Tổ chức các tình huống dạy học khái niệm, định lý theo hướng quy nạp phát hiện thể hiện trong dạy học hình học lớp 11 luận văn thạc sỹ giáo dục học

B GIáO DC Và đàO TO
TRUNG I HC VINH

trần thị ngọc lan

Tổ chức các tình huống dạy học khái niệm,
định lý theo hớng quy nạp phát hiện
Thể hiện trong dạy học hình học lớp 11

Chuyên ngành: LL & PPDH Bộ MÔN TOáN
Mã số: 60.14.10

LUN VN THC S GIáO DC HC

Ngi hng dn khoa hc: GS.

TS. Đào Tam

NGH AN - 2011


MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU...............................................................................................................6
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.....................................................................................6
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.............................................................................8
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC.............................................................................8
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU.............................................................................8
5. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU..................................................9
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.....................................................................9
7. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN......................................................9

8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN......................................................................10
NỘI DUNG.........................................................................................................11
Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN...................................................11
1.1. KHÁI NIỆM QUY NẠP PHÁT HIỆN........................................................11
1.1.1. Khái niệm quy nạp.....................................................................................11
1.1.2. Khái niệm phát hiện...................................................................................11
1.2. DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC........................................................12
1.2.1. Khái niệm toán học....................................................................................12
1.2.2. Vị trí và yêu cầu của dạy khái niệm..........................................................13
1.2.3. Các con đường hình thành khái niệm........................................................14
1.2.4. Dạy học định nghĩa khái niệm...................................................................15
1.2.5. Dạy học phân chia khái niệm....................................................................16
1.2.6. Các hoạt động trình tự trong quá trình dạy học khái niệm........................17
1.3. DẠY HỌC ĐỊNH LÝ TOÁN HỌC.............................................................23
1.3.1. Vị trí và yêu cầu của việc dạy học định lý toán học..................................23
1.3.2. Các con đường dạy học định lý.................................................................23
1.3.3. Những hoạt động củng cố định lý.............................................................25
1.3.4. Phát triển năng lực chứng minh toán học.................................................25
1.4. DẠY HỌC CÁC QUY TẮC VÀ PHƯƠNG PHÁP....................................25
1.4.1. Dạy học quy tắc và phương pháp có tính thuật toán.................................26
1.4.2. Dạy học quy tắc và phương pháp có tính tư duy thuật toán......................26
1.4.3. Những quy tắc, phương pháp phi thuật toán.............................................27
1.5. CỤ THỂ HÓA VIỆC DẠY HỌC KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ, QUY TẮC
QUA VẬN DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC..........27
1.5.1. Dạy học khái niệm, định lý, quy tắc theo quan điểm hoạt động...............27
1.5.2. Dạy học khái niệm, định lý, quy tắc theo hướng vận dụng phương pháp
dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề................................................................36
1.5.3. Dạy học khái niệm, định lý, quy tắc theo quan điểm kiến tạo..................39
1.5.4. Dạy học khái niệm, định lý, quy tắc theo quan điểm khám phá................48

3
1.6. KHẢO SÁT THỰC TIỄN DẠY HỌC KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ, QUY TẮC
THEO HƯỚNG QUY NẠP, PHÁT HIỆN Ở TRƯỜNG THPT........................51
1.6.1. Mục tiêu khảo sát thực tiễn.......................................................................51
1.6.2. Công cụ khảo sát.......................................................................................51
1.6.3. Tổ chức khảo sát........................................................................................51
1.6.4. Đánh giá khảo sát......................................................................................52
1.7. NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG VỀ TỔ CHỨC CÁC TÌNH HUỐNG DẠY
HỌC ĐỊNH LÝ, KHÁI NIỆM RÚT RA TỪ CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC
TIỄN....................................................................................................................53
1.8. KẾT LUẬN CHƯƠNG 1.............................................................................55
Chương 2 TỔ CHỨC CÁC TÌNH HUỐNG DẠY HỌC KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÝ
THEO HƯỚNG QUY NẠP PHÁT HIỆN TRONG CHƯƠNG TRÌNH HÌNH
HỌC LỚP 11 Ở TRƯỜNG THPT......................................................................56
2.1. VÀI NÉT VỀ CHƯƠNG TRÌNH HHKG TRONG NHÀ TRƯỜNG THPT
.............................................................................................................................56
2.1.1. Sơ lược nội dung chương trình HHKG lớp 11..........................................56
2.1.2. Đặc điểm nhận thức của học sinh khi học khái niệm, định lý ở phần hình
học không gian lớp 11.........................................................................................58
2.2. DẠY HỌC KHÁI NIỆM THEO HƯỚNG QUY NẠP PHÁT HIỆN CHO
HỌC SINH THPT...............................................................................................64
2.2.1. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học khái
niệm Toán học ở trường THPT theo con đường quy nạp phát hiện....................64
2.2.2. Các mô hình dạy học khái niệm theo con đường quy nạp phát hiện.........72
2.3. DẠY HỌC ĐỊNH LÝ THEO HƯỚNG QUY NẠP PHÁT HIỆN CHO HỌC
SINH THPT.........................................................................................................81
2.3.1. Quy trình tổ chức hoạt động nhận thức của học sinh trong dạy học định lý
ở trường THPT theo con đường quy nạp phát hiện.............................................82
2.3.2. Triển khai các phương pháp dạy học nhằm tổ chức hoạt động nhận thức

của học sinh khi dạy học định lý.........................................................................87
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG 2.............................................................................99
Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM...........................................................100
3.1. MỤC ĐÍCH THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM................................................100
3.2. NỘI DUNG THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM................................................100
3.3. TỔ CHỨC THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM..................................................100
3.3.1. Đối tượng thực nghiệm............................................................................100
3.3.2. Chuẩn bị tài liệu thực nghiệm.................................................................101
3.3.3. Tiến hành thực nghiệm............................................................................102
3.4. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM......................................................................102
3.4.1. Phân tích định tính...................................................................................102
3.4.2. Phân tích định lượng................................................................................104
3.5. KẾT LUẬN CHƯƠNG 3...........................................................................110


4
KẾT LUẬN.......................................................................................................111
TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................................112


LỜI CẢM ƠN
Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TS. Đào Tam, người
thầy đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này trong thời gian qua.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm
khoa sau Đại học, khoa Toán trường Đại học Vinh cùng tất cả các thầy cô giáo
đã tham gia giảng dạy trong suốt quá trình tôi học tập nghiên cứu và hoàn thành
các chuyên đề thạc sĩ khoá 17, chuyên ngành LL và PPDH bộ môn Toán tại
trường Đại học Vinh.
Tôi xin cảm ơn các thầy cô giáo trong Ban giám hiệu, tổ Toán - Tin
trường THPT Phan Đăng Lưu - Yên Thành - Nghệ An - nơi tôi đang công tác

giảng dạy.
Tôi cũng xin cảm ơn các thầy cô giáo thuộc chuyên ngành Lý luận và
Phương pháp giảng dạy bộ môn Toán đã tư vấn và giúp đỡ tôi về tài liệu cũng
như đã có những ý kiến góp ý quý báu cho luận văn của tôi.
Cuối cùng, tôi xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp
- những người luôn cổ vũ động viên tôi để tôi hoàn thành tốt Luận văn này.
Tuy đã có nhiều cố gắng, Luận văn chắc chắn không tránh khỏi những
thiếu sót cần được góp ý, sửa chữa. Rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thầy cô giáo và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả

Trần Thị Ngọc Lan


6

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Đất nước ta đang trong thời kỳ đẩy mạnh công nghiệp hoá, hiện đại
hoá. Chính vì vậy đất nước ta đang cần một nguồn nhân lực dồi dào và có chất
lượng cao. Đó là những người lao động có trình độ khoa học kỹ thuật, năng
động, sáng tạo và có ý thức kỷ luật. Để đạt được những yêu cầu bức thiết đó của
xã hội, trước hết phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo. Vì trong mọi
thời đại, tri thức luôn là nền tảng tiến bộ xã hội, đội ngũ trí thức là lực lượng
nòng cốt sáng tạo và truyền bá tri thức. Ngày nay, cùng với sự phát triển nhanh
chóng của cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại, đội ngũ trí thức trở thành
nguồn lực đặc biệt quan trọng, tạo nên sức mạnh của mỗi quốc gia trong chiến
lược phát triển. Do đó đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới. Một

trong những yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có dạy
học Toán. Những yêu cầu đó đã được thể hiện rõ trong các văn bản sau: Nghị
quyết hội nghị lần thứ 7 Ban chấp hành TW khóa X (2009); kết luận của Bộ
Chính trị về việc thực hiện Nghị quyết Trung ương 2 (2009); luật Giáo dục
(2005). Nghị quyết số 27 - NQ/T.Ư "Về xây dựng đội ngũ trí thức trong thời kỳ
đẩy mạnh công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước”.
1.2. Một trong những nội dung đổi mới dạy học Toán ở trường phổ thông
trong giai đoạn hiện nay là đổi mới cách học; việc dạy học hướng tới thúc đẩy
học sinh biết các phương thức phát hiện vấn đề, phát hiện kiến thức mới,
phương pháp mới, cách sáng tạo có hiệu quả là phù hợp với yêu cầu xã hội, yêu
cầu của sự phát triển khoa học công nghệ trong giai đoạn hiện đại hoá và hội
nhập. Hiện nay khi lượng thông tin ngày càng phong phú thì việc trang bị cho
học sinh những tri thức và phương pháp phát hiện những thông tin mới, phát
hiện cách giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả phải được đặt ra hàng đầu.


7
Với sự đổi mới đó đã góp phần tạo môi trường học tập mà trong đó học
sinh được hoạt động trí tuệ nhiều hơn, có cơ hội để khám phá và kiến tạo tri
thức, qua đó HS có điều kiện tốt hơn lĩnh hội bài học và phát triển tư duy cho
bản thân họ. Tuy nhiên, thực tế cũng còn rất nhiều giáo viên vẫn còn gặp khó
khăn trong việc tiếp cận và thực hiện các PPDH mới, đặc biệt là trong việc dạy
học khái niệm, định lý.
1.3. Việc hình thành hệ thống khái niệm, định lý là nền tảng của toàn bộ
kiến thức, là vốn kiến thức cơ bản, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng
hiệu quả các kiến thức đã học. Đó cũng là cơ hội rất thuận lợi để phát triển ở
học sinh khả năng suy luận và chứng minh, đồng thời góp phần phát triển năng
lực, trí tuệ và thế giới quan duy vật biện chứng cho người học. Ở trường phổ
thông, phương pháp truyền thống để dạy học khái niệm, định lý là nêu khái
niệm, định lý, chứng minh định lý. Giáo viên thường gặp khó khăn khi tạo tình

huống lấy từ thực tiễn khoa học khác để dạy học khái niệm, định lý. Việc khắc
sâu, củng cố khái niệm, định lý còn chưa được quan tâm đầy đủ và đúng mức.
Vì vậy đổi mới phương pháp, khắc phục khó khăn trong dạy học khái niệm,
định lý là nhiệm vụ rất quan trọng.
1.4. Các con đường hình thành khái niệm, định lý là quy nạp và suy diễn.
Theo Nguyễn Cảnh Toàn, quy nạp có vai trò lớn trong việc rèn luyện trí thông
minh cho học sinh và ông chỉ ra rằng: Việc dạy học toán chỉ với mục đích
“truyền thụ kiến thức” sẽ dẫn tới việc coi trọng suy diễn và coi nhẹ quy nạp.
Nhưng nếu đặt vấn đề “rèn luyện óc thông minh sáng tạo” cho học sinh thì vai
trò của “quy nạp” sẽ ngang với “suy diễn”.
1.5. Các con đường dạy học khái niệm, định lý đã được nghiên cứu trong
cuốn phương pháp dạy học môn toán của Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy;
trong luận án tiến sỹ của Nguyễn Phú Lộc; trong tổ chức hoạt động nhận thức
trong dạy học môn toán ở trường THPT của Đào Tam, Trần Trung….


8
Như vậy vấn đề đặt ra nghiên cứu đã được các nhà sư phạm quan tâm, tuy
nhiên việc nghiên cứu để vạch ra con đường dạy học khái niệm định lý như thế
nào để có hiệu quả đối với người giáo viên toán cần phải được tiếp tục quan tâm.
Từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là: “Tổ chức các
tình huống dạy học khái niệm, định lý theo hướng quy nạp phát hiện” thể
hiện trong dạy học Hình học lớp 11.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu hoạt động của giáo viên trong việc thiết kế bài dạy khái niệm
định lý theo hướng chuyển giao nhiệm vụ nhận thức cho học sinh để học sinh
phát hiện khái niệm, định lý, quy tắc.
Vận dụng một số phương pháp dạy học tích cực vào việc dạy học khái
niệm, định lý và quy tắc trong môn Hình học Trung học phổ thông theo cách
tiếp cận phát hiện nhằm góp phần tăng cường đổi mới phương pháp dạy học

toán ở trường THPT trong giai đoạn hiện nay.
3. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Từ việc khai thác tiềm năng sách giáo khoa hiện hành, lí luận dạy học tích
cực và thực tiễn dạy học toán chúng tôi cho rằng: Có thể xây dựng được các tình
huống dạy học để học sinh tương tác, phát hiện các khái niệm, định lý, quy tắc
toán học góp phần nâng cao chất lượng dạy học hình học đáp ứng yêu cầu đổi
mới dạy học hiện nay.
4. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
4.1. Hệ thống hóa cơ sở lý luận về dạy học quy nạp phát hiện. Phân tích
bản chất và hình thức tổ chức của phương pháp dạy học quy nạp phát hiện.
4.2. Phân tích các đặc điểm của hoạt động dạy học khái niệm, định lý và
quy tắc trong Toán học thông qua dạy học hình học lớp 11.
4.3. Nghiên cứu các yêu cầu tổ chức một tình huống dạy học để học sinh
quy nạp, tìm tòi kiến thức phát hiện khái niệm, định lý và quy tắc.


9
4.4. Thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và hiệu quả của một số
biện pháp đã đề xuất trong luận văn.
5. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu, xây dựng một số tình huống sư phạm và cách tổ chức dạy
học các tình huống đó nhằm để học sinh phát hiện kiến thức mới thông qua các
hoạt động trừu tượng hóa, khái quát hóa, tương tự hóa có tác dụng nâng cao hiệu
quả dạy học khái niệm và định lý.
6. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Đề tài nghiên cứu theo hướng đổi mới dạy học toán, chủ yếu sử dụng 3
phương pháp nghiên cứu sau:
6.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về
các vấn đề có liên quan đến đề tài luận văn theo hướng đổi mới dạy học toán.
6.2. Phương pháp điều tra quan sát: Khảo sát thực tiễn ở trường THPT

theo hướng đổi mới chương trình sách giáo khoa thông qua hệ thống câu hỏi,
khảo sát giáo viên, chuyên gia, dự giờ,….
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm
kiểm chứng các quy trình tổ chức dạy học để xem xét tính khả thi và hiệu quả các
biện pháp đã đề xuất trong luận văn.
7. DỰ KIẾN ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
7.1. Về lý luận
Luận văn góp phần thể hiện cụ thể hoá các tình huống dạy học khái niệm,
định lý theo hướng quy nạp phát hiện thông qua dạy học Hình học lớp 11 ở
trường THPT. Luận văn làm sáng tỏ lý luận dạy học khái niệm, định lý theo
hướng quy nạp phát hiện.
7.2. Về thực tiễn
Luận văn bước đầu có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên Sư phạm
Toán và giáo viên Toán ở trường THPT.


10
8. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn có ba chương:
Chương 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chương 2. Tổ chức các tình huống dạy học khái niệm, định lý theo
hướng quy nạp phát hiện trong chương trình hình học
lớp 11 ở trường THPT
Chương 3. Thực nghiệm sư phạm


11

NỘI DUNG
Chương 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. KHÁI NIỆM QUY NẠP PHÁT HIỆN
1.1.1. Khái niệm quy nạp
Quy nạp là phép tìm chân lý căn cứ vào những nhận xét về các sự vật
riêng lẻ rồi đúc lại thành nguyên tắc chung trên cơ sở sử dụng tri thức về
logic học.
Phương pháp quy nạp là một trong những kiểu suy lí và phương pháp
nghiên cứu đi từ cái riêng đến cái chung, từ những sự vật cá biệt tới nguyên lí
phổ biến
Quy nạp được phân thành hai loại chủ yếu: quy nạp đầy đủ và quy nạp
không đầy đủ. Quy nạp đầy đủ là phương pháp dựa trên sự liệt kê đầy đủ các
tiền đề bao quát mọi trường hợp của một hiện tượng để từ đó rút ra kết luận chắc
chắn. Quy nạp không đầy đủ là kiểu suy lí đi từ tiền đề không bao quát mọi
trường hợp của hiện tượng để từ đó rút ra một kết luận chung. Quy nạp đầy đủ
được ứng dụng rất hạn chế trong thực tiễn khoa học; còn Quy nạp không đầy đủ
được ứng dụng rất rộng rãi, nhưng điểm yếu của nó là kết luận được rút ra
không phải là kết luận chắc chắn, chỉ có xác suất đúng nhất định.
Quy nạp đã được đề cập trong các tác phẩm của nhà triết học Hi Lạp cổ
đại Arixtôt (Aristote). Vấn đề này được các nhà triết học - tự nhiên học kinh
nghiệm chủ nghĩa thế kỉ 17 - 18 đặc biệt quan tâm. Bêcơn F. (F. Bacon), Galilê
G. (G. Galilei), Niutơn I. (I. Newton), Min J. X. (J. S. Mill), vv. là những người
có cống hiến lớn trong nghiên cứu các vấn đề của phương pháp quy nạp.
1.1.2. Khái niệm phát hiện
Tiếng Anh là “Discovery”, là sự khám phá.


12
Theo Từ điển Tiếng Việt, phát hiện là ’’tìm thấy cái chưa ai biết’’, nghĩa
là tìm ra cái mới được nhân loại thừa nhận và dùng được trong phạm vi khoa
học và cả phạm vi loại người.

Theo Vũ Cao Đàm thì phát hiện là sự nhận ra những vật thể, những quy
luật xã hội đang tồn tại một cách khách quan.
Theo Nguyễn Hữu Châu [2] thì phát hiện là sự hấp thụ về mặt tinh thần
một khái niệm hay nguyên lý mà một cá nhân đã đúc kết từ một hoạt động thể
chất hay tinh thần.
Phát hiện theo cách hiểu của Bruner là “ngay từ ngày đầu đi học, đứa trẻ
cần phải có những giây phút sung sướng khi phát hiện ra điều mới lạ. Sự phát
hiện đó có thể chỉ là sự hiểu biết về hàng loạt sự kiện xảy ra hàng ngày ở xung
quanh nó và là một phần của cuộc đời nó’’.
Phát hiện theo cách hiểu ở đây không phải là mới đối với nhân loại mà là
mới đối với bản thân chủ thể, và thường được dùng trong nhà trường và đối với
trẻ nhỏ.
Phát hiện trong dạy học Toán ở trường phổ thông được hiểu theo nghĩa:
“tìm thấy cái chính mình chưa biết và có nhu cầu muốn biết" dùng theo nghĩa
này để chỉ rõ vai trò của học sinh trong việc tìm ra tri thức mới hay nguyên lý
mới. Phát hiện chưa thể áp dụng trực tiếp, chỉ có thể được áp dụng thông qua
các giải pháp.
Xuất phát từ hai khái niệm trên chúng ta có thể hiểu quy nạp phát hiện
trong dạy học Toán ở trường phổ thông là phương thức giáo viên đưa ra các tình
huống ủy thác cho học sinh từ vốn tri thức đã có tích cực, chủ động tìm tòi, thảo
luận để phát hiện ra kiến thức mới làm thay đổi nhận thức bản thân.
1.2. DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC
1.2.1. Khái niệm toán học
Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng.


13
Do đó khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện:
- Lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên.
- Các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của

khái niệm.
Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ có tính quy luật: Nội hàm càng
mở rộng thì ngoại diên càng hẹp và ngược lại.
Ví dụ: Xét về ngoại diên hình bình hành chứa hình chữ nhật, hình thoi,
hình vuông nhưng các thuộc tính của hình chữ nhật lại chứa thuộc tính hình
bình hành
1.2.2. Vị trí và yêu cầu của dạy khái niệm
Trong môn toán việc dạy học khái niệm toán học có vị trí hàng đầu. Việc
hình thành một hệ thống các khái niệm là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán
học của học sinh, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến
thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thế
giới quan duy vật biện chứng cho học sinh.
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trường THPT phải dần làm cho
học sinh đạt được những yêu cầu sau:
• Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm
• Biết nhận dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là
biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước.
• Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm.
• Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động
giải toán và ứng dụng thực tiễn.
• Nắm được mối quan hệ của khái niệm với các khái niệm khác trong
một hệ thống các khái niệm, biết phân loại khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau. Song không phải các yêu
cầu lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau đối với từng khái niệm.


14
1.2.3. Các con đường hình thành khái niệm
- Con đường suy diễn;
- Con đường quy nạp;

- Con đường kiến thiết;
a, Con đường suy diễn
-Việc định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà
học sinh đã biết.
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm.
- Phát biểu định nghĩa bằng một cái tên mới và định nghĩa nó nhờ một
khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong kn
tổng quát đó.
-Sau khi định nghĩa theo con đường này, cần thiết phải lấy thí dụ cụ thể để
chứng tỏ rằng khái niệm được định nghĩa như vậy được thực sự tồn tại
Ví dụ: Định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi như là trường hợp riêng của
hình bình hành.
b, Con đường quy nạp
Xuất phát từ đối tượng riêng lẻ, mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,... giáo
viên dẫn dắt để học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa tìm
ra dấu hiệu đăc trưng của khái niệm ở các trường hợp cụ thể từ đó đi đến định
nghĩa hay một sự hiểu biết trực giác khái niệm đó tùy theo yêu cầu của
chương trình.
Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể,
trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những
thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi.
Quá trình hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp chứa đựng khả
năng phát triển những năng lức trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quát hóa, so
sánh. Vì thế, cần phải chú trọng khai thác khả năng này.


15
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường quy nạp
- GV đưa ra một số ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của

một loạt đối tượng nào đó.
- Dẫn dắt HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các
đối tượng đang xem xét.
- Gợi mở cho HS phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên và đặc trưng
của khái niệm.
c, Con đường kiến thiết
Kết hợp những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn.
Quy trình tiếp cận khái niệm theo con đường kiến thiết.
- Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được
hình thành hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định xuất phát từ nội bộ
môn toán.
- Khái quát hóa quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới đặc
điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành.
- Phát biểu định nghĩa.
1.2.4. Dạy học định nghĩa khái niệm
1.2.4.1. Các cách định nghĩa
Việc hình thành khái niệm thường kết thúc bằng định nghĩa khái niệm..
Định nghĩa một khái niệm là một thao tác lôgic nhằm phân biệt một lớp
dối tượng, thường bằng cách chỉ ra nội hàm của khái niệm đó. Có những cách
khác nhau để định nghĩa khái niệm.
- Để định nghĩa một khái niệm mới dựa vào khái niệm đã biết. Định nghĩa
và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay
thế cái được định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngược lại. Sự thay thế như
vậy rất hay được sử dụng khi chứng minh định lý hay giải toán.
Nhưng không phải tất cả các khái niệm toán học đều được định nghĩa.
Những khái niệm xuất phát đầu tiên không được định nghĩa qua các khái niệm


16
khác của hệ thống lý thuyết đã cho, bởi vì trong hệ thống này trước chúng không

có một khái niệm nào. Nhưng điều đó không có nghĩa là những khái niệm đầu
tiên này không được định nghĩa. Thực ra các khái niệm xuất phát này được định
nghĩa một cách không tường minh, gián tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung
của chúng hay bằng những tiên đề. Khái niệm đó được gọi là những khái niệm
nguyên thủy.
Ví dụ: Khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng.
Đối với những khái niệm như vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua
những ví dụ cụ thể giúp học sinh hình dung được hình ảnh, hiểu được ý nghĩa
của khái niệm ấy.
1.2.4.2. Các yêu cầu của một định nghĩa
Đối với một định nghĩa, ta không thể nói rằng nó đúng hay sai. Một định
nghĩa có thể hợp lí hay không hợp lí phụ thuộc vào sự thỏa mãn hay không thỏa
mãn những yêu cầu tối thiểu của định nghĩa.
Yêu cầu quan trọng nhất là định nghĩa không được vòng quanh. Việc vi
phạm quy tắc này thể hiện ở chỗ cái được định nghĩa lại chứa đựng trong cái
dùng để định nghĩa
1.2.5. Dạy học phân chia khái niệm
“Định nghĩa một khái niệm (ở dạng tường minh hoặc không tường minh),
thì nội hàm và ngoại diên của nó được xác định. Ngoại diên của khái niệm được
sáng tỏ hơn nữa nhờ sự phân chia khái niệm. Biết phân chia khái niệm là một
trong những biểu hiện của việc nắm vững những khái niệm toán học”
Để HS biết phân chia khái niệm, trước hết cần cho họ hiểu đúng thế nào là
phân chia khái niệm. Một khái niệm có ngoại diên tương ứng là A được phân
chia thành các khái niệm có ngoại diên tương ứng là A 1, A2,… An có nghĩa là
các điều kiện sau đây thỏa mãn:
i) A1 ≠ ∅ với i = 1, 2,… n;
ii) A1 ∩ Aj = ∅ với i ≠ j


17

iii)

n

UA
i =1

i

=A

Trong việc dạy học các khái niệm, bao giờ cũng phải nêu lên mối quan hệ
giữa các khái niệm, đặt khái niệm mới vào hệ thống các khái niệm đã có sẵn, tức
là sau mỗi phần, mỗi chương cần phải hệ thống hóa các khái niệm.
Ý nghĩa của hoạt động phân loại, hệ thống các khái niệm (một trong
những dạng quan trọng của hoạt động trí tuệ) vượt xa ra khỏi phạm vi của việc
nắm vững các kiến thức của toán học; nó cần thiết cho bất kỳ lĩnh vực hoạt động
nào của con người. Vì thế những tri thức và kỹ năng về mặt này cần được lưu ý
thích đáng.
1.2.6. Các hoạt động trình tự trong quá trình dạy học khái niệm
1.2.6.1. Cơ chế hoạt động của một khái niệm.
a) Cơ chế công cụ
Một khái niệm hoạt động dưới dạng công cụ (hay cơ chế công cụ) nếu nó
được sử dụng như là một phương tiện để giải quyết một vấn đề nào đó.
•

Khái niệm có cơ chế “công cụ ngầm ẩn”, khi nó được sử dụng một cách

không ý thức bởi chủ thể, chủ thể không thể trình bày hay giải thích được về
việc dùng khái niệm.

•

Ngược lại, nếu chủ thể ý thức được về việc sử dụng khái niệm và có thể

trình bày hay giải thích nó, thì ta nói đến cơ chế “công cụ tường minh”.
Ví dụ: Tại Cộng hòa Pháp, trong một tình huống bàn về diện tích của một
hình vuông ở lớp 7, trước câu hỏi: “Có hay không một hình vuông diện tích là
12?”, một học sinh trả lời: “Nếu cạnh là 3 cm thì diện tích là 9, còn nếu cạnh là
4 cm thì diện tích là 16. Do đó, khi cạnh thay đổi từ 3 đến 4, phải có một thời
điểm mà diện tích là 12”.
Ở đây, học sinh đã dùng một cách ngầm ẩn khái niệm “hàm số liên tục
trên một khoảng” và tính chất của nó, nhưng không ý thức về việc vận dụng này.
b) Cơ chế đối tượng


18
Khái niệm có cơ chế “đối tượng”, khi mà nó là đối tượng nghiên cứu
được định nghĩa, được khai thác các tính chất,...
Hình thức thể hiện của khái niệm
Y.Chevallard (1991) phân biệt ba kiểu khái niệm khác nhau:
•

Khái niệm tiền toán học: đó là các khái niệm có tên, không có định

nghĩa. Chúng chỉ hiện diện một cách ngầm ẩn
•

Khái niệm gần toán học: có tên nhưng không có định nghĩa. Chúng là

công cụ của toán học, nhưng không phải là đối tượng nghiên cứu (khái niệm

“tham số”,...).
•

Khái niệm toán học: có tên và có định nghĩa. Chúng vừa là đối tượng

vừa là công cụ của hoạt động toán học.
Việc phân biệt các kiểu khái niệm như trên chỉ là tương đối, vì nó phụ
thuộc vào cấp độ, thời gian, phạm vi toán học, vào chủ thể của hoạt động,...
1.2.6.2. Các tiến trình dạy học khái niệm
Ta phân biệt hai tiến trình chủ yếu trong dạy học các khái niệm toán học:
•

“Đối tượng Công cụ”

•

‘‘Công cụ Đối tượng Công cụ”

a) Tiến trình Đối tượng Công cụ theo con đường quy nạp
Bước 1. Giải các bài toán và phác thảo định nghĩa khái niệm
Mục đích của bước này là hình thành (hay điều chỉnh) biểu tượng về khái
niệm; khám phá thuộc tính đặc trưng của khái niệm và phác thảo định nghĩa của
khái niệm.


19

Sơ đồ hóa tiến trình dạy học khái niệm theo con đường quy nạp
Cụ thể hơn, giáo viên tổ chức cho học sinh làm việc trên các đối tượng
(mô hình, hình vẽ, đồ thị, các ví dụ hay phản ví dụ, các bài toán,...), trong đó

khái niệm xuất hiện dưới hình thức gần toán học. Học sinh, với sự hướng dẫn
của giáo viên, sẽ khám phá dần các thuộc tính bản chất của khái niệm thể hiện
trong các trường hợp cụ thể đã cho, nhờ vào các thao tác tư duy phân tích, so
sánh và tổng hợp. Từ đó, bằng thao tác khái quát hóa, trừu tượng hóa, học sinh
trình bày phác thảo ban đầu về định nghĩa của khái niệm.
Như vậy, học sinh được tiếp xúc với khái niệm trước khi định nghĩa nó.
Qua quan sát, phân tích các trường hợp cụ thể mà hình thành (hay điều chỉnh)
biểu tượng về khái niệm.
Tên của khái niệm thường do giáo viên thông báo vào một thời điểm
thích hợp.
Như vậy, trong bước này, khái niệm chuyển dần từ hình thức gần toán học
đến hình thức toán học.


20
Bước 2. Trình bày định nghĩa khái niệm
Giáo viên cùng học sinh tìm cách điều chỉnh định nghĩa vừa phác thảo,
sau đó trình bày định nghĩa chính thức của khái niệm và các kí hiệu liên quan.
Bước 3. Củng cố và vận dụng khái niệm
Theo con đường này khái niệm chủ yếu xuất hiện với cơ chế đối tượng.
b) Tiến trình Công cụ Đối tượng Công cụ
Tiến trình này đặt cơ sở trên hai quan niệm có nguồn gốc khoa học luận:
•

Trong lịch sử nảy sinh và phát triển của các đối tượng toán học, hầu hết

các khái niệm đều xuất hiện trước hết trong cơ chế công cụ ngầm ẩn sau đó mới
hoạt động với cơ chế đối tượng. Khi đã có vị trí chính thức của một khái niệm,
nó lại đóng vai trò công cụ tường minh.
•

Trong toán học, vấn đề (cần giải quyết), ý tưởng và công cụ hình thành

nên ba phần chủ yếu của hoạt động toán học. Trong đó vấn đề là động cơ của
nghiên cứu, công cụ là phương tiện để giải quyết vấn đề, ý tưởng là cầu nối
trung gian giữa vấn đề và công cụ. Trong mối quan hệ này, vấn đề đóng vai trò
mấu chốt, công cụ chính là mầm mống nảy sinh đối tượng tri thức mới.

Sơ đồ tiến trình dạy học khái niệm theo con đường:
Công cụ → Đối tượng → Công cụ


21
Các bước chủ yếu của tiến trình:
•

Bước 1: Giải các bài toán

Vấn đề là phát hiện và trình bày các bài toán cần giải quyết, khám phá ý
tưởng và công cụ giải, sau đó tiến hành giải.
Khái niệm sẽ xuất hiện dưới hình thức tiền toán học với vai trò công cụ
ngầm ẩn để giải quyết các bài toán.
•

Bước 2: Trình bày định nghĩa

Nêu tên và định nghĩa của khái niệm cùng các kí hiệu có liên quan (từ
bước 2 này, khái niệm lấy hình thức toán học).
•

Bước 3: Củng cố và vận dụng

Cấu trúc của con đường quy nạp trong hai tiến trình trên có sự khác biệt
rất cơ bản. Mặc dù, đều xuất phát từ “Giải các bài toán”, nhưng tiến trình đối
tượng công cụ theo con đường quy nạp của khái niệm có cơ chế đối tượng và
hiện diện trước hết như là một khái niệm gần toán học, sau đó mới chuyển dần
sang hình thức toán học. Ngược lại, ở tiến trình thứ hai, khái niệm hoạt động với
cơ chế “công cụ ngầm ẩn” và dưới hình thức tiền toán học.
Ví dụ:
Bước 1: Giải các bài toán
Vận tốc trung bình
Nêu (nhắc lại) bài toán vật lí tương ứng và nhấn mạnh rằng biểu thị độ
nhanh chậm của chuyển động trong khoảng thời gian giữa t0 và t.
Câu hỏi gợi vấn đề: Đại lượng nào biểu thị độ nhanh hay chậm của
chuyển động tại chính thời điểm t0?
Bài toán vận tốc tức thời
Bài toán: Một chất điểm chuyển động thẳng trên trục OS theo phương
trình S = f(t). Tìm đại lượng biểu thị độ nhanh chậm của chuyển động tại chính
thời điểm t0.


22
Ý tưởng: nhận xét rằng nếu khoảng thời gian giữa t và t0 càng bé thì VTB
càng biểu thị trung thực hơn độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.
Điều này làm nảy sinh ý tưởng “Chuyển qua giới hạn”(1) biểu thức xác định
VTB.
Như vậy, giới hạn (1) , nếu có, chính là đại lượng biểu thị chính xác nhất
độ nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm t0.
Công cụ: giới hạn (1) trở thành công cụ cho phép xác định độ nhanh chậm
của chuyển động tại thời điểm t0 và được gọi là “Vận tốc tức thời” của chuyển

động tại t0 (từ đó, nêu định nghĩa của khái niệm vận tốc tức thời và giải các bài
toán vận dụng).
Câu hỏi mới: Có thể sử dụng giới hạn dạng trên để giải các bài toán nào
khác?
Bài toán tiếp tuyến của đường cong
Giải quyết tương tự như trường hợp bài toán trên để đi tới khẳng định giới
hạn (1) là công cụ cho phép xác định tiếp tuyến (bằng cách xác định hệ số góc
của nó).
Trong việc giải hai bài toán đã cho, đạo hàm đã hiện diện ngầm ẩn qua
giới hạn dạng (1). Tuy nhiên bản thân thuật ngữ Đạo hàm” và định nghĩa của nó
chưa được nêu lên.
Bước 2: Trình bày định nghĩa
Giáo viên nhấn mạnh vai trò “công cụ” của giới hạn dạng (1) trong việc
giải quyết các bài toán không chỉ trong toán học, mà cả trong vật lí, trong hóa
học,... Từ đó nêu tên “Đạo hàm” và tổ chức cho học sinh phát biểu định nghĩa.
Như vậy, khái niệm đạo hàm đã nảy sinh nhờ vào thao tác khái quát hóa
các giới hạn đã được vận dụng như công cụ trong các tình huống cụ thể trước.
Chú ý
Trong bước “củng cố và vận dụng” của các tiến trình đã nêu, các pha
trong đó khái niệm hoạt động với cơ chế “đối tượng” và các pha trong đó khái


23
niệm có cơ chế “công cụ”, không phải luôn luôn được đề cập một cách liên tục
và tuyến tính. Chúng có thể xuất hiện xen kẽ nhau, hay được đề cập ở những
thời điểm và cấp độ khác nhau. Hơn nữa, “vận dụng” cũng có chức năng củng
cố, ở đây chỉ mới nói đến củng cố bước đầu.
1.3. DẠY HỌC ĐỊNH LÝ TOÁN HỌC
1.3.1. Vị trí và yêu cầu của việc dạy học định lý toán học
Dạy các định lý toán học nhằm cung cấp cho học sinh một trong những

vốn kiến thức cơ bản của bộ môn. Đó cũng là những cơ hội rất thuận lợi để phát
triển ở học sinh khả năng suy luận và chứng minh, góp phần phát triển năng lực
trí tuệ.
Việc dạy học các định lý Toán học nhằm đạt được các yêu cầu sau đây:
- HS nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng, từ đó
có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các
vấn đề trong thực tiễn.
- HS thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng
minh định lý là một yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực
Toán học.
- HS hình thành và phát triển năng lực chứng minh Toán học, từ chỗ hiểu
chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy
nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu chương trình phổ thông.
1.3.2. Các con đường dạy học định lý
Trong việc dạy học những định lý Toán học, người ta phân chia hai con
đường: con đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này
được minh họa bằng sơ đồ sau:


24
Gợi động cơ phát hiện định lý

Suy đoán và phát biểu định lý

Suy diễn dẫn tới định lý
dẫn tới định lý

Chứng minh định lý

Phát biểu định lý

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề

Củng cố định lý

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đường đó là ở chỗ: theo con đường có
khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lý, còn ở
con đường suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước.
a. Con đường có khâu suy đoán
- Gợi động cơ lập định lý xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực
tiễn hoặc trong nội bộ Toán học.
- Dự đoán và phát biểu định lý dựa vào những phương pháp nhận thức
mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa,
khái quát hóa một định lý đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến, xét mối liên
hệ và phụ thuộc,…
- Chứng minh định lý, trong đó đặc biệt chú ý việc gợi động cơ chứng
minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương
pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc kết luận logic thường
dùng.
Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc
chứng minh một số định lý có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông.
- Vận dụng định lý vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt ra khi
gợi động cơ.


25
- Củng cố định lý, khâu này được trình bày chung cho cả hai con đường.
b. Con đường suy diễn
- Gợi động cơ học tập định lý như ở con đường thứ nhất.
- Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dùng suy diễn logic dẫn

tới định lý.
- Phát biểu định lý
- Vận dụng định lý, giống như ở con đường có khâu suy đoán.
- Củng cố định lý, khâu này sẽ được trình bày chung cho cả hai con đường.
Việc đi theo con đường nào không phải tùy tiện mà phụ thuộc nội dung
định lý và tùy theo điều kiện cụ thể về học sinh.
1.3.3. Những hoạt động củng cố định lý
Trong dạy học định lý, ta cần củng cố kiến thức bằng cách cho họ tập
luyện những hoạt động:
- Nhận dạng và thể hiện định lý
- Hoạt động ngôn ngữ.
- Khái quát hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa định lý.....
1.3.4. Phát triển năng lực chứng minh toán học
Trong dạy học định lý, khâu rất quan trọng là phát triển ở học sinh năng
lực chứng minh toán học. Trên quan điểm hoạt động ta cần lưu ý giải quyết các
vấn đề sau:
- Gợi động cơ chứng minh
- Rèn luyện cho học sinh những hoạt động thành phần trong chứng minh
- Truyền thụ những tri thức phương pháp về chứng minh
- Phân bậc hoạt động chứng minh
1.4. DẠY HỌC CÁC QUY TẮC VÀ PHƯƠNG PHÁP
Thực ra, những quy tắc, phương pháp không hoàn toàn độc lập với định
nghĩa và định lý. Có những quy tắc, phương pháp dựa vào một định nghĩa hay