Về đại số lie nửa đơn và đại số lie đơn

❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

❚r➬♥ ❍✉② ❍➢♥❣

❱Ò ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥
✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥

❚ã♠ t➽t ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻



❇é ❣✐➳♦ ❞ô❝ ✈➭ ➤➭♦ t➵♦
❚r➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤

❚r➬♥ ❍✉② ❍➢♥❣

✈Ò ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥
✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥
❈❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤✿ ❍×♥❤ ❤ä❝✲❚➠♣➠
▼➲ sè✿ ✻✵✳✹✻✳✶✵

❚ã♠ t➽t ❧✉❐♥ ✈➝♥ t❤➵❝ sÜ t♦➳♥ ❤ä❝

◆❣➢ê✐ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝✿

P●❙✳❚❙✳ ◆❣✉②Ô♥ ❍÷✉ ◗✉❛♥❣

❱✐♥❤ ✲ ✷✵✵✻


✶

▼ô❝ ❧ô❝
▼ô❝ ❧ô❝

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶

▼ë ➜➬✉

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✷

❈❤➢➡♥❣ ✶ ✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡

✶✳✶

✹

➜➵✐ sè ▲✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✹

✶✳✶✳✶

❈➳❝ t♦➳♥ tö ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✺

✶✳✶✳✷

■➤➟❛♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè ▲✐❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✻

✶✳✷

➜➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✼

✶✳✸

❉➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✽

❈❤➢➡♥❣ ✷ ✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥

✶✵

✷✳✶

➜➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✵

✷✳✷

➜Þ♥❤ ❧ý ❈❛rt❛♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✷

✷✳✸

➜➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✸

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

✶✽

❑Õt ▲✉❐♥

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦

✶✾


✷

▼ë ➤➬✉

◆❤➢ ❝❤ó♥❣ t❛ ➤➲ ❜✐Õt✱ tr♦♥❣ sù ♣❤➳t tr✐Ó♥ ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ❧✉➠♥ ①➯② r❛ ❤❛✐ q✉➳
tr×♥❤ s♦♥❣ s♦♥❣✱ ➤ã ❧➭ sù ♣❤➞♥ t❤➭♥❤ ♥❤✐Ò✉ ♥❣➭♥❤ ➤Ó ❝ã sù ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ♥❣➭② ❝➭♥❣
s➞✉ s➽❝✱ ♠➷t ❦❤➳❝ ❝ã sù ❦Õt ❤î♣ ❝➳❝ ♥❣➭♥❤ t♦➳♥ ❤ä❝ ✈í✐ ♥❤❛✉ ➤Ó ❝ã ♥❤÷♥❣ t❤➭♥❤
tù✉ ❧í♥✳ ❱➭♦ ❝✉è✐ t❤Õ ❦û ✶✾ tr♦♥❣ ❝➳❝ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ❝ñ❛ ❳➠♣❤✉① ▲✐❡ ✭✶✽✹✷✲✶✽✾✾✮
✈➭ P❤➟❧✐① ❑❧❡✐♥ ✭✶✽✹✾✲✶✾✷✺✮ ➤➲ ①✉✃t ❤✐Ö♥ sù ❦Õt ❤î♣ ❣✐÷❛ ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ ✈➭
❤×♥❤ ❤ä❝ ❘✐❡♠❛♥✳ ❙ù ❦Õt ❤î♣ ♥➭② ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ♥❤÷♥❣ ❝➠♥❣ tr×♥❤ ♠ë ➤➬✉ ❝ñ❛
♠ét ❧ý t❤✉②Õt ♠í✐✱ ➤ã ❧➭ ❧ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ ▲✐❡ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ❱× ✈❐② ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❧➭
♠ét ❜é ♣❤❐♥ r✃t ❝➡ ❜➯♥ ✈➭ q✉❛♥ trä♥❣ ❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝ ❤✐Ö♥ ➤➵✐✱ ♥ã ➤➢î❝ ①❡♠ ❧➭
sù ❦Õt ❤î♣ ❣✐÷❛ ❍×♥❤ ❤ä❝✲❚➠♣➠✱ ●✐➯✐ tÝ❝❤ ✈➭ ➜➵✐ sè✳
▲ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ ▲✐❡ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➝ ✈➭ ➤❛♥❣ ➤➢î❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ♥❤✐Ò✉ tr♦♥❣ ❝➳❝
♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈Ò ❧ý t❤✉②Õt ❤Ö ➤é♥❣ ❧ù❝✱ ❱❐t ❧ý ❧➢î♥❣ tö ✈➭ ❝➳❝ ♥❣➭♥❤ ❦❤➳❝ ♥❤❛✉
❝ñ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ➜➷❝ ❜✐Öt ♥ã ➤➢î❝ ①❡♠ ♥❤➢ ♠ét ❝➠♥❣ ❝ô q✉❛♥ trä♥❣ ➤Ó ♥❣❤✐➟♥
❝ø✉ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❤×♥❤ ❤ä❝ tr➟♥ ❝➳❝ ➤❛ t➵♣ ❘✐❡♠❛♥✳
❍✐Ö♥ ♥❛②✱ ❧ý t❤✉②Õt ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➲ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ♥❤✐Ò✉ t➭✐ ❧✐Ö✉ ✈➭ ➤➢î❝
✈✐Õt ❜ë✐ ♥❤✐Ò✉ ♥❤➭ t♦➳♥ ❤ä❝ ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ♥❤➢ ❙❡rr❡✱ ❍❡❧❣❛s♦♥✱ ✳✳✳ ✈➭ ♠ét ♣❤➬♥ ♠ë
➤➬✉ ❝ñ❛ ♥ã ❝ò♥❣ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❝➳❝ ❜➭✐ ❣✐➯♥❣ ✈Ò ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈➭ ♥❤ã♠ ▲✐❡
❝❤♦ ❝➳❝ ❧í♣ ❝❛♦ ❤ä❝ ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ❍×♥❤ ❤ä❝ ✲ ❚➠♣➠ ë ❝➳❝ tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝✳
▼ô❝ ➤Ý❝❤ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭② ❧➭ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ❝➳❝❤ ❝❤✐ t✐Õt ✈➭ ❝ã ❤Ö
t❤è♥❣ ❝➳❝ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈Ò ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ✈➭ ♥ö❛ ➤➡♥✱ ➤å♥❣ t❤ê✐ ♥➟✉ ❧➟♥ ♠è✐ q✉❛♥
❤Ö ❣✐÷❛ ❝❤ó♥❣ q✉❛ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥æ✐ t✐Õ♥❣ ✈Ò sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❞✉② ♥❤✃t ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛
➤➡♥ t❤➭♥❤ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✱ tõ ➤ã t×♠ t❤✃② ❝➳❝ ø♥❣ ❞ô♥❣ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡
♥ö❛ ➤➡♥✳ ◆❣♦➭✐ r❛ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❝ß♥ ❜æ s✉♥❣ t❤➟♠ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ✈Ò ❝➳❝ ➤➵✐ sè
✃②✳
◆é✐ ❞✉♥❣ ❝❤Ý♥❤ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ tr×♥❤ ❜➭② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤➢➡♥❣ ✿
✲ ❈❤➢➡♥❣ ✶ ✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡


✸
❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝❤ó♥❣ t➠✐ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛
➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ➜➷❝ ❜✐Öt ➳♥❤ ①➵ ❛❞ ✈➭ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ➤➢î❝ tr×♥❤

❜➭② ❝❤✐ t✐Õt✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❝❤➢➡♥❣ ♥➭② ❝➡ ❜➯♥ ➤Ó ♣❤ô❝ ✈ô ❝❤♦ ✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭②
❝❤➢➡♥❣ s❛✉✳
✲ ❈❤➢➡♥❣ ✷ ✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ✈➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✳
➜➞② ❧➭ ❝❤➢➡♥❣ trä♥❣ t➞♠ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✈í✐ ✈✐Ö❝ tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❦❤➳✐ ♥✐Ö♠ ✈Ò
➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✱ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ✈➭ ❝➳❝ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝➡ ❜➯♥ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ✃②✱
❧➭♠ ♥æ✐ ❜❐t ➤➢î❝ sù ❦❤➳❝ ♥❤❛✉ ❣✐÷❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ✈í✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳
➜å♥❣ t❤ê✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝❤✐ t✐Õt ➤Þ♥❤ ❧ý ❈❛rt❛♥✱ ➤Þ♥❤ ❧ý ✈Ò sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➵✐ sè
▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❈❛rt❛♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢î❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛
❤ä❝ ❝ñ❛ t❤➬② ❣✐➳♦ P●❙✲❚❙ ◆❣✉②Ô♥ ❍÷✉ ◗✉❛♥❣✳ ❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❦Ý♥❤
trä♥❣ ✈➭ ❧ß♥❣ ❜✐Õt ➡♥ s➞✉ s➽❝ ➤Õ♥ t❤➬②✳
❚r♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❤ä❝ t❐♣✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ t➵✐ tr➢ê♥❣ ➤➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤ t➳❝ ❣✐➯ ➤➲
♥❤❐♥ ➤➢î❝ sù q✉❛♥ t➞♠✱ ❝❤Ø ❜➯♦ ✈➭ ❣✐ó♣ ➤ì t❐♥ t×♥❤ ❝ñ❛ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ t❤✉é❝
❦❤♦❛ ❚♦➳♥ ✈➭ ❦❤♦❛ ❙❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ➜➠ ▲➢➡♥❣ ■✳
❚➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ tr➞♥ trä♥❣ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➳❝ ❝➠✳
➜➷❝ ❜✐Öt✱ t➳❝ ❣✐➯ ①✐♥ ❜➭② tá sù ❜✐Õt ➡♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ ❣✐➳♦ tr♦♥❣ tæ ❍×♥❤
❤ä❝✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ trù❝ t✐Õ♣ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ✈➭ ❤➢í♥❣ ❞➱♥ t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❦❤♦➳
❤ä❝ ✈➭ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✳
◆❤➞♥ ❞Þ♣ ♥➭② t➳❝ ❣✐➯ ❝ò♥❣ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ➤Õ♥ ❝➳❝ t❤➭♥❤ ✈✐➟♥ ❧í♣ ❈❛♦ ❤ä❝ ✶✷✱
❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ❤×♥❤ ❤ä❝✱ ♥❤÷♥❣ ♥❣➢ê✐ ➤➲ ❝ï♥❣ t➳❝ ❣✐➯ ❤ä❝ t❐♣✱ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ✈➭
tr❛♦ ➤æ✐ tr♦♥❣ s✉èt t❤ê✐ ❣✐❛♥ q✉❛✳ ❳✐♥ ➤➢î❝ ❝➯♠ ➡♥ ❣✐❛ ➤×♥❤✱ ❜➵♥ ❜❒ ➤➲ t➵♦ ♠ä✐
➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ t❤✉❐♥ ❧î✐ ➤Ó t➳❝ ❣✐➯ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ♥❤✐Ö♠ ✈ô✳
❱✐♥❤✱ t❤➳♥❣ ✶✷ ♥➝♠ ✷✵✵✻
❚➳❝ ❣✐➯

số
r ụ t tết
tr

K

t ết

K

ột trờ ó số

0



G

ột

G ột số tr K ế t tr ị t G
: G ì G G

ột s tế tí

(x, y) (x,y)
tờ ý ệ

(x,y) = x ã y ợ ọ é

số

ị ĩ

ột số

G

ớ é

(x,y) = [x, y]

ợ ọ

số ế

t ề ệ s

ớ ọ

x G tì [x, x] = 0

ớ ọ

x, y, z G t ó [x, [y, z]] + [y, [z, x] + [z, [x, y]] = 0

tứ ợ ọ ệ tứ
í ụ

r é t t t tờ
ớ ủ é t ó
ý ệ

R3

3 ề R3 ớ [x, y] tí ó

trở t số

Mn (R) {AA tr n tr R}

ớ tí

[A, B] = AB BA ột số

ệ ề

G ột số ó ớ ọ x, y, z


[x, y] = [y, x]



[x, [y, z]] = [[x, y], z] + [y, [x, z]]

tộ

G t ó

số số t tí trự tế ủ số số


✺
✹✳ ➜➵✐ sè ➤è✐ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡✳
●✐➯ sö
❝ñ❛
✺✳

G

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥

G ❧➭ G0

(x, y) −→ [x, y]

t❤× ➤➵✐ sè ➤è✐

(x, y) −→ [y, x]✳

✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥

DerG = {❚❐♣ t✃t ❝➯ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ G} ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✳
●✐➯ sö

G ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè tr➟♥ K✱ ➳♥❤ ①➵ D : G −→ G ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥

tÝ♥❤ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t

D(x.y) = y.D(x) + x.D(y) ✱ ❣ä✐ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ✈✐ ♣❤➞♥ ❝ñ❛ G

✶✳✶✳✶ ❈➳❝ t♦➳♥ tö ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✷✳

●✐➯ sö

G ✈➭ G

❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉ ▲✐❡ ♥Õ✉

❧➭ ❤❛✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ➳♥❤ ①➵

ϕ : G −→ G ➤➢î❝

ϕ ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈➭ ϕ[x, y] = [ϕ(x) , ϕ(y) ]✳

❈❤ó ý ✶✳✶✳

✲ ♥Õ✉

ϕ ❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉ ▲✐❡ ✈➭ ϕ ❧➭ ♠ét s♦♥❣ ➳♥❤ t❤× ϕ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉

▲✐❡✳
✲ ❍❛✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡

G

✈➭

G

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ✈í✐ ♥❤❛✉ ♥Õ✉ tå♥ t➵✐ ♠ét ➤➻♥❣

❝✃✉ ▲✐❡

ϕ : G −→ G ✳
❚õ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✈➭ ❝➳❝ ❝❤ó ý tr➟♥ t❛ ❞Ô ❝ã✿
✲ ◗✉❛♥ ❤Ö ➤➻♥❣ ❝✃✉ ❧➭ ♠ét q✉❛♥ ❤Ö t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✳
✲ ❑ý ❤✐Ö✉
➤ã

L = {ϕ|ϕ

❧➭ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tõ ➤➵✐ sè ▲✐❡

➤Õ♥ ➤➵✐ sè ▲✐❡

G }✳

❑❤✐

L ❧➭ ♠ét ♥❤ã♠ ✈í✐ ♣❤Ð♣ ♥❤➞♥ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵✳

❱Ý ❞ô ✶✳✷✳

❳Ðt ➳♥❤ ①➵

❳Ðt tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥

V3 ✱ ❧✃② x ∈ V3

✈➭ ❝è ➤Þ♥❤

x✳

Dx : V3 −→ V3
z −→ xz = x ∧ z ✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✷✳

❛✮

G

❑ý ❤✐Ö✉

D1 , D2

αD1 + βD2 ✱ ✈í✐ α, β

t❤✉é❝

t❤×

Dx

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ✈✐ ♣❤➞♥✳

❧➭ ❝➳❝ ➳♥❤ ①➵ ➤➵♦ ❤➭♠ tr➟♥

K ❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ➤➵♦ ❤➭♠✳

G✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã✿


✻
❜✮

D1 .D2 − D2 .D1

❝ò♥❣ ❧➭ ➳♥❤ ①➵ ➤➵♦ ❤➭♠✳

G ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ❱í✐ x ∈ G ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ➳♥❤ ①➵✿

●✐➯ sö

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✶✳

adx : G −→ G
y −→ adx (y) = [x, y]
❑❤✐ ➤ã✿
✶✮

adx

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ ➤➵♦ ❤➭♠✳ ❚❛ ❝ß♥ ♥ã✐

s✐♥❤ ❜ë✐
✷✮

adx

❧➭ ✈✐ ♣❤➞♥ tr♦♥❣ ❝ñ❛

G

x✳

➳♥❤ ①➵ f : G −→ DerG ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❜ë✐ f(x) = adx ❧➭ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉

➤➵✐ sè ▲✐❡✳
◆Õ✉

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✷✳

D

t❤✉é❝

DerG t❤× [D, adx ] = adDx ✱ ∀x ∈ G✳

✶✳✶✳✷ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ ➜➵✐ sè ▲✐❡

●✐➯ sö

A ✈➭ B

❧➭ ❤❛✐ t❐♣ ❝♦♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡

[A, B] = [a, b], a ∈ A, b ∈ B

G tr➟♥ tr➢ê♥❣ K✱ t❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

✳

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✸✳

❛✮ ●ä✐

A

❧➭ ♠ét ♠➠ ➤✉♥ ❝♦♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡

♥Õ✉[A, G]

⊂ A✳

❜✮ ●✐➯ sö

N

♥Õ✉

N

❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ ❝ñ❛

❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ù❝ ➤➵✐ ✈➭

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✶✳

✐✮✳

◆Õ✉

G✳

❑❤✐ ➤ã

N

G✱ A

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ t➞♠ ❝ñ❛

G

G ♥Õ✉ ✈➭ ❝❤Ø

[N, G] = 0✳

A, B, C

❧➭ ❝➳❝ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❝♦♥ ❝ñ❛

G t❤×✿

[A + B, C] ⊂ [A, C] + [B, C]

✐✐✮✳
✐✐✐✮✳

[A, B] = −[B, A]
[G, [A, B]] ⊂ [[G, A], B] + [A, [G, B]]✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✸✳

■➤➟❛♥ ❝ñ❛

G✳

◆Õ✉

A, B

❧➭ ❤❛✐ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡

G t❤× [A, B] ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét


✼
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✹✳

▲✐❡✳ ❑❤✐ ➤ã

●✐➯ sö

G ✈➭ G

❧➭ ❤❛✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ❝ß♥

ϕ : G −→ G

❧➭ ➤å♥❣ ❝✃✉

Ker(ϕ) ❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G✳ (Ker(ϕ) = {x ∈ G|ϕ(x) = 0})

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✺✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✻✳

❑ý ❤✐Ö✉

Ga = {ada |a ∈ G}✳ ❚❤Õ t❤× Ga ❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ DerG✳

❳Ðt ➳♥❤ ①➵

ϕ : G −→ Ga
x −→ adx

❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❝➳❝ ❦❤➻♥❣ ➤Þ♥❤✿
✶✳

ϕ ❧➭ ♠ét ➤å♥❣ ❝✃✉ ▲✐❡

✷✳

Ker(ϕ) ❧➭ t➞♠ ❝ñ❛ G✱ (Ker(ϕ) = TG )

✸✳adϕ(x)

✶✳✷

= ψ.adx .ψ −1 ✱ ✈í✐ ψ

❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ tõ

G ➤Õ♥ G✳

➜➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✹✳

sè ▲✐❡

❈❤♦

G

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ❉➲② ❣✐➯♠ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛ ➤➵✐

G t❤♦➯ ♠➲♥✿

G = A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An ⊃ ...

Ai

■➤➟❛♥ ❝ñ❛

✈➭

Ai /Ai+1

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✺✳

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➲② ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ♥Õ✉

❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ✈í✐ ♠ä✐

✿ ➜➵✐ sè ▲✐❡

Ai+1

❧➭

i = 1, 2, ..., n, ...✳

G ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ♥Õ✉ tr♦♥❣ G

tå♥ t➵✐ ❞➲② ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❤÷✉ ❤➵♥✿

G = A1 ⊃ A2 ⊃ ... ⊃ An = 0✳
❱Ý ❞ô ✶✳✸✳

❛✮ ❈➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥✱ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❧✉ü ❧✐♥❤ ➤Ò✉ ❧➭ ❝➳❝ ➤➵✐

sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✱ ✈× ❝❤ó♥❣ ➤Ò✉ ❝ã ❞➲② t➞♠ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❤÷✉ ❤➵♥✳
❜✮ ●✐➯ sö

V ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ tr➟♥ K ✈➭

F = {V}ni=1

❧➭ ❧➳ ❝ê tr♦♥❣

V✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉✿

BF = {f ∈ EndV|f (Vi ) ⊂ Vi−1 }✳ ❑❤✐ ➤ã BF
▼Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✼✳

●✐➯ sö

G

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡✳ ❑❤✐ ➤ã

❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ ❞➲② ❞➱♥ ①✉✃t ❝ñ❛

G

❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝

G ❧➭ ❤÷✉ ❤➵♥✿ G ⊃ D1G ⊃ ... ⊃ DnG = 0

(D0G = G, D1G = [G, G], D2G = [G1 , G1 ], ..., DnG = [Gn−1 , Gn−1 ])✳


✽
◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✷✳

❚❛ ♥❤❐♥ t❤✃② r➺♥❣ ♥Õ✉

M, N ❧➭ ❤❛✐ ■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ tr♦♥❣ G t❤×

M + N ❝ò♥❣ ❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ tr♦♥❣ G✳
■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❝❤ø❛ ♠ä✐ ■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❦❤➳❝ ❣ä✐ ❧➭ r❛❞✐❝❛♥✳

✶✳✸

❉➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✶✳✻✳

➳♥❤ ①➵

●✐➯ sö

G ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ tr➟♥ tr➢ê♥❣ K

ϕ : G × G −→ K
(x, y) −→ xy = T r(adx ◦ ady )

❑❤✐ ➤ã

ϕ ❧➭ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣ tr♦♥❣ G ✈➭ ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ tr♦♥❣ G✳

❚õ ♥❛② t❛ ❦ý ❤✐Ö✉ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❧➭✿

❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳

✶✳

ϕ(x,y) = x, y

x, y = y, x ; ∀ x, y ∈ G

✷✳

(αx), y = α x, y

✸✳

(x + y), z = x, z + y, z

✹✳

adx (y), z + y, adx (z) = 0
ϕ

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✸✳

●✐➯ sö

❝ù✱ ✭♥❣❤Ü❛ ❧➭

ϕ ❜➯♦ tå♥ tÝ❝❤ ✈➠ ❤➢í♥❣✮✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✶✳✸✳

❧➭ ♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ ▲✐❡

G −→ G

♥❤ã♠ trù❝ ❣✐❛♦ ❝❤Ý♥❤ ❧➭

●✐➯ sö

V

❦❤✐ ➤ã

ϕ❧➭

➳♥❤ ①➵ ➤➻♥❣

❉➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ❜✃t ❜✐Õ♥ ❞➢í✐ t➳❝ ➤é♥❣ ❝ñ❛ ♥❤ã♠ ❝➳❝ ➤➻♥❣ ❝✃✉

▲✐❡✳ ❉♦ ➤ã ♥Õ✉ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❞➢➡♥❣ t❤×

➜Þ♥❤ ❧Ý ✶✳✹✳

✳

G ❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ➡❝❧Ýt ✈➭

GA ✳

✭❚✐➟✉ ❝❤✉➮♥ ❈❛rt❛♥✮✳

❧➭ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝ t➡ ❤÷✉ ❤➵♥ ❝❤✐Ò✉ tr➟♥ tr➢ê♥❣

K

➤ã♥❣ ➤➵✐ sè ✈➭

G ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❝♦♥ ❝ñ❛ EndV✳ ❈➳❝ ➤✐Ò✉ ❦✐Ö♥ s❛✉ ❧➭ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣✿
✶✳ ● ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ❣✐➯✐ ➤➢î❝


✾
✷✳

T r(x ◦ y) = 0; ∀x ∈ G, y ∈ [G, G]✳

✭❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② ①❡♠✿ ❬✽❪✮✳






số ử số
r ú t ó ề số ợ ột

ệ trù ệ số ế ớ số
ợ ò tồ t ớ số ó
ớ số ợ ọ ớ số ử r
ú t sẽ trì ệ tí t ủ ớ số ử



số ử

ị ĩ

số

L ọ ử ế L ó


í ụ

é t ít

ó ớ ủ é t

R3 t tờ ớ ị ĩ[x, y] tí

x y ó R3 trở t ột số

ử
ệ ề

L số ử ỉ r ủ L 0

ét

ệ ề t t số ợ số ử

ớ ủ số
ệ ề

sử

L số N r ủ L tì số t

L/N ử
ệ ề

ó



G=

a b
c a

a, b, c R

G số ử

ét

r ệ ề tr ế t t tết trờ

R ở ột trờ

K t ỳ tì G ử í ụ ế t R ở K trờ ó
số tì

G số ợ ó G ử


✶✶
❇➞② ❣✐ê t❛ ❣✐➯ sö

G1 , G2

❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳ ❑ý ❤✐Ö✉✿

G ❂G1 × G2 = {(g1 , g2 )|g1 ∈ G1 , g2 ∈ G2 }
✈➭ ①➞② ❞ù♥❣ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr♦♥❣
P❤Ð♣ ❝é♥❣✿

G ♥❤➢ s❛✉✿

x ∈ G, y ∈ G ⇒ x + y = (g1 + g1 , g2 + g2 )✳

✈í✐

g1 , g1 ∈ G1

✈➭

g2 , g2 ∈ G2 ✳
P❤Ð♣ ♥❤➞♥ ✈í✐ ♠ét sè✿

∀x ∈ G ❝ã✿ k.x = (kg1 , kg2 )

P❤Ð♣ ♥❤➞♥ tr♦♥❣ ✭tÝ❝❤ ▲✐❡✮✿

[x, y] = ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ])

❑❤✐ ➤ã ❝ã ♠Ö♥❤ ➤Ò✿

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✹✳

G ✈í✐ ❝➳❝ ♣❤Ð♣ t♦➳♥ tr➟♥ ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❉Ô t❤✃②

G

❧➭ ♠ét ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈Ð❝t➡✳ ❚❛ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤

G

❧➭ ♠ét

➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳
❚Ý♥❤ ❦❤Ð♣ ❦Ý♥✿

x = (g1 , g2 ) ∈ G
y = (g1 , g2 ) ∈ G

❚õ ✭✶✮ ✈➭ ✭✷✮⇒
✈×

(1)
(2)

[x, y] = [g1 , g2 ], [g1 , g2 ]) ∈ G

[g1 , g1 ] ∈ G1 , [g2 , g2 ] ∈ G2 ✳

❚Ý♥❤ ♣❤➯♥ ①ø♥❣✿

[x, x] = ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ]) = (0, 0) = 0 ∈ G.

❚Ý♥❤ t❤♦➯ ♠➲♥ ➤Þ♥❤ t❤ø❝ ❏❛❝➠❜✐✿

∀x, y, z ∈ G ❝ã✿ [x, [y, z]] = [x, ([g1 , g1 ], [g2 , g2 ])]

= ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]])
❚➢➡♥❣ tù ✿

[y, [z, x]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]])
[z, [x, y]] = ([g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]])

❙✉② r❛✿

[x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]]

= ([g1 , [g1 , g1 ]]+[g1 , [g1 , g1 ]]+[g1 , [g1 , g1 ]], [g2 , [g2 , g2 ]]+[g2 , [g2 , g2 ]]+[g2 , [g2 , g2 ]]) =
[0, 0]
❚Ý♥❤ ♥ö❛ ➤➡♥✿ ●✐➯ sö tr♦♥❣
❈ã✿

G ❝ã ❝❤ø❛ ■➤➟❛♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❦❤➳❝ 0✳

A = {(a1 , a2 )|a1 ∈ G1 , a2 ∈ G2 }

➜➷t✿

A1 = {a1 |(a1 , a2 ) ∈ A}


✶✷

A2 = {a2 |(a1 , a2 ) ∈ A}
❈ã✿

A1

❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛

❚❤❐t ✈❐②

G1 ✳

∀a1 ∈ A1 , ∀g1 ∈ G1

❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛

❳Ðt

(g1 , g2 ) ∈ G

❝ã

[(a1 , a2 ), (g1 , g2 )] ∈ A

✈×

A

G

⇒ ([a1 , g1 ], [a2 , g2 ]) ∈ A
⇒ [a1 , g1 ] ∈ A1 , ∀g1 ∈ G1
❉♦

A ❧➭ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❝ñ❛ G s✉② r❛ [x, y] = 0, ∀x ∈ A, y ∈ A

❚❤❛②

[(a1 , a2 ), (a1 , a2 )] = 0, ∀a1 , a1 ∈ A1 ; a2 , a2 ∈ A2

⇔ ([a1 , a1 ], [a2 , a2 ]) = 0
⇔ [a1 , a1 ] = 0 ✈➭ [a2 , a2 ] = 0 ✈í✐ a1 , a1 ∈ A1 ; a2 , a2 ∈ A2
❙✉② r❛

❱❐②

✷✳✷

A1

❧➭ ■➤➟❛♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❝ñ❛

G1

s✉② r❛ ✈➠ ❧ý ✭❱×

G1

❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥ ✮

G ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳

➜Þ♥❤ ❧ý ❈❛rt❛♥

➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✶✳

✭➜Þ♥❤ ❧ý ❈❛rt❛♥✮

➜✐Ò✉ ❦✐Ö♥ ❝➬♥ ✈➭ ➤ñ ➤Ó ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡
➤➵✐ sè ▲✐❡

G ♥ö❛ ➤➡♥ ❧➭ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥

G ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✷✳

▼ä✐ ➳♥❤ ①➵ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥

G ➤Ò✉ ❧➭ ➳♥❤ ①➵

ad✳
➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✸✳

●✐➯ sö

G

♣❤➬♥ ❜ï trù❝ ❣✐❛♦ ❝ñ❛

❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✱

N

❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ tr♦♥❣

➤è✐ ✈í✐ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣

B

✈➭

N

B

G✱ N⊥

❧➭

❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳ ❑❤✐ ➤ã

G = N ⊕ N⊥ ✳
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✸✳

▼ä✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ♠ét

r❛❞✐❝❛♥ ✈➭ ♠ét ➤➵✐ sè ♥ö❛ ➤➡♥✳
❱Ý ❞ô ✷✳✷✳

❈❤♦✿

❚❛ tr❛♥❣ ❜Þ ❝❤♦

G = {(x1 , x2 , x3 , x4 , x5 )|x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ∈ R}

G ♣❤Ð♣ tÝ❝❤ ▲✐❡✿ ∀x ∈ G, y ∈ G✳


✶✸

[x, y] = (x1 y2 − x2 y1 , 0, x4 y5 − y4 x5 , x5 y3 − y5 x3 , x3 y4 − y3 x4 )
❑❤✐ ➤ã

G

♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ♠ét r❛❞✐❝❛♥ ✈➭ ♠ét ➤➵✐ sè

▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥

M✳

❚❤❐t ✈❐② ✿ ➜➷t N

= {(x1 , x2 , 0, 0, 0)|x1 , x2 ∈ R}✱ M = {(0, 0, x3 , x4 , x5 )|x3 , x4 , x5 ∈

R}
❑❤✐ ➤ã

M❂G✳

N

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤
❉Ô t❤✃②

N ❧➭ r❛❞✐❝❛♥✳

N ❧➭ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛ G

∀y ∈ G : y = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ), a ∈ N : a = (a1 , a2 , 0, 0, 0).

❈ã✿

[y, a] = (y1 a2 − a2 y1 , 0, 0, 0, 0) ∈ N ⇒ N ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G✳
❈ã

a ∈ N, b ∈ N ⇒ [a, b] = (a1 b2 − a2 b1 , 0, 0, 0, 0) ⇒ [[a, b], [a, b]] =

(0, 0, 0, 0, 0)✳
❱❐②

N ❧➭ ❣✐➯✐ ➤➢î❝✳ ❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ M ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳

❉Ô t❤✃②

M

❧➭ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

G ∀y ∈ G : y = (y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ), a ∈ M : a =

(0, 0, a3 , a4 , a5 )
[y, a] = (0, 0, y4 a5 − y5 a4 , y5 a3 − a5 y3 , y3 a4 − a4 y3 ) ∈ M ⇒ M ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G✳
❳Ðt ➤å♥❣ ❝✃✉✿

ϕ : M → R3

x = (0, 0, x3 , x4 , x5 ) → ϕ(x) = (x3 , x4 , x5 )✳
3
❉Ô t❤✃② ϕ ❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉ ▲✐❡ ⇒ R ∼
= M✳ ❱í✐ tÝ❝❤ ▲✐❡ t➢➡♥❣ ø♥❣ ♠➭ R3
▲✐❡ ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥

⇒ M ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥✳

❚r♦♥❣ ✈Ý ❞ô ♥➭② t❛ ❦❤➠♥❣ ❝➬♥ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤

❧➭ ■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❧í♥ ♥❤✃t✳ ❱×

G = N⊕M

❝ã ♠ét ■➤➟❛♥ ❣✐➯✐ ➤➢î❝ ❧í♥ ❤➡♥

N tr♦♥❣ G✳

✷✳✸

✈í✐ tÝ❝❤

♠➭

M

N

❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥ ♥➟♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ó

➜➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✷✳

➜➵✐ sè ▲✐❡

❦❤➠♥❣ ❝❤ø❛ ■➤➟❛♥ t❤ù❝ sù✳

G

➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➡♥ ♥Õ✉

G

❦❤➠♥❣ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ✈➭

G


✶✹
◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✹✳

➜➵✐ sè ▲✐❡

G ❧➭ ➤➡♥ t❤× G ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥✳

✶✳ ❑❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ❱Ð❝t➡

❱Ý ❞ô ✷✳✸✳

[x, y] = x ∧ y

❦❤✐ ➤ã

R3

R3

t❤➠♥❣ t❤➢ê♥❣ ✈í✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ✳




0 a b


 −a 0 c  a, b, c ∈ R
✷✳ ❳Ðt✿ G =


−b −c 0
❱í✐ ♣❤Ð♣ tÝ❝❤ ▲✐❡ [x, y] = xy − yx✳ ❚❛ ❝ã G ❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✳
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✺✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✹✳

❚Ý❝❤ ❝ñ❛ ❤❛✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✳

▼ä✐ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥

G ➤Ò✉ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➢î❝ t❤➭♥❤ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣

❝ñ❛ ❝➳❝ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ trù❝ ❣✐❛♦ tõ♥❣ ➤➠✐ ♠ét ✭trù❝ ❣✐❛♦ t❤❡♦ ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣✮ ✈➭
❙ù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ♥➭② ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t✳

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❇æ ➤Ò ✷✳✶✳

❈❤♦

➜Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý ♥➭② tr➢í❝ ❤Õt t❛ ❝ã ❜æ ➤Ò s❛✉

G ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥✱ N ❧➭ ♠ét ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G ❝ã✿

✶✳

[N, N⊥ ] = 0

✷✳

I ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ N ⇒ I ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

❚❛ ❝ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤ ❧ý

G = N ⊕ N⊥ ✭❍❛② N ∩ N⊥ = ∅✮
●✐➯ sö
❑❤✐ ➤ã
▼➭

y ∈ [N, N⊥ ] ⇒ y = [a, b] ✈í✐ a ∈ N, b ∈ N⊥
[a, b], n + b, [a, n] = 0 ∀n ∈ N

[a, n] ∈ N ⇒ b, [a, n] = 0

⇒ [a, b], n = 0 ∀n ∈ N
⇒ [a, b] ∈ N⊥ (1)
[a, b], m + b, [a, m] = 0 ∀m ∈ N⊥
♠➭

[a, m] = 0 ∀m ∈ N⊥ ⇒ [a, b], m = 0 ⇒ [a, b] ∈ N⊥ (2)


✶✺

(1)

❚õ

✈➭

(2)

G = g1 + g2
❑❤✐ ➤ã✿

✈➭

✈í✐

N ∩ N⊥ = ∅ ⇒ [N, N⊥ ] = 0.

❉♦

G = N ⊕ N⊥ ⇒ g ∈ G

t❤×

g1 ∈ N, g2 ∈ N⊥

y ∈ I t❤× [y, g] = [y, g1 + g2 ] = [y, g1 ] + [y, g2 ]

I ⊂ N ⇒ [y1 , g2 ] = 0∀g2 ∈ N⊥ , [y, g1 ] ∈ I✭❱× I ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ N✮ ⇒ [y, g] ∈ I

❉♦

❤❛②

I ❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G✳

❚❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤Þ♥❤ ❧ý
◆Õ✉

G ❧➭ ➤➡♥ t❛ s✉② r❛ ➤✐Ò✉ ♣❤➯✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

◆Õ✉

G

❦❤➠♥❣ ❧➭ ➤➡♥✱ ❣✐➯ sö

G = N ⊕ N⊥ ✳

❧ý ✷✳✸ t❛ ❝ã ✿

0, N, N⊥ = 0✳
➤➡♥ t❛ s✉② r❛

❚❛ t❤✃②

N

❧➭ ■➤➟❛♥ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛

❚r♦♥❣ ➤ã

N⊥ ❧➭

✈➭

N ✱ N⊥

G✳

❑❤✐ ➤ã t❤❡♦ ➤Þ♥❤

❧➭ ■➤➟❛♥ ❝ñ❛

♥ö❛ ➤➡♥✳ ❚❤❐t ✈❐② ❣✐➯ sö

[N, N⊥ ] =

G

✈➭

N

❦❤➠♥❣ ❧➭ ♥ö❛

N ❝❤ø❛ ■➤➟❛♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ M ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣✱ ❦❤✐ ➤ã t❤❡♦ ❜æ ➤Ò t❤× M

❧➭ ■➤➟❛♥ ❣✐❛♦ ❤♦➳♥ ❝ñ❛
❱❐② ♥Õ✉

N

N ✈➭ N⊥

G s✉② r❛ ✈➠ ❧ý✳

❝❤➢❛ ➤➡♥ t❛ t✐Õ♣ tô❝ q✉➳ tr×♥❤ ♣❤➞♥ tÝ❝❤ t❛ ➤➢î❝✿

G = N1 ⊕ N2 ⊕ ... ⊕ Nk ✱ [Ni , Nj ] = 0, Ni , Nj = 0✱
✈í✐

∀i, j = 1, 2, 3, ..., ki ; i = j ✳

❇➞② ❣✐ê ❣✐➯ sö

M1 ⊕ M2 ⊕ ... ⊕ Ms

■➤➟❛♥ ➤➡♥✳ ◆Õ✉

Mt

❦❤➳❝ ♠ä✐

❧➭ ♠ét ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ❦❤➳❝ ❝ñ❛

G

t❤➭♥❤ ❝➳❝

Ni (i = 1, k) t❤× [Mt , Ni ] ⊂ Mt ∩ Ni = 0 ♥❣❤Ü❛ ❧➭
k

Mt

t❤✉é❝ t➞♠ ❝ñ❛

G ♥➟♥ Mt = 0 ✭❱× G ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥✮✳ ◆ã✐ ❦❤➳❝ ➤✐ G =

Ni

❧➭

i=1
❞✉② ♥❤✃t✳
✶✳

❍Ö q✉➯ ✷✳✶✳

✷✳

A ❧➭ ➤➡♥ t❤× [A, A] = A

G ❧➭ ♥ö❛ ➤➡♥ t❤× [G, G] = G✳

❍Ö q✉➯ ✷✳✷✳

G ♥ö❛ ➤➡♥✱ A ■➤➟❛♥ ❝ñ❛ G =⇒ G/A ♥ö❛ ➤➡♥✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✻✳

●✐➯ sö

G=

Aα ❀ Aα ➤➡♥ ✈í✐ ♠ä✐ α✳ ❑❤✐ ➤ã ♠ä✐ ■➤➟❛♥ I tr♦♥❣

G ➤Ò✉ ❜➺♥❣ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛ ♠ét sè Aα

♥➭♦ ➤ã✳


✶✻
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✼✳

❈❤♦

G=

Aα

❧➭ ➤➵✐ sè ❧✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✱

S ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✳

ϕ ❧➭ ♠ét t♦➭♥ ❝✃✉ ▲✐❡ tõ G −→ S t❤× tå♥ t➵✐ ✈➭ ❞✉② ♥❤✃t α ➤Ó ϕα
❝✃✉✳ ❚r♦♥❣ ➤ã

ϕα = ϕ|Aα
❧➭

G ♥➟♥ ϕ(Aα ) ❧➭ ■➤➟❛♥ tr♦♥❣ S✳ ❉♦ S ➤➡♥ ♥➟♥ ϕ(Aα ) = S ✈➭ ϕα

❧➭

❉♦

♠ét ➤➻♥❣ ❝✃✉ tõ

Aα −→ S✳

▼➷t ❦❤➳❝✱ ♥Õ✉ ❝ã
❚❛ ❝ã

❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥✱ ✈➭ ❚❛ ❦Ý ❤✐Ö✉

ϕ ❧➭ t♦➭♥ ❝✃✉ ♥➟♥ tå♥ t➵✐ ♠ét ❝❤Ø sè α ➤Ó ϕα = 0✳ ❱× Aα

❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✳

■➤➟❛♥ tr♦♥❣

Aα

❧➭ ♠ét ➤➻♥❣

β = α ♠➭ ϕβ (Aβ ) = S✳

[Aα , Aβ ] = 0

s✉② r❛

0 = ϕ[Aα , Aβ ] = [ϕ(Aα ), ϕ(Aβ )] = [S, S] = S✳

❱➠ ❧ý✳
❱❐②

α ❧➭ ❞✉② ♥❤✃t ➤Ó ϕα

❧➭ ➤➻♥❣ ❝✃✉

❇➞② ❣✐ê t❛ ①Ðt ❧♦➵✐ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ➤➷❝ ❜✐Öt ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥÷❛ ➤➡♥✱ ➤ã ❧➭ ➤➵✐ sè
❝♦♥ ❈❛rt❛♥✳
❈❤♦

G ❧➭ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✱ ①Ðt ➳♥❤ ①➵ adg : G → G ✈í✐ g ∈ G✳

❘â r➭♥❣

adg

t❤Ó ✈✐Õt✿

G = G1 ⊕ H

❝➡ së

❧➭ ♠ét ➳♥❤ ①➵ t✉②Õ♥ tÝ♥❤✳ ❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉

{e1 , e2 , ..., en }

t❤♦➯ ♠➲♥

tr♦♥❣ ➤ã

s❛♦ ❝❤♦

G1

➤➻♥❣ ❝✃✉ t✉②Õ♥ tÝ♥❤ ✈í✐

{e1 , e2 , ..., el } ⊂ H

adg (eα ) = λα .eα ; λα ∈ K

H = ker(adg )✳ ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã

t❛ ❝ã

✈➭

Im(adg )✳

{el+1 , el+2 , ..., en } ⊂ G1

λα = 0, ∀α ∈ {1, 2, ...., l}

✈➭

0, ∀α ∈ {l + 1, l + 2, ..., n}
▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✽✳

❛✮✳

H

❧➭ ♠ét ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❝ñ❛

❜✮✳ ❱í✐ ♠ä✐

G

i = 1, l, α = l + 1, n t❤× [ei , eα ] ❝ò♥❣ ❧➭ ✈❡❝t➡ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ adg

ø♥❣ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣

λα

❇➞② ❣✐ê t❛ tÝ♥❤ ➯♥❤ ❝ñ❛

[eα , eβ ] q✉❛ ➳♥❤ ①➵ adg

α, β ∈ {l + 1, l + 2, ..., n}. ❚❛ ❝ã ✿
[g, [eα , eβ ]] = −[eα , [eβ , g]] − [eβ , [g, eα ]]

❚❛ ❧✃②

✈í✐ ♠ä✐

λα =


✶✼

= −[eα , −λβ eβ ] − [eβ , λα eα ]
= (λβ + λα )[eα , eβ ].
◆❤➢ ✈❐②
✐✮✳

[eα , eβ ] ❝ò♥❣ ❧➭ ✈❡❝t➡ r✐➟♥❣ ❝ñ❛ adg ✳ ❱❐② ❝ã ❝➳❝ ❦❤➯ ♥➝♥❣ ①➯② r❛✿

λ α + λ β = 0✳

[eα , eβ ]

❙✉② r❛

eγ

❝é♥❣ t✉②Õ♥ ✈í✐

♥➭♦ ➤ã✳ ❚ø❝ ❧➭

[eα , eβ ] =

γ
γ
∈ K.
.eγ ; Cαβ
Cαβ
✐✐✮✳ ◆Õ✉
✐✐✐✮✳ ◆Õ✉

l
i
i=1 Cαβ .ei

λα + λβ = 0 s✉② r❛ λβ = −λα ✳ ❱❐② [eα , eβ ] =
λα + λβ

▼➷t ❦❤➳❝

❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣ ❝ñ❛

adg

t❤×

[eα , eβ ] = 0✳

[g, g] = 0✱ ♥➟♥ g ∈ H ✳ ❚õ ➤ã t❛ ❝ã [ei , ej ] = 0; ∀i, j = 1, 2, ..., l✳

❚ã♠ ❧➵✐ t❛ ❝ã ❤Ö s❛✉ ➤➞②✿
✰✮✳

[ei , ej ] = 0; i, j = 1, 2, ..., l

✰✮✳

[ei , eα ] = Ci.α .eα ; i = 1, 2, ..., l

✰✮✳

γ
[eα , eβ ] = Cαβ
.eγ = λγ .eγ ; ✈í✐ γ ∈ {l + 1, l + 2, ..., n}, λγ = λα + λβ .

✰✮✳

[eα , eβ ] = 0❀ ✈í✐ λα + λβ ✳ ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ❣✐➳ trÞ r✐➟♥❣✳

❚❛ ❦ý ❤✐Ö✉
❚❛ ❣ä✐

✈➭

α = l + 1, l + 2, ..., n✳

α(ei ) = Ci.α .

α(ei )

❧➭ ♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣ ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥

♥❣❤✐Ö♠ ❦❤➳❝ ❦❤➠♥❣

α(ei ) t❤➢ê♥❣ ➤➢î❝ ❦ý ❤✐Ö✉ ❧➭

❧➭ ✈❡❝t➡ ♥❣❤✐Ö♠ ø♥❣ ✈í✐

➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ✷✳✸✳

◆❤❐♥ ①Ðt ✷✳✺✳

G

❚❐♣ ❤î♣ ❝➳❝

G✳ ❈➳❝ ✈❡❝t➡ eα

➤➢î❝ ❣ä✐

α(ei )✳

➜➵✐ sè ❝♦♥

H

❝ñ❛

G ➤➢î❝ ❣ä✐ ❧➭ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❈❛rt❛♥ ❝ñ❛ G✳

◆❣➢ê✐ t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ r➺♥❣ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❈❛rt❛♥ ❝ñ❛ ♠ét ➤➵✐

sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥ ➤➢î❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ s❛✐ ❦❤➳❝ ♠ét ♣❤Ð♣ ➤➻♥❣ ❝✃✉✳

▼Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✾✳

➜Þ♥❤ ❧Ý ✷✳✺✳

◆Õ✉

◆Õ✉

➤➵✐ sè ❝♦♥ ❈❛rt❛♥

α + β = 0 t❤× eα , eβ = 0✱ ✈➭ eα , e−α = 0✳

G ❧➭
H

♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✱ t❤× ❞➵♥❣ ❑✐❧❧✐♥❣ ①➳❝ ➤Þ♥❤ tr➟♥

❝ñ❛ ♥ã ❦❤➠♥❣ s✉② ❜✐Õ♥✳


✶✽

❦Õt ❧✉❐♥
▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➵t ➤➢î❝ ♥❤÷♥❣ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ✿
❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét ❝➳❝❤ ❤Ö t❤è♥❣ ❝➳❝ t♦➳♥ tö ❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ tÝ♥❤
❝❤✃t ❝ñ❛ ➳♥❤ ①➵ ❛❞ ✭➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✶❀ ✶✳✷❀ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✶✳✺❀ ✶✳✻✳✮ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ tÝ♥❤ ❝❤✃t
✶✳✶❀ ➤Þ♥❤ ❧ý ✶✳✸✱ ✈Ò ❞➵♥❣ ❑✐❧✐❧❧✐♥❣✳
◆➟✉ ✈Ý ❞ô ✷✳✶✱ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✿ ✷✳✶❀ ✷✳✷✳
P❤➳t ❜✐Ó✉ ✈➭ tù ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✸✱ ✷✳✹ ✳
❳➞② ❞ù♥❣ ✈Ý ❞ô ✷✳✷ ♥ã✐ ❧➟♥ sù ♣❤➞♥ tÝ❝❤ ➤➵✐ sè ▲✐❡ t❤➭♥❤ tæ♥❣ trù❝ t✐Õ♣ ❝ñ❛
♠ét r❛❞✐❝❛♥ ✈➭ ♠ét ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳
P❤➳t ❜✐Ó✉ ❝➳❝ ✈Ý ❞ô ✈➭ ♥➟✉ r❛ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✺ ✈Ò ➤➵✐ sè ▲✐❡ ➤➡♥ ✳
P❤➳t ❜✐Ó✉ ✈➭ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➢î❝ ❤Ö q✉➯ ✷✳✷❀ ♠Ö♥❤ ➤Ò ✷✳✼✳

❚r♦♥❣ t❤ê✐ ❣✐❛♥ tí✐ ❝❤ó♥❣ t➠✐ ❞ù ❦✐Õ♥ sÏ t✐Õ♣ tô❝ ♥❣❤✐➟♥ ❝ø✉ ➤➵✐ sè ❝♦♥ ❈❛rt❛♥
❝ñ❛ ➤➵✐ sè ▲✐❡ ♥ö❛ ➤➡♥✳


✶✾

❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦
❬✶❪

◆❣✉②Ô♥ ❱✐Öt ❉ò♥❣

✭✶✾✾✼✮✱ ❇➭✐ ❣✐➯♥❣ ❝❛♦ ❤ä❝ ✺✱ ❚➭✐ ❧✐Ö✉ ❧➢✉

❤➭♥❤ t➵✐ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✳
❬✷❪

❚r➬♥ ❱✐Öt ❉ò♥❣ ✭✶✾✾✺✮✱ ➜➵✐ ❙è ▲✐❡✱ ❇➭✐ ❣✐➯♥❣ ❝❤✉②➟♥ ➤Ò ❈❛♦
❤ä❝ ❝❤✉②➟♥ ♥❣➭♥❤ ❍×♥❤ ❤♦❝✲ ❚➠♣➠✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✳

❬✸❪

◆❣✉②Ô♥ ❍÷✉ ◗✉❛♥❣ ✭✷✵✵✺✮✱ ❇➭✐ ●✐➯♥❣ ➜➵✐ ❙è ▲✐❡ ✈➭ ◆❤ã♠
▲✐❡✱ ➜➵✐ ❤ä❝ ❱✐♥❤✳

❬✹❪

◆❣✉②Ô♥ ❍♦➭♥❣ P❤➢➡♥❣ ✭✷✵✵✹✮✱ ▲ý t❤✉②Õt ♥❤ã♠ ✈➭ ø♥❣ ❞ô♥❣
✈➭♦ ❱❐t ❧ý ❤ä❝ ❧➢î♥❣ tö✳

❬✺❪

Claude Chevally ✭✶✾✹✻✮✱ ❚❤❡♦r② ♦❢ ▲✐❡ ●r♦✉♣s✱ Pr✐♥❝❡t♦♥ ❯♥✐✲
✈❡rs✐t② ♣r❡ss✳

❬✻❪

Helgason ✭✶✾✼✽✮✱ ❉✐❢❢❡r❡♥t✐❛❧ ●❡♦♠❡tr② ▲✐❡ ●r♦✉♣s ❡♥❞ ❙②♠♠❡t✲
r✐❝ ❙♣❛❝❡✳ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳

❬✼❪

Knapp. A. W ✭✶✾✾✾✮✱ ▲✐❡ ●r♦✉♣ ❇❡②♦♥❞ ❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥✱ Pr♦❣r❡ss
▼❛t❤❡♠❛t✐❝✳❱♦❧✳✶✹✵

❬✽❪

Serre ✭✶✾✻✺✮✱ ❆❧❣❡❜r❡s ❡t ❣r♦✉♣❡s ❞❡ ▲✐❡✱ ❇❡♥❥❛♠✐♥✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳