Lý thuyết ước lượng

ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

 Tổng thể được đặc trưng bởi dấu hiệu nghiên cứu X, là

đại lượng ngẫu nhiên. Tổng thể có ba đặc trưng số quan
trọng là:
 E(X)=: trung bình tổng thể
 var(X)=2: phương sai tổng thể
 p: tỷ lệ tổng thể (tỷ lệ số phần tử có tính chất A quan
tâm trong tổng thể, p= P(A)= M/N, trong đó M là số
phần tử có tính chất A, N là số phần tử của tổng thể).

CHƯƠNG 6:
LÝ THUYẾT ƯỚC LƯNG

 Ta gọi chung các đặc trưng số của tổng thể là .  là

một giá trò số cố đònh nhưng chưa biết của tổng thể, ta
phải dự đoán (ước lượng) nó. Có hai dạng ước lượng cơ
bản là ước lượng điểm và ước lượng khoảng.

1

3

2

1) Ước lượng điểm
Từ kết quả khả o sát của mẫu, ta có thể đưa ra một

đại lượ ng ˆ để ước lượ ng cho . ˆ khi đó được gọi là
ước lượ ng điểm (có thể có các tính chất: không
chệch, hiệu quả , vững, hợ p lý tối đa …) củ a . Lưu ý
rằ ng ˆ là mộ t biến ngẫ u nhiên ứ ng với mẫu ngẫu
nhiên, và là mộ t giá trò cụ thể ứng với mẫ u cụ thể .
Thí dụ : người ta hay dù ng trung bình mẫu x để ước
lượng trung bình tổng thể , dùng phương sai mẫu s2
để ước lượ ng phương sai đám đông 2, dùng tỷ lệ
mẫu f để ước lượ ng tỷ lệ đá m đông p.

4

2) Ước lượng khoảng
Từ kết quả khảo sát mẫu, ta đưa ra khoảng ( ˆ ,ˆ ), với
12
mong muốn là tham số tổng thể  sẽ thuộc vào khoảng
này với một xác suất nhất đònh nào đó, nghóa là:
P(ˆ <<ˆ )= P[(ˆ ,ˆ )]= 1
1 2
12
ˆ
ˆ
thì ( , ) gọi là khoảng tin cậy, khoảng ước lượng hay
12
ước lượng khoảng của .
(1) được gọi là độ tin cậy của khoảng ước lượng.

1

ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Lưu ý rằng ˆ , ˆ là những biến ngẫu nhiên ứng với
1 2
mẫu ngẫu nhiên, và có giá trò cụ thể ứng vớ i mẫu cụ
thể.

5

Khi đưa ra ước lượng khoảng (ˆ , ˆ ) từ mẫu thì có hai
1 2
trường hợp xảy ra:
 Khoảng ước lượng này thực sự chứa , tức là ta ước
lượng đúng.
 Khoảng ước lượng này không chứa , tức là ta ước
lượng sai.
Xác suất ước lượng sai là = P[(ˆ ,ˆ )], gọi là xác
1 2
suất mắc sai lầm khi ước lượng.

A. ƯỚC LƯNG GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH 
1. n  30 , biế t 2
  x  t 
hay x  t     x  t 
n
n
n
tra bả ng G hoặ c F

Nế u khô ng biế t  : thay  bằ ng s
  x  t s
n
2. n < 30, biế t 2 (X có phâ n phố i chuẩ n)
  x  t 
n
3. n < 30, khô ng biế t 2 (X có phâ n phố i chuẩ n)
  x  t ( n  1) s
n
hay x  t ( n  1) s    x  t ( n  1) s
n
n
tra
bả
n
g
H,
bậ
c
tự
do
n–1
7

Ta có các dạng ước lượng cơ bản sau:
-Ước lượng giá trò trung bình
-ước lượng tỷ lệ
-ước lượng phương sai

 Trong thực hành, người ta căn cứ vào cỡ mẫu n và

phương sai varX=2 để đưa ra phương pháp ước
lượng tương ứng.

6

Bài 2: Điểm trung bình môn toán của 100 thí
sinh dự thi vào ĐHKT là 5 với độ lệch chuẩn
mẫu (đã hiệu chỉnh) s = 2,5.
1) Ước lượng điểm trung bình môn toán của
toàn thể thí sinh với độ tin cậy là 95%.
2) Với sai số 0,25 điể m. Hãy xác đònh độ tin
cậy.
8

2


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Giải
1) n = 100 ; x = 5 ; s = 2,5
Á p dụ ng trường hợ p n  30 ,  chưa biết :
 = 95%  t = 1,96
t s
 = x   = 5  1,96 * 2,5 = 5  0,5
n

100

Vậ y vớ i độ tin cậ y 95% khoả ng ước lượ n g
điểm trung bình mô n toá n củ a toà n thể thí sinh
dự thi và o ĐHKT là (4,5 ; 5,5) điể m.
2)  = 0,25  t =  s n = 0,25*10/2,5 = 1
9

(t)= (1,00)= 0,3413 (tra bả ng F)
 = 2(t)   = 0,6826 = 68,26%

Bài 3: Tuổi thọ của một loạ i bóng đèn được biế t
theo quy luật chuẩ n với độ lệch chuẩ n 100 giờ .
1) Chọn ngẫu nhiên 100 bóng để thử nghiệm, thấy
mỗi bóng tuổi thọ trung bình là 1000 giờ. Hãy
ước lượng tuổi thọ trung bình của bóng đè n xí
nghiệ p A sản xuất với độ tin cậy 95%
2) Với độ chính xác là 15 giờ. Hã y xác đònh độ tin
cậy.
3) Với độ chính xác là 25 giờ và độ tin cậ y là 95%
thì cần thử nghiệm bao nhiêu bóng.
10

Á p dụ ng trườ ng hợ p n  30,  đã biế t
1)
n = 100 ; x 1000 ;  = 95% ;  = 100
 = 95%  t = 1,96
 = x  t   1000 19,6
n
Vậ y vớ i độ tin cậ y 95% tuổ i thọ trung bình củ a bó ng đè n

thuộ c xí nghiệ p A và o khoả ng (980,4 ; 1019,6) giờ
2)
 = 15 , n = 100
t    n  1,5  (1,50) = 0,4332 (tra bảng F)
 = 2(t)   = 0,8662 = 86,62%
3)
 = 25 ,  = 95% ,  = 100
 = 95%  t = 1,96
2
t2  2 1,96  100 2
n

 61,466  62 (làm trò n lê n)
11
2
25 2

Nhận xét:
Dạng toán:
Có 3 tham số : n,  ,  =1– (biết   biết t )
Các tham số mẫu: x , s
1) Biết n,    = ?
2) Biết n,    = ?
3) Biết  ,   n = ?

12

Dùng công thức  t  hay  t s
n
n

3


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Bài 4 : Trọng lượng các bao bột mì tại một cửa hàng
lương thực theo quy luật chuẩn. Kiểm tra 20 bao,
thấy trọng lượng trung bình của mỗi bao bột mì là
48kg, và phương sai mẫu hiệu chỉnh là s 2 = (0,5kg)2.
1) Với độ tin cậy 95% hãy ước lượng trọng lượng
trung bình của một bao bột mì thuộc cửa hàng.
2) Với độ chính xác 0,26 kg, xác đònh độ tin cậy.
3) Với độ chính xác 160 g ; độ tin cậy 95%, tính cở
mẫu n.

13

B. ƯỚC LƯNG TỶ LỆ p : với n  30
p  f  t f (1n f )
hay f  t f (1n f )  p  f  t

Điề u kiện á p dụng :








f (1 f )
n

n. f 10
n.(1 f ) 10

Dạ ng toá n:
Cũng có 3 dạ ng toá n giống ướ c lượ ng trung bình
Tham số mẫ u: f
15

Dù ng công thứ c   t

f (1 f )
n

1) n = 20 ; x  48 ; s = 0,5 ;  = 95%
Áp dụng trườ ng hợp X có phâ n phố i chuẩ n, n < 30
 = 95%  t(n – 1) = 2,0930 (tra bả ng H)
t
(19).s
  x  0,05
 48 0,234
n

Vậy với độ tin cậ y 95%, trọng lượng trung bình của mộ t bao
bột mì thuộ c cử a hàng vào khoả ng (47,766 ; 48,234) kg
2) t(n–1) = t(19) = (0,26) 20  2,325  2,3457

0,5

(2,3457 là giá trò gần 2,325 nhất trong bả ng tra).
  = 0,97 = 97%
(tra bả ng H)
3)  = 0,16 kg ,  = 95%  t =1,96
t .s
2
n    (1,96) 0,5  6,125  n = (6,125) = 37,51  38
0,16

14

Lưu ý : Do n chưa biết, ta xấp xó : t (n 1)  t

Bài 5 : Để ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của một
kho đồ hộp, người ta kiểm tra ngẫu nhiên 100 hộp
thấy có 11 hộp xấu.
1) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp .
2) Ước lượng tỷ lệ sản phẩm xấu của kho đồ hộp
với độ tin cậy 94%.
3) Với sai số cho phép  = 3%, hãy xác đònh độ tin
cậy.
16

4


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Giải
1) n = 100 , f  11  0,11
100

Vậy tỷ lệ hộp xấu của kho là 11%
2)  = 94% = 0,94  t =1,8808 (tra bả ng G)
t
p f  

f (1 f )
= 0,111,8808 0,11(1 0,11) = 0,11  0,059
n
100

Vậy với độ tin cậy 94%, tỷ lệ sản phẩm xấu c ủa kho đồ hộp
vào khoảng (0,051 ; 0,169)  5,1% < p < 16,9%
3)  = 3% = 0,03
t   n
 0,96
f (1 f )

(0,96) = 0,3315  = 2(0,96)= 0,663 = 66,3%
17

Gọ i p là tỷ lệ trá i câ y khô ng đạ t tiê u chuẩ n, ta cầ n
ướ c lượ ng p vớ i độ tin
cậ y 95%.
Ta có

 = 95%  t =1,96

1)

f  450  0,09
5000
  1,96 0,09  (1  0,09 )  0,008
5000

khoả ng ướ c lượ ng củ a p là :
2)
Từ cô ng thứ c

0,082 < p < 0,098

f (1  f )
n
5000
Suy ra t   n  0,005
 1,24
0,09 (1 0,09 )
f (1 f )

  t

19

 = 2 (t) = 2  0,3925 = 0,785.
Vậ y độ tin cậ y đạ t đượ c 78,5%.

Bài 6: Lô trái cây của một chủ hàng được đóng thành sọt
mỗ i sọt 100 trái. Kiể m tra 50 sọt thấy có 450 trái không
đạt tiê u chuẩn.
1) Ướ c lượ ng tỷ lệ trái cây khô ng đạt tiêu chuẩn của lô
hàng với độ tin cậy 95%.
2) Muố n ướ c lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ chính xác 0,5% thì độ tin cậy đạt được là bao nhiêu?
3) Muố n ướ c lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ tin cậy 99% và độ chính xác 1% thì cần kiể m tra bao
nhiêu sọ t?
4) Muố n ước lượng tỷ lệ trái cây không đạt tiêu chuẩn với
độ tin cậy 99,70% thì độ chính xác đạt đượ c là bao
18 nhiêu?

3) Ta cần xác đònh kích thước mẫu n thỏa mãn độ
chính xác 1% và độ tin cậy 99% khi ước lượng p.
Ta có
 = 99%  t = 2,58
(tra bảng G)
f
(
1

f
)
2
Áp dụng công thức n  t
2
0
,

09

(
1

0
,
09
)
 5452 (trá i)
Ta có n  2,582
(0,01)2

Vì mỗi sọt có 100 trái nên ta cần kiểm tra 55 sọt.
4) Ta cần xác đònh độ chính xác  với độ tin cậy
99,70% (ứng t = 2,9677) với kích thước mẫu n = 5000.
Ta có :   t

(tra bả ng F)
20

0,09 (1 0,09)
f (1 f )
 2,9677
 0,012
n
5000

Vậy độ chính xá c đạt đượ c 1,2%.

5


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Câu hỏi:
 Qua 2 thí dụ trên bạn rút ra được các điều cần lưu ý

chưa?
 “Chuyện nhỏ nhưng nếu không biết lại là chuyện lớn”
(nhạc Rap VN)!

21

1)

22

n = 400,
p = f  t

2)

23

Bài 7 : Một lô hàng có 5000 sản phẩm. Chọn
ngẫu nhiên 400 sản phẩm từ lô hàng để kiểm tra
thì thấy có 360 sản phẩm loại A.

1)Hãy ước lượng số sản phẩm loại A có trong lô
hàng với độ tin cậy 96%?
2)Nếu muốn ước lượng số sản phẩm loại A của
lô hàng đạt được độ chính xác 150 sản phẩm
và độ tin cậy 99% thì phải kiểm tra bao nhiêu
sản phẩm?

f = 360 / 400 = 0,9,  = 96%  t = 2,0537
f (1 f ) = 0,9  2,0537 0,9.0,1
n
400

0,9  2,0537 0,9.0,1  p  0,9  2,0537 0,9.0,1
400
400
0,8692 < p < 0,9308
Gọi M là số sả n phẩ m loại A có trong lô hà ng:
0,8692* 5000 < M < 0,9308 * 5000
Với  = 150 / 5000 = 0,03
 = 99% t = 2,5758
2


 = t f (1 f )  n   t  f 1 f 
n


  



0
,
9
.
0
,
1
n  2,582
 665,640  666 sả n phẩm
0,032

(Chứng minh: gọi  là độ chính xác của ước lượng
khoảng ứng với 400 sản phẩm, và ' là độ chính
xác của ước lượng khoảng ứng với 5000 sản
phẩm.
Ta có pf  ứng với ước lượng tỷ lệ của 400
sản phẩm. NpNfN là ước lượng ứng với N=
5000 sản phẩm, và độ chính xác là '= N= 150.
Vậy  = '/N= 150/5000 = 0,03 )
24

6


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Bài 8 : Điều tra năng suất lúa trên diện tích 100
hecta trồng lúa của một vùng, ta thu được bảng số

liệu sau:

Câu hỏi:

Năng suất (tạ/ha)
41 44 45 46 48 52 54
Số ha có năng suất 10 20 30 15 10 10 5
tương ứ ng

 Bạn đã rút ra được điều cần lưu ý từ thí dụ này chưa?
 Hãy để chuyện nhỏ mãi mãi là chuyện nhỏ!

25

26

1) Ta lậ p bảng như sau

27

ni
xi
41
10
44
20
45
30
46
15

48
10
52
10
54
5
Tổng n = 100

nixi
410
880
1350
690
480
520
270
4600

ni x2i
16.810
38.720
60.750
31.740
23.040
27.040
14.580
212680

1) Hãy ước lượng năng suất lúa trung bình của
vùng đó với độ tin cậy 95%?

2) Nhữ ng thửa ruộng có năng suất từ 48tạ/ha trở
lên là những thửa có năng suất cao. Hãy ước lượ ng
tỷ lệ diện tích có nă ng suất cao trong vù ng vớ i độ
tin cậy 97%.

Từ kết quả tính ở bảng trên ta có
Nă ng suất trung bình x  4600  46 tạ/ha
100
Phương sai của năng suất


s2  1  212680100*462  10,910
1001

 s= 3,303
 = 95%  t = 1,96
t s
  x    46 0,647
n
Vậ y với độ tin cậ y 95%, nă ng suất lú a trung bình củ a
vù ng đó vào khoả ng (45,353 ; 46,647) đơn vò tính tạ.
28

7


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

2) f  25  0,25
100

 = 0,97  t = 2,1701
t
p f  

(tra bảng G)

f (1 f )
 0,25  0,094
n

Vậy với độ tin cậy 97%, tỷ lệ diện tích
lúa có năng suất cao trong vùng vào
khoảng (0,156 ; 0, 344).
29

1.Biết kỳ vọng toán EX = 
ni(xi )2 2 ni(xi )2
 
tra bảng I , bậc tự
2 (n)
2 (n)
1 2
/2
do n
30

2.Không biết kỳ vọng toán EX = 

(n1)s2 2 (n1)s2
2 (n1)
2 (n1)
1 2
/2
tra bảng I, bậc tự do (n–1)
31

C. ƯỚC LƯNG PHƯƠNG SAI 2 CỦA ĐLNN
X CÓ PHÂN PHỐI CHUẨN

Bài 12: Mức hao phí nguyên liệu cho một đơn vò sản
phẩm là đại lượng ngẫu nhiên X phân phối theo quy luật
chuẩn. Quan sát 28 sản phẩm ta thu được kết quả sau :
Lượng nguyên liệu hao phí (gr) 19 19,5 20,0 20,5
Số sản phẩm
5 6 14 3
Với độ tin cậy 90% hãy ước lượng phương sai của X trong
2 trường hợp
1) Biết E(X) = 20 gr
2) Chưa biết E(X)

32

8


ThS. Ph m Trí Cao * Ch

ng 6

Tra bả ng I vớ i bậ c tự do n = 28 và  /2 = 0,05)
ta đượ c  2
2
 16 ,9279 ,
0 ,05
 /2
2
2
 41 ,3372
0 ,95
1  / 2
Vớ i độ tin cậ y 90%, khoả ng tin cậ y củ a 2 là
 n i ( x i  20 ) 2
 n i ( x i  20 ) 2
< 2 <

2
(n )
 2 (n )
1  / 2
 /2
7 , 25   2  7 , 25
41 ,3
16 ,9

2

1) Ta ước lượng D(X) =  trong trường hợp đã biết
E(X).

Để tính ni(xi – )2 ta lậ p bảng tính sau :
xi
ni (xi – 20) ni(xi – 20)2
19,0 5
–1
5
19,5 6
–0,5
1,5
20,0 14
0
0
20,5 3
0,5
0,75
Tổng n = 28
7,25

33

34

Để tính s2 ta lậ p bả ng tính sau
n x2
xi
ni
nixi
i i
19,0
5

95,0 1805,00
19,5
6
117,0 2281,50
20,0
14 280,0 5600,00
20,5
3
61,5 1260,75
Tổng n = 28 553,5 10947,25





s 2  28 10947 ,25   553 ,5 
 28 
27  28




35

2 






Mời ghé thăm trang web:






 0,2126

KTC của 2 là: 27  (0,2126 )   2  27  0,2126
16 ,2
40 ,1
2
hay 0,143 <  < 0,354

2) Trườ ng hợ p nà y khoả ng tin cậ y củ a 2 sẽ là
2
( n  1) s 2
  2  ( n  1) s
2
2
( n  1)

( n  1)

1  / 2
 /2
; 2
là cá c phâ n vò 2 vớ i n – 1 = 27 bậ c

2
1  / 2
 /2
tự do.  2
2
 40 ,1
 16 , 2
2 2
0 ,95
0 ,05
1 / 2
 /2

www37.websamba.com/phamtricao
www.phamtricao.web1000.com
36

9