 41


Tích phân suy rộng loại I
Định nghĩa 3.1 (Tích phân suy rộng loại I)
1

Cho hàm số f (x) liên tục trên khoảng [a, +∞), ta định nghĩa
+∞

b

f (x)dx

f (x)dx = lim

b→+∞

a

a
2

Nếu f (x) liên tục trên khoảng (−∞, a] thì
a

a

f (x)dx = lim

f (x)dx

b→−∞
b

−∞

Nếu các giới hạn trên tồn tại thì ta nói tích phân suy rộng hội tụ. Tích
phân không hội tụ được gọi là tích phân phân kỳ
Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 41

Tích phân suy rộng loại I

Cho f (x) liên tục trên R, ta định nghĩa
+∞

f (x)dx =
−∞

+∞

0

f (x)dx +
−∞

f (x)dx
0

nếu các tích phân ở vế phải đều hội tụ.

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

11 / 41


Tích phân suy rộng loại I

Ví dụ 3.1
Tính các tích phân suy rộng sau:
1

2

I =

I =

∞

0
∞

0

e

−x

dx

3

I =

xe x dx
−∞

+∞

ln xdx

4

1

Lê Hoài Nhân ()

I =

dx
1 + x2

−∞

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

12 / 41


Tích phân suy rộng loại I
Ví dụ 3.2
1

Tính diện tích của miền

phẳng nằm phía trên đường
thẳng y = 0, phía dưới đường
ln x
cong y = 2 và bên phải
x
đường thẳng x = 1.

Lê Hoài Nhân ()

2

TÍCH PHÂN

Tính diện tích của miền
phẳng nằm phía trên trục Ox,
bên phải đường thẳng x = 1
và phía dưới đường cong
2
4
−
.
y=
2x + 1 x + 2

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

13 / 41


Tích phân suy rộng loại I

Ví dụ 3.3
1

Tính diện tích miền phẳng
nằm phía dưới đường cong
y = e −x , phía trên đường
cong y = e −2x và bên phải
trục x = 0.

Lê Hoài Nhân ()

2

TÍCH PHÂN

Tính diện tích miền phẳng
nằm phía dưới đường cong
1
y = x −2 e − x , phía trên trục
Ox và bên phải trục Oy .

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

14 / 41


Tích phân suy rộng loại I

Ví dụ 3.4
Cho biết

+∞

2

e −x dx =

√

π
2 .

Bằng

0

phương pháp tích phân từng
phần, tính
+∞
1

2

I =

x 2 e −x dx
0
+∞

2

2

x 4 e −x dx

J=
0

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

15 / 41


Tích phân suy rộng loại I
Ví dụ 3.5 (Hàm Gamma)
Hàm Gamma là hàm được cho bởi tích phân suy rộng
∞

Γ(x) =

t x−1 e −t dt

0

1

Chứng minh rằng tích phân trên hội tụ với mọi x > 0.

2

Dùng công thức tích phân từng phần chứng minh rằng
Γ(x + 1) = xΓ(x).

3

Chứng minh rằng Γ(n + 1) = n! với n = 0, 1, 2, ....
√
√
1
3
Chứng minh rằng Γ
= π và Γ
= 21 π.
2
2

4

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

16 / 41

Tích phân suy rộng loại II
Định nghĩa 3.2
1

Cho hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng (a, b] và lim+ f (x) = ∞.
x→a

Ta định nghĩa

b

b

f (x)dx

f (x)dx = lim+
c→a

c

a
2

Cho hàm số f (x) liên tục trên nửa khoảng [a, b) và lim f (x) = ∞.
x→b−

Ta định nghĩa

c

b

f (x)dx

f (x)dx = lim

c→b−
a

a

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 41


Tích phân suy rộng loại II
Ví dụ 3.6
Tính các tích phân suy rộng sau:
1
1

1
√ dx
x

I =

π
2
4

L=

0

0
1

2

J=

1
dx
x

2
5

M=

0

K=

√
0

1
3

cos x
dx
sin2 x
1
dx
2x − x 2

ln xdx
0

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

18 / 41


Tích phân suy rộng loại II

Định lý 3.1 (p - integrals)
Nếu 0 < a < ∞ thì

a1−p

+∞

hội tụ về

1
p−1
1
dx

xp


a
phân kỳ đến ∞

phân kỳ đến ∞

a


1
2
dx

a1−p
xp

 hội tụ về

0
1−p

Lê Hoài Nhân ()

nếu p > 1
nếu p ≤ 1

nếu p ≥ 1

nếu p < 1

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

19 / 41


Tích phân suy rộng loại II

Ví dụ 3.7
2

Tính tích phân I =

f (x)dx trong đó
0



 √1
nếu 0 ≤ x ≤ 1
f (x) =
x
 x − 1 nếu 1 < x ≤ 2

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

20 / 41


Tích phân suy rộng loại II
Ví dụ 3.8
1

Tính diện tích của miền
phẳng nằm phía dưới đường
thẳng y = 0, phía trên đường
cong y = ln x và bên phải trục
Ox.

Lê Hoài Nhân ()

2

TÍCH PHÂN

Tính diện tích của miền
phẳng nằm phía dưới đường
1
, phía trên trục
cong y = √x−2
hoành và giữa hai đường
thẳng x = 2 và x = 5

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

21 / 41


Giá trị trung bình tích phân
Định nghĩa 4.1
Cho hàm số f (x) khả tích trên đoạn [a, b]. Giá trị
1
f =
b−a

b

f (x)dx
a

được gọi là giá trị trung bình của hàm số f (x) trên đoạn [a, b].

Định lý 4.1
Nếu hàm số f (x) là liên tục trên đoạn [a, b] thì tồn tại c ∈ [a, b] sao cho

f (c) = f

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

22 / 41


Giá trị trung bình tích phân
Ví dụ 4.1
Tìm giá trị trung bình của hàm số f (x) = sin x trên đoạn [0, π]

Ví dụ 4.2
Chứng minh rằng vận tốc trung bình của xe ôtô trong khoảng thời gian
di chuyển [t1 , t2 ] bằng giá trị trung bình của hàm vận tốc trên khoảng
đó.

Ví dụ 4.3
Tìm c trong định lý giá trị trung bình tích phân đối với hàm số
f (x) = 1 + x 2 trên khoảng [−1, 2].

Lê Hoài Nhân ()

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

23 / 41


Giá trị trung bình tích phân

Tìm giá trị trung bình của hàm số trên khoảng được cho
1

f (x) = 4x − x 2 trên [0, 4]

7

5

f (x) = sin 4x trên [−π, π]
√
f (x) = 3 x trên [1, 8]
t
trên [1, 3]
f (t) = √
3 + t2
f (x) = t 2 (1 + t 3 )4 trên [0, 2]

6

f (x) = cos4 x sin x trên [0, π]

2
3
4

Lê Hoài Nhân ()

8
9
10

11

TÍCH PHÂN

3
trên [1, 6]
(1 + r )3
f (x) = (x − 3)2 trên [0, 5]
√
f (x) = x trên [0, 4]
f (r ) =

f (x) = 2 sin x − sin 2x trên
[0, π]
2x
trên [0, 2].
f (x) =
(1 + x 2 )2

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

24 / 41

Diện tích hình phẳng

1

Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: y = f (x), y = g (x),
x = a và x = b với a < b có diện tích được tính theo công thức:
b

S=
a
2

|f (x) − g (x)|dx

Một miền D được giới hạn bởi các đường cong: x = ϕ(y ), x = ψ(y ),
y = c và y = d với a < b có diện tích được tính theo công thức:
d

S=
c

Lê Hoài Nhân ()

|ϕ(y ) − ψ(y )|dy

TÍCH PHÂN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

25 / 41