Một số kết quả về biểu diễn nhóm hữu hạn luận văn tốt nghiệp đại học

1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
********************

LÊ THỊ LƯƠNG TRANG

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC
NGÀNH TOÁN HỌC

Vinh – 2011


2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
********************

LÊ THỊ LƯƠNG TRANG

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
ThS. NGUYỄN QUỐC THƠ

Vinh – 2011

3

MỤC LỤC
Trang
Lời nói đầu...........................................................................................................1
Chương 1. KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM..............................................................3
§ 1: Định nghĩa biểu diễn.........................................................................3
§ 2: Đặc trưng của biểu diễn................................................................... 4
§ 3: Vành biểu diễn..................................................................................6
Chương 2. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN ........................9
§ 1: Biểu diễn của nhóm Aben. ..............................................................9
§ 2: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng.........................................................15
§ 3: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng tổng quát.........................................26
§ 4: Biểu diễn chính quy tổng quát bởi ma trận.....................................29
Kết luận..............................................................................................................36
Tài liệu tham khảo.............................................................................................37


4

LỜI NÓI ĐẦU
Như chúng ta đã biết nhóm là một trong những đối tượng cơ bản, cổ điển
nhất của toán học. Nó được mô tả bằng định nghĩa nhóm, mô tả bằng ánh xạ
đẳng cấu, mô tả bằng một tập sinh và quan hệ giữa chúng, biểu diễn của nhóm.
Lý thuyết biểu diễn nhóm là một lý thuyết có rất nhiều ứng dụng không chỉ
trong toán học mà còn trong nhiều ngành khoa học khác.
Nội dung của khoá luận hệ thống lại và chứng minh một số kết quả về
biểu diễn nhóm hữu hạn. Khoá luận được chia làm hai chương.

CHƯƠNG I. KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM
Nội dung chương này là nhắc lại các khái niệm cơ bản của một biểu diễn
nhóm hữu hạn, từ đó đưa ra các tính chất đặc trưng của một biểu diễn…Các khái
niệm này là các khái niệm cơ bản cần thiết phục vụ cho chương II. Cụ thể được
thể hiện qua các mục sau.
§ 1: Định nghĩa biểu diễn.
§ 2: Đặc trưng của biểu diễn.
§ 3: Vành biểu diễn.

CHƯƠNG II. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN
NHÓM HỮU HẠN
Đây là nội dung chính của khoá luận, trong chương này tác giả trình bày
một số định nghĩa, định lý, tính chất của nhóm phép thế. Cụ thể như sau.
§ 1: Biểu diễn của nhóm Aben.
§ 2: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng.
§ 3: Biểu diễn bởi nhóm đối xứng tổng quát.
§ 4: Biểu diễn chính quy tổng quát bởi ma trận.


5
Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo
Th.S Nguyễn Quốc Thơ và các thầy cô giáo trong khoa toán. Nhân dịp này tác
giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ cùng các thầy cô
giáo trong khoa toán, đặc biệt là tổ đại số đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá
luận này cũng như trong suốt bốn năm học vừa qua. Nhân đây tác giả xin cảm
ơn gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ tác giả trong thời gian vừa qua.
Mặc dù tác giả đã rất cố gắng nhưng chắc không thể tránh khỏi những
thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, cùng các
bạn sinh viên để khoá luận này được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 5 năm 2011

Tác giả


6

CHƯƠNG I
KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM
§ 1. ĐỊNH NGHĨA VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN
Giả sử G là một nhóm hữu hạn, K là một trường, V là một không gian
vectơ hữu hạn chiều trên K.
1.1. Định nghĩa
Một biểu diễn (tuyến tính ) của G trong V là một đồng cấu nhóm
ϕ : G → GL(V ) , từ G vào nhóm GL(V) các tự đẳng cấu tuyến tính của V.

Ký hiệu ϕ (s ) bởi ϕ s với s ∈ G . Ta có:
ϕ st = ϕ sϕ t ,
ϕ e = id v ,
ϕ s −1 = (ϕ s ) −1 ,

Với s, t ∈ G và e là đơn vị của nhóm G.
V được gọi là một không gian biểu diễn của G (hay là một G - không
gian). Số chiều của V trên K được gọi là cấp của biểu diễn. Nếu K = ¤ , ¡ , £
hoặc £ thì ta nói ϕ là một biểu diễn hữu tỉ, thực hoặc phức (tương ứng ) của G.
Biểu diễn ϕ : G → GL(V ) được gọi là biểu diễn trung thành nếu ϕ là một
đơn cấu R * nhóm; ϕ được gọi là tầm thường nếu ϕ e = id v với mọi s ∈ G .
1.2. Ví dụ
Mỗi biểu diễn cấp một của G là một đồng cấu ϕ : G → GL( K ) ≡ K ∗ = K \ { 0}
Đặt g = G , ta có s g = e với mọi s ∈ G , do đó ϕ sg = 1 trong K ∗ . Như vậy ϕ s
là một căn bậc g của đơn vị 1 trong K ∗ với mọi s ∈ G . Từ đây ta có thể thấy rằng
các biểu diễn phức là phong phú hơn biểu diễn thực, bởi vì trong £ * có đúng g

căn bậc g của 1, trong khi đó ¡
theo chẵn hay lẻ).

*

chỉ chứa nhiều nhất là hai căn bậc g của 1 (tùy


7

§ 2. ĐẶC TRƯNG CỦA BIỀU DIỄN
Trong mục này trở đi chúng ta chỉ xét các biểu diễn phức.
Giả sử V là một trường không gian vectơ phức n chiều và a: V → V là một
phép biến đổi tuyến tính có ma trận A = ( Aij ) trong cơ sở { e1 , e2 ,..., en } của V. Số
n

phức Tr (a) = ∑ Aii được gọi là vết của a.
i =1

2.1. Định nghĩa
Giả sử ϕ : G → GL(V ) là một biểu diễn tuyến tính của nhóm G trong không
gian vectơ V. Hàm số χ ϕ : G → C được định nghĩa bởi công thức:
χ ϕ ( s ) = Tr ( χ ϕ ) ,( s ∈ G ) được gọi là đặc trưng của biểu diễn ϕ .

2.2. Mệnh đề
Nếu χ là đặc trưng của một biểu diễn ϕ có cấp n, thì:
(i) χ (e) = n,
(ii) χ ( s −1 ) = χ ( s ) , với mọi s ∈ G ,
(iii) χ (tst −1 ) = χ ( s) , với mọi s,t∈ G .
2.3. Định lý

Đặc trưng rG của biểu diễn chính quy của G được cho bởi công thức
 G khi
rG ( s ) = 
0 khi

s=e
s≠e

Chứng minh
Chọn một cơ sở của C [ G ] là (t) (t ) t∈G , khi đó. Trên cơ sở đó ánh xạ ϕ s tác
động như sau: ϕ s (t ) = st . Như vậy, nếu s ≠ e thì st ≠ t với mọi t ∈ G . Ta biểu

[ ]

diễn ϕ s dưới dạng ma trận, ta được ma trận Aϕs = aij n , suy ra các phần tử trên
đường chéo Aϕ đối với cơ sở trên đều bằng 0. Tức là
s

rG ( s) = Tr (ϕ s ) = 0, ∀s ≠ e. (trong đó Tr (ϕ s ) là vết của ϕ ).

Vậy theo Mệnh đề 2.2, ta có


8
rG (e) = dim C [ G ] = G .

Từ định lý trên ta có hai hệ quả sau:
Hệ quả 1
Mối biểu diễn bất khả quy đều được chứa trong biểu diễn chính quy với
số bội bằng cấp của nó.

Hệ quả 2
Giả sử

W1 , W2 ,...., W p là tất cả các không gian của G bất khả quy, đôi

một không đẳng cấu với nhau, có các đặc trưng tương ứng là χ1 , χ 2 ,...., χ p và cấp
tương ứng của nó là n1 , n2 ,..., n p . Khi đó
2
2
2
a) n1 + n2 + ... + n p = G .
p

b) ∑ ni χ i ( s) = 0, ∀s ∈ G, s ≠ e.
i =1

2.4. Định nghĩa
Hàm f : G → C được gọi là hàm lớp trên G nếu, f (tst −1 ) = f (t ), ∀s, t ∈ G.
Ký hiệu bởi RC (G ) là không gian vectơ con của F(G,C) gồm tất cả các
hàm lớp trên G.
2.5. Định lý
Số biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của G bằng số liên hợp
của G.
Chứng minh
Giả sử D1,D2,...,Dk là tất cả các lớp liên hợp trong G. Hàm f : G → C là
một hàm lớp nếu và chỉ nếu f bằng một hằng số trên một lớp liên hợp D i (i =
1,2...,k). Các hằng số phức này có thể chọn tùy ý, vì thế dim( RC (G )) = k . Mặt
khác dim( RC (G )) bằng số các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu của
G.

9

§ 3. VÀNH BIỂU DIỄN
Tập hợp các biểu diễn của nhóm G được trang bị hai phép toán ⊗,⊕ . Nó
có nhiều tính chất của một vành, nhưng không phải là một vành, bởi vì ta không
biết thế nào là “hiệu” của hai biểu diễn (tương ứng với tổng là ⊕ ).
Để khắc phục điều đó ta mở rộng tập các biểu diễn thành tập các biểu diễn
suy rộng, bằng cách sau đây.
Giả sử ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ p là tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng
cấu của G. Khi đó, mỗi biểu diễn ϕ của G có thể phân tích thành tổng
ϕ = m1ϕ 1 ⊕ ... ⊕ m pϕ p với các hệ số mi nguyên không âm. Nếu ψ = n1ϕ 1 ⊕ ... ⊕ n pϕ p

cũng là một biểu diễn của G, thì ta có
ϕ ⊕ ψ = (m1 + n1 )ϕ 1 ⊕ ... ⊕ (m p + n p )ϕ p ,
ϕ ⊗ψ = ∑ ⊕ mi n j (ϕ i ⊗ ϕ j ).
ij

Mối biểu diễn ϕ i ⊗ ϕ j lại có thể phân tích qua ϕ 1 , ϕ 2 ,..., ϕ p . Ta thế vào
những đẳng thức trên ta thu được phân tích của ϕ ⊗ψ .
1
p
Bây giờ ta gọi R(G) là tập hợp các tổng hình thức ϕ = m1ϕ ⊕ ... ⊕ m pϕ

trong đó các hệ số mi là các số nguyên (dương, âm hoặc bằng 0). Mỗi phần tử
của R(G) được gọi là biểu diễn suy rộng của G. Tổng ϕ ⊕ ψ và tích ϕ ⊗ψ của
hai biểu diễn suy rộng ϕ và ψ cũng được xác định bởi cùng công thức đã nêu ở
trên cho trường hợp ϕ và ψ là các biểu diễn.
Ta thấy rằng R(G) lập thành một vành (giao hoán) đối với hai phép toán ⊕
và ⊗ . Nó được gọi là vành biểu diễn của nhóm G.

Giả sử χi là đặc trưng của biểu diễn ϕ i . Khi đó, R(G) có thể đồng nhất
với tập các hàm là tổ hợp tuyến tính của χ1 ,..., χ p .
χ = m1 χ1 + ... + m p χ p

Với các hệ số mi nguyên. Mỗi hàm như thế được gọi là một đặc trưng suy
rộng của G. Hai phép toán được định nghĩa như sau:


10
(∑ mi χ i ) + (∑ ni χ i ) = ∑ (mi + ni )χ i ,
(∑ mi χ i )(∑ n j χ j ) = ∑ mi n j ( χ i χ j ) .

Vì thế R(G) cũng được gọi là vành đặc trưng của G.
Đối với phép cộng, R(G) là một nhóm Abel tự do trên tập hợp

{ χ , χ ,..., χ } .
1

2

p

R G = C ⊗ R (G )
z
Hơn nữa R(G) ⊂ Rc G . Ngoài ra, ta thấy c
.

Bây giờ ta gọi ϕ 1 là biểu diễn đơn vị của G, tức là biểu diễn cấp một
ϕ 1 : G → GL(C ) được định nghĩa bởi. ϕ 1s = id c , ∀s ∈ G , khi đó đặc trưng χ1 của nó

được xác định bởi χ1 ( s ) = 1, ∀s ∈ G .
Rõ ràng χ1 là đơn vị của vành R(G). Tóm lại ta thu được
3.1. Mệnh đề
Các đặc trưng suy rộng của G lập thành một vành giao hoán R(G) với đơn
vị là đặc trưng χ1 của biểu diễn đơn vị.
Phép nhân trong vành R(G) được hoàn toàn xác định thông qua các hệ số
k
cấu trúc, tức là các số nguyên không âm mi j xuất hiện trong phân tích

χ i χ j = ∑ mijk χ k .
k

3.2. Mệnh đề
mijk =

1
G

∑ χ (t ) χ
t∈G

i

j

(t ) χ k (t ) .

Chứng minh
mij .χ l (t )
Nhân hai vế của đẳng thức χi (t ) χ j (t ) = ∑

l
l

−1

Với G χ k (t ) rồi lấy tổng ∀t ∈ G . Quan hệ trực giao giữa các đặc trưng
1

k
bất khả quy dẫn tới mij = G

3.3. Mệnh đề

∑ χ (t ) χ
t∈G

i

j

(t ) χ k (t ) .


11
Nếu ϕ i là một biểu diễn bất khả quy cấp một và ϕ j là một biểu diễn bất
khả quy cấp tuỳ ý, thì ϕ i ⊗ ϕ j cũng là một biểu diễn bất khả quy.
Chứng minh
Ta có đặc trưng χ của ϕ i ⊗ ϕ j = χi χ j . Vì χi có cấp bằng 1, nên với mọi
t ∈ G , χ i (t )

χ, χ =

1
G

là

một

∑ χ (t )χ
t∈G

i

j

căn

phức

(t ) χ i (t ) χ j (t ) =

1
G

của

∑χ

j

1.

Do

đó

χ i (t ) χ i (t ) = 1 .

(t ) χ j (t ) = χ j , χ j = 1 .

Vậy ϕ i ⊗ ϕ j là một biểu diễn bất khả quy.

Ta

có


12

CHƯƠNG II
BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN
§ 1. BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN
Trong mục này tác giả sẽ sử dụng lý thuyết biểu diễn của nhóm hữu hạn
để xét biểu diễn của một số nhóm đặc biệt đó là: nhóm Aben, nhóm xyclic,
nhóm đối xứng Sn (n = 1, 2, 3).
1.1. Định lý
Nhóm G là nhóm Aben khi và chỉ khi mọi biểu diễn bất khả quy của G
đều có cấp bằng 1.
Chứng minh

Gọi n1, n2, n3,..., np là cấp của tất cả các biểu diễn bất khả quy đôi một
không đẳng cấu của G. Khi đó, theo kết quả của biểu diễn chính quy ta có
n12 + n22 + ... + n 2p = G

Mặt khác nhóm G là nhóm Abel nếu và chỉ nếu mọi lớp liên hợp của nó
chứa đúng một phần tử, tức là nếu và chỉ nếu G = p (số lớp liên hợp của G).
Nhưng G = p .
Vậy n1 = n2 = ...= np = 1.
Từ định lý 1.1 ta có hệ quả sau:
1.2. Hệ quả
Giả sử H là nhóm con của G, H giao hoán. Khi đó mọi biểu diễn bất khả
quy của G đều có cấp nhỏ hơn hoặc bằng [ G : H ] .
Chứng minh


13
Theo định nghĩa của biểu diễn một nhóm, ta giả sử f : G → GL(V) là một
biểu diễn bất khả quy của G, khi đó ta xét hạn chế fH : H → GL(V) của f trên H.
Bây giờ ta giả sử W ⊂ V là một không gian biểu diễn con bất khả quy của
fH,
Theo Định lý 1.1 thì dimW = 1. Đặt
W′ =

∑f

S∈G

S

( w) ⊂ V .

Vì fH là hạn chế của f trên H, khi đó V’ ổn định dưới tác động của G. Vì f
bất khả quy và V’ ≠ { 0}. Nên V = V’.
Mặt khác, ∀s ∈ G, ∀s'∈ H , ta có:
fss’(w) = fs fs’(w) = fs(w).
Do đó, số các không gian khác nhau có dạng f s(w) là không vượt quá số
lớp [ G : H ] .Vậy
dimV ≤ [ G : H ]. dim W = [ G : H ].
1.3. Định lý
Cho G là một nhóm, x và y là hai phần tử của G. Ta gọi phần tử x -1y-1xy là
một hoán tử của x và y. Khi đó nhóm con H sinh bởi tất cả các hoán tử của tất
cả các cặp x, y của G là nhóm con chuẩn tắc của G và nhóm con H được gọi là
nhóm giao hoán tử của G, ký hiệu là [ G, G ] và G / [ G, G ] là nhóm Abel.
Chứng minh
A = [ G, G ] ⊆ G .
n .c

Ta cần chứng minh H là nhóm chuẩn tắc của G.

{

}

ε
ε
ε
Ta có [ G, G ] = S1 1 S 2 2 ...S n n ε i = ±, i = 1,2,..., n .

Đặt [ ab] = a −1b −1 ab, khi đó si = [ ai , bi ] ,
Si-1 = [ ai , bi ] -1 = ( ai−1bi−1 ai bi )-1 = bi−1ai−1bi ai = [ bi , ai ] .

Nên H = [ G, G ] = { s1 s 2 ...s n si = [ ai , bi ]} ,
∀g ∈ G, ∀a ∈ [ G, G ] có a = s1s2...sn trong đó si = [ ai , bi ] .
g g
g
Khi đó ta có ag = (s1.s2...sn)g = s1 s 2 ...s n = t1t 2 ...t n


14
−1
Trong đó ti = sig = [ ai , bi ] = (ai−1bi−1ai bi ) g = g −1ai−1bi−1ai bi g (1)

Mặt khác , [ aig , big ] = [ g −1ai g , g −1bi g ] = ( g −1 ai g ) −1 ( g −1bi g ) −1 ( g −1ai g )( g −1bi g )
= g −1 ai−1 gg −1bi−1 gg −1bi g = g −1ai−1bi−1 ai bi g

(2)

g
Từ (1) và (2) ⇒ t i = sig = [ ai , bi ] = [ aig , big ]

⇒ a g ∈ [ G, G ] hay a g ∈ A

Mà A = [ G, G ] nhóm con của G nên A = [ G, G ] ∆G.
Vậy A là nhóm con chuẩn tắc của G.
+ Chứng minh A = [ G, G ] là nhóm giáo hoán từ đó suy ra G/ [ G, G ] là nhóm
Abel.
Ta phải chứng minh ∀x, y ∈ G có xA yA = yA xA
⇔ ∀x, y ∈ G có xAy = yxA
⇔ ∀x, y ∈ G có ( xy ) −1 ( yx ) ∈ A
⇔ ∀x, y ∈ G có y −1 x −1 yx ∈ A
⇔ ∀x, y ∈ G có [ y, x ] ∈ A đúng

⇒ xA yA = yA đúng.

Vậy A là nhóm Abel ⇒ G / A = G /[ G, G ] là nhóm Abel.
Từ định lý trên ta có các kết quả sau.
1.4. Định lý
Cho G là một nhóm, khi đó có sự tương ứng một một giữa biểu diễn cấp 1
của G và các biểu diễn bất khả quy của nhóm Abel G/ [ G, G ] . Số các biểu diễn
cấp 1 không đẳng cấu với nhau của G bằng chỉ số [ G, G ] trong G.
Chứng minh
Giả sử f là một biểu diễn cấp một của G, có nghĩa chọn f : G → GL(C). Vì
GL(C) là nhóm Abel và Imf là nhóm con của GL(C), nên Imf cũng là nhóm
Abel.
Như ta đã biết [ G, G ] ∆G và kerf ∆G , nhưng [ G, G ] ⊂ ker f .
Vì lấy m ∈ [ G, G ] ⇒ m = x −1 y −1 xy ⇒ f (m) = f ( x −1 y −1 xy) = e (e là đơn vị của
GL(C))


15
⇒ f (m) = e ⇒ m ∈ ker f ⇒ [ G, G ] ⊂ ker f , có nghĩa kerf chứa nhóm [ G, G ] các

giao hoán tử của G.
Bây giờ ta xây dựng một biểu diễn của G/ [ G, G ] sinh bởi f như sau:
f : G / [ G, G ] → GL(C )

Được xác định bởi f ( s[ G, G ] ) = f ( s ), ∀s ∈ G .
Ta dễ dàng chứng minh được rằng ánh xạ f không phụ thuộc vào phần
tử đại diện là lớp ghép s [ G, G ] . Bây giờ ta chứng minh f là cấp một (theo định
lý 1.1).
Suy ra f bất khả quy.
Ngược lại, giả sử ta có một biểu diễn bất khả quy ϕ của nhóm thương

Abel G/ [ G, G ] ⇒ ϕ cấp một (theo định lý 1.1). Từ biểu diễn ϕ của G/ [ G, G ] , ta
thấy ϕ cảm sinh một biểu diễn ϕ của G là ϕ : G → GL(C ), được xác định bởi
ϕ ( s ) = ϕ .π ( s ), ∀s ∈ G, trong đó π : G → G / [ G, G ] là phép chiếu tự nhiên.

Tóm lại: Nếu có một biểu diễn f của G, ta xây dựng được biểu diễn ϕ của
G. Do vậy, tương ứng ϕ → ϕ là ngược của tương ứng f  f (chứng minh được
đây là tương ứng một - một).
Do tương ứng một - một vừa thiết lập ở trên và do G/ [ G, G ] là nhóm Abel.
⇒ số biểu diễn cấp một không đẳng cấu với nhau của G bằng ord(
G /[ G, G ] ) = [ G : [ G, G ] ].

1.5 Ví dụ
Ví dụ 1:
n
Cho G = {a n ∈ Z } là nhóm xyclic cấp n sinh bởi phần tử a. Mô tả các biểu

diễn bất khả quy của G.
Chứng minh
Vì nhóm xyclic là nhóm Abel, khi đó theo định lý 1.1 thì mọi biểu diễn
bất khả quy của G đều là cấp một. Theo lý thuyết đặc trưng của biểu diễn thì
một biểu diễn bất khả quy cấp một f của G, được đồng nhất với đặc trưng của
nó, đó là đồng cấu f : G → C \ { 0} với a∈ G , ta đặt w = f(a) ⇒ f (a ) = [ f (a)] m = w m .


16
Mặt khác vì ord(G) = n (có nghĩa a n = e ⇒ w n = [ f (a)] = f (a n ) = f (e) = 1 ) (vì
đồng cấu nhóm bảo tồn phần tử đơn vị).
⇒ w n = 1 có nghĩa là w là giá trị căn bậc n của 1

⇒ w = e 2πik / n với (k = 1,2,...,n).

Khi đó ta thu được n biểu diễn bất khả quy cấp 1 của G với đặc trưng là
α k (a m ) = e 2πikm / n ,(k = 1,2,...,n).

Theo dạng lượng giác của số phức ta có: α k .α k ' = α k + k ' (cộng theo chỉ số k
được lấy theo mod n ).
Và α 1m = α 0 = 1 và α 1k = α k ,(k = 1,2,...,n).
Vậy khi đó vành biểu diễn của G là R(G ) ≅ Z [α 1 ] /(α 1n − 1).
Ví dụ 2:
Cho S n là nhóm nhân các phép thế bậc n. Tìm các biểu diễn cấp 1 của G.
Trong Sn ta xét tập hợp
An = { a ∈ S n sign( a) = 1} : tập hợp các phép thế chẵn.

Khi đó An ∆S n , vì
n .c

∀a, b ∈ An ⇒ sign( ab −1 ) = sign(a).sign(b −1 ) = 1 ⇒ An ⊆ S n
∀a ∈ An , ∀x ∈ .S n ⇒ sign( xax −1 ) = sign( x) sign( a) sign( x −1 ) = 1
⇒ An ∆S n .

Lấy hai phần tử a,b ∈ S n , xét hoán tử [ a, b] = aba −1b −1 khi đó ta có nhóm
con sinh bởi các hoán tử của S n , ký hiệu là:

[ S n , S n ] =< [ a, b] > ∆S n .
Với [ a, b] ∈ [ S n , S n ]
⇒ sign(aba −1b −1 ) = sign(a ) sign(b) sign(a −1 ) sign(b −1 ).
n .c

⇒ aba −1b −1 ∈ An . Vậy [ S n , S n ] ⊆ An

(1)

Như ta đã biết, với n ≥ 2 thì An là nhóm con sinh bởi các vòng xích có độ
dài 3.Mặt khác:


17

[ (ij ), (ik )] = (ij )(ik )(ij

) −1 (ik ) −1 = (ij )(ik )(ij )(ik ) = (ijk ).

Vậy mỗi vòng xích có độ dài 3, đó là
(ijk) = [ (ij ), (ik )] ⊂ [ S n , S n ]. .
n .c

Vậy An ⊆[ S n , S n ] .
Do đó, với n ≥ 2 , thì An = [ S n , S n ] .
Khi đó theo Định lý 1.3 thì S n có đúng hai biểu diễn cấp một là biểu diễn
đơn vị χ1 và một biểu diễn χ 2 .
Một số trường hợp cụ thể của n:
Với n=1: biểu diễn của nhóm đơn vị S1 = { e} .
Với n=2: biểu diễn của S2 ≅ C2 (xét ở ví dụ 1.5).
Với n=3: xét biểu diễn của nhóm S3.
Ta có S3. có 3 lớp liên hợp, được đại diện { (e), (1 2), (1 2 3)} . Vậy S3. có
3 biểu diễn bất khả quy đôi một không đẳng cấu với nhau. Hai trong số các biểu
diễn đó có biểu diễn cấp một đó là χ1 và một biểu diễn χ 2 được xác định
χ 2 (σ ) = sign(σ ), ∀σ ∈ S 3 .

Biểu diễn bất khả quy thứ 3 là χ 3 có cấp bằng

S 3 − 12 − 12 = 2 được xác

định bởi phương trình χ1 + χ 2 + 2 χ 3 = rS trong đó rS là đặc trưng của biểu diễn
3

chính quy của S3.

3


18

§ 2. BIỂU DIỄN BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG
2.1. Nhóm đối xứng
Giả sử tập A = { a1 ,..., a n } là tập hữu hạn. Ký hiệu
S(A) =

{ f : A→ A

f song

ánh} . Khi đó S(A) cùng với phép hợp thành

các ánh xạ là một nhóm.
Nhóm S(A) được gọi là nhóm đối xứng trên tập hợp A. Mỗi nhóm con
của S(A) được gọi là nhóm các phép thế trên A.
2.2. Nhóm phép thế bậc n
Nếu A = { 1, 2,..., n} thì S(A) được ký hiệu đơn giản là Sn và được gọi là
nhóm đối xứng trên n phần tử (hay còn gọi là nhóm phép thế bậc n). Mỗi song
ánh f ∈ Sn được gọi là một phép bậc n.

2.3. Phép thế liên hợp
2.3.1. Định nghĩa
Hai phép thế α , β thuộc nhóm phép thế G được gọi là phép thế liên hợp
nếu trong G tồn tại một phép thế γ sao cho: β = γαγ −1 .
2.3.2. Định lý
Hai phép thế α , β liên hợp với nhau trong nhóm đối xứng khi và chỉ khi
α , β có cùng số vòng xích rời rạc và mỗi vòng xích có độ dài như nhau.

Chứng minh
+ Điều kiện cần: α , β liên hợp trong nhóm đối xứng
Giả sử α = ( a11 , a12 ,..., a1r )...( a m1 , a m 2 ,..., a mt ) khi đó tồn tại γ sao cho β = γαγ −1
,với
 a ...a ...a ...a 

γ =  11 1r m1 mt 
 b11 ...b1r ...bm1 ...bmt 


19
−1
Khi đó β = γαγ = ( b11 ,..., b1r )...( bm1 ,..., bmt )

⇒ α , β có cùng số

vòng xích và mỗi vòng xích có độ dài như nhau.
+ Điều kiện đủ:
Giả sử α = ( a11 , a12 ,..., a1r )...( a m1 , a m 2 ,..., a mt )

β = ( b11 ,..., b1r )...( bm1 ,..., bmt )
Là hai phép thế có cùng số vòng xích và mỗi xích có độ dài như nhau khi

đó tồn tại

a11 ...a1r ...a m1 ...a mt
γ = 
b ...b ...b ...b
1r
m1
mt
 11






thoả mãn β = γαγ −1 (đpcm).
2.4. Nhóm phép thế bắc cầu
2.4.1. Định nghĩa
Nhóm phép thế G được gọi là nhóm phép thế bắc cầu trên S nếu thoả mãn
các điều kiện sau:
i, ∀s ∈ S , ∀f ∈ G thì f(s) ∈ S
ii, ∀S i , S j ∈ S thì ∃ϕ ∈ G : ϕ ( S i ) = S j
Khi đó tập S được gọi là miền bắc cầu.
2.4.2. Định lý
Cho G là nhóm phép thế trên tập X và S là một tập con của X. Gọi x1 là
một phần tử cố định trong S và ∀xi ∈ S khi đó tồn tại α ∈ G sao cho x1 = α ( xi ) thì
G là một miền bắc cầu trên S.
Chứng minh
Ta chỉ cần chứng minh G thoả mãn hai điều kiện của định nghĩa.
• ∀xi ∈ S và α ∈ G .Giả sử α ( xi ) = x j

( ∗)

Do xi ∈ S nên ∃α i ∈ G sao cho α i ( xi ) = x1 ⇒ xi = α i−1 ( x1 ) thay vào
−1
−1
Ta có αα i ( x1 ) = x j ⇒ αα i ( x j ) = x1

( ∗)


20
−1
Do G là một nhóm nên αα i−1 ∈ G và α iα ( x j ) = x1 nên x j ∈ S

•

Với xi , x j ∈ S khi đó theo giả thiết ∃α i , α j ∈ G sao cho

αi ( xi ) = x1 ⇒xi =αi−1 ( x1 )
α j ( x j ) = x1
−1
−1
Vậy αi αj ( x j ) =αi ( x1 ) =xi

Vậy G là miền bắc cầu trên S.
2.4.3. Định lý
Giả sử S = { s1 , s 2 ,..., s k } là miền bắc cầu của nhóm G. Gọi H là tập hợp tất
cả các phép thế của G giữ nguyên tại chỗ s1 . Với mỗi si ∈ S , ta chọn

∈G

sao cho α i ( s1 ) = si . Khi đó H là một nhóm con của G và G = α 1 H + α 2 H + ... + α k H .
Chứng minh

{

Ta có H = h ∈ G h( s1 ) = s1

}

+ Chứng minh: H nhóm con của G ?
• H ≠ φ do id ∈ H , với id là đơn vị của G.
• ∀f , g ∈ H : f ( s1 ) = s1 , g ( s1 ) = s1 ⇒ g −1 ( s1 ) = s1
⇒ f  g −1 ( s1 ) = f ( g −1 ( s1 ) ) = f ( s1 ) = s1
⇒ f  g −1 ∈ H
⇒ H là nhóm con của G.

+ Chứng minh G = α 1 H + α 2 H + ... + α k H
Đặt A = α 1 H + α 2 H + ... + α k H .
• Do G là nhóm, α 1 ∈ G, ∀i = 1, n, H là nhóm con của G khi đó
α 1 H ∈ G ∀i = 1, n ⇒ α 1 H + α 2 H + ... + α k H ⊂ G hay A ⊂ G . (1)

• Do G là nhóm bắc cầu trên S nên ∀f ∈ G, thì f(s1)∈ S .
Giả sử f(s1) =si ∈ S ⇒ f ( s1 ) = α i ( s1 )
Vì G là một nhóm ⇒ với mọi f, với mỗi α i luôn ∃h ∈ G sao cho f  h = α i
(tính chất của nhóm).


21

Nhưng f  h( s1 ) = f ( s1 ) ⇒ h( s1 ) = s1 ⇒ h ∈ H .
⇒ f = α 1 h −1 ∈ α 1 h −1 = α i H (do H là một nhóm)
⇒ f ∈A⇒G ⊂ A

(2)

Từ (1) và (2) ta có G = A ⇒ Đpcm.
2.5. Biểu diễn nhóm bởi nhóm đối xứng
Cho G1 và G2 là hai nhóm bất kỳ, một đồng cấu ϕ : G1 → G2 được gọi là
một biểu diễn nhóm G1 bởi nhóm G2.
- Biểu diễn ϕ được gọi là biểu diễn thực sự nếu ϕ là đơn cấu.
2.5.1 Định lý
Mọi nhóm G đều đẳng cấu với nhóm phép thế nào đó trên các phần tử
của G.
Nói cách khác: Nếu gọi S(G) là nhóm phép thế các phần tử của G, khi đó
tồn tại một đơn cấu nhóm λ : G → S (G ) .
Chứng minh
+ Với mỗi g ∈ G ta xét ánh xạ δ g : G → G
x  gx

Rõ ràng δ g là một song ánh với ∀g ∈ G . Vì δ g là một phép thế trên G.
+ Xét ánh xạ λ : G → S (G )
g  δg

Ta sẽ chứng minh λ là một biểu diễn thực sự của G vào nhóm đối xứng
S(G).Thật vậy:
Nếu có δ g =δ g⇒ δ g ′ ( x) = δ g ( x) ⇔ g ' x = gx∀x ∈ G do G là một nhóm nên
phép toán trong G có luật giản ước ⇒ g ' = g hay là đơn ánh.
Mặt khác , ∀g , g '∈ G ta có :
δ g δ g ' ( x) = gg ' x = g ( g ' x ) = g (δ g ' ( x)) = δ g (δ g ' ( x)) = δ g δ g ' ( x)

⇒ δ g . g ' = δ g .δ g ' ⇒ λ là một đồng cấu.
⇒ λ là một đơn cấu ⇒ đpcm.

2.5.2. Định nghĩa


22
Biểu diễn λ ở trong Định lý 2.5.1 gọi là biểu diễn chính quy trái của nhóm G.
2.5.3. Ví dụ
Xét biểu diễn nhóm Dihedral D3 vào nhóm S6.
Khi đó D3 = {e, a, a 2 , ab, a 2 b, b} Các phần tử của D3 có tính chất a3 = e,b2 =e,
(ab)2 = e
Trước hết ta đánh số các phần tử D3 bởi song ánh
f : D3 → {1,2,3,4,5,6}

Khi đó ta lập biểu diễn chính quy trái như sau: với g ∈ D3 , xét song ánh
D3 → D3
x a gx
e a a2
Khi đó δ e = 
2
e a a

ab a 2 b b 

ab a 2 b b 

 e a a 2 ab a 2 b b 

δ a = 

2
2

a
a
e
a
b
b
ab


 e a a 2 ab a 2 b b 

δ a2 =  2
 a e a b ab a 2 b 



δ ab

 e a a 2 ab a 2 b b 

= 
2
2

ab
b
a

b
e
a
a



 e a a 2 ab a 2 b b 

δ a 2b =  2
 a b ab b a e a 2 


 e a a 2 ab a 2 b b 

δ b = 
2
2

b
a
b
ab
a
a
e



Biểu diễn chính quy trái λ : D3 → S 6 .

1 2 3 4 5 6  =id

λ (e) = f  δ e = 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6  =
 (123)(456)
λ (a ) = f  δ a = 
 2 3 1 5 6 4
1 2 3 4 5 6  =
 (132)(465)
λ (a 2 ) = f  δ a 2 = 
 3 1 2 6 4 5


23
1 2 3 4 5 6  =
 (14)(26)(35)
λ (ab) = f  δ ab = 
4
6
5
1
3
2


1 2 3 4 5 6  =
 (15)(24)(36)
λ (a 2 b) = f  δ a 2b = 
5

4
6
2
1
3


1 2 3 4 5 6  =
 (16)(25)(34) .
λ (b) = f  δ b = 
6
5
4
3
2
1



Tương tự biểu diễn chính quy trái, ta có biểu diễn chính quy phải như
sau:
τg :G →G
x  xg

Rõ ràng τ g là một đẳng cấu trên G( τ g là một phép thế trên G).
Xét ρ : G → S (G )
g  τg

Khi đó p không phải là một đồng cấu và gọi là phản đồng cấu nhóm Imp.
Thật vậy, ∀g , g '∈ G ⇒ τ gg ' ( x) = xgg ' = ( xg ) g ' = τ g ' ( xg ) = τ g '  τ g ( x)

Rõ ràng τ g '  τ g ( x) ≠ τ g  τ g ' ( x) (nếu G không giao hoán)
⇒ τ gg ' ≠ τ g  τ g ' ⇒ ρ không phải là đồng cấu.

2.5.4. Định lý
Biểu diễn chính quy trái

λtương đương với biểu diễn

chính quy phải ρ

Khi và chỉ khi G là nhóm giao hoán.
Chứng minh
+ Giả sử biểu diễn chính quy trái

λ tương đương với biểu diễn chính

quy phải ρ , có nghĩa là λ ( g ) = ρ ( g ) , ∀g ∈ G hay ∀x, g ∈ G ⇒ gx = xg ⇒ G là nhóm
giao hoán.
+ Giả sử G là nhóm giao hoán
⇒ ∀x, g ∈ G thì xg = gx ⇒ τ g = δ g ⇔ λ ( g ) = ρ ( g )∀g ∈ G
⇒ đpcm.

Bây giờ chúng ta nghiên cứu tính chất ảnh biểu diễn Im ( λ ) trong nhóm
đối xứng S(G).


24
2.6. Tính chất ảnh của biểu diễn λ trong nhóm đối xứng S(G)
2.6.1. Định nghĩa
Cho G là một nhóm và S là tập con của G. Khi đó tập hợp

CG(S) = { g ∈ G \ g −1 sg = s, ∀s ∈ S } gọi là tâm tập của S trong G và tập hợp
NG(S) = { g ∈ G \ g −1 sg ∈ S , ∀s ∈ S } gọi là chuẩn tập của S trong G.
2.6.2. Định lý
Cho G là nhóm hữu hạn, khi đó ảnh biểu diễn chính quy phải Imp là tâm
tập của ảnh biểu diễn chính quy trái Im λ trong nhóm đối xứng S(G) và ngược
lại Im λ cũng là tâm tập của Imp trong S(G).
Chứng minh
+ Chứng minh Imp là tâm tập của Im λ
Đặt A = {α ∈ S (G ) \ α  δ g= δ g  α , ∀δ g ∈ Im λ } .
Ta chứng minh A = ImP.
∀δ g ∈ Im λ , ∀τ g ' ∈ Im p.
⇒ τ g '  δ g ( x) = gxg ' ∀x ∈ G

δ g  τ g ' ( x) = gxg ' ∀x ∈ G.
⇒ τ g '  δ g ( x) = δ g  τ g ' ( x) ⇒ τ g ∈ A ⇒ Im p ⊂ A (1)
⇒ ∀α ∈ A thì α  δ g = δ g  α , ∀δ g ∈ Im λ

⇒ α  δ g ( x) = δ g  α ( x), ∀x ∈ G
⇒ α ( gx) = g (α ( x)) = gα ( x).

Chọn g = x −1 ⇒ α (e) = x −1α ( x), ∀x ∈ G

(*)

Đặt g’ = α (e) thay vào (*) ta được:
α ( x ) = xg ' ∀x ∈ G .

Hay α = τ g ' ⇒ α = Im p ⇒ A ⊂ Im p

(2)

Từ (1) và (2) suy ra A=Imp suy ra điều phải chứng minh.
+ Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được Im λ là tâm tập của Imp trong
S(G).
2.6.3. Định lý


25
Nếu G là nhóm Abel thì Imp = Im λ và chúng là nhóm con giao hoán cực
đại trong S(G).
Chứng minh
+ Rõ ràng với G là nhóm Abel thì Imp = Im λ .
+ Chứng minh Im λ là nhóm con cực đại trong S(G).
Thật vậy:
Giả sử A là nhóm con giao hoán trong S(G) và Im λ ⊂ A ta có:
Với α ∈ A ⇒ α  δ g = δ g  α , ∀δ g ∈ Im λ.
⇒ α thuộc vào tâm tập của Im λ ⇒ α ∈ Im p hay α ∈ Im λ ⇒ A ⊂ Im λ . Hay

Im λ là nhóm con cực đại trong S(G).
Sau đây ta xét ví dụ:
2.6.4. Ví dụ
Tìm biểu diễn chính quy phải ρ : D3 → S 6 . Khi đó Im ρ là tâm tập của Im
λ , thật vậy Ta có D3 = {e, a, a 2 , ab, a 2 b, b} Từ bảng nhân của D3 ta có:

Ta có
1 2 3 4 5 6  =id

p (e) = f  τ e = 
1 2 3 4 5 6 
1 2 3 4 5 6  =

 (123)(456)
p (a ) = f  τ e = 
 2 3 1 6 4 5
1 2 3 4 5 6  =
 (132)(465)
p (a 2 ) = f  τ a 2 = 
3 1 2 5 6 4
1 2 3 4 5 6  =
 (14)(25)(36)
p (ab) = f  τ ab = 
 4 5 6 1 2 3
1 2 3 4 5 6  =
 (15)(26)(34)
p (a 2 b) = f  τ a 2b = 
5 6 4 3 1 2
1 2 3 4 5 6  =
 (16)(24)(35)
p (b) = f  τ b = 
 6 4 5 2 3 1

(Nói chung τ g ≠ δ g ).
Ta chứng minh Imp là tâm tập của Im λ .