Về đa tạp xuyến afin luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

HỒ SỸ LONG

VỀ ĐA TẠP XUYẾN AFIN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
Mã số: 60.46.05

Người hướng dẫn khoa học:

TS. NGUYỄN THỊ HỒNG LOAN

Nghệ An - 2011


MỤC LỤC

Mục lục

1

mở đầu

2

1 đa tạp afin
1.1. Tập đại số . . . . . . . . . .
1.2. Tôpô Zariski . . . . . . . . .

1.3. Tập đại số bất khả quy . . . .
1.4. Đa tạp afin . . . . . . . . . .
1.5. Vành tọa độ . . . . . . . . .
1.6. Tập con mở afin và địa phương
1.7. Đa tạp afin chuẩn tắc . . . .
1.8. Điểm trơn của đa tạp afin . .
1.9. Tích của các đa tạp afin . . .
1.10. Tham số hóa một đa tạp afin
2 đa tạp xuyến
2.1. Torus . . . . . . .
2.2. Đa tạp xuyến afin .
2.3. Dàn . . . . . . . .
2.4. Iđêan xuyến . . . .
2.5. Nửa nhóm afin . . .
2.6. Các định nghĩa tương

. .
. .
. .
. .
. .
hóa
. .
. .
. .
. .

.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

4
4
9
10
10
11
12
13
14
16
18

.
.
.
.
.
.

21
21
23
24
26
28
31

afin
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
đương

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

kết luận

34

tài liệu tham khảo

35


MỞ ĐẦU
Cho K là một trường. Không gian Đềcác n chiều K n được gọi là không
gian afin n chiều. Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức trong vành

K[x] := K[x1 , ..., xn ] được gọi là một đa tạp afin (hay là một tập đại số).
Giả sử S là một tập con của K[x1 , ..., xn ]. Ta gọi V (S) là tập nghiệm của

S trong K n và hệ phương trình {f = 0 | f ∈ S} là hệ phương trình của S .
Rõ ràng hệ phương trình của S và hệ phương trình của iđêan sinh bởi S
có cùng tập nghiệm. Vì vậy mọi đa tạp afin đều có thể xem là tập nghiệm
của một iđêan nào đó trong K[x1 , ..., xn ].
Cho A = {a1 , ..., an } ⊆ Zd . Mỗi vectơ ai được đồng nhất với một đơn
thức tai trong vành đa thức Laurent
K[t±1 ] := K[t1 , ..., td , t1 −1 , ..., td −1 ].
Xét đồng cấu nửa nhóm

π : Nn −→ Zd ,
xác định bởi, với mỗi u = (u1 , ..., un ) ∈ Nn , π(u) = u1 a1 + ... + un an . Khi
đó dễ thấy ảnh của π là nửa nhóm

Imπ = NA = {λ1 a1 + ... + λn an | λ1 , ..., λn ∈ N} .
Ánh xạ nâng π ∗ : K[x] → K[t±1 ], xác định bởi π ∗ (xi ) = tai . Hạt nhân của

π ∗ được kí hiệu bởi IA và được gọi là iđêan xuyến của A. IA là một iđêan
nguyên tố của vành đa thức K[x]. Đa tạp V (IA ) được gọi là đa tạp xuyến
afin.
Cho V là một đa tạp afin trong K n . Khi đó tồn tại iđêan I = (f1 , ..., ft )
trong vành K[x1 , ..., xn ] sinh bởi các đa thức f1 , ..., ft sao cho V = V (I).


3

Miêu tả các điểm của đa tạp afin V là tìm tất cả các nghiệm của hệ phương
trình đa thức fi = 0, i = 1, ..., t. Nếu hệ này chỉ có hữu hạn nghiệm thì ta
chỉ cần liệt kê tất cả các nghiệm của hệ đó ra. Tuy nhiên nếu hệ này có
vô hạn nghiệm thì ta phải tham số hóa chúng. Có những đa tạp afin được
biểu diễn bởi tham số đa thức, nhưng cũng có những đa tạp afin không

thể có biểu diễn tham số đa thức.
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu về một đa tạp afin đặc biệt, đó
là đa tạp xuyến afin. Luận văn được trình bày dựa trên tài liệu tham khảo
chính là quyển sách Toric varieties của D.cox, J.Little và H.Schenck [4].
Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của cô giáo TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đến cô. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm
khoa Toán. Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong Tổ Đại số,
khoa Toán đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian
học tập. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là
các bạn trong lớp Cao học 17 - Đại số đã cộng tác, giúp đỡ tác giả trong
suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những
hạn chế, thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy giáo, cô giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Nghệ An, tháng 12 năm 2011
Tác giả


CHƯƠNG 1

ĐA TẠP AFIN
1.1

Tập đại số

Hình học đại số là bộ môn toán học dùng các công cụ đại số để nghiên
cứu hình học. Để làm được điều này người ta dùng đồ thị của các phương
trình để mô tả các hình hình học. Để tìm hiểu về khái niệm tập đại số

trước hết ta xét một số ví dụ sau.
Ví dụ 1.1.1. Trong mặt phẳng, các hình hình học cơ bản là các đường
cong, thường được xác định bởi đồ thị của một phương trình hai ẩn số

f (x, y) = 0, hàm f (x, y) thường là một đa thức hai biến. Ví dụ phương
trình tổng quát của một đường thẳng có dạng
ax + by + c = 0,
trong đó các hệ số a, b không đồng thời bằng không; còn phương trình tổng
quát của một đường cong bậc hai có dạng

ax2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0,
trong đó a, b, c không đồng thời bằng không.
Ví dụ 1.1.2. Trong không gian, các mặt cong thường được xác định bởi
đồ thị của một phương trình ba ẩn số

f (x, y, z) = 0.
Ví dụ một mặt phẳng trong không gian được xác định bởi đồ thị của một
phương trình tuyến tính

ax + by + cz + d = 0


5

trong đó a, b, c không đồng thời bằng không. Tuy nhiên không phải hình
hình học nào trong không gian cũng có thể mô tả bởi duy nhất một phương
trình. Khác với đường thẳng trong mặt phẳng, một đường thẳng trong
không gian được xác định bởi một hệ hai phương trình tuyến tính:

a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0

a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Điều này ứng với việc đường thẳng này là giao của hai mặt phẳng của hai
phương trình tuyến tính trên.
Có thể xem các hình hình học trong không gian n-chiều là các tập
nghiệm của các hệ phương trình n ẩn số. Quan niệm này (tuy không chính
xác) có một thuận lợi lớn là việc xét các mối quan hệ giữa các hình hình
học có thể quy về việc xét tập nghiệm của một hệ phương trình. Lúc đó
ta có thể dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các hình hình học.
Ví dụ 1.1.3. Xét mệnh đề hình học nói rằng một đường thẳng cắt một
đường cong bậc hai ở nhiều nhất là hai điểm. Tập các giao điểm của đường
thẳng và đường cong bậc hai cho trước chính là tập nghiệm của một hệ
hai phương trình có dạng

ax + by + c = 0
dx2 + exy + f y 2 + gx + hy + i = 0.
Giả sử a = 0 (a, b không đồng thời bằng không). Từ phương trình thứ
nhất ta có

−1
(by + c).
a
Dùng biểu thức này để thế x vào phương trình thứ hai ta sẽ nhận được một
phương trình bậc hai của y . Phương trình này có nhiều nhất hai nghiệm.
Ứng với mỗi nghiệm này ta có duy nhất một nghiệm x. Do đó hệ phương
trình ban đầu có nhiều nhất hai nghiệm.
Thông thường người ta chỉ xét các đa thức có hệ số là hữu tỷ, số thực
hay là số phức. Tổng quát hơn người ta có thể xét các hệ phương trình
đa thức với hệ số thuộc một trường nào đó với các nghiệm số cũng thuộc
trường đó.
x=

6

Định nghĩa 1.1.4. Cho K là một trường có vô hạn phần tử. Người ta gọi
không gian Đềcác K n là không gian afin n-chiều trên K , kí hiệu là AnK .
Tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức n ẩn số với các hệ số trong

K được gọi là một tập đại số trong AnK .
Sau đây là một số ví dụ về tập đại số.
Ví dụ 1.1.5. 1. Không gian AnK là một tập đại số trong AnK vì nó là tập
nghiệm của phương trình 0 = 0.
2. Tập hợp chỉ gồm một điểm α = (α1 , ..., αn ) ∈ AnK là một tập đại số
trongAnK vì nó là tập nghiệm của hệ phương trình

x1 − a1 = 0
.............
.

xn − an = 0
3. Tập rỗng ∅ cũng là một tập đại số vì nó là tập nghiệm của phương
trình 1 = 0.
Chú ý 1.1.6. Trong không gian afin 1-chiều A1K các tập đại số chỉ có thể
là A1K , các tập con hữu hạn của A1K hoặc là tập rỗng. Điều này có thể dễ
dàng suy ra từ việc tập nghiệm của một đa thức f một biến chỉ có thể là

A1K (nếu f là đa thức không), một tập hữu hạn trong A1K (nếu f có bậc
dương) hoặc là tập rỗng (nếu f là một phần tử khác không trong A1K ).
Định nghĩa 1.1.7. Cho S là một tập hợp các đa thức trong K[x1 , ..., xn ].
Tập hợp

V (S) = {α ∈ AnK | f (α) = 0, ∀f ∈ S}.
Nếu S chỉ gồm một đa thức f thì dùng ký hiệu V (f ) và V (f ) được gọi là
một siêu mặt.
Ví dụ 1.1.8. (i). V (0) = AnK .
(ii). Nếu f = a0 + a1 x + ... + an xn thì V (f ) là một siêu phẳng trong

AnK vì sau một phép biến đổi tọa độ ta có thể giả sử f = xn . Khi đó


7

V (f ) = {(a1 , ..., an ) ∈ An K | an = 0} có thể đồng nhất với không gian
An−1
K .
(iii). Nếu S = {x1 − a1 , ..., xn − an } thì V (f ) chỉ gồm một điểm α =
(α1 , ..., αn ).
(iv). V (K[x1 , ..., xn ]) = ∅ vì không có điểm α ∈ AnK nào là nghiệm của
hệ phương trình 1 = 0.
(v). Nếu f (x, y) = x2 − y ∈ K[x, y] thì V (f ) = {(α, α2 ) | α ∈ K}.
(vi). Nếu f (x, y) = x3 − y 2 ∈ K[x, y] thì V (f ) = {(α2 , α3 ) | α ∈ K}.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của tập đại số
Bổ đề 1.1.9. Cho S1 và S2 là hai tập hợp tùy ý trong AnK . Nếu S1 ⊇ S2
thì V (S1 ) ⊆ V (S2 ).
Chứng minh. Do S1 ⊇ S2 nên mọi nghiệm của S1 cũng là nghiệm của S2 .
Điều này có nghĩa là V (S1 ) ⊆ V (S2 ).
Định lý 1.1.10. Cho S ⊂ K[x1 , ..., xn ]. Gọi I = (S) là iđêan sinh bởi S .
Khi đó

V (I) = V (S).

Chứng minh. Do I ⊇ S nên V (I) ⊆ V (S).
Đảo lại, nếu α ∈ V (S) và f = h1 f1 + ... + hr fr là một tổ hợp tuyến tính
của các đa thức f1 , ..., fr ∈ S thì f (α) = h1 (α)f1 (α) + ... + hr (α)fr (α) = 0
do f1 (α) = ... = fr (α) = 0. Từ đây ta suy ra α ∈ V (I). Do đó V (S) ⊆

V (I).
Bổ đề 1.1.11. Hợp của một hệ hữu hạn các tập đại số là một tập đại số.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh hợp của hai tập đại số là một tập đại
số. Cho S1 và S2 là hai tập hợp tùy ý trong K[x1 , ..., xn ]. Gọi T là tập các
đa thức có dạng f g , với f ∈ S1 và g ∈ S2 . Ta sẽ chứng minh rằng

V (S1 )

V (S2 ) = V (T ).

Do mọi nghiệm của S1 hoặc S2 cũng là nghiệm của T nên V (S1 )

V (T ).

V (S2 ) ⊆


8

Đảo lại, giả sử α là nghiệm của T . Nếu α không là nghiệm của S1 thì
ta có một đa thức f ∈ S1 sao cho f (α) = 0. Do f (α)g(α) = f g(α) = 0
với mọi g ∈ S2 nên g(α) = 0. Vì vậy,

V (S2 ) ⊇ V (T ).

V (S1 )
Vậy V (S1 )

V (S2 ) = V (T ).

Chú ý 1.1.12. Hợp của một tập vô hạn các tập đại số không nhất thiết
là một tập đại số. Chẳng hạn, tập hợp chỉ gồm một phần tử α ∈ K là một
tập đại số, nhưng mọi tập con thực sự của K có vô hạn phần tử không
thể là một tập đại số.
Bổ đề 1.1.13. Giao của một hệ tùy ý các tập đại số là một tập đại số.
Chứng minh. Cho {Si }i∈I là một hệ các tập đa thức trong K[x1 , ..., xn ].
Đặt S =

Si . Ta sẽ chứng minh rằng
i∈I

V (Si ) = V (S).
i∈I

Thật vậy, do Si ⊆ S, ∀i ∈ I . nên theo Bổ đề 1.1.9 ta có

V (Si ) ⊇ V (S), ∀i ∈ I.
V (Si ) ⊇ V (S).

Suy ra
i∈I

Đảo lại, nếu α là một nghiệm của Si với mọi i ∈ I thì α cũng là nghiệm

V (Si ) ⊆ V (S).

của S . Do đó
i∈I

Hệ quả 1.1.14. Cho V ⊆ AnK và W ⊆ Am
K là những tập đại số tùy ý.
Tích Đềcác V × W ⊆ An+m
cũng là một tập đại số.
K
Chứng minh. Trước tiên ta thấy rằng

V × W = (V × Am
K)

(AnK × W ).

n
Bây giờ ta chỉ cần chỉ ra rằng V × Am
K và AK × W là những tập đại số

trong Am+n
K . Giả sử V = V (S) với S là một tập các đa thức trong vành đa


9

thức n biến K[x]. Nếu ta coi S là một tập đa thức trong một vành đa thức

m + n biến K[x, y] thì ta có thể xét tập nghiệm của S trong An+m
K . Gọi

m
tập nghiệm này là U . Ta thấy ngay là V × Am
K = U . Như vậy V × AK là
n+m
một tập đại số trong AK
. Tương tự ta cũng chứng minh được AnK × W
cũng là một tập đại số trong An+m
K .
Suy ra điều phải chứng minh.

1.2

Tôpô Zariski

Bổ đề 1.1.11, Bổ đề 1.1.13, Ví dụ 1.1.5 cho thấy ta có thể trang bị một
cấu trúc tôpô cho không gian afin AnK với các tập đóng là các tập đại số
trong AnK .
Định nghĩa 1.2.1. Trên AnK tôpô được xác định bởi các tập đóng là các
tập đại số (tập mở của AnK là phần bù của một tập đại số) được gọi là
tôpô Zariski.
Ví dụ 1.2.2. Ta có thể mô tả tôpô Zariski trên không gian afin 1-chiều

A1K , với K là trường đóng đại số như sau:
Tập Z là đóng trong A1K khi và chỉ khi Z gồm hữu hạn điểm, hoặc
Z = A1K hoặc Z = ∅. Thật vậy, vì Z là tập đại số suy ra tồn tại iđêan
I trong K[x1 , ..., xn ] để Z = V (I). Do K[x1 , ..., xn ] là vành chính suy ra
tồn tại f ∈ K[x1 , ..., xn ], I = (f ). Suy ra Z = V (f ), giả sử degf = r, ta
có phân tích
f (x) = (x − a1 )(x − a2 )...(x − ar ).
Ta sẽ chỉ ra Z = V (f ) = {a1 , ..., ar } suy ra | Z |= r.

Nếu f là một đa thức hằng thì Z = V (f ) = ∅, còn nếu f = 0 thì

Z = V (f ) = A1K .
Như vậy, mỗi tập đại số trong AnK đều được xác định bởi một iđêan
trong K[x1 , ..., xn ]. Mối quan hệ cơ bản giữa các tập đại số phản ánh các
phép toán với các iđêan xác định chúng.


10

1.3

Tập đại số bất khả quy

Khi xét tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức người ta thường
tìm cách quy về việc xét các hệ phương trình đa thức đơn giản hơn. Về
mặt hình học, điều này có nghĩa là ta phân tích một tập đại số thành các
tập đại số nhỏ hơn. Nếu một tập đại số không thể phân tích thành hợp
của hai tập đại số nhỏ hơn thì ta gọi tập đại số đó là một tập bất khả quy.
Định nghĩa 1.3.1. Cho V là tập đại số trong AnK , V được gọi là bất khả
quy nếu V không phân tích được thành hợp của hai tập đại số nhỏ hơn,
nghĩa là nếu V = V1 ∪ V2 với V1 , V2 là những tập đại số thì suy ra V1 = V
hoặc V2 = V.
Ví dụ 1.3.2. Các tập đại số sau là các tập bất khả quy:
1) Tập rỗng ∅.
2) Các tập chỉ gồm một điểm α ∈ AnK . 3) Tập A1K là bất khả quy. Vì nếu

A1K = V1 ∪ V2 với V1 ⊃ A1K và V2 ⊃ A1K suy ra |V1 | < ∞, |V2 | < ∞. Vô lý
vì |A1K | = ∞. Vậy A1K là bất khả quy.
Chú ý 1.3.3. Phần bù của một tập đại số nhỏ hơn trong một tập đại số

là một tập mở khác rỗng (theo tôpô Zariski). Vì vậy tính bất khả quy của
một tập đại số còn có thể đặc trưng bởi tính chất giao của hữu hạn các
tập mở khác rỗng là một tập mở khác rỗng.
Định lý 1.3.4. Mọi tập đại số đều có thể phân tích thành hợp của một số
hữu hạn các tập đại số bất khả quy không giao nhau. Các tập bất khả quy
trong sự phân tích như vậy được xác định một cách duy nhất.

1.4

Đa tạp afin

Trong mục 1.2, ta đã thấy rằng trên không gian afin AnK được trang bị
một tôpô gọi là tôpô Zariski. Đối với tôpô này mỗi tập đóng trong AnK là
một tập đại số.
Định nghĩa 1.4.1. Mỗi tập đại số trong AnK được gọi là một đa tạp afin.


11

Định nghĩa 1.4.2. Cho X là không gian tôpô, ta định nghĩa chiều của

X , kí hiệu dimX , là cận trên của tất cả các số tự nhiên n sao cho tồn tại
một chuỗi V0 ⊃ V1 ⊃ ... ⊃ Vn các tập con đóng bất khả quy phân biệt.
Chiều của đa tạp afin hoặc tập đại số là chiều của nó xét như không
gian tôpô. Đây là một khái niệm mở rộng khái niệm của không gia tuyến
tính. Như vậy chiều của tập đại số V (I) đo độ lớn của tập không điểm
này.
Ví dụ 1.4.3. 1. Chiều của không gian A1 là 1. Thật vậy, tập con đóng
bất khả quy trong A1 là toàn bộ không gian và những điểm đơn lẻ trong

A1 .
2. Chiều của một tập hữu hạn trong An bằng 0.
3. Nếu I là iđêan đơn thức, thì có thể chứng tỏ tập đại số V (I) là hợp một
số hữu hạn không gian con afin và chiều của nó là số lớn nhất trong số
chiều các không gian con afin của nó. Như vậy trong trường hợp này khái
niệm chiều (tổ hợp) trùng với chiều trong hình học giải tích.

1.5

Vành tọa độ

Từ bây giờ trở đi ta xét K là trường các số phức C, ta đã biết rằng C
là trường đóng đại số.
Mỗi iđêan I ⊆ S = C[x1 , ..., xn ] xác định một đa tạp afin

V (I) = {p ∈ Cn | f (p) = 0 với mọi f ∈ I}
và mỗi đa tạp afin V ⊆ Cn xác định một iđêan

I(V ) = {f ∈ S | f (p) = 0, với mọi p ∈ V }.
Theo Định lý cơ sở của Hilbert, mỗi đa tạp afin V xác định bởi hữu hạn
các đa thức triệt tiêu trong S ; và với mỗi iđêan I , Định lý không điểm


12

√

I = {f ∈ S | ∃l ≥ 1 : f l ∈ I} do C là
trường đóng đại số. Khi đó vành thương

của Hilbert nói rằng I(V (I)) =

C[V ] = S/I(V )
được gọi là vành tọa độ của V .
Các phần tử của C[V ] có thể được hiểu như C-giá trị hàm đa thức trên

V . Lưu ý rằng C[V ] là một C- đại số, nghĩa là nó có cấu trúc không gian
vectơ tương thích với cấu trúc vành. Sau đây là một số thông tin về vành
tọa độ:
+) C[V ] là một miền nguyên ⇔ I(V ) là iđêan nguyên tố ⇔ V là bất khả
quy.
+ Ánh xạ đa thức (có khi gọi là cấu xạ) φ : V1 → V2 giữa các đa tạp afin
tương ứng với đồng cấu C-đại số φ∗ : C[V2 ] → C[V1 ], trong đó φ∗ (g) =
g ◦ φ với g ∈ C[V2 ].
+) Hai đa tạp afin là đẳng cấu khi và chỉ khi các vành tọa độ là đẳng cấu
C-đại số.
+) Một điểm p của đa tạp afin V cho iđêan cực đại
{f ∈ C[V ] | f (p) = 0} ⊆ C[V ],
và tất cả iđêan cực đại của C[V ] đều có dạng này.
+) Cho V là một đa tạp afin. Khi đó chiều của V bằng chiều của vành
tọa độ C[V ].

1.6

Tập con mở afin và địa phương hóa

Một số tập con mở Zariski của một đa tạp afin V là một đa tạp afin.
Cho f ∈ C[V ]\{0}, và

Vf = {p ∈ V | f (p) = 0} ⊆ V.

Khi đó Vf là một tập mở Zariski trong V và cũng là một đa tạp afin.


13

Thật vậy, giả sử V ⊆ Cn với I(V ) = f1 , ..., fs và chọn g ∈ C[x1 , ..., xn ]
đại diện cho f . Khi đó Vf = V \V (g) là một tập mở Zariski trong V . Bây
giờ ta xét một biến mới y và cho W = V (f1 , ..., fs , 1 − gy) ⊆ Cn × C. Do
phép chiếu Cn × C → Cn là song ánh từ W lên Vf , chúng ta có thể đồng
nhất Vf với đa tạp afin W ⊆ Cn × C.
Khi V là bất khả quy, vành tọa độ của Vf được miêu tả dễ dàng. Cho
C(V ) là trường các thương của miền nguyên C[V ]. Nhắc lại rằng phần tử
của C(V ) là các hàm hửu tỷ trên V . Khi đó đặt
C[V ]f = {g/f l ∈ C(V ) | g ∈ C[V ], l ≥ 0}.
Vành C[V ]f được xác định như trên là một ví dụ về địa phương hóa.
Ví dụ 1.6.1. Torus n-chiều là tập con mở afin

(C∗ )n = Cn \V (x1 ...xn ) ⊆ Cn ,
với vành tọa độ
±1
C[x1 , ..., xn ]x1 ...xn = C[x±1
1 , ..., xn ].

Các phần tử của vành này được gọi là đa thức Laurent.

1.7

Đa tạp afin chuẩn tắc

Cho R là một miền nguyên với trường các thương K , khi đó miền

nguyên R được gọi là chuẩn tắc hay đóng nguyên nếu bao đóng nguyên
của R trong K chính bằng R; hay nói cách khác nếu mọi phần tử của K
nguyên trên R (nghĩa là nghiệm của đa thức thuộc R[x] với hệ số cao nhất
bằng 1) đều thuộc R.
Định nghĩa 1.7.1. Đa tạp afin bất khả quy V là chuẩn tắc nếu vành tọa
độ C[V ] là chuẩn tắc.
Chẳng hạn, Cn là chuẩn tắc vì vành tọa độ C[x1 , ..., xn ] là một miền
nhân tử hóa và do đó chuẩn tắc. Sau đây là một ví dụ về đa tạp afin không
chuẩn tắc.


14

Ví dụ 1.7.2. Cho C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 . Đây là một đường cong bất khả
quy với một đỉnh ở gốc. Dễ thấy rằng C[C] = C[x, y]/ x3 − y 2 . Cho x và

y tương ứng là tập đối của x và y trong C[C], ở đây cho y/x ∈ C(C). Một
tính toán cho rằng y/x ∈
/ C[C] và (y/x)2 = x, do đó C là không chuẩn
tắc.Ta sẽ thấy trong Chương 2 rằng C là một đa tạp xuyến afin.
Một đa tạp afin bất khả quy V có một chuẩn tắc hóa được xác định
như sau. Cho
C[V ] = {α ∈ C(V ) : α là nguyên trên C[V ]}
.
Ta gọi C[V ] là bao đóng nguyên của C[V ]. Ta có thể xem C[V ] là chuẩn
tắc và hữu hạn sinh như C-đại số. Từ đó ta có một đa tạp afin chuẩn tắc

V = Spec(C[V ] ).
Ta gọi V là chuẩn tắc hóa của V . Phép nhúng tự nhiên C[V ] ⊆ C[V ] =
C[V ] tương ứng với ánh xạ V → V . Ánh xạ này là ánh xạ chuẩn tắc hóa.

Ví dụ 1.7.3. Ta thấy trong Ví dụ 1.7.2 đường cong C ⊆ C2 được xác

/ C[C] là nguyên
định bởi x3 = y 2 có các phần tử x, y ∈ C[C] mà y/x ∈
trên C[C]. Ta có C[y/x] ⊆ C(C) là bao đóng nguyên của C[C] và ánh xạ
chuẩn tắc hóa là ánh xạ C → C được xác định bởi t → (t2 , t3 ).

1.8

Điểm trơn của đa tạp afin

Để định nghĩa điểm trơn của một đa tạp afin V, đầu tiên chúng ta cần
định nghĩa vành địa phương và không gian tiếp xúc Zariski. Khi V là bất
khả quy, vành địa phương của V tại p là

OV,p = {f /g ∈ C(V ) | f, g ∈ C[V ]; g(p) = 0}.
Như vậy OV,p bao gồm tất cả hàm hữu tỷ trên V đều xác định tại p. Trong

OV,p có iđêan cực đại
mV,p = {φ ∈ OV,p | φ(p) = 0}.


15

Thực chất, mV,p là iđêan tối đại duy nhất của OV,p , do đó OV,p là vành địa
phương.
Trong trường hợp đa tạp afin V là khả quy với vành tọa độ C[V ]. Cho
một điểm p ∈ V , giả sử S = {g ∈ C[V ] | g(p) = 0}. Dễ thấy S là tập
nhân đóng, địa phương hóa C[V ]S ký hiệu là OV,p và được gọi là vành địa
phương của V tại p. Không gian tiếp xúc Zariski của V tại p được định

nghĩa là

Tp (V ) = HomC (mV,p /m2V,p , C).
Chú ý rằng dimTp (Cn ) = n, ∀p ∈ Cn . Không gian tiếp xúc Zariski của
một điểm trong đa tạp afin được tính toán nhờ bổ đề sau đây.
Bổ đề 1.8.1. Cho V ⊆ Cn là một đa tạp afin và p ∈ V . Giả sử rằng

I(V ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xn ]. Với mỗi i cho
dp (fi ) =

∂fi
∂fi
(p)x1 + ... +
(p)xn .
∂x1
∂xn

Khi đó, Tp (V ) đẳng cấu với không gian con của Cn xác định bởi các phương
trình dp (f1 ) = ... = dp (fs ) = 0. Đặc biệt, dimTp (V ) ≤ n.
Định nghĩa 1.8.2. Một điểm p của một đa tạp afin V được gọi là trơn
hay không kỳ dị nếu dimTp (V ) = dimp V , trong đó dimp V là số lớn nhất
trong các số chiều của các thành phần bất khả quy của V chứa p. Điểm p
được gọi là kỳ dị nếu nó không trơn. Đa tạp afin V là trơn nếu mọi điểm
của V là trơn.
Những điểm nằm ở giao điểm của hai hay nhiều thành phần bất khả
quy của V là luôn kỳ dị. Do dimTp (Cn ) = n, ∀p ∈ Cn , nên ta thấy Cn là
trơn. Đối với một đa tạp afin bất khả quy V ⊆ Cn có số chiều d, cố định

p ∈ V và viết I(V ) = f1 , ..., fs . Sử dụng Bổ đề 1.8.1 dễ thấy rằng V là
trơn tại p khi và chỉ khi ma trận Jacôbi

Jp (f1 , ..., fs ) = (
có hạng bằng n − d.

∂fi
(p))1≤i≤s,1≤j≤n
∂xi


16

Ví dụ 1.8.3. Như đã nói trong Ví dụ 1.7.2 đường cong C được xác định
bởi x3 = y 2 có I(C) = x3 − y 2 ⊆ C[x, y]. Một điểm p = (a, b) ∈ C có
Jacôbi

Jp = (3a2 , −2b),
do đó (0, 0) là điểm kỳ dị duy nhất của C .
Do Tp (V ) = HomC (mV,p /m2V,p , C), ta thấy rằng V là trơn tại p khi

dimV bằng số chiều của mV,p /m2V,p như một không gian vectơ trên OV,p /mV,p .
Nghĩa là p ∈ V là trơn khi và chỉ khi OV,p là vành địa phương chính quy.
Mối quan hệ giữa tính trơn và tính chuẩn tắc thể hiện trong mệnh đề
sau.
Mệnh đề 1.8.4. Đa tạp afin bất khả quy trơn V là chuẩn tắc.
Điều ngược lại của mệnh đề này có thể không đúng. Sau này chúng ta
sẽ thấy đa tạp afin V (xy − zw) ⊆ C4 là chuẩn tắc nhưng V (xy − zw) là
chính quy tại (0, 0, 0, 0).

1.9

Tích của các đa tạp afin

Cho đa tạp afin V1 và V2 , có một số phương pháp cho thấy rằng tích
Đềcác V1 ×V2 là một đa tạp afin. Phương pháp trực tiếp nhất được làm như
sau. Cho V1 ⊆ Cm = Spec(C[x1 , ..., xm ]) và V2 ⊆ Cn = Spec(C[y1 , ..., yn ]).
Lấy I(V1 ) = f1 , ..., fs và I(V2 ) = g1 , ..., gt . Do fi và gj phụ thuộc vào
các tập riêng biệt của các biến, do đó

V1 × V2 = V (f1 , ..., fs , g1 , ..., gt ) ⊆ Cm+n
là một đa tạp afin.
Một phương pháp thông thường là dùng ánh xạ đặc trưng của tích.
Điều này cũng sẽ cho một miêu tả bản chất của vành tọa độ. Cho V1 và

V2 như trên, V1 × V2 là một đa tạp afin với phép chiếu πi : V1 × V2 → Vi ,


17

sao cho nếu ta có biểu đồ

W

φ1
v
φ2

$

V 1 × V2 π 1
 

/

'

V1

π2

V2

trong đó φi : W → Vi là cấu xạ từ đa tạp afin W , tồn tại duy nhất một
cấu xạ v sao cho biểu đồ là giao hoán, nghĩa là πi ◦ v = φi .
Đối với vành tọa độ, điều này nghĩa là nếu ta có một biểu đồ
C[V2 ]
π2∗

C[V1 ]

π1∗
/



φ∗2

C[V1 × V2 ]
v∗
φ∗1

,

&


C[W ]

với C-đồng cấu đại số φ∗i : C[Vi ] → C[W ], thì tồn tại duy nhất C-đồng cấu
đại số v ∗ (đường nét đứt) sao cho biểu đồ giao hoán. Bởi tính phổ dụng
của tích tenxơ của C-đại số, C[V1 ] ⊗C C[V2 ] có tính chất ánh xạ mà chúng
ta cần. Từ C[V1 ] ⊗C C[V2 ] là một C-đại số hữu hạn sinh không lũy linh,
nên nó là vành tọa độ C[V1 × V2 ]
Ví dụ 1.9.1. Cho V là đa tạp afin. Từ C = Spec(C[y1 , ..., yn ]) tích V × Cn
có vành tọa độ
C[V ] ⊗C C[y1 , ..., yn ] = C[V ][y1 , ..., yn ].
Nếu V chứa trong Cm với I(V ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xn ], theo đó

I(V × Cn ) = f1 , ..., fs ⊆ C[x1 , ..., xm , y1 , ..., yn ].
Vì mục đích sau này, ta cần chú ý vành tọa độ của V × (C∗ )n là
C[V ] ⊗C C[y1±1 , ..., yn±1 ] = C[V ][y1±1 , ..., yn± ].
Cho đa tạp afin V1 và V2 , chúng ta lưu ý rằng tôpô Zariski trên V1 × V2
thường không phải là tích của tôpô Zariski trên V1 và V2 .


18

Ví dụ 1.9.2. Xét C2 = C × C. Theo định nghĩa, một cơ sở của tôpô
Zariski C × C là tập U1 × U2 , ở đây Ui là các tập mở Zariski trong C. Điều
này suy ra tập Zariski đóng trong C2 , chẳng hạn V (y − x2 ) không thể là
đóng trong tôpô tích.

1.10

Tham số hóa một đa tạp afin

Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày về vấn đề miêu tả các điểm
của một đa tạp afin V (I), trong đó I = (f1 , f2 , ..., ft ) là iđêan của vành

k[x1 , ..., xn ]. Một câu hỏi đặt ra là liệu có một cách nào đó để viết tất cả
các nghiệm của hệ phương trình

f1 = 0



f2 = 0 ?
......



ft = 0
Khi hệ này chỉ có hữu hạn nghiệm, để biểu diễn tập nghiệm của nó, ta chỉ
việc liệt kê các nghiệm đó ra. Tuy nhiên khi tập nghiệm này là vô hạn thì
ta phải làm như thế nào? Điều này dẫn ta tới khái niệm tham số hóa một
đa tạp afin. Ta xét các ví dụ sau.
Ví dụ 1.10.1. Trong không gian R3 , xét đa tạp afin V được xác định là
tập nghiệm của hệ phương trình

x+y+z =1
x + 2y − z = 3
Về mặt hình học, V là giao tuyến của hai mặt phẳng có phương trình

x + y + z − 1 = 0 và x + 2y − z − 3 = 0. Vì vậy V có vô hạn phần tử. Đặt
z = u, trong đó u là tùy ý, ta có thể biểu diễn V như sau

x = −1 − 3u
y = 2 + 2u,
u ∈ R.

z=u
Ta gọi u là một tham số và biểu diễn trên của V là một tham số hóa của

V . Chú ý là −1 − 3u; 2 + 2u; u đều là các đa thức một biến u trên trường


19

các số thực R. Vì vậy chúng ta còn gọi sự tham số hóa của V như trên là
một biểu diễn tham số đa thức.
Tiếp theo ta xét một ví dụ khác.
Ví dụ 1.10.2. Xét đa tạp afin V = V (I) với I = (y − x2 , z − x3 ) ⊆
R[x, y, z]. Đặt x = u. Khi đó V có biểu diễn tham số đa thức như sau

x = u
y = u2 , u ∈ R.

z = u3
Hai đa tạp afin trong hai ví dụ trên có biểu diễn tham số đa thức,
tuy nhiên không phải đa tạp afin nào cũng có biểu diễn tham số đa thức.
Chúng ta xét ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.10.3. Xét đa tạp afin V = V (I) với I = (x2 + y 2 − 1) ⊆ R[x, y].

Ta có thể tham số hóa V bằng các hàm lượng giác như sau

x = cosu
y = sinu u ∈ R.
Tuy nhiên ta cũng có thể tham số hóa đường tròn này theo cách đại số
hơn

x=
y=

1−u2
1+u2
2u
1+u2

u ∈ R.

(1.1)

Với cách tham số hóa này, các điểm thỏa mãn (1.1) đều nằm trên

V , nhưng cũng có những điểm của V không thỏa mãn (1.1), chẳng hạn
(−1, 0). Vì vậy ta chỉ có thể hiểu V là đa tạp "nhỏ nhất" chứa các điểm
2
2u
thỏa mãn (1.1). Do 1−u
1+u2 ; 1+u2 là các hàm hữu tỷ của biến u trên trường
các số thực R nên ta gọi (1.1) là một biểu diễn tham số hữu tỷ của V .
Một câu hỏi đặt ra là liệu mỗi đa tạp afin đều có một biểu diễn tham số
hữu tỷ? Người ta chứng minh được rằng nhìn chung, câu trả lời là không

đúng. Tuy nhiên điều ngược lại là đúng, có nghĩa là với mỗi biểu diễn tham
số của một đa tạp afin cho trước, ta luôn có thể tìm được các phương trình
để xác định đa tạp này.


20

Ví dụ 1.10.4. Xét biểu diễn tham số

x=1+u
y = 1 + u2 u ∈ R.

(1.2)

Ta biết rằng các điểm của R2 thỏa mãn (1.2) biểu diễn một đường cong
trong mặt phẳng. Tuy nhiên ta chưa biết được liệu các điểm nằm trên
đường cong này có là tập nghiệm chung của một họ đa thức hai biến x, y
trên R hay không? Nói cách khác liệu các điểm của đường cong này có
trùng với các điểm của một đa tạp afin V nào đó hay không? Từ (1.2) dễ
dàng tính được u = x − 1 và do đó

y = 1 + (x − 1)2 = x2 − 2x + 2.
Vậy (1.2) là hệ tham số miêu tả đa tạp afin V = V (I) với

I = (y − x2 + 2x − 2) ⊆ R[x, y].


CHƯƠNG 2

ĐA TẠP XUYẾN AFIN

2.1

Torus

Định nghĩa 2.1.1. Đa tạp afin (C∗ )n là một nhóm với phép nhân theo
từng thành phần. Một torus T là một đa tạp afin đẳng cấu với (C∗ )n , ở
đây T tiếp tục có cấu trúc là một nhóm đẳng cấu.
Một đặc trưng của torus T là cấu xạ χ : T → C∗ nghĩa là, χ là một
đồng cấu nhóm. Chẳng hạn, m = (a1 , ..., an ) ∈ Zn cho một đặc trưng

χm : (C∗ )n → C∗
xác định bởi χm (t1 , ..., tn ) = ta11 · · · tann .
Ta có thể thấy rằng tất cả các đặc trưng của (C∗ )n đều biểu diễn được theo
cách này. Do đó tập các đặc trưng của (C∗ )n là một nhóm đẳng cấu với Zn .
Đối với một torus T bất kỳ, tập các đặc trưng của nó là một nhóm aben
tự do M có hạng bằng chiều của T . Thông thường ta nói rằng m ∈ M
cho ta một đặc trưng χm : T → C∗ .
Mệnh đề 2.1.2. (a) Cho T1 và T2 là các torus và cấu xạ Φ : T1 → T2
nghĩa là Φ là một đồng cấu nhóm. Khi đó ảnh của Φ là một torus và đóng
trong T2 .
(b) Cho T là một torus và H ⊆ T là một đa tạp con bất khả quy của T
nghĩa là H là một nhóm con. Khi đó H là một torus.
Bây giờ giả sử rằng torus T tác động tuyến tính lên một không gian
vectơ hữu hạn chiều W trên C, ở đây tác động của t ∈ T lên w ∈ W ký


22

hiệu là t.w. Cho m ∈ M , ta có không gian riêng

Wm = {w ∈ W | t.w = χm (t)w, ∀t ∈ T }.
Nếu Wm = {0}, thì mỗi w ∈ Wm \{0} là một vectơ riêng với mọi t ∈ T ,
với giá trị riêng cho bởi χm (t).

Mệnh đề 2.1.3. Với những kí hiệu như trên ta có W =

m∈M

Wm .

Nhóm con một tham số của torus T là cấu xạ λ : C∗ → T nghĩa là λ
là một đồng cấu nhóm. Chẳng hạn, với u = (b1 , ..., bn ) ∈ Zn cho ta một
nhóm con một tham số

λu : C∗ → (C∗ )n
xác định bởi λu (t) = (tb1 , ..., tbn ). Tất cả nhóm con một tham số của (C∗ )n
được biểu diễn theo cách này. Từ đó suy ra nhóm các nhóm con một tham
số của (C∗ )n đẳng cấu tự nhiên với Zn . Đối với một torus T tùy ý, các
nhóm con một tham số tạo thành một nhóm aben tự do N có hạng bằng
chiều của T . Cũng như nhóm các đặc trưng, một phần tử u ∈ N cho ta
nhóm con một tham số λu : C∗ → T .
Phép nhân song tuyến tính tự nhiên , : M × N → Z xác định như
sau.

• Cho trước đặc trưng χm và nhóm con một tham số λu , hợp thành χm ◦λu :
C∗ → C∗ là đặc trưng của C∗ , được cho bởi t → tl với l ∈ Z. Khi đó
m, u = l.
• Nếu T = (C∗ )n với m = (a1 , ..., an ) ∈ Zn , u = (b1 , ..., bn ) ∈ Zn thì người
ta tính được rằng
n

m, u =

ai bi ,
i=1

nghĩa là phép nhân là tích vô hướng thông thường.
Từ đó suy ra các đặc trưng và các nhóm con một tham số của torus T
tạo thành các nhóm aben tự do M và N có hạng hữu hạn với phép nhân

, : M × N → Z đồng nhất N với HomZ (M, Z) và M với HomZ (N, Z).


23

Nhờ tích tenxơ, ta có một đẳng cấu chính tắc N ⊗Z C∗

T xác định bởi
u ⊗ t → λu (t). Do đó, thông thường người ta viết một torus là TN .
Từ quan điểm này, chọn một đẳng cấu TN (C∗ )n cảm sinh các cơ sở
đối ngẫu của M và N , nghĩa là đẳng cấu M Zn và N Zn được mô tả
trong đơn thức Laurent χm (t1 , ..., tn ) = ta11 · · · tann , nhóm con một tham số
trong đường cong đơn thức λu (t) = (tb1 , ..., tbn ), và phép nhân trong tích
n

ai b i .

m, u =
i=1

2.2

Đa tạp xuyến afin

Định nghĩa 2.2.1. Một đa tạp xuyến afin là một đa tạp afin bất khả quy

V chứa một torus TN
(C∗ )n như một tập con mở Zariski, sao cho tác
động của TN trên chính nó mở rộng tới một tác động đại số của TN trên
V . (Tác động đại số, nghĩa là một tác động TN × V → V cho bởi một cấu
xạ).
Ví dụ 2.2.2. Ví dụ hiển nhiên của đa tạp xuyến afin là (C∗ )n và Cn .
Sau đây là một vài ví dụ không tầm thường.
Ví dụ 2.2.3. Cho đường cong C = V (x3 − y 2 ) ⊆ C2 có một đỉnh tại gốc.
Đây là đa tạp xuyến afin với torus

C\{0} = C ∩ (C∗ )2 = {(t2 , t3 ) | t ∈ C∗ }

C∗ ,

ở đây đẳng cấu là t → (t2 , t3 ). Ví dụ 1.7.2 cho thấy rằng C là một đa tạp
xuyến không chuẩn tắc.
Ví dụ 2.2.4. Đa tạp V = V (xy − zw) ⊆ C4 là một đa tạp xuyến với
torus
∗
V ∩ (C∗ )4 = {(t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1
3 ) | ti ∈ C }

(C∗ )3 ,

ở đây đẳng cấu là (t1 , t2 , t3 ) → (t1 , t2 , t3 , t1 t2 t−1
3 ). Ta sẽ thấy sau đây V là
một đa tạp xuyến chuẩn tắc.


24

Ví dụ 2.2.5. Xét mặt trong Cd+1 , ký hiệu là Cd được tham số hóa bởi
ánh xạ

Φ : C2 → Cd+1
xác định bởi (s, t) → (sd , sd−1 t, ..., std−1 , td ). Như vậy Φ được xác định bởi
tất cả các đơn thức bậc d theo s, t. Giả sử tọa độ của Cd+1 là x0 , ..., xd và
cho I ⊆ C[x0 , ..., xd ] là iđêan sinh bởi các định thức con cấp hai của ma
trận

x0 x1 · · · xd−2 xd−1
x1 x2 · · · xd−1 xd
Khi đó I = xi xj+1 − xi+1 xj | 0 ≤ i < j ≤ d − 1 . Ta có Φ(C2 ) = V (I),
do đó Cd = Φ(C2 ) là một đa tạp afin. Ta cũng dễ thấy rằng I(Cd ) = I ,
vì thế I là iđêan tất cả các đa thức triệt tiêu trên Cd . Do đó I là nguyên
tố vì V (I) là bất khả quy. Mặt afin Cd được gọi là mặt nón hữu tỷ chuẩn
tắc có bậc d và là một ví dụ về đa tạp định thức.
Dễ thấy rằng Cd là đa tạp xuyến với torus

Φ((C∗ )2 ) = Cd ∩ (C∗ )d+1

2.3

(C∗ )2 .

Dàn

Dàn là một nhóm aben tự do có hạng hữu hạn. Do đó một dàn có hạng

n là đẳng cấu với Zn . Chẳng hạn, một torus TN có dàn M các đặc trưng
và N các nhóm con một tham số.
Cho một torus TN với dàn đặc trưng M , tập A = {m1 , ..., ms } ⊆ M
cho đặc trưng χmi : TN → C∗ . Khi đó xét ánh xạ
ΦA : TN → Cs
xác định bởi

ΦA (t) = (χm1 (t), ..., χms (t)) ∈ Cs .
Định nghĩa 2.3.1. Cho một tập hữu hạn A ⊆ M, đa tạp xuyến afin YA
được định nghĩa là bao đóng Zariski của ảnh của ánh xạ ΦA .