Một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điệu địa phương

1

Mở đầu
Trong toàn bộ luận văn chúng tôi luôn giả thiết R là vành Noether, giao
hoán, có đơn vị và R-mod là phạm trù các R-môđun. Như đã biết, Lí thuyết
Đối đồng điều địa phương của Grothendiek[3] đóng vai trò quan trọng trong
Hình học đại số và ngày càng có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán.
Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether R. Xét hàm tử
xoắn ΓI xác định như sau
(0 :M I t )

ΓI (M ) =
t≥0

với mọi R-môđun M . Khi đó, ΓI là hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp trái
trên phạm trù các R-môđun. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử ΓI
được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I và được
kí hiệu là HIi . Cho M là một R-môđun. Khi đó, HIi (M ) được gọi là môđun
đối đồng điều địa phương thứ i của M có giá là I.
Mục đích của luận văn là nghiên cứu các tính chất cơ bản của môđun đối
đồng điều địa phương, tính triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương
và thông qua đó đưa ra một số tính chất về địa phương hóa và tính hữu hạn
của tập các iđêan liên kết của HIi (M ). Các kết quả của luận văn được viết
dựa theo [2], [3] và một số tài liệu khác có liên quan.
Ngoài phần Mở đầu và phần Kết luận, luận văn được chia làm 3 chương.
Chương thứ nhất trình bày (không chứng minh) các kiến thức cơ sở của
Đại số giao hoán liên quan đến các kết quả và chứng minh trong luận văn
với mục đích giúp người đọc dễ theo dõi nội dung chính của luận văn.
Chương 2, chúng tôi trình bày về môđun xoắn, hàm tử xoắn, hàm tử đối
đồng điều địa phương và các tính chất cơ bản của chúng.

2

Chương 3, trình bày về môđun đối đồng điều địa phương, tính triệt tiêu
của môđun đối đồng điều địa phương, địa phương hóa và tính hữu hạn của
tập các iđêan nguyên tố liên kết AssR (HIi (M )) của môđun đối đồng điều
địa phương HIi (M ).
Luận văn được hoàn thành vào tháng 11 năm 2007 dưới sự hướng dẫn,
chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này,
tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô. Đồng thời cũng xin được cảm ơn
các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trường Đại học Vinh,
Sở GD và ĐT tỉnh Thanh Hóa, trường THPT Yên Định I, các bạn bè, đồng
nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong quá trình
học tập và nghiên cứu.

Vinh, tháng 11 năm 2007.
Tác giả


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng ta nhắc lại (không chứng minh) một số kiến
thức cơ sở phục vụ cho việc chứng minh các kết quả của những chương sau.
1.1

Biến đổi tự nhiên

Cho F, G : C −→ D là hai hàm tử hiệp biến từ phạm trù C đến phạm trù
D. Một biến đổi tự nhiên θ : F −→ G được cho bởi: ∀C ∈ ob(C), ta có cấu
xạ θC : F (C) −→ G(C) là cấu xạ trong phạm trù D sao cho với mọi cặp vật

C, C của phạm trù C ta có biểu đồ giao hoán sau
F (C)


θC /
G(C)

F (f )

F (C )

θC
/



G(f )

G(C )

với mọi cấu xạ f : C −→ C . Đặc biệt, nếu θC : F (C) −→ G(C) là những
đẳng cấu xạ trong phạm trù D thì θ được gọi là đẳng cấu tự nhiên. Khi đó
∼
=

ta nói hai hàm tử F và G là tương đương tự nhiên và kí hiệu F →
− G.
1.2

Hàm tử khớp

Cho F : R-mod −→ R-mod là hàm tử hiệp biến từ phạm trù các Rmôđun đến phạm trù các R-môđun. Khi đó
(i) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp các R-môđun
0 −→ A −→ B −→ C −→ . . .
ta có dãy khớp các R-môđun
0 −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ . . .


4

(ii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp các
R-môđun
. . . −→ A −→ B −→ C −→ 0
ta có dãy khớp các R-môđun
. . . −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ 0
(iii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa khớp trái, vừa khớp
phải.
1.2.1. Nhận xét. Cho F : R-mod −→ R-mod là hàm tử hiệp biến từ phạm
trù các R-môđun đến phạm trù các R-môđun. Khi đó
(i) Hàm tử F là hàm tử khớp trái nếu từ mọi dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ A −→ B −→ C −→ 0
ta có dãy khớp các R-môđun
0 −→ F (A) −→ F (B) −→ F (C)
(ii) Hàm tử F là hàm tử khớp phải nếu từ mọi dãy khớp ngắn các R-môđun
0 −→ A −→ B −→ C −→ 0
ta có dãy khớp các R-môđun
F (A) −→ F (B) −→ F (C) −→ 0
(iii) Hàm tử F được gọi là hàm tử khớp nếu nó vừa khớp trái, vừa khớp
phải.
1.3

Lời giải nội xạ

1.3.1. Định nghĩa. (i) Một đối phức các R-môđun
I · : 0 −→ I 0 −→ I 1 −→ I 2 −→ . . .


5

được gọi là một đối phức nội xạ nếu I j là môđun nội xạ với mọi j.
(ii) Cho M là một R-môđun. Một lời giải nội xạ của M là một đối phức
nội xạ I · cùng với một R-đồng cấu α : M −→ I 0 sao cho dãy sau là khớp
/

0

M

α /

/

I0

/

I1
/ I·

Kí hiệu lời giải nội xạ của M là M

/

I2

...

.

1.3.2. Định lí. Cho M là một R-môđun. Khi đó M luôn có lời giải nội xạ.
1.3.3. Định lí. Cho M , N là các R-môđun và f : M −→ N là R-đồng cấu.
Giả sử N −→ I · là một lời giải nội xạ của N . Khi đó mọi lời giải nội xạ
M −→ E · của M đều tồn tại một cấu xạ f : E · −→ I · là nâng của f , tức
là ta có biểu đồ giao hoán sau
/

0

/

0

/

M


f
/

N

/

E0


f0
/

I0

/

E1


f2
/

I1

/...

E2


f3
/...

I2

và cấu xạ f xác định duy nhất theo nghĩa sai khác một đồng luân.
1.4

Hàm tử dẫn xuất phải

1.4.1. Định nghĩa. Giả sử F : R-mod −→ R-mod là một hàm tử hiệp biến,
cộng tính, khớp trái trên phạm trù các R-môđun. Cho M là một R-môđun.
Khi đó tồn tại một lời giải nội xạ
M

α /

I0

d0 /

I1

d1 /

I2

d2 /

...

Ta có đối phức
·

F (I ) : 0

/ F (I 0 )

F (d0 )
F (d1 )
F (d2 )
/ F (I 1 )
/ F (I 2 )
/

...

Hàm tử dẫn xuất phải R· F của F là họ các hàm tử R· F = Ri F

∞
i=0

xác

định bởi Ri F (M ) = H i (F (I · )), trong đó H i (F (I · )) = KerF (di )/ImF (di−1 ).
1.4.2. Định lí. Ri F (M ) không phụ thuộc vào việc chọn lời giải nội xạ của
R-môđun M .


6

1.4.3. Định lí. R· F là một δ-hàm tử đối đồng điều, nghĩa là hai điều kiện
sau được thỏa mãn

(i) Giả sử
0 −→ M −→ N −→ P −→ 0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun. Khi đó, tồn tại các đồng cấu nối δ i sao
cho ta có dãy khớp dài
/

0

R0 F (M )
/

/...

R1 F (N )

/

R0 F (P )

δ0 /

Ri+1 F (M )
/

R0 F (N )
/

Ri F (P )

δi /

/

/

R1 F (M )
Ri+1 F (N )

/

...
/

(ii) Giả sử
0
/

0

M


/

M

/

N


/

N

/

0
/

0

P


P

là biểu đồ giao hoán các R-môđun trong đó các hàng là khớp. Khi đó, ta có
biểu đồ giao hoán sau với các hàng là khớp ∀i ∈ N
...
...

/

/

Ri F (M )
i

/


/

R F (M )

Ri F (N )
i

/



R F (N )

/

Ri F (P )
i

/

Ri+1 F (M )



R F (P )

/

R

i+1

...
/



F (M )

/

...

1.4.4. Mệnh đề. Ri F (Q) = 0, ∀i = 0 khi Q là môđun nội xạ.
∼
=

1.4.5. Mệnh đề. R0 F −
→ F . Do đó R0 F là hàm tử khớp trái.
1.4.6. Định lí. R· F =

Ri F

∞
i=0

là δ-hàm tử đối đồng điều phổ dụng,

nghĩa là R· F là một δ-hàm tử và thỏa mãn tính chất phổ dụng sau: Nếu
S = (Sn )n≥0 là δ-hàm tử nào đó và f0 : S0 −→ R0 F là một biến đổi tự nhiên
thì tồn tại cấu xạ f = (fn )n≥0 giữa hai δ-hàm tử R· F và S là nâng của f 0 .
1.4.7. Mệnh đề. Giả sử R, R là các vành giao hoán; F là hàm tử hiệp
biến, cộng tính, khớp trái từ phạm trù R-mod vào phạm trù R -mod. Cho
Fi

i∈N

là một δ-hàm tử đối đồng điều, hiệp biến từ phạm trù R-mod vào

phạm trù R -mod sao cho tồn tại tương đương tự nhiên ϕ : F 0

∼
= /

F và


7

F i (Q) = 0, ∀i ∈ N và với mọi R-môđun nội xạ Q. Khi đó tồn tại duy nhất
một đẳng cấu
ψ = (ψ i )i∈N : (F i )i∈N

∼
= /

(Ri F )i∈N

sao cho ψ 0 = ϕ.
1.5

Iđêan nguyên tố liên kết

1.5.1. Định nghĩa.(i) Giả sử R là một vành. Ta gọi phổ của R là tập tất
cả các iđêan nguyên tố của R và kí hiệu là Spec(R).
(ii) Giả sử p ∈ Spec(R) là một iđêan nguyên tố của R. Ta nói p là iđêan liên
kết với R-môđun M nếu p là linh hóa tử của một môđun con xyclic của M ,
nghĩa là tồn tại v ∈ M \ {0} sao cho p = (0 :R vR). Tập các iđêan nguyên
tố liên kết của M , kí hiệu là AssR (M ).
(iii) Cho M là một R-môđun. Phần tử x ∈ R được gọi là một ước của không
trên môđun M nếu tồn tại m ∈ M, m = 0 sao cho xm = 0. Tập tất cả các
ước của không trên M được kí hiệu là ZDR (M ). Vậy
ZDR (M ) = {x ∈ R | ∃m ∈ M \ {0} : xm = 0} .
Tập hợp
N ZDR (M ) = R \ ZDR (M )
được gọi là tập hợp các phần tử không là ước của không trên môđun M.
1.5.2. Mệnh đề. Nếu M là một R-môđun và N là môđun con của M thì
(i) ZDR (M ) =

p∈AssR (M ) p.

(ii) AssR (N ) ⊆ AssR (M ) ⊆ AssR (M/N ) ∪ AssR (N ).
(iii) Nếu M là môđun hữu hạn sinh thì AssR (M ) < ∞.
(iv) AssR (0) = ∅.
1.6

Dãy chính quy và độ sâu

1.6.1. Định nghĩa. Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh.
(i) Một dãy x1 , x2 , . . . , xr các phần tử của R được gọi là dãy chính quy của


8

M hay còn gọi là M -dãy nếu
i−1

xi ∈ N ZDR (M/

xj M ), ∀i = 1, . . . , r.
j=1

Trường hợp đặc biệt, x = xj là một M -dãy khi và chỉ khi x ∈ N ZDR (M ).
Khi đó ta cũng nói x là phần tử chính quy của M . Ta quy ước
0

xj M = 0.
j=1

(ii) Giả sử x1 , x2 , . . . , xr là một M -dãy khi đó r được gọi là độ dài của dãy.
(iii) Cho I là một iđêan của vành R sao cho IM = M và x1 , x2 , . . . , xr là
một M -dãy trong I. Khi đó x1 , x2 , . . . , xr được gọi là dãy chính quy cực đại
trong I nếu không tồn tại x ∈ I sao cho x1 , x2 , . . . , xr , x là dãy chính quy
của M . Ta biết rằng mọi dãy chính quy cực đại trong cùng một iđêan I đều
có cùng độ dài. Độ dài của một dãy chính quy cực đại trong iđêan I được
kí hiệu là gradeM (I). Khi I ⊆ ZDR (M ) thì gradeM (I) = 0 và khi M = 0
thì grade0 (I) = ∞.
(iv) Giả sử (R, m) là vành địa phương, Noether và M là hữu hạn sinh.

Khi đó, gradeM (m) được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depthM (hoặc
depthR M ).
(v) Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó, hạng số học (arithmetical rank)
của I được kí hiệu bởi ara(I), là số tự nhiên nhỏ nhất r sao cho tồn tại
√
r
a1 , a2 , . . . , ar ∈ R để
I. Nghĩa là
i=1 ai R =


r

√ 
ara(I) = min r | ∃a1 , a2 , . . . , ar ∈ R :
ai R = I


i=1

Chú ý rằng ara(I) = 0 ⇔

√

I=

√

0.

1.6.2. Bổ đề. Nếu x1 , x2 , . . . , xr ∈ R, s ∈ {1, 2, . . . , r − 1} và M là một
R-môđun thì
(i) x1 , x2 , . . . , xr là một M -dãy khi và chỉ khi x1 , x2 , . . . , xs là một M -dãy và
xs+1 , xs+2 , . . . , xr là một M/

s
l=1 xl M -dãy.


9

(ii) x1 , x2 , . . . , xr là một M -dãy khi và chỉ khi x1 ∈ N ZDR (M ) và x2 , . . . , xr
là một M/x1 M -dãy.
1.7

Chiều Krull của vành và môđun

1.7.1. Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán. Một dãy các iđêan nguyên
tố của R
p0 ⊃ p1 ⊃ p2 ⊃ . . . ⊃ pn
được gọi là một xích nguyên tố có độ dài n.
(i) Cho p là một iđêan nguyên tố của R. Cận trên của tất cả các độ dài của
các xích nguyên tố với p0 = p được gọi là độ cao của p, kí hiệu là ht(p).
Nghĩa là
ht(p) = sup độ dài của các xích nguyên tố với p0 = p
Cho I là iđêan của R, ta định nghĩa ht(I) = inf {ht(p) | p ∈ Spec(R), p ⊇ I} .
(ii) Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi
là chiều Krull của vành R, kí hiệu là dimR. Ta có
dimR = sup {ht(p) | p ∈ Spec(R)} .
(iii) Cho M là R-môđun. Khi đó dim(R/AnnR M ) được gọi là chiều Krull

của môđun M và kí hiệu là dimR M ( hoặc dimM nếu ta không để ý đến vành
R). Như vậy, dimR có thể vô hạn do ht(p) có thể vô hạn và dimM ≤ dimR.
1.7.2. Mệnh đề. (i) dim(M ) = −∞ ⇔ M = 0.
(ii) Nếu N là môđun con của M thì dim(N ) ≤ dim(M ), dim(M/N ) ≤
dim(M ).
(iii) Nếu x ∈ N ZDR (M ) thì dim(M/xM ) = dim(M ) − 1.
1.8

Giới hạn thuận

Cho (I, ≥) là một tập sắp thứ tự có tính chất định hướng. Cho (Mα )α∈I
là một họ các R-môđun. Họ này được gọi là một hệ thuận nếu với mọi


10

α ≤ β, (α, β ∈ I) thì có các đồng cấu ϕαβ : Mα −→ Mβ thỏa mãn các tính
chất sau:
(i) ϕαα = 1dMα .
(ii) Với ∀α ≤ β ≤ γ, (α, β, γ ∈ I) ta có biểu đồ giao hoán sau:
Mα C

CC
CC
ϕαγ CCC!

ϕαβ

Mγ

/M

β

ϕβα
}

Ta xét tập
M∞ =

Mα
α∈I

là hợp rời các tập Mα . Từ Mα ta xác định quan hệ ∼ như sau: Với ∀x, y ∈
M∞ , x ∼ y ⇔ nếu x ∈ Mα , y ∈ Mβ thì tồn tại γ ≥ α, α ≥ β để ϕαγ (x) =
ϕβγ (y).
Với cách xác định quan hệ ∼ như trên ta có quan hệ ∼ là một quan hệ tương
đương.
Đặt
Mα / ∼:= lim
Mα
−
→
α

và gọi là giới hạn thuận của hệ thuận (Mα )α∈I .


Chương 2
Hàm tử đối đồng điều địa phương

2.1

Môđun xoắn

2.1.1. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị,
Noether R. Với mỗi R-môđun M , đặt
(0 :M I n )

ΓI (M ) =
n≥0

Khi đó, ΓI (M ) là một môđun con của M . Môđun ΓI (M ) được gọi là môđun
con I-xoắn của R-môđun M .
Sau đây ta sẽ chứng minh một số tính chất của môđun xoắn.
2.1.2. Mệnh đề. Giả sử I, J là hai idêan của vành giao hoán Noether R
và M là một R-môđun. Khi đó
(i) Γ0 (M ) = M ; ΓR (M ) = 0.
(ii) I ⊆ J ⇒ ΓJ (M ) ⊆ ΓI (M ).
√
√
(iii) I = J ⇒ ΓI (M ) = ΓJ (M ).
(iv) ΓI+J (M ) = ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ).
Chứng minh. (i) Kết quả được suy trực tiếp từ Định nghĩa 2.1.1.
(ii) Với ∀m ∈ ΓJ (M ) ⇒ ∃n ∈ N : mJ n = 0. Do I ⊆ J nên mI n = 0. Do đó,
ΓJ (M ) ⊆ ΓI (M ).

√
√
(iii) Với I là iđêan của R ta có I = {x ∈ R | ∃n ∈ N : xn ∈ I}. Do I =
√

J và R là vành Noether nên tồn tại các số tự nhiên n, m sao cho I n ⊆ J
và J n ⊆ I. Từ đó suy ra ΓI (M ) = ΓJ (M ).
(iv) Do I ⊆ (I + J), J ⊆ (I + J) nên theo ii) ta có ΓI+J (M ) ⊆ ΓI (M ),
ΓI+J (M ) ⊆ ΓJ (M ). Do đó, ΓI+J (M ) ⊆ ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ).
Mặt khác, với ∀m ∈ ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ) ⇒ ∃n, t ∈ N : mI n = 0, mJ t = 0.


12

Đặt k := n + t. Do I, J là các iđêan của R nên (I + J)k ⊆ I n + J t . Điều này
kéo theo m(I + J)k = 0. Do đó, m ∈ ΓI+J (M ) và ta có ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ) ⊆
ΓI+J (M ). Vậy ta có ΓI+J (M ) = ΓI (M ) ∩ ΓJ (M ).
2.1.3. Mệnh đề. Cho I là iđêan của vành R. M và N là hai R-môđun. Khi
đó
(i) Nếu h : M −→ N là một đồng cấu R-môđun thì h(ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ).
(ii) ΓI (M/ΓI (M )) = 0.
Chứng minh. (i) Với ∀u ∈ h(ΓI (M )), ∃m ∈ ΓI (M ) : h(m) = u. Do m ∈
ΓI (M ) nên ∃n ∈ N : mI n = 0. Do đó, h(m)I n = h(mI n ) = h(0) = 0, suy ra
u = h(m) ∈ ΓI (N ). Vậy h(ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ).
(ii) Ta có ΓI (M/ΓI (M )) = {m + ΓI (M ) | ∃n ∈ N : (m + ΓI (M ))I n = 0}
= {m + ΓI (M ) | mI n ∈ ΓI (M )}
= {m + ΓI (M ) | m ∈ ΓI (M )}
= {ΓI (M )} = 0.
2.1.4. Mệnh đề. Giả sử M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một iđêan
của R. Khi đó
(i) ∃n ∈ N : ΓI (M ) = (0 :M I n ).
(ii) ∃m ∈ N : I m M ∩ ΓI (M ) = 0.
Chứng minh. (i) Giả sử M được sinh bởi tập gồm k phần tử m1 , m2 , . . . , mk .
Khi đó, với ∀m ∈ ΓI (M ), tồn tại x1 , x2 ,. . . , xk ∈ R sao cho m = m1 x1 +
m2 x2 + . . . + mk xk . Do m ∈ ΓI (M ) nên tồn tại n0 ∈ N sao cho mI n0 = 0.

Do đó, m1 I n0 + m2 I n0 + . . . + mk I n0 = 0.
Từ kết quả trên ta có: với ∀m ∈ ΓI (M ), ∃y1 , y2 , . . . , yk ∈ R : m =
m1 y1 + m2 y2 + . . . + mk yk . Do đó, m I n0 = 0, suy ra m ∈ (0 :M I n0 ).
Mặt khác, theo Định nghĩa 2.1.1, ta có (0 :M I n ) ⊆ ΓI (M ). Vậy ta có
điều phải chứng minh.
(ii) ¸p dụng Bổ đề Artin - Rees, ta có điều phải chứng minh.


13

2.1.5. Bổ đề. Giả sử I là iđêan của vành R và M là một R-môđun. Khi đó
(i) ΓI (M ) = 0 ⇒ I ⊆ ZDR (M ).
(ii) Nếu M là môđun hữu hạn sinh và I ⊆ ZDR (M ) thì ΓI (M ) = 0.
Chứng minh. (i) Vì ΓI (M ) = 0 nên tồn tại m ∈ M \ {0} : ∃n ∈ N, mI n = 0.
Lấy x bất kì thuộc I, ta có mxn = (mxn−1 )x = 0 và mxn−1 ∈ M.

(2.1)

Nếu mxn−1 = 0 thì từ (2.1), ta có x ∈ ZDR (M ). Do đó I ⊆ ZDR (M ).
Nếu mxn−1 = (mxn−2 )x = 0, lập luận tương tự ta có: I ⊆ ZDR (M ), hoặc
mxn−2 = 0.
Tiếp tục quá trình lập luận trên sau n − 1 bước ta có: I ⊆ ZDR (M ),
hoặc m = 0. Tuy nhiên m = 0 vì m ∈ M \ {0}. Vậy ta có điều phải chứng
minh.
(ii) Theo Bổ đề 1.5.2, AssR (M ) là tập hữu hạn. Do đó ta có thể viết
AssR (M ) = {p1 , p2 , . . . , pr }. Cũng theo Bổ đề 1.5.2, ta có I ⊆ p1 ∪p2 ∪. . .∪pr .
Do đó tồn tại i ∈ {1, 2, . . . , r} sao cho I ⊆ pi . Vì pi ∈ AssR (M ) nên tồn tại
v ∈ M \ {0} sao cho pi = (0 :R Rv). Điều này kéo theo Iv ⊆ pi v = 0. Do
vậy v ∈ ΓI (M ) \ {0}.
Cho I là một iđêan của vành R. Ta kí hiệu V (I) = {p ∈ Spec(R) | I ∈ p}.

2.1.6. Mệnh đề. Giả sử M là một R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
của R. Khi đó ta có
(i) AssR (ΓI (M )) = AssR (M ) ∩ V (I).
(ii) AssR (M/ΓI (M )) = AssR (M ) \ V (I).
Chứng minh. (i) Giả sử p ∈ AssR (ΓI (M )). Do ΓI (M ) là môđun con của M
nên theo Bổ đề 1.5.2, ta có p ∈ AssR (M ). Do M là môđun hữu hạn sinh
nên theo Mệnh đề 2.1.4, tồn tại n ∈ N sao cho I n ΓI (M ) = 0. Do vậy ta có
I n ⊆ (0 :R ΓI (M )). Do đó, I n ⊆ p, suy ra I ⊆ p. Vậy ta có p ∈ V (I). Do đó
AssR (ΓI (M )) ⊆ AssR (M ) ∩ V (I).


14

Giả sử p ∈ AssR (M ) ∩ V (I). Khi đó có v ∈ M sao cho (0 :R vR) = p. Vì
I ⊆ p nên ta có Iv = 0. Vậy v ∈ ΓI (M ) và do đó p ∈ AssR (ΓI (M ). Do đó
AssR (M ) ∩ V (I) ⊆ AssR (ΓI (M )).
Vậy AssR (ΓI (M )) = AssR (M ) ∩ V (I).
(ii) Giả sử p là một iđêan liên kết tùy ý của M/ΓI (M ). Vì M/ΓI (M ) là
môđun hữu hạn sinh và thỏa mãn ΓI (M/ΓI (M )) = 0 nên theo Bổ đề 2.1.5,
tồn tại x ∈ N ZDR (M/ΓI (M ))∩I. Vì p ⊆ ZDR (M/ΓI (M )) nên theo Bổ đề
1.5.2, x ∈
/ p. Bằng cách chọn p, ta tìm được phần tử v ∈ M/ΓI (M ) sao
cho (0 :R Rv) = p. Giả sử v ∈ M sao cho v = v + ΓI (M ) thì từ pv = 0
kéo theo pv ∈ ΓI (M ). Do M là môđun hữu hạn sinh nên ∃n ∈ N sao cho
I n ΓI (M ) = 0. Do đó, p(xn vR) = xn pv ⊆ I n ΓI (M ) = 0. Vậy p ∈ (0 :R vxn R).
Đảo lại, giả sử I ⊆ (0 :R Rxn v). Khi đó, (Ixn )v = I(xn v) = 0 ∈ ΓI (M ),
suy ra Ixn v = 0. Do đó Ixn ∈ (0 :R Rv) = p. Lại do x ∈
/ p nên I ⊆ p.
Như vậy ta đã chỉ ra rằng (0 :R Rxn v) = p và do đó p ∈ AssR (M ). Lại
do I

x∈
/ p nên ta cũng có p ∈
/ V (I).

Giả sử p ∈ AssR (M ) \ V (I). Theo Bổ đề 1.5.2, ta có p ∈ AssR (ΓI (M ) ∪
AssR (M/ΓI (M )). Do p ∈
/ V (I) nên theo i) ta có p ∈
/ AssR (ΓI (M )). Do đó
p ∈ AssR (M/ΓI (M )).
2.1.7. Mệnh đề. Giả sử R là một vành, S ⊆ R là tập khác rỗng và đóng kín
với phép nhân, M là một R-môđun. Khi đó, tồn tại đẳng cấu S −1 R-môđun
ρ : S −1 ΓI (M ) −→ ΓIS −1 R (S −1 M )
m
xác định bởi: s

→

m
s , ∀m ∈ ΓI (M ), s ∈ S.

Chứng minh. Vì ΓI (M ) là một môđun con của M nên tồn tại đơn cấu
ρ : S −1 ΓI (M ) −→ S −1 M
m
m
của các S −1 R-môđun cho bởi: s → s , ∀m ∈ ΓI (M ), s ∈ S.
Ta sẽ chỉ ra rằng đơn cấu ρ thỏa mãn
ρ(S −1 ΓI (M )) = ΓIS −1 R (S −1 M )

15

Thật vậy, giả sử u là phần tử bất kì của ρ(S −1 ΓI (M )). Khi đó tồn tại
m
m ∈ ΓI (M ), s ∈ S sao cho u = s . Do ΓI (M ) ⊆ M nên u ∈ S −1 M. Lại
do, m ∈ ΓI (M ) nên tồn tại n ∈ N sao cho I n m = 0. Do đó, (IS −1 R)n u =
n

I n S −1 R ms = S −1 R I sm = 0, suy ra u ∈ ΓIS −1 R (S −1 M ). Vậy
ρ(S −1 ΓI (M )) ⊆ ΓIS −1 R (S −1 M )
m
Mặt khác, với ∀u ∈ ΓIS −1 R (S −1 M ) ⇒ ∃m ∈ M, s ∈ S : u = s . Khi đó
m
tồn tại n ∈ N sao cho (IS −1 R)n s = 0. Giả sử x1 , x2 , ..., xr là hệ sinh của I n ,
xm
tức là I n =< x1 , x2 , ..., xr >. Khi đó, với mỗi i ∈ {1, 2, ..., r} ta có: i 2 =
s
xi m
s s = 0 và do đó ti xi m = 0, ti ∈ S.
Giả sử t = t1 t2 ...tr . Do S đóng kín đối với phép nhân nên t, st ∈ S và
xi tm = 0, ∀i ∈ {1, 2, ..., r}, suy ra I n tm = 0. Do đó, tm ∈ ΓI (M ). Vậy
m
tm
tm
ta có: u =
=
= ρ( ) ∈ ρ(S −1 ΓI (M )), suy ra ΓIS −1 R (S −1 M ) ⊆
s
ts
ts

ρ(S −1 ΓI (M )). Vậy ρ(S −1 ΓI (M )) = ΓIS −1 R (S −1 M ).
2.1.8. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành R. Một R-môđun M được
gọi là I-xoắn nếu M = ΓI (M ), nghĩa là với mỗi m ∈ M , tồn tại n ∈ N sao
cho mI n = 0.
2.1.9. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành Noether R và M là một Rmôđun. Khi đó ΓI (M ) là I-xoắn.
Chứng minh. Với mọi m ∈ ΓI (M ), suy ra tồn tại n ∈ N sao cho mI n = 0.
Do đó, ΓI (M ) là I-xoắn.
2.1.10. Bổ đề. Nếu M là I-xoắn, N là môđun con của M thì N và M/N
là I-xoắn.
Chứng minh. Với ∀m ∈ N , suy ra m ∈ M . Do M là I-xoắn nên ∃n ∈ N :
mI n = 0. Vậy N là I-xoắn.
Với ∀m ∈ M/N , do m ∈ M nên ∃n ∈ N : mI n = 0. Do đó, mI n =
(m + N )I n = mI n + N I n = 0 + N = 0. Vậy M/N là I-xoắn.
2.1.11. Bổ đề. Nếu I là một iđêan của vành Noether R và M là R-môđun
nội xạ thì ΓI (M ) cũng là môđun nội xạ.


16

Chứng minh. Giả sử J là một iđêan của R. Khi đó J là một R-môđun. Giả
sử f : J −→ ΓI (M ) là một đồng cấu của các R-môđun. Do M là môđun
nội xạ nên tồn tại R-đồng cấu h : R −→ M sao cho f = h ◦ i, trong đó
i : J −→ R là đồng cấu bao hàm. Đặt k := h(1). Ta có
f (b) = (h ◦ i)(b) = h(i(b)) = h(b) = h(b.1) = bh(1) = bk
Do đó f (b) = bk, ∀b ∈ J ⇒ f (J) ⊆ Rk. Vì f (J) là môđun con của ΓI (M )
nên f (J) là I-xoắn. Do vậy, f (J) ⊆ ΓI (Rk). Vì Rk là R-môđun hữu hạn
sinh nên tồn tại m ∈ N sao cho
I m (Rk) ∩ ΓI (Rk) = 0
⇒ I m (Rk) ∩ f (J) = 0
⇒ I m k ∩ Jk = 0

Điều này chứng tỏ I m k + Jk là tổng trực tiếp. Do vậy, tồn tại ánh xạ
ϕ : I m k + Jk −→ Jk
(uk + bk) −→ bk
∀u ∈ I m , ∀b ∈ J. Vì (I m + J)k = I m k + Jk nên ta có thể xác định được
R-đồng cấu
f : (I m + J) −→ Jk
v −→ ϕ(vk), ∀v ∈ I m + J
Vậy với mọi u ∈ I m , ∀b ∈ J ta có f (u + b) = bk.
Vì M là nội xạ nên tồn tại R-đồng cấu h : R −→ M của các R-môđun sao
cho f = h ◦ i, trong đó i : (I m + J) −→ R là đồng cấu bao hàm. Đặt e = h(1)
thì với mỗi x ∈ R ta có h(x) = h(x.1) = xh(1) = xe. Do đó h(x) = xe.
Với mỗi u ∈ I m , u.e = h(u) = h(i(u)) = (h ◦ i)f (u) = f (u + 0) = 0k = 0.
Do đó, I m = 0 và do đó e ∈ ΓI (M ). Ngoài ra với mỗi b ∈ J, ta cũng có
f (b) = bk = f (b + 0) = f (b) = (h ◦ i)(b) = h(b) = be
Như vậy ta đã chỉ ra rằng, với mỗi b ∈ J, tồn tại e ∈ ΓI (M ) sao cho
f (b) = be. Do đó, ΓI (M ) là môđun nội xạ.


17

2.1.12. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R-môđun
và I-xoắn. Khi đó tồn tại đơn cấu M −→ N của các R-môđun sao cho N
là nội xạ và I-xoắn.
Chứng minh. Vì phạm trù các R-môđun là phạm trù đủ vật nội xạ nên tồn
tại R-môđun nội xạ J và một đơn cấu i : M −→ J. Vì ΓI là hàm tử khớp
trái nên ta có đơn cấu
ΓI (i) : ΓI (M ) −→ ΓI (J)
Do M là I-xoắn nên ΓI (M ) = M . Đặt N := ΓI (J) ta có đơn cấu
ΓI (i) : M −→ N
Theo Bổ đề 2.1.11, N là nội xạ. Lại do N = ΓI (J) = ΓI (ΓI (J)) = ΓI (N )

nên N là I-xoắn.
2.1.13. Hệ quả. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R-môđun
và I-xoắn. Khi đó M có một lời giải nội xạ (I · , d· ) mà tất cả các môđun I i
là I-xoắn.
Chứng minh. Ta cần phải xây dựng dãy khớp
0

/

M

ε
/

d0 /

I0

d1 /

I1

I2

d2 /

...

(2.2)

trong đó tất cả các I i là nội xạ và I-xoắn. Từ Hệ quả 2.1.12 ta có dãy khớp
/

0

ε

M

/

I0

trong đó I 0 là nội xạ và I-xoắn. Theo Bổ đề 2.1.10, Coker(ε) = I 0 /Im(ε)
là I-xoắn. Theo Hệ quả 2.1.12, tồn tại đơn cấu t0 : Coker(ε) −→ I 1 sao cho
I 1 là R-môđun nội xạ và I-xoắn. Xét quy tắc
d0 : I 0 −→ I 1
u −→ t0 (u + Im(ε))
thì d0 là R-đồng cấu và Ker(d0 ) = Im(ε). Do vậy ta có dãy khớp
0

/

M

ε
/

I0

d0 /

I1


18

trong đó I 0 và I 1 là nội xạ và I-xoắn. Theo Hệ quả 2.1.12, tồn tại đơn cấu
t1 : Coker(d0 ) −→ I 2 , trong đó I 2 nội xạ và I-xoắn. Xét quy tắc
d1 : I 1 −→ I 2
u −→ t1 (u + Im(d0 ))
thì d1 là R-đồng cấu và Ker(d1 ) = Im(d0 ). Do vậy ta có dãy khớp
/

0

ε

M

/

d0 /

I0

d1 /

I1

I2

trong đó I 0 , I 1 , I 2 là nội xạ và I-xoắn. Tiếp tục quá trình trên ta thu được
dãy khớp (3.1). Vậy hệ quả được chứng minh.
2.1.14. Hệ quả. Cho I là một iđêan của vành Noether R, M là một Rmôđun và I-xoắn. Nếu
I· : 0

d−1 /

I0

d0 /

d1 /

I1

...
/

di /

Ii

...

là một lời giải nôị xạ của M thì
ΓI (d−1 )

ΓI (I · ) : 0

ΓI (I 0 )
/

ΓI (d0 )
/Γ

I (I

1
1 ΓI (d ) /
)

ΓI (di )

...

ΓI (I i )
/

/...

cũng là một lời giải nội xạ của M.
Chứng minh. Vì I i là R-môđun nội xạ nên ΓI (I i ) cũng là R-môđun nội xạ.
Do đó ta có phức nội xạ
ΓI (d−1 )

ΓI (I · ) : 0

/

ΓI (I 0 )

ΓI (d0 )
/Γ

I (I

1
1 ΓI (d ) /
)

...
/

ΓI (di )

ΓI (I i )

/...

Ta có dãy khớp
0

/M

/

/

I0

I1

/

...
/

Ii

/

...

Tác dụng ΓI (·) vào dãy khớp trên với chú ý M là I-xoắn ta được dãy khớp
0

/

M

/

ΓI (I 0 )
/

ΓI (I 1 )

Vậy ΓI (I · ) là lời giải nội xạ của M.

/

...
/

ΓI (I i )
/

...


19

2.2

Hàm tử xoắn

2.2.1. Định nghĩa. Cho R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị. Cho M
là một R-môđun và I là một iđêan của R. Nếu h : M −→ N là đồng cấu
R-môđun thì theo Mệnh đề 2.1.3, ta có h(ΓI (M )) ⊆ ΓI (N ). Do đó ta có
đồng cấu R-môđun
ΓI (h) : ΓI (M ) −→ ΓI (N )
xác định bởi m −→ h(m), ∀m ∈ ΓI (M ). Kí hiệu R-mod là phạm trù các
R-môđun. Khi đó ΓI = ΓI (·) : R-mod −→ R-mod xác định bởi M −→
ΓI (M ), với mọi R-môđun M là một hàm tử cộng tính, hiệp biến trên phạm
trù các R-môđun. Hàm tử ΓI được gọi là hàm tử I-xoắn.
2.2.2. Mệnh đề. ΓI là hàm tử khớp trái.
Chứng minh. Giả sử
/

0

f /

L

M

g
/

N

/

0

(2.3)

là dãy khớp ngắn các R-môđun. Ta cần chỉ ra dãy sau là khớp
0

/

ΓI (L)

ΓI (f )
Γ (g)
/ Γ (M ) I /

I

ΓI (N )

(2.4)

Do f là đơn cấu nên ΓI (f ) cũng là đơn cấu. Do ΓI là hàm tử hiệp biến trên
phạm trù các R-môđun, và (2.3) là khớp nên ΓI (g)ΓI (f ) = ΓI (g ◦ f ) = 0.
Do đó Im(ΓI (f )) ⊆ Ker(ΓI (g)).
Mặt khác, với mọi m ∈ Ker(ΓI (g)) ta có m ∈ ΓI (M ). Do đó ∃n ∈ N :
mI n = 0 và g(m) = 0. Do m ∈ Ker(g) nên ∃m ∈ L : f (m ) = m. Từ
đó ta suy ra: ∀a ∈ I n , f (am ) = af (m ) = am = 0. Lại do f đơn cấu nên
am = 0 ⇒ m ∈ (0 :L I n ), nghĩa là ΓI (f )(m ) = m, suy ra m ∈ Im(ΓI (f )).
Do đó Ker(ΓI (g)) ⊆ Im(ΓI (f ))
Vậy Im(ΓI (f )) = Ker(ΓI (g)) và do đó (2.4) là dãy khớp.
2.2.3. Nhận xét. Theo Mệnh đề 2.2.2, ΓI là hàm tử khớp trái. Tuy nhiên,
ví dụ sau đây sẽ chỉ ra rằng ΓI không khớp phải và do đó ΓI không phải là


20

hàm tử khớp. Xét vành các số nguyên Z và iđêan I = 2Z của vành các số
nguyên Z. Ta có dãy khớp ngắn các Z-môđun
/

0

Z

f

/

Z

g/

Z/2Z
/

0

trong đó f, g là các Z-đồng cấu xác định bởi
f (a) = 2a, ∀a ∈ Z
g(a) = a + 2Z, ∀a ∈ Z.
Theo Mệnh đề 2.2.2, ta có dãy khớp
0

/

ΓI (Z)

ΓI (f )
/Γ

I (Z)

ΓI (g)
/ Γ (Z/2Z)
I

Tuy nhiên ΓI (g) không toàn ánh. Thật vậy, ta có ΓI (Z) = 0. Do đó nếu
a = a + 2Z ∈ ΓI (Z/2Z) với a = 0 thì không có tạo ảnh bởi ΓI (g). Vậy ΓI (g)
không phải là toàn ánh. Suy ra ΓI không khớp phải. Điều đó kéo theo ΓI
không phải là hàm tử khớp.
2.3

Hàm tử đối đồng điều địa phương

2.3.1. Định nghĩa. Cho I là một iđêan của vành giao hoán, có đơn vị,
Noether R. Ta có hàm tử xoắn ΓI là một hàm tử hiệp biến, cộng tính, khớp
trái trên phạm trù các R-môđun. Hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử
ΓI được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i đối với iđêan I và được
kí hiệu là HIi . Vậy HIi (·) = Ri ΓI (·)

(i ∈ N).

2.3.2. Nhận xét. Do HIi là hàm tử dẫn xuất phải nên hàm tử đối đồng
điều địa phương HIi có đầy đủ các tính chất của một hàm tử dẫn xuất phải.
Sau đây là một số tính chất của hàm tử đối đồng điều địa phương.
2.3.3. Mệnh đề. Với mỗi i ∈ N, hàm tử đối đồng điều địa phương HIi là
hàm tử hiệp biến, tuyến tính.
Chứng minh. Do ΓI là hàm tử hiệp biến, tuyến tính nên với mỗi i ∈ N, hàm
tử đối đồng điều địa phương HIi cũng hiệp biến, tuyến tính.


21

2.3.4. Mệnh đề. HI0 (·) = ΓI (·).
Chứng minh. Tính chất này được suy từ Mệnh đề 1.4.5.
2.3.5. Mệnh đề. Cho I, J là các iđêan của vành R. Khi đó

√
√
(i) Nếu I = J thì HIi (·) = HJi (·), ∀i ∈ N.
i
i
(ii) HIJ
(·) = HI∩J
(·), ∀i ∈ N.

Chứng minh. (i) Do

√

I =

√

J nên theo Mệnh đề 2.1.2 ta có ΓI (M ) =

ΓJ (M ). Do đó, HIi (·) = HJi (·), ∀i ∈ N.
(ii) Do I, J là các iđêan của vành R nên IJ ⊆ I ∩ J ⊆ I và IJ ⊆ I ∩ J ⊆ J.
√
√
√
√
Do đó, IJ ⊆ I ∩ J ⊆ I ∩ J.
√
√
Mặt khác, với mọi x ∈ I ∩ I, tồn tại m, n ∈ N sao cho xm ∈ I, xn ∈ J.
√

√
√
√
Do đó xm+n ∈ IJ. Điều này kéo theo x ∈ IJ và do đó I ∩ J ⊆ IJ.
√
√
Vậy IJ = I ∩ J. ¸p dụng kết quả (i), ta có điều phải chứng minh.
Cho I là một iđêan của vành R. Khi đó ta có hệ ngược {R/I n }n∈N các
R-môđun với các đồng cấu tự nhiên
fnm : R/I n −→ R/I m ,

(n ≥ m).

Với mỗi R-môđun M , ta có hệ thuận ExtiR (R/I n , M )

n∈N

, (i ∈ N) các

R-môđun. Do đó, ta có giới hạn thuận
lim
ExtiR (R/I n , M ),
−
→
n

(∀i ∈ N)

i
n

→
Hàm tử lim−
n ExtR (R/I , ·) là một hàm tử từ phạm trù R-mod đến phạm

trù R-mod. Định lí sau đây cho ta thấy rằng hàm tử này tương đương tự
nhiên với hàm tử đối đồng điều địa phương HIi (·).
2.3.6. Định lí. Giả sử I là iđêan của vành Noether R. Khi đó
∼
=

HIi (·) →
− −
lim
ExtiR (R/I n , ·), ∀i ∈ N.
−→
n∈N

Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, hàm tử mở rộng F =

ExtiR (R/I n , ·)
n

i∈N

là họ các hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử HomR (R/I , ·). Do hàm tử


22

HomR (R/I n , ·) là hàm tử cộng tính, hiệp biến, khớp trái nên theo Định lí

1.4.3 và Mệnh đề 1.4.4, thì F là δ-hàm tử đối đồng điều và ExtiR (R/I n , Q) =
0, với mọi R-môđun Q và mọi i = 0. Vì giới hạn thuận là hàm tử khớp
nên suy ra

−→ Exti (R/I n , ·)
lim−
R
n∈N

i∈N

cũng là δ-hàm tử đối đồng điều và

−→ Exti (R/I n , Q) = 0, ∀i ∈ N. Mặt khác, theo định nghĩa hàm tử đối
lim−
R
n∈N

đồng điều địa phương HIi (·) là hàm tử dẫn xuất phải của hàm tử xoắn cộng
tính, hiệp biến, khớp trái ΓI (·). Do đó, ¸p dụng Mệnh đề 1.4.7, ta có các
tương đương tự nhiên
∼
=

−→ Exti (R/I n , ·), ∀i ∈ N.
HIi (·) →
− lim−
R
n∈N

Chương 3
Môđun đối đồng điều địa phương
3.1

Định nghĩa và các tính chất cơ bản

3.1.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành giao hoán, có đơn vị, Noether
R. Ta có các hàm tử đối đồng điều địa phương HIi (·), i ∈ N. Cho M là một
R-môđun. Khi đó HIi (M ) được gọi là môđun đối đồng điều địa phương thứ
i của M có giá là I.
3.1.2. Nhận xét. Với mỗi R-môđun M , từ định nghĩa trên ta có thể xác
định môđun đối đồng điều địa phương HIi (M ) như sau:
Trước hết ta lấy lời giải nội xạ I · của M
I· : 0

d− 1 /

I0

d0 /

I1

d1 /

i−1

... d

/

di /

Ii

...

Khi đó có một R-đồng cấu α : M −→ I 0 sao cho dãy sau là khớp
/M

0

α /

I0

d0 /

I1

d1 /

... d

i−1

/

Ii

di /

...

Do ΓI là hàm tử hiệp biến nên ta có phức
0

ΓI (d−1 )
Γ (d0 )
Γ (di−1 )
Γ (di )
/ Γ (I 0 ) I
/... I
/ Γ (I i ) I
/
I
I

...

Do đó, HIi (M ) = Ker(ΓI (di ))/Im(ΓI (di−1 )).
Từ Mệnh đề 2.3.4, ta có HI0 (M ) = ΓI (M ). Do ΓI (M ) là môđun con của M
nên HI0 (M ) là môđun con của M .
Cho N là tập các số tự nhiên. Ta kí hiệu N∗ = N \ {0} .
3.1.3. Mệnh đề. Nếu M là R-môđun nội xạ thì HIi (M ) = 0, ∀i ∈ N∗ .
Chứng minh. Kết quả trên được suy từ Mệnh đề 1.4.4.


24

3.1.4. Mệnh đề. Từ dãy khớp ngắn các R-môđun
/

0

f

M

/

g

N

/P

/

0

ta có dãy khớp dài
/

0
...

/

HI0 (M )

HI0 (f ) 0
H 0 (g)
/ H (N ) I / H 0 (P )
I
I

HIi (M )

HIi (f )
H i (g)
/ H i (N ) I / H i (P )
I
I

HI1 (M )
/

/

HIi+1 (M )

/

...
/

...

Chứng minh. ¸p dụng Mệnh đề 1.4.3, ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề sau cho thấy rằng, nếu N = M và f là ánh xạ nhân bởi phần
tử chính quy x ∈ M thì các ánh xạ HIi (f ) cũng là ánh xạ nhân bởi x.
3.1.5. Mệnh đề. Giả sử I là iđêan của vành Noether R, M là một R-môđun
và x là một phần tử chính quy của M . Khi đó ta có dãy khớp dài
0

/

HI0 (M )

x(·)
/

HI0 (M )

x(·)
δ i−1
/ H i (M )
/ H i (M )
I
I

/

HI0 (M/xM ) δ

i
/ H i (M/xM ) δ
I

0

/

/

HI1 (M )

HIi+1 (M )

...
/

/

...

trong đó, x(·) là ánh xạ nhân
x(·) : M −→ M
m −→ xm, ∀m ∈ M
Chứng minh. Do x(·) : M −→ M
m −→ xm, ∀m ∈ M
là ánh xạ nhân nên x(·) = x.idM . Do đó, nếu F là một hàm tử trên phạm
trù các R-môđun thì đồng cấu F (x(·)) : F (M ) −→ F (M ) cũng là đồng cấu
x(·) : F (M ) −→ F (M ).
Vì x là phần tử chính quy của M nên ta có dãy khớp ngắn các R-môđun
0

/M

x(·)
/

M

p/

M/xM
/

0


25

trong đó p là đồng cấu tự nhiên
p : M −→ M/xM
m −→ m + xM, ∀m ∈ M.
Lại do ΓI là hàm tử khớp trên phạm trù các R-môđun nên áp dụng Mệnh
đề 3.1.4, ta có dãy khớp dài
/

0

HI0 (M )

x(·)
/

HI0 (M )

0
HI0 (p) 0
/ H (M/xM ) δ
I

/

i
HIi (p) i
x(·)
δ i−1
/ H i (M )
/ H i (M )
/ H (M/xM ) δ
I
I
I

/

HI1 (M )

...

HIi+1 (M )

/

/

...

Vậy Mệnh đề được chứng minh.
3.1.6. Mệnh đề. Từ sơ đồ giao hoán các R-môđun
/

0
0

/

N


h
/

h /

N

l

M


l

M

/

/

/

0
/

0

P


P

với các dòng là khớp, ta có sơ đồ giao hoán sau với các dòng là khớp
...
...

/

HIi (h)
HIi (l)
i
i
/
/

HI (N )
HI (M )


/

HIi (N )


HIi (h ) i
/ H (M
I

)

HIi (P )


HIi (l )
/ H i (P
I

/


/ H i+1 (N
I

)

/

...
/

...

HIi+1 (N )
)

Chứng minh. ¸p dụng Định lí 1.4.3, ta có điều phải chứng minh.
√
√
3.1.7. Mệnh đề. (i) Nếu I = J thì HIi (M ) = HJi (M ), ∀i ∈ N.
i
i
(ii) HIJ
(M ) = HI∩J
(M ), ∀i ∈ N.

Chứng minh. ¸p dụng Mệnh đề 2.3.5, ta có điều phải chứng minh.
3.1.8. Mệnh đề. Nếu I là một iđêan của vành Noether R, M là một Rmôđun thì với mọi i ∈ N ta có HIi (M ) là I-xoắn.
Chứng minh. Giả sử
I· : 0

d−1 /

I0

d0 /

I1

d1 /

i−1

... d

/

Ii

di /

...