đường tròn trong chương trình hình học lớp 10 ở trường phổ thông

TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƢ PHẠM
BỘ MÔN SP TOÁN HỌC
------------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
Đề tài:

ĐƢỜNG TRÒN TRONG CHƢƠNG TRÌNH
HÌNH HỌC LỚP 10 Ở TRƢỜNG PHỔ
THÔNG

Giáo viên hướng dẫn

Sinh viên thực hiện

PGS.TS Nguyễn Phú Lộc

Lê Thiên Nhi
MSSV: 1110048
Lớp :SP Toán K37

Cần Thơ, 2015


Để hoàn thành luận văn này ngoài sự nổ lực của bản
thân em cần phải được trang bị đầy đủ những kiến thức
cần thiết và sự giúp đỡ của thầy cô trong quá trình nghiên
cứu.
Đầu tiên em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến thầy
Nguyễn Phú Lộc, người đã tận tình chỉ dẫn em trong suốt

quá trình làm luận văn này.Và cũng chính thầy là người
cho em thêm động lực hoàn thành luận văn.
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô Khoa
Sư phạm, thầy cô Bộ Môn Sư phạm Toán học đã tận tình
dạy dỗ, trang bị cho em những kiến thức cần thiết trong
suốt bốn năm đại học. Cuối cùng, em xin gửi đến quý thầy
cô Khoa Sư Phạm nói chung và quý thầy cô Bộ môn Sư
phạm Toán học nói riêng lời chúc sức khỏe, thành công
trong cuộc sống cũng như trong sự nghiệp đào tạo nên
những kỹ sư tâm hồn cho đất nước.
Cần Thơ, ngày 19 tháng 04 năm 2015
Lê Thiên Nhi


DANH MỤC VIẾT TẮT

Stt
1.
2.
3.
4.
5.

Viết tắt
SGK
Gv
HS
vtpt
vtcp

Hiểu là
Sách giáo khoa
Giáo viên
Học sinh
Vectơ pháp tuyến
Vectơ chỉ phƣơng


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU .............................................................................................................. 1
Chƣơng 1 .......................................................................................................................... 4
1.1

Hình học giải tích .............................................................................................. 4

1.1.1 Lịch sử hình thành hình học giải tích ............................................................ 4
1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời hình học giải tích ..................................................... 5
1.2

Các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm ................................................... 5

1.2.1 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ ............... 5
Bảng 1.1Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ ............ 5
Bảng 1.2 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ . 6
1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và phản ví dụ
7
Bảng 1.3 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và phản ví
dụ ............................................................................................................................... 8
Bảng 1.4 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và
phản ví dụ .................................................................................................................. 8

1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại khái
niệm 9
Bảng 1.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn tại
khái niệm ................................................................................................................. 10
Bảng 1.6 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự
tồn tại khái niệm ...................................................................................................... 11
1.2.4 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm các đối
tƣợng. 12
Bảng 1.7 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm các đối
tƣợng. ....................................................................................................................... 12
Bảng 1.8 ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm
các đối tƣợng. .......................................................................................................... 13
1.2.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích định nghĩa.
14
Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích định
nghĩa. ....................................................................................................................... 14


Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích
định nghĩa. ............................................................................................................... 15
1.3

Các mô hình cơ bản dùng cho dạy học định lý toán học ................................ 16

1.3.1 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý ................................. 16
Bảng 1.11 Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý ........................... 16
Bảng 1.12 Ví dụ Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý ................. 17
1.3.2 Mô hình dạy học định lý với vấn đề chứng minh ........................................ 18
Bảng 1.13 Mô hình dạy học định lý với vấn đề chứng minh .................................. 18
Bảng 1.14 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với vấn đề chứng minh ........................ 19

1.3.3 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm ..................................... 20
Bảng 1.15 Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm................................ 20
Bảng 1.16 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm...................... 21
1.3.4 Mô hình dạy học định lý với sách giáo khoa ............................................... 22
Bảng 1.17 Mô hình dạy học định lý với sách giáo khoa ......................................... 23
Bảng 1.18 Ví dụ Mô hình dạy học định lý với sách giáo khoa ............................... 24
Chƣơng 2 ........................................................................................................................ 26
2.1

Kiến thức cần thiết .......................................................................................... 26

2.1.1 Đƣờng tròn ................................................................................................... 26
2.1.2 Hệ trục tọa độ............................................................................................... 26
2.1.3 Tọa độ của vectơ .......................................................................................... 27
2.1.4 Tọa độ của điểm........................................................................................... 28
2.1.5 Liên hệ giữa tọa độ điểm và tọa độ vectơ trong mặt phẳng ........................ 28
2.1.6 Độ dài của vectơ .......................................................................................... 28
2.1.7 Khoảng cách giữa hai điểm ......................................................................... 29
2.2 Phân tích nội dung bài phƣơng trình đƣờng tròn trong hai chƣơng trình hình học
lớp 10 cơ bản và nâng cao .......................................................................................... 29
2.2 .3 Phân tích nội dung bài phƣơng trình đƣờng tròn trong chƣơng trình hình học
lớp 10 nâng cao ....................................................................................................... 29
2.2 .2 Phân tích nội dung bài phƣơng trình đƣờng tròn trong chƣơng trình hình học
lớp 10 cơ bản ........................................................................................................... 34
2.2.3 Bảng so sánh giữa hai chƣơng trình cơ bản và nâng cao .............................. 35


2.3 Phân loại các dạng toán liên quan đến phƣơng trình đƣờng tròn ........................ 37
2.3.1 Dạng nhận dạng phƣơng trình đƣờng tròn ........................................................ 37
2.3.2 Dạng toán lập phƣơng trình đƣờng tròn ...................................................... 39

2.3.3 Dạng toán vị trí tƣơng đối của đƣờng thẳng với đƣờng tròn ....................... 50
2.3.4 Dạng toán vị trí tƣơng đối của hai đƣờng tròn ............................................ 54
2.3.5 Dạng toán tiếp tuyến của đƣờng tròn .......................................................... 57
2.3.6 Dạng toán tiếp tuyến chung của hai đƣờng tròn .......................................... 65
2.3.7 Dạng toán điểm ........................................................................................... 67
2.3.8 Dạng phƣơng trình đƣờng tròn đi qua một điểm cố định.............................. 71
2.3.9 Dạng quỹ tích điểm...................................................................................... 76
Chƣơng3 ......................................................................................................................... 80
3.1 Giáo Án 1 .............................................................................................................. 80
3.2 Giáo án 2 ............................................................................................................... 86
3.3 Giáo án 3 ............................................................................................................... 93
3.4 Giáo án 4 ............................................................................................................. 100
3.5 Giáo án 5 ............................................................................................................. 106
Chƣơng 4: KHẢO SÁT MỨC ĐỘ HIỂU BIẾT CỦA HỌC SINH VỀ PHƢƠNG
TRÌNH ĐƢỜNG TRÒN........................................................................................... 114
4.1.Mục đích khảo sát............................................................................................ 114
4.2.Đối tƣợng khảo sát .......................................................................................... 114
4.3.Phƣơng pháp khảo sát: .................................................................................... 114
4.4.Thời gian khảo sát: .......................................................................................... 115
4.5. Kết quả khảo sát. ............................................................................................ 115
Phụ lục 1 ................................................................................................................... 122
Phụ lục 2 ................................................................................................................... 123
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................ 124


DANH MỤC BẢNG
Số
bảng
1.1

TÊN BẢNG

Trang

Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ

5

1.2

Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các 6
ví dụ

1.3

Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và 8
phản ví dụ

1.4

Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví 8
dụ và phản ví dụ

1.5

Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự 10
tồn tại khái niệm

1.6

Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ 11
ra sự tồn tại khái niệm

1.7

Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm 12
các đối tƣợng.

1.8

Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân 13
nhóm các đối tƣợng.

1.9

Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích 14
định nghĩa.

1.10

Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân 15


tích định nghĩa.
1.11

Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

16

1.12

Ví dụ Mô hình dạy học định lý bắt đầu từ phát biểu định lý

17

1.13

Mô hình dạy học định lý với vấn đề chứng minh

18

1.14

Ví dụ Mô hình dạy học định lý với vấn đề chứng minh

19

1.15

Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

20

1.16

Ví dụ Mô hình dạy học định lý với một vấn đề tìm kiếm

21

1.17

Mô hình dạy học định lý với sách giáo khoa

23

1.18

Ví dụ Mô hình dạy học định lý với sách giáo khoa

24

2.1

Bảng so sánh giữa hai chƣơng trình cơ bản và nâng cao

35

2.2
3.1

Bảng thống kê các loại bài tập trong các sách giáo khoa, các sách 78
bài tập hình học lớp 10
Giáo Án 1
80

3.2

Giáo Án 2

86

3.3

Giáo Án 3

93

3.4

Giáo Án 4

101

3.5

Giáo Án 5

106

4.1

Kết quả trả lời câu 1

116

4.2

Kết quả trả lời câu 1 của lớp 10C8

116

4.3

Kết quả trả lời câu 2

116

4.3

Kết quả trả lời câu 2 của lớp 10C1

117


4.5

Kết quả trả lời câu 2 của lớp 10C8

117

4.6

Kết quả trả lời câu 3

117

4.7

Kết quả trả lời câu 3 của lớp 10C1

118

4.8

Kết quả trả lời câu 3 của lớp 10C8

118

4.9

Thống kê cách làm câu 4

119

4.10

Kết quả câu 4

120


DANH MỤC HÌNH
SỐ HIỆU HÌNH
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

2.7

TÊN HÌNH
Đƣờng tròn
Trục Số
Hệ trục Toạ độ
Toạ độ vecto
Đƣờng tròn tâm I, bán kính R

TRANG
26
26
27
28
30
74
75


PHẦN MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Với tác phẩm “La géométrie” xuất bản năm 1673của mình Descartes đã đặt nền
móng cho hình học giải tích. Hình học giải tích cũng đƣợc gọi là hình học tọa độ hay
hình học Descartes là môn học thuộc hình học sử dụng nguyên lí của đại số. Thƣờng sử
dụng hệ tọa độ Descartes cho những phƣơng trình theo đƣờng thẳng, mặt phẳng, đƣờng
cong hay đƣờng tròn..Sức mạnh của môn hình học giải tích nằm ở thực tế nó nghiên
cứu các đối tƣợng hình bằng phƣơng pháp đại số.Khái niệm tọa độ biến những bài toán
hình học thành những bài toán tính theo các dại lƣợng của đại số.Và thƣờng thì các
phép tính đại số thì dễ dàng thực hiện hơn việc chứng minh hình học liên quan đến trực
giác và kinh nghiệm dẫn đến việc giải phóng hình học ra khỏi lệ thuộc vào hình vẽ.

Ở chƣơng trình hình học lớp 10 cũng đã đƣa vào giảng dạy phƣơng trình đƣờng
tròn . Đây là một trong những kiến thức quan trọng trong quá trình học tập môn Toán ở
phổ thông. Các học sinh đã quá quen thuộc với khái niệm đƣờng tròn ở trung học cơ
sở. Nhƣng lại hoàn toàn lạ lẫm với phƣơng trình đƣờng tròn.
Nhằm giúp học sinh nắm vững và vận dụng tốt kiến thức phƣơng trình đƣờng tròn vào
việc giải các bài toán có liên quan ở phổ thông.Tôi quyết định chọn đề tài luận văn tốt
nghiệp của mình là:” ĐƢỜNG TRÒN TRONG CHƢƠNG TRÌNH HÌNH HỌC LỚP
10 Ở TRƢỜNG PHỔ THÔNG”. Thông qua đề tài của mình tôi muốn phân tích nội
dung phƣơng trình đƣờng tròn trong sách giáo khoa lớp 10 ở phổ thông.Qua đó phân
loại một số dạng bài tập liên quan đến phƣơng trình đƣờng tròn và hình thành một số
phƣơng pháp hiệu quả dạy và học phƣơng tình đƣờng tròn trong chƣơng trình hình học
lớp 10 ở phổ thông.

1


2.Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu nhằm phân tích nội dung phƣơng trình đƣờng tròn và đề nghị một số
giáo án giảng dạy trong chƣơng trình môn Toán lớp 10 ở trƣờng phổ thông giúp học
sinh hiểu và vận dụng giải đƣợc các bài toán liên quan đến phƣơng trình đƣờng tròn.
3. Nội dung nghiên cứu
- Tìm hiểu về phƣơng trình đƣờng tròn trong toán 10.
- Phân dạng và thống kê các dạng bài tập liên quan đến đƣờng tròn trong
chƣơng trình hình học lớp 10.
- Soạn các giáo án giảng dạy phƣơng trình đƣờng tròn.
- Khảo sát mức độ hiểu biết của HS về phƣơng trình đƣờng tròn.
4. Phƣơng pháp
- Phân tích nội dung chƣơng trình sách giáo khoa hình học 10 liên quan đến
phƣơng trình đƣờng tròn.
- Phân dạng và hệ thống các dạng bài tập liên quan đến phƣơng trình đƣờng

tròn.
- Khảo sát thực trạng hiểu biết của HS về phƣơng trình đƣờng tròn.
5. Đối tƣợng
- Phƣơng trình đƣờng tròn trong chƣơng trình cơ bản và nâng cao ở lớp 10.
- Các bài tập liên quan đến phƣơng trình đƣờng tròn ở lớp 10
- Các mô hình dạy học định lý.
- 132 HS ở bốn lớp 10A1, 10A2, 10C1, 10C8 ở trƣờng THPT PHAN VĂN TRỊ

2


6. Cấu trúc luận văn
Luận văn gồm 4 chƣơng
Chƣơng 1: Cơ sở lý luận
Chƣơng 2: Phân tích nội dung bài phƣơng trình đƣờng tròn trong chƣơng trình
sách giáo khoa hình học lớp 10
Chƣơng 3: Các giáo án đề nghị sử dụng giảng dạy phƣơng trình đƣờng tròn
trong chƣơng trình hình học lớp 10
Chƣơng 4: Khảo sát mức độ hiểu biết của học sinh về phƣơng trình đƣờng tròn.

3


Chƣơng 1
CƠ SƠ LÝ LUẬN
1.1 Hình học giải tích
1.1.1 Lịch sử hình thành hình học giải tích
Theo [8, tr.73-74], Desargues và Pascal đã mở ra một môn hình học mới đó là
hình học xạ ảnh. Desargues và những hậu vệ của ông quan tâm đến những
phƣơng pháp tổng quát để nghiên cứu đƣờng cong. Nhƣng Fermat và Descartes

thì quan tâm đến sự kết hợp giữa các phƣơng trình đại số và các đƣờng cong,
tức là sử dụng các phƣơng pháp có tính định lƣợng vào nghiên cứu hình học.
Nhƣ vậy, Descartes và Fermat đã xây dựng môn hình học giải tích.Thể hiện
bằng việc cho xuất bản công trình nghiên cứu, tác phẩm “La géométrie” (Hình
học, xuất bản năm 1673) của mình, Descartes đã chính thức đặt nền móng cho
hình học giải tích.
Sự khác biệt giữa hai nghành hình học này là hình xạ ảnh là một nhánh của hình
học nói chung, còn hình học giải tích lại là một phƣơng pháp của hình học.
Theo [7,tr.27]:
There are two central problem in plane analytic geometry:
(a) Given an equation in x and y, to plot its graph, or to represent it
geometrically as a set of point in the plane.
(b) Given a set of point in the plane, defined by certain geometric condition, to
find an equation whose graph will consist wholly of this set of point.
Tạm dịch là: Hai vấn đề cơ bản trong hình học giải tích là:
(a) Cho một phƣơng trình giữa x và y, hãy vẽ một hình hoặc biểu diễn các cặp
số nhƣ tập hợp các điểm trong mặt phẳng.

4


(b) Cho một tập hợp các điểm trong mặt phẳng, xác định bởi các điều kiện hình
học, hãy tìm các phƣơng trình sao cho đồ thị của nó là tập hợp các điểm trên.
1.1.2 Ý nghĩa của việc ra đời hình học giải tích
Theo [8,tr.74-75], sự ra đời của hình học giải tích đã làm toán học thành một
công cụ “kép”. Khi đó các khái niệm hình học có thể chuyển đổi thành các khái
niệm đại số và những mục tiêu hình học có thể đạt đƣợc thông qua đại số. Hoặc
ngƣợc lại là giải thích ý nghĩa đại số bằng hình học giúp cho các khái niệm đại
số trở nên trục quan hơn, từ đó có thể rút ra những kết luận mới.
Một ý nghĩa quan trọng của sự ra đời của hình học giải tích là cung cấp cho

khoa học một công cụ có tính định lƣợng.
Bên cạnh đó nó còn làm đảo ngƣợc vai trò của hình học và đại số. Giúp cho đại
số trở thành nghành nghiên cứu chủ yếu.
1.2 Các mô hình cơ bản để hình thành khái niệm
1.2.1 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ
Theo [9,tr.87]
Quy trình, xem bảng 1.1 nhƣ sau:
Bảng 1.1Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví dụ
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Gợi động cơ học tập

1b. Học sinh hành động theo yêu cầu
của thầy

2a. Đƣa ra vài ví dụ và đặt câu hỏi:

2b. Liệt kê các tính chất giống nhau

Các ví dụ này có những tính chất gì nhờ quan sát và phân tích các mối liên
giống nhau?

hệ để phát hiện tính chất chung của
các ví dụ.

3a. Giới thiệu tên khái niệm và đặt câu 3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm.

5

hỏi: “Một cách tổng quát, các em hãy
phát biểu định nghĩa khái niệm…?”
4a. Giáo viên chỉnh sửa và chính xác 4b. Phát biểu và ghi lại định nghĩa.
hóa định nghĩa khái niệm.

Nhận định về mô hình:
-

Hình thành khái niệm theo mô hình trên, giáo viên tạo cơ hội cho học
sinh phân tích tìm các đặc điểm chung của các ví dụ, trừu tƣợng hóa,
khái quát hóa để cuối cùng tự phát biểu định nghĩa.

-

Đối với một số khái niệm khó,giáo viên nên đƣa ra thêm một số câu hỏi
để từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý.

Ví dụ minh họa, xem bảng 1.2 nhƣ sau
Bảng 1.2 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích các ví
dụ
Hoạt động của thầy

Hoạt động của học sinh

1a. Gợi động cơ học tập

1b. Lƣơng từ tháng đầu tiên dến tháng thứ

Một công ty trả lƣơng cho kỹ sƣ

là:

theo cách sau: tháng đầu tiên tiền
lƣơng là

2, 2.3, 2.6, 2.9, 3.2, 3.5, 3.8 (∗)

triệu/ tháng, kể từ tháng

thứ hai trở đi mỗi tháng tăng thêm
300.000 đồng.
Hãy cho biết lƣơng của ngƣời kỹ
sƣ từ tháng đầu tiên đến tháng thứ
?
2a. Đƣa ra các ví dụ:

2b. Dãy số (1): Số hạng sau bằng số hạng

6


Chúng ta xét một số dãy số có tính trƣớc cộng thêm .
chất giống dãy số sau (*) ở ví dụ Dãy số (2): Số hạng sau bằng số hạng
trên:
trƣớc cộng thêm .
1, 3, 5, 7, 9, 11, … … . (1)
Dãy số (3): Số hạng sau bằng số hạng
2, 2, 2, 2, 2, 2, … … (2)

1
trƣớc cộng thêm
1 3 5
2
, 1, , 2, , 3 … … . (3)
2 2 2
Dãy số (4): Số hạng sau bằng số hạng
1, −3, −5, −7, −11 … … (4)
trƣớc cộng thêm −2.
Các dãy số trên có tính chất gì
giống nhau?
3a. Các dãy số trên đƣợc gọi là
cấp số cộng

3b. Phát biểu định nghĩa

Một cách tổng quát hãy định nghĩa Cấp số nhân là dãy số mà số hạng sau
cấp số cộng.
bằng số hạng trƣớc cộng với một số không
4a. Chính xác hóa khái niệm

đổi.

Từ số hạng thứ hai, các số hạng 4b. Phát biểu lại định nghĩa
sau bằng tổng số hạng đứng trƣớc Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay
nó với một số không đổi 𝑑. Số vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai,
không đổi 𝑑 đƣợc gọi là công sai mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng
của cấp số cộng.
đứng ngay trƣớc nó và một số 𝑑 không
Cấp số cộng có thể là hữu hạn đổi.

hoặc vô hạn.

Số 𝑑 đƣợc gọi là công sai.

1.2.2 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và
phản ví dụ
Theo [9, tr.89]
Quy trình, xem bảng 1.3 nhƣ sau:

7


Bảng 1.3 Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ và phản
ví dụ
Hoạt động của thầy (a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Gợi động cơ học tập.

1b. Hành động theo yêu cầu của thầy.

2a. Đƣa ra một số ví dụ và phản ví dụ. 2b. Quan sát, liệt kê những điểm khác
Yêu cầu học sinh chỉ ra những tính nhau của ví dụ và phản ví dụ (Quan sát
chất khác biệt của ví dụ và phản ví dụ?

và so sánh)

3a. Các ví dụ trên… đƣợc gọi là…Một 3b. Phát biểu định nghĩa khái niệm.
cách tổng quát, khi nào….đƣợc gọi là

…?
4a. Chính xác hóa định nghĩa khái 4b. Nhắc lại định nghĩa.
niệm và yêu cầu học sinh lập lại định
nghĩa.
Nhận định về mô hình:
-

Hình thành khái niệm theo mô hình trên, giáo viên tạo cơ hội cho học
sinh phân tích, so sánh chỉ ra các đặc điểm khác biệt của ví dụ và phản ví
dụ, khái quát hóa để cuối cùng tự phát biểu lại định nghĩa của khái niệm.

-

Đối với một số khái niệm khó, giáo viên nên đƣa ra thêm một số câu hỏi
để từ định nghĩa học sinh rút ra những tính chất cần chú ý thêm của khái
niệm.

Ví dụ minh họa, xem bảng 1.4 nhƣ sau:
Bảng 1.4 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm bất đầu từ việc phân tích ví dụ
và phản ví dụ
Hoạt động của thầy

Hoạt động của học sinh

1a.Gợi động cơ học tập

1b. Cần tìm hiểu các dãy số có tính

8

Chúng ta đã biết dãy số PHI-BÔ-NA-XI chất đặc biệt?
là một dãy số có tính chất đặc biệt. Ngoài
dãy số trên ta có những dãy số đặc biệt
nào nữa không?
2a.Đƣa ra ví dụ và phản ví dụ
Ví dụ

2b. Liệt kê các điểm giống và khác
nhau giữa ví dụ và phản ví dụ.

Phản ví dụ

1, 5, 9, 13 ….

1, 2, 7, 9, 12, 16 …

Ví dụ

Phản ví dụ

−4, −2, 0, 2, 4…

−3, −2, 0, 2, 3 ….

Dãy số

Dãy số

Số sau bằng số Số sau không

trƣớc cộng một bằng số trƣớc
số không đổi

cộng

một

số

không đổi.

3a. Mỗi dãy số trong ví dụ đƣợc gọi là

3b. Phát biểu định nghĩa

cấp số cộng.

Một cách tổng quát, một dãy số thỏa điều Cấp số nhân là dãy số mà số hạng
kiện gì thì đƣợc gọi là cấp số cộng?

sau bằng số hạng trƣớc cộng với

4b. Chính xác hóa khái niệm

một số không đổi.

Từ số hạng thứ hai, các số hạng sau bằng 4b. Phát biểu lại định nghĩa
tổng số hạng đứng trƣớc nó với một số Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn
không đổi 𝑑. Số không đổi 𝑑 đƣợc gọi là hay vô hạn) mà trong đó kể từ số
hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng

công sai của cấp số cộng.

Cấp số cộng có thể là hữu hạn hoặc vô tổng của số hạng đứng ngay trƣớc
nó và một số 𝑑 không đổi.

hạn.

Số 𝑑 đƣợc gọi là công sai.
1.2.3 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự
tồn tại khái niệm
Theo [9, tr91]
Quy trình, xem bảng 1.5 nhƣ sau:

9


Bảng 1.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra sự tồn
tại khái niệm
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Từ những kiến thức đã học, chỉ 1b. Hoạt động theo sự yêu cầu của
ra sự tồn tại khái niệm mới (cần giáo viên.
học)
2a. Giới thiệu định nghĩa, và đặt 2b. Phân tích định nghĩa để chỉ ra
câu hỏi: Một (đối tƣợng)… phải những dấu hiệu đặc trƣng của khái
thỏa những điều kiện gì…..thì nó niệm.
đƣợc gọi là ….(tên khái niệm)?

3a. Đƣa ra ví dụ và phản ví dụ và 3b. Đối chiếu với định nghĩa để
yêu cầu học sinh xét xem trƣờng đƣa ra câu trả lời.
hợp nào là ví dụ và trƣờng hợp nào
không là ví dụ bằng câu hỏi: Trong
các …sau đây, nào là (tên khái
niệm) và… nào không là (tên khái
niệm)?
4a. Yêu cầu học sinh đƣa ra một số 4b. Đối chiếu với định nghĩa để
ví dụ

đƣa ra câu trả lời (Cho ví dụ về
khái niệm).

Nhận định về mô hình:
-

Mô hình này phỏng theo cách xây dựng khái niệm của các nhà toán học:
bắt đầu chỉ ra sự tồn tại khái niệm, tiếp đến là định nghĩa khái niệm (giới
thiệu tên khái niệm).

-

Chỉ ra sự tồn tại khái niệm có thể bằng cách khác nhau nhƣ: Chứng minh
sự tồn tại, bằng ví dụ, bằng mô hình…

10


-

Khi sử dụng mô hình này, giáo viên nên chú ý khâu củng cố khái niệm vì
qua chúng học sinh nắm rõ hơn các dấu hiệu đặc trƣng khái niệm.

Ví dụ minh họa, xem bảng 1.6
Bảng 1.6 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ việc chỉ ra
sự tồn tại khái niệm
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Từ những kiến thức đã học, 1b. Ta có:
𝐼𝑀 = 𝑅

hãy tìm điều kiện cần và đủ đối
với 𝑥 và 𝑦 sao cho điểm 𝑀(𝑥, 𝑦)

⟺

thuộc đƣờng tròn tâm 𝐼(𝑎, 𝑏),

⟺ (𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑅2

𝑥−𝑎

2

+ 𝑦−𝑏

2

=𝑅

bán kính 𝑅?
2a. Phƣơng trình gọi là phƣơng 2b. Phân tích định nghĩa để chỉ ra
trình đƣờng tròn, gọi học sinh những dấu hiệu đặc trƣng của khái
phát biểu định nghĩa .

niệm.

Một phƣơng trình phải có dạng
nhƣ thể nào thì nó đƣợc gọi là
phƣơng trình đƣờng tròn?
3a. Trong các phƣơng trình sau 3b. Đối chiếu với định nghĩa để đƣa
đây, phƣơng trình nào là phƣơng ra câu trả lời.
trình đƣờng tròn?
a)

𝑥−8

2

+ 𝑦+6

2

= 92

b) (𝑥 + 2)2 + 𝑦 2 = −8
c) 𝑥 2 + (𝑦 − 5)2 = 14
d) 𝑥 + 7 + (𝑦 − 15)2 = 25

4b. Đối chiếu với định nghĩa để đƣa

4a. Gọi học sinh đƣa ra một số ví ra câu trả lời (Cho ví dụ về khái
dụ về phƣơng trình đƣờng tròn.

niệm).

11


1.2.4 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm
các đối tƣợng.
Theo [9,tr93-94], Quy trình xem bảng 1.7 nhƣ sau:
Bảng 1.7 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân nhóm
các đối tƣợng.
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Gợi động cơ học tập

1b. Hành động theo sự yêu cầu của

2a. Đƣa ra một nhóm đối tƣợng giáo viên.
trong đó có một số thuộc ngoại 2b. Học sinh thực hiện phân các
diên khái niệm mà học sinh sắp học đối tƣợng thành các nhóm khác
và yêu cầu học sinh phân các đối nhau.
tƣợng trên thành các nhóm khác
nhau.

3a. Yêu cầu học sinh trình bày kết
quả và nêu cơ sở của sự phân nhóm 3b. Học sinh trình bày kết quả của
của mình.

mình.

4a. Nếu học sinh có sự phân loại
mà nhóm đối tƣợng thuộc ngoại 4b. Học sinh phát biểu định nghĩa
diên khái niệm sắp học (Nếu không khái niệm theo cách hiẻu của mình.
có nhƣ mông đợi, giáo viên gợi ý)
thì giáo viên giới thiệu tên khái
niệm và yêu cầu học sinh phát biểu
định nghĩa khái niệm.
5a. Chính xác hóa định nghĩa khái
niệm và yêu cầu học sinh lập lại 5b. Học sinh phát biểu lại định
định nghĩa.

nghĩa.

12


Nhận định về mô hình:
-

Mô hình này tạo cơ hội cho học sinh phân tích, so sánh và phân loại đối
tƣợng và tập luyện cho học sinh kỹ năng khái quát hóa.

-

Khi sử dụng mô hình này, giáo viên có thể cho học sinh làm việc theo
nhóm, tranh luận với nhau khi trình bày kết quả phân loại trƣớc toàn lớp.
Ví dụ minh họa, xem bảng 1.8 nhƣ sau:

Bảng 1.8 ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân
nhóm các đối tƣợng.
Hoạt động của thầy

Hoạt động của học sinh

1a.Gợi động cơ học tập

1b. tìm hiểu tính chất đặc biệt

Chúng ta đã đƣợc học về dãy số, hôm
nay chúng ta sẽ tìm hiểu các dãy số
có tính chất đặc biệt.
2a. Cho học sinh một số dãy số sau:
1, 3, 5 … . ,2𝑛 − 1 … (1)
2, 4, 8, … . . 22 … (2)
1 −1
−3
, 0,
, −1,
… . (3)
2
2
2
1 1 1 1
, , , … . (4)

2 4 8 16
3a.Hãy phân chia 4 nhóm trên thành
hai nhóm khác nhau cho biết lý do?

3b. Nhóm 1: (1), (2) ; (3), (4)

4a. Trong cách phân nhóm thứ hai:

Nhóm 2: (1), (3) ; (2),(4)

dãy (1) , dãy (3) đƣợc gọi là cấp số

4b. Phát biểu định nghĩa
Cấp số nhân là dãy số mà số

cộng.
Một cấp số cộng có tính chất gì?
Gọi học sinh phát biểu định nghĩa.
5a. Chính xác hóa định nghĩa.

13

hạng sau bằng số hạng trƣớc
cộng với một số không đổi.


Từ số hạng thứ hai, các số hạng sau 5b. Phát biểu lại định nghĩa
bằng tổng số hạng đứng trƣớc nó với Cấp số cộng là một dãy số (hữu
một số không đổi 𝑑. Số không đổi 𝑑 hạn hay vô hạn) mà trong đó kể
đƣợc gọi là công sai của cấp số cộng.

từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng

Cấp số cộng có thể là hữu hạn hoặc đều bằng tổng của số hạng đứng
ngay trƣớc nó và một số 𝑑 không

vô hạn.

đổi.
Số 𝑑 đƣợc gọi là công sai
1.2.5 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích
định nghĩa.
Theo [9, tr.96-97]
Quy trình, xem bảng 1.9 nhƣ sau:
Bảng 1.9 Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân tích định
nghĩa.
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Gợi động cơ học tập cho học 1b. Hành động theo yêu cầu của
sinh

giáo viên.

2a. Giới thiệu định nghĩa, và đặt 2b. Phân tích định nghĩa để chỉ ra
câu hỏi: Một (đối tƣợng)… phải những dấu hiệu đặc trƣng của khái
thỏa mãn những điều kiện gì… thì niệm.
nó đƣợc gọi là…(tên khái niệm)?
3a. Đƣa ra các ví dụ và phản ví dụ 3b. Nhận dạng khái niệm và trả lời

và yêu cầu học sinh xem xét trƣờng câu hỏi
hợp nào là ví dụ và trƣờng hợp nào
không là ví dụ bằng câu hỏi: Trong
các…sau đây…nào là (tên khái

14


niệm) và…nào không là (tên khái
niệm)?
4a. Yêu cầu học sinh đƣa ra một số 4b. Đối chiếu với định nghĩa để
ví dụ (Các em hãy cho ví dụ…là đƣa ra câu trả lời (Cho ví dụ về
(tên khái niệm)?)

khái niệm)

Nhận dạng về mô hình
-

Đây là mô hình có tính truyền thống nhƣng có yếu tố “tích cực hóa hoạt
động” của học sinh trong quá trình hình thành khái niệm bởi đề ra những
câu hỏi cho đặc trƣng của khái niệm.

-

Hình thành khái niệm theo mô hình này, giáo viên hoặc yêu cầu học sinh
đƣa ra nhiều ví dụ và phản ví dụ để củng cố khái niệm.

Ví dụ minh họa, xem bảng 1.10 nhƣ sau:
Bảng 1.10 Ví dụ Mô hình hình thành khái niệm toán học bắt đầu từ sự phân

tích định nghĩa.
Hoạt động của thầy(a)

Hoạt động của học sinh(b)

1a. Gợi động cơ học tập cho học sinh

1b. Hành động theo yêu cầu của

2a. Gọi học sinh phát biểu định nghĩa giáo viên.
và đặt câu hỏi: Một dãy số phải thỏa 2b.Học sinh phát biểu định nghĩa
mãn những điều kiện gì thì nó đƣợc Dãy số bất đầu từ số hạng thứ hai
gọi là cấp số cộng ?

trở đi, mỗi số hạng đứng trƣớc
bằng số hạng đứng sau cộng với
một số không đổi.

3a. Trong các dãy số sau đây, dãy số 3b.
nào sau đây là cấp số cộng? Vì sao?
a) −5, −2, 1, 4, 7, 10 … ..

a) Đây là cấp số cộng với
công sai là 2
b) Đây là cấp số cộng với

b) 3.5, 5, 6.5, 9, 10.5, 12 …

15