Vi tích phân a1 phép tính vi phân hàm một biến

VI TÍCH PHÂN A1

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN
Ths. Lê Hoài Nhân

1

1 Bộ môn Toán học
Khoa Khoa học tự nhiên
Đại học Cần Thơ

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

1 / 90


Chương 2. Phép tính vi phân hàm một biến

1

Đạo hàm
Định nghĩa
Sự tồn tại
Các qui tắc tính đạo hàm
Phép lấy đạo hàm logarith

Đạo hàm hàm ẩn
Vi phân
Đạo hàm cấp cao

email ()

2

Công thức Taylor
Các ứng dụng của đạo hàm
Tiếp tuyến và pháp tuyến
Sự xấp xỉ
Vận tốc, tốc độ và gia tốc
Tốc độ biến thiên
Quy tắc L’Hospital
Bài toán tối ưu
Khảo sát hàm số

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

2 / 90


Đạo hàm
Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm)
Đạo hàm của hàm số f là hàm số f được định nghĩa bởi
f (x + h) − f (x)
h→0

h

f (x) = lim

tại tất cả các điểm x mà giới hạn đó tồn tại hữu hạn. Nếu f (x) tồn tại
thì ta nói rằng f (x) khả vi tại x.
Đạo hàm của hàm số f còn được định nghĩa theo biểu thức
f (x) = lim

z→x

f (z) − f (x)
z−x

trong đó z = x + h
email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

3 / 90


Đạo hàm
Ví dụ 1.1
Tính đạo hàm tại x của các hàm số
1

f (x) = sin x

Bài giải

3

p(x) = ex

2

g(x) = cos x

Bài giải

4

q(x) = ln x

Bài giải
Bài giải

Ví dụ 1.2
Tính đạo hàm của hàm số f (x) =

x2 sin
0

1
x

nếu x = 0

nếu x = 0

tại điểm
Bài giải

x = 0.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

4 / 90


Ký hiệu của Leibniz

Khi viết y = f (x) nghĩa là ta dùng biến phụ thuộc y để chỉ giá trị của
hàm số f tại x. Ta có thể dùng nhiều ký hiệu khác nhau để chỉ đạo
hàm của hàm f tương ứng với biến số x như sau:
Dx y = y =

dy
d
f (x) = f (x) = Dx f (x) = Df (x)
=
dx
dx

Cần phân biệt ký hiệu

d
d
f (x) và
f (x)
dx
dx

.
x=x0

Ký hiệu thứ nhất là một hàm số.
Ký hiệu thứ hai là một số thực. Đó là giá trị của đạo hàm tại điểm
x = x0 .

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

5 / 90


Ký hiệu của Leibniz
Ví dụ 1.3
Dùng định nghĩa đạo hàm để tính giá trị

d

dx

x2

x
+1

.

Bài giải

x=2

Bài tập 1.1
Tính các đạo hàm sau
1

2

d√
9
ds
1
F
4

3

Bài giải

s=9

biết F (x) =

1
x

4

f (8) nếu f (x) = x2/3
dy
với y = t1/4
dt t=4

Bài giải
Bài giải

Bài giải

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

6 / 90


Định nghĩa
Các đạo hàm cơ bản

1
d 1
=− 2
dx x
x
d x
e = ex
dx
d
sin x = cos x
dx
1
d
tan x =
dx
cos2 x
1
d
arcsin x = √
dx
1 − x2

email ()

d √
1
x= √
dx
2 x
d x

a = ax ln a
dx
d
cos x = − sin x
dx
d
1
cot x = − 2
dx
sin x
1
d
arctan x =
dx
1 + x2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

d α
x = αxα−1
dx
d
1
ln x =
dx
x
d
x
|x| =
dx

|x|

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

7 / 90


Định nghĩa
Định nghĩa 1.2 (Đạo hàm một phía)
Cho hàm số f xác định trên đoạn [a, b]
1

Ta định nghĩa đạo hàm bên phải của f tại a là giá trị
f (a + h) − f (a)
h→0+
h

f+ (a) = lim
2

Ta định nghĩa đạo hàm bên trái của f tại b là giá trị
f (b + h) − f (b)
h→0−
h

f− (b) = lim

Định nghĩa 1.3
Hàm số f khả vi trên đoạn [a, b] nếu f (x) tồn tại với mọi x ∈ (a, b) và
f+ (a), f− (b) tồn tại.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

8 / 90


Điều kiện tồn tại của đạo hàm
Định lý 1.1 (Điều kiện tồn tại đạo hàm)
Hàm số f có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi nó có đạo hàm trái và đạo
hàm phải tại x0 đồng thời hai đạo hàm một phía bằng nhau. Khi đó,
f (x0 ) = f− (x0 ) = f+ (x0 )

Ví dụ 1.4
Tính đạo hàm của hàm số f (x) =
Bài giải

3−x2
2
1
x

khi x ≤ 1
tại x = 1.
khi x > 1

Câu hỏi 1.1
Bạn hãy nêu một quy tắc để tính đạo hàm của hàm số f được cho bởi

nhiều biểu thức tại điểm chuyển đổi biểu thức của nó?
email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

9 / 90


Điều kiện tồn tại đạo hàm
Định lý 1.2 (Điều kiện cần)
Hàm số f có đạo hàm tại x0 thì f liên tục tại x0 .

Hệ quả 1.1
Nếu hàm số f gián đoạn tại x0 thì nó không có đạo hàm tại x0

Ví dụ 1.5
Chứng minh rằng hàm số f (x) =

sin
1

hàm tại x = 0.

1
x

nếu x = 0
nếu x = 0

không có đạo

Bài giải

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

10 / 90


Các phép toán trên đạo hàm
Định lý 1.3 (Các phép toán trên đạo hàm)
Nếu f , g là các hàm số khả vi tại x; C là hằng số thì các hàm số f + g,
1
f
f − g, Cf , f g, và cũng khả vi tại x và
f
g
1

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

2

(f − g) (x) = f (x) − g (x)

3
4

(Cf ) (x) = C.f (x)

(f g) (x) = f (x).g(x) + f (x)g (x)

5

1
f

(x) = −

6

f
g

(x) =

f (x)
(f (x))2

f (x).g(x) − f (x)g (x)
(g(x))2

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

11 / 90


Các phép toán trên đạo hàm
Ví dụ 1.6
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y =
trên đồ thị có hoành độ x = −2.

Bài giải

3x3 − 4
tại điểm
x

Ví dụ 1.7
Tính

dy
biết rằng y =
dx

√
3
2 x+
x

√

2
3 x−
x

.

Bài giải

Ví dụ 1.8
Cho y = uv là tích của hai hàm số u và v. Tính y (2) biết rằng
u(2) = 2, u (2) = −5, v(2) = 1 và v (2) = 3. Bài giải
email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

12 / 90


Các phép toán trên đạo hàm

Ví dụ 1.9
Tìm phương trình của đường thẳng đi qua điểm (−1, 0) và là tiếp
x−1
. Bài giải
tuyến của đồ thị hàm số y =
x+1

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

13 / 90


Đạo hàm của hàm hợp
Định lý 1.4 (Đạo hàm hàm hợp)
Hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 ; hàm số g(y) có đạo hàm tại y0 = f (x0 ).
Khi đó, hàm số g◦ f (x) có đạo hàm tại x0 và
[g◦ f ] (x0 ) = g (y0 ).f (x0 )
hay

dg◦ f
dg
df
(x0 ) =
(y0 ). (x0 )
dx
df
dx

Ví dụ 1.10
Tính đạo hàm của hàm số f (x) = arcsin

email ()

1 − x2

.
1 + x2

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Bài giải

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

14 / 90


Đạo hàm của hàm ngược

Định lý 1.5 (Đạo hàm hàm ngược)
Giả sử hàm f có hàm ngược f −1 . Nếu hàm f có đạo hàm khác 0 tại x0
thì hàm f −1 có đạo hàm tại y0 = f (x0 ) và
[f −1 ] (y0 ) =

1
f (x0 )

Ví dụ 1.11
Tính đạo hàm của hàm y = arcsin x

email ()

Bài giải

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

15 / 90


Đạo hàm logarith
Phép lấy đạo hàm logarith là phương pháp tính đạo hàm của các hàm số
có dạng u(x)v(x) và hàm số là tích của nhiều hàm số khác.
Phương pháp
1

Lấy logarith tự nhiên hai vế y = f (x) và dùng tính chất của logarith
thu gọn biểu thức thu được.

2

Lấy đạo hàm hai vế theo x.

3

Suy ra y từ đẳng thức thu được.

Ví dụ 1.12
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1
2

y = xx Bài giải
(x − 1)(x + 2)3

√
y=
3
x+3

email ()

Bài giải

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

16 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong.

Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x)
nào đó. Tại sao?

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong.
Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x)
nào đó. Tại sao?
Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến số
F (x, y) = 0. Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.
Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F (x, y) = 0.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 90

Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong.
Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x)
nào đó. Tại sao?
Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến số
F (x, y) = 0. Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.
Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F (x, y) = 0.
1

Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương
trình F (x, y) = 0 tại điểm (x0 , y0 ) thuộc đồ thị của nó?

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Hàm số y = f (x) có đồ thị là một đường cong.
Không phải đường cong nào cũng là đồ thị của một hàm số y = f (x)
nào đó. Tại sao?
Một đường cong là hình biểu diễn của một phương trình hai biến số
F (x, y) = 0. Mỗi đường cong là hợp thành của nhiều đồ thị hàm số.
Mỗi hàm số như vậy được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình
F (x, y) = 0.

1

Làm thế nào tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) xác định bởi phương
trình F (x, y) = 0 tại điểm (x0 , y0 ) thuộc đồ thị của nó?

2

Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường cong đó tại điểm M trên
đường cong.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

17 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Cách tính đạo hàm hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình
F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

18 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Cách tính đạo hàm hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình
F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:
1

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong
đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của
hàm hợp.

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

18 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Cách tính đạo hàm hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình
F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:
1

2

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong
đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của
hàm hợp.
dy
hay y .
Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theo
dx
dy
.
Giải phương trình này thu được
dx

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

18 / 90


Đạo hàm hàm ẩn
Cách tính đạo hàm hàm ẩn
Để tính đạo hàm của hàm ẩn y = y(x) được xác định nhờ phương trình
F (x, y) = 0 ta có thể thực hiện theo các bước sau:
1

2

3

Lấy đạo hàm hai vế của phương trình F (x, y) = 0 theo biến x, trong
đó, xem y là hàm số theo x và sử dụng quy tắc tính đạo hàm của
hàm hợp.
dy
hay y .
Xem phương trình ở bước 1 là phương trình bậc nhất theo
dx
dy
.
Giải phương trình này thu được
dx
dy
dy
.
ta thu được
Thay x = x0 và y = y0 vào biểu thức
dx
dx x=x0

email ()

PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN

Ngày 15 tháng 5 năm 2015

18 / 90