Hệ thống bài tập phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt

1

lời nói đầu
Trong Phơng pháp Toán- Lý cũng nh trong các môn học khác, việc giải
bài tập là hết sức quan trọng, nó giúp cho sinh viên nắm vững hơn về lý thuyết,
rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng kiến thức một cách tốt hơn, nhng
muốn giải đợc bài tập, cần phải có phơng pháp giải. Với mỗi dạng bài tập có
một hoặc nhiều phơng pháp giải, vì thế việc xây dựng và lựa chọn phơng pháp
giải hợp lý cho mỗi dạng bài tập là rất cần thiết.
Các bài tập Phơng pháp Toán- Lý gồm nhiều phần, trong phạm vi khoá
luận này chúng tôi chỉ xin đề cập tới các bài tập về phơng trình truyền sóng và
phơng trình truyền nhiệt. Do số tiết bài tập về phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt không nhiều nên sinh viên ít có điều kiện hệ thống lại và
hình thành kỹ năng giải bài tập cho mình , vì vậy khả năng giải các bài tập của
sinh viên còn nhiều hạn chế.
Có 3 phơng pháp đợc dùng để giải các bài toán của phơng trình Vật lýToán, trong phạm vi của một khoá luận chúng tôi chỉ xin đề cập tới phơng
pháp tách biến, phơng pháp này đợc dùng để giải các bài tập cho cả hai phần :
phơng trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt.
Trong thực tế đối với bài tập truyền sóng ta gặp rất nhiều bài toán truyền
sóng trong môi trờng hữu hạn, trong đó quy luật truyền sóng rõ ràng phải phụ
thuộc vào chế độ ở trên biên của khoảng không gian. Vấn đề này sẽ đợc xét cụ
thể hơn trong phần bài tập về dao động của dây (hoặc thanh) và dao động của
màng, với phơng trình truyền nhiệt cũng vậy, nó phản ánh quy luật truyền
nhiệt trong vật khi biết đợc phân bố nhiệt độ ban đầu và xác lập chế độ nhiệt
tại biên .
Chúng ta có thể gặp các bài toán của phơng trình truyền sóng và phơng
trình truyền nhiệt trong không gian nhiều chiều, nhng trong nội dung của một
khoá luận chúng tôi chỉ xin giới thiệu một số bài toán xét trong không gian


2
một chiều và hai chiều đợc trình bày trong bộ môn Phơng pháp Toán- Lý dùng

cho sinh viên ngành Vật lý.
Có thể nói phơng pháp tách biến là một phơng pháp dễ tiếp thu đối
với sinh viên ngành Vật lý, nhng để có thể giải trọn vẹn một bài toán có sử
dụng phơng pháp này thì yêu cầu ngời giải phải nắm đợc những kiến thức của
chơng trình toán cao cấp , nhất là lý thuyết phơng trình vi phân và chuỗi hàm .
Vì những lý do trên tôi đã chọn đề tài : Hệ thống bài tập phơng
trình truyền sóng và phơng trình truyền nhiệt , hy vọng rằng nó sẽ giúp
đỡ các sinh viên ngành Vật lý trong việc giải các bài tập về phơng trình truyền
sóng và phơng trình truyền nhiệt .
Bằng những kiến thức về Phơng pháp Toán- Lý , Giải tích .... bằng cách
tìm tòi và thu thập các tài liệu tôi đã hoàn thành cuốn khoá luận này với những
nội dung chính nh sau :
Phần I : Tóm tắt lý thuyết. Trong phần này chúng tôi giới thiệu những
phần lý thuyết liên quan đến giải các bài tập.
Phần II : Hệ thống giải bài tập bằng phơng pháp tách biến.
Phần III : Kết luận chung
Đây là giai đoạn đầu của ngời mới tập sự làm nghiên cứu khoa học với
kiến thức cha đợc nhiều , với vốn kinh nghiệm còn ít và quỹ thời gian có
hạn .... nên chắc chắn khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
đợc sự quan tâm, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và của các bạn sinh
viên để khoá luận này đợc hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc dến thầy giáo Mạnh Tuấn
Hùng đã giúp đỡ tôi rất nhiều cả về kiến thức, về phơng pháp và tài liệu. Xin
chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Vật lý và bạn bè đã giúp tôi
hoàn thành tốt khoá luận này .

Vinh, tháng 5 năm 2003
Tác giả

3

phần i : tóm tắt lý thuyết
A- phơng trình truyền sóng

I - Phơng trình sóng 1 chiều
1. Bài toán có điều kiện biên bằng không

1.1. Phơng trình thuần nhất :
2
2u
2 u
=
a
Giải bài toán tìm nghiệm của phơng trình
t 2
x 2

(1)

trong miền ( 0u t =0 = f ( x ) ;

u
= F ( x ) ( 0xl )
t t =0

và thoả mãn điều kiện biên : u x =0 = 0 ; u x =l = 0 (0 t T)

(2)

(3)

Nghiệm đợc tìm đợc tìm dới dạng u(x,t) = X(x).T(t).
(4)
Sử dụng phơng pháp tách biến nh trong lý thuyết ta sẽ tìm đợc nghiệm của
bài toán .
Các bài tập: 1, 2, 3, 4, 5
1.2.

Phơng trình không thuần nhất :

Giải bài toán có ngoại lực tác dụng vào dây ta có phơng trình vi phân không
thuần nhất. Ta có bài toán sau :
Tìm nghiệm của phơng trình

2
2u
2 u
=
a
+ g ( x, t )
t 2
x 2

(5)


4
trong miền ( 0u

= F ( x)
t t =0

u t =0 = f ( x ) ;

(0 t T).

và điều kiện biên : u x =0 = 0 ; u x =l = 0
Nghiệm đợc tìm dới dạng u ( x, t ) =

( 0xl ),



T ( t ) sin
k =1

k

kx
l

(6)
(7)
(8)

trong đó chuỗi hàm ở vế phải hội tụ đều, có thể lấy đạo hàm theo từng số hạng
hai lần theo x và t. Hàm u(x,t) nh thế thoả mãn điều kiện biên(7), ta tìm các
hàm Tk(t) để thoả mãn phơng trình (5) và điều kiện ban đầu (6), bằng cách thế
(8) vào (5) ta đợc :

k
T ( t ) + l


k =1



2

"
k

2

a2

2


kx
Tk ( t ) sin
= g ( x, t ) .
l


(9)

Giả sử g(x,t) có thể khai triển thành chuỗi Fourier theo hàm sin trong [ 0, l ] :

kx
2
kx
trong đó: g k ( t ) = g ( x, t ) sin dx
l
l 0
l
l



g ( x, t ) = g k ( t ) sin
k =1

(10)

ta có các phơng trình vi phân với Tk(t) :
k 2 2 a 2
T (t) +
Tk ( t ) = g k ( t ) (k = 1,2...) ,
l2
"
k

(11)

để thoả mãn điều kiện ban đầu (6) thì các Tk(t) phải thoả mãn :
Tk(0) = fk ; Tk(0) = Fk ( k=1,2..)
(12)
với fk, Fk là hệ số trong khai triển f(x), F(x) thành chuỗi sin.

Giải (11) với điều kiện (12) ta có nghiệm T k(t) và từ đó đa ra nghiệm của phơng trình (5)
Ngoài cách tìm nghiệm trên ta cũng có thể tìm nghiệm của phơng trình trên
dới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) trong đó :
hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình

2
2v
2 v
=
a
+ g ( x, t )
t 2
x 2

(13)

trong miền (0với điều kiện ban đầu : v t =0 = 0 ;

v
=0
t t =0

và điều kiện biên : v x =0 = 0 ; v x=l = 0

(0xl)

(0 t T).

(14)

(15)

Nghiệm của phơng trình (13) thoả mãn điều kiện (15) có dạng :


v( x, t ) = Tk ( t ) sin
k =1

kx
l

(16)


5
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình :

2
2w
2 w
=
a
t 2
x 2

(17)

trong miền (0với điều kiện ban đầu : w t =0 = f ( x ) ;

w
= F ( x)
t t =0

(0xl)

và điều kiện biên : w x =0 = 0 ; w x =l = 0 (0 t T).

(18)
(19)

Việc tìm nghiệm của phơng trình (17) thoả mãn điều kiện ban đầu (18) đã đợc
giải quyết trong phần 1.1.
Các bài tập: 6,7, 8, 9.
2. Bài toán có điều kiện biên khác không.
2
2u
2 u
=
a
t 2
x 2

Giải bài toán: Tìm nghiệm của phơng trình :

trong miền ( 0u x =0 = 1 ( t ) ; u x =l = 2 ( t ) ( 0tT )
và các điều kiện ban đầu :

u t =0 = f ( x ) ;

u
t

= F ( x ) ( 0xl ).
v
v
= a2 2
2
t
x
2

2

trong miền ( 0v x = 0 = 1 ( t ) ; v x =l = 2 ( t )
( 0tT ),
nghiệm của phơng trình (24) đợc tìm dới dạng:
v(x,t) = X(x).T(t) ;
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình :

w
w
= a2 2
2
t
x
2

(21)
(22)

t =0

Nghiệm đợc tìm dới dạng tổng hai hàm số: u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)
trong đó, hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình :

(20)

2

(23)
(24)
(25)
(26)
(27)

trong miền (0w x =0 = 0; w x =l = 0 ( 0tT )

(28)

các điều kiện ban đầu :

(29)

w t =0 = u t =0 v t =0 = f 1 ( x )

w

u
v
=

= F1 ( x )
t
t =0 t t =0 t t =0

( 0xl ),

việc giải phơng trình (27) thoả mãn điều kiện biên (28) đã đợc giải quyết trong
phần 1.1 ở mục 1.
Các bài tập: 10,11.


6
II Phơng trình sóng 2 chiều :

1. Bài toán về dao động của màng hình chữ nhật:
Giải bài toán tìm nghiệm của phơng trình dao động của màng :
2
2u
2u
2 u
= a 2 + 2
t 2
y
x

(30)

trong miền {(x,y)G , 0u t = 0 = ( x, y ) ;

u
t

= ( x, y )

(31)

t =0

với ( x, y ) ; ( x, y ) xác định trong miền G và thoả mãn các điều kiện biên :
u ( x, y, t ) ( x , y )G = 0
(32)
dới dạng :

u(x,y,t) = v(x,y).T(t).

Khi đó ta có các phơng trình :

T ' (t ) + a 2T (t ) = 0
2
v 2v
x 2 + y 2 + v = 0


Từ (3.3) và (3.4) ta có : v( x, y ) ( x , y )G = 0 .
Nếu G là hình chữ nhật ta tìm hàm v(x,y) dạng : v(x,y)=X(x).Y(y)

X " ( x) + X ( x ) = 0

Y " ( y ) + Y ( y ) = 0
với = + .

Từ (3.6) và (3.8) ta đợc :

(33)
(34)
(35)

(36)
(37)
(38)
(39)

Giải (38), (39) và kết hợp điều kiện (36) ta tìm đợc các giá trị riêng , tơng
ứng với chúng ta có hàm riêng v ( x, y ) , nghiệm tổng quát của (34). Từ đây tìm
đợc nghiệm của bài toán dới dạng chuỗi với các hệ số xác định theo điều kiện
ban đâù.
Các bài tập: 12,13.


7

b . Phơng trình truyền nhiệt

1. Bài toán có điều kiện biên bằng không
2
u

2 u
=a
t 2
x 2

Giải bài toán: Tìm nghiệm của phơng trình :

(40)

trong miền {0còn điều kiện biên có thể cho dới dạng sau :
- các mút giữ ở nhiệt độ không : u x =0 = 0; u x =l = 0

(42)

- các mút trao đổi nhiệt với môi trờng ở nhiệt độ u0 :
u

u

h( u u0 ) = 0; + h( u u0 ) = 0
x
x =0
x
x =l

- các mút cách nhiệt :

u
x

= 0;
x =0

u
x

= 0.

(43)
(44)

x =l

Nghiệm đợc tìm dới dạng u(x,t) = X(x).T(t) và sử dụng phơng pháp tách biến
ta sẽ tìm đợc nghiệm của bài toán.


8
Các bài tập: 14,15,16,17,18.

2. Bài toán có điều kiện biên khác không
Giải bài toán tìm nghiệm của phơng trình

2
u
2 u
=a
t
x 2

(45)

trong miền { 0
u x = 0 = 1 ( t ) ; u x =l = 2 ( t )

( 0tT)

(46)

và thoả mãn các điều kiện ban đầu :
u t =0 = ( x )

( 0xl),

dới dạng u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)
với w(x,t) = 1 ( t ) +

(47)
(48)

x
[ 2 ( t ) 1 ( t ) ] .
l

(49)

Chú ý: Tùy theo từng bài toán, ta có thể dùng một trong các cách sau:
Cách 1 : Nếu đặt u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)

thì hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình

(50)

v
2v
= a2 2
t
x

thoả mãn điều kiện biên v(0,t) = 1 ( t ) ; v(l,t) = 2 ( t )
2
w
2 w
khi đó hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình
=a
t
x 2

thoả mãn các điều kiện biên w(0,t) = 0 ; w(l,t) = 0
và các điều kiện ban đầu

w(x,0) = ( x ) f ( x ) = f1 ( x ) .

(51)
(52)
(53)
(54)
(55)

Nghiệm của phơng trình (53) thoả mãn điều kiện biên (54) đợc tìm nh trong lý
thuyết .
Cách 2 : Nếu đặt u(x,t) = v(x,t) + 1 ( t ) +
thì hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình :

x
[ 2 ( t ) 1 ( t ) ]
l

v
2v
= a 2 2 + f ( x, t )
t
x

(56)
(57)


9
f ( x, t ) = 1' ( t )

với

[

]

x '
2 ( t ) 1' ( t ) ,

l

(58)

thoả mãn điều kiện biên :
v x = 0 = u x = 0 1 ( t ) ; v x = l = u x =l 2 ( t )

(59)

và thoả mãn điều kiện ban đầu :
v t =0 = ( x ) 1 ( 0 ) +

x
[ 2 ( 0 ) 1 ( 0 ) ]
l

.

(60)

Mặc dù ở đây nêu ra hai cách giải cho bài toán này nhng tuỳ vào điều kiện
của bài toán cụ thể mà lựa chọn phơng pháp thích hợp.
Các bài tập: 19,20,21,22.
3.Bài toán về phân bố nhiệt trong không gian nhiều biến .
Bài toán hỗn hợp của phơng trình truyền nhiệt trong không gian nhiều biến
cũng đợc giải tơng tự bài toán hỗn hợp của phơng trình truyền sóng.
Ta tìm nghiệm của phơng trình :

2u 2u
u

= a 2 2 + 2
t
y
x

thoả mãn điều kiện biên : u ( x, y , t ) ( x , y )c = 0
và điều kiện ban đầu

:

u ( x, y,0 ) = ( x, y )

(61)
(62)

với (x,y) G ,

(63)

trong đó c là biên của miền G trong mặt phẳng 0xy
dới dạng

u(x,y,t) = v(x,y).T(t)

và khi đó ta có các phơng trình

(64)
T'(t) + a 2 T(t) = 0
2v 2v
+

+ v = 0
x 2 y 2

trong đó v( x, y ) c = 0 .

(65)
(66)
(67)

Với G là hình chữ nhật hàm v(x,y) đợc tìm dới dạng v(x,y) = X(x).Y(y). (68) Tơng tự nh phơng trình sóng hai chiều ta sẽ tìm đợc nghiệm v(x,y), đồng thời


10
ứng với trị riêng ta giải đợc phơng trình (65). Khi đó nghiệm của phơng trình
(61) thoả mãn các điều kiện đã cho có dạng :


u(x,y,t) =

a k e a k t v k ( x, y ) ,
2

k =1

trong đó: ak là hệ số trong khai triển của hàm ( x, y ) theo hệ hàm riêng vk(x,y).
Bài tập: 23.


11

phần II : Hệ thống giải các bài tập
bằng phơng pháp tách biến
A- phơng trình truyền sóng

I - Phơng trình sóng 1 chiều :

Dạng 1:

Bài toán có điều kiện biên bằng không

Bài 1: Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x = 0
và x = l, biết độ lệch ban đầu đợc cho bởi u(x,0) =

4 x(l x)
l2

(0 x l) còn

vận tốc ban đầu bằng không.
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của dây tại điểm có hoành độ x ở thời điểm t.
u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của dây :
4 x( l x )

u t =0 =
l2

u
=0
x t =0

với điều kiện ban đầu

2
2u
2 u
=
a
t 2
x 2

(1)

(2)

và điều kiện biên : u x =0 = 0 u x =l = 0

(3)

Theo lý thuyết, ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên




k =1

k =1

(3) có dạng : u ( x, t ) = u k ( x, t ) = (a k cos

kat
kat
kx
+ bk sin
). sin
l
l
l

Ta xác định ak, bk sao cho u(x,t) thoả mãn điều kiện ban đầu (2)
Theo điều kiện ban đầu (2) ta có :

(4)


12


u t =0 = a k sin
k =1

u
t



t =0

= bk
k =1

kx 4 x (l x )
=
l
l2

(5)

ka
kx
sin
=0
l
l

Từ (5) ta thấy ak là hệ số trong khai triển

(6)

4 x(l x)
thành chuỗi Fourier theo
l2

hàm sin trong khoảng (0, l) nên ta có :
2 4 x(l x)
kx
sin
dx
2

l 0
l
l
l

ak =

l
l
8
kx
kx
= 3 l x sin
dx x 2 sin
dx
l
l
l 0
0


8
= 3
l

ak =

2l 3

2l 3

3 3 3 3 cos k
k
k

8 2l 3
.
(1 cos k )
l 3 k 3 3

0
16

32
= 3 3 (1 cos k ) =
k
( 2n + 1) 3 3


nếu k = 2n
(n=0,1,2...)
nếu k = 2n + 1

Từ (6) bk = 0
Vậy nghiệm của bài toán đã cho :
u ( x, t ) =

32
1
(2n + 1)at
(2n + 1)x

cos
sin
.
3
3
l
l
n =0 ( 2n + 1)

Bài 2 : Xác định dao động tự do của dây hữu hạn, gắn chặt tại các mút x=0
và x = l biết độ lệch ban đầu bằng không, vận tốc ban đầu đợc cho bởi :
v cos( x c)nếu x c < /2
u
( x,0) = 0
nếu x c > /2
t
0

với v0 là hằng số dơng và /2 < c < l - /2.
Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm trên dây có hoành độ x ở thời điểm t .
Ta có u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của dây :


13
2
2u
2 u
=
a

trong miền (0t 2
x 2

với điều kiện biên: u x =0 = 0 u x =l = 0 (0 tT)

(1)
(2)

và điều kiện ban đầu :
u t =0 = 0

u
v0 cos( x c ) nếu x c < /2
=


nếu x c > /2
t t =0 0

(0 x l)

(3)

Ta biết nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2):

ka
ka
kx

u ( x, t ) = a k cos
t + bk sin
t sin
l
l
l
k =1


Từ điều kiện ban đầu ta có : u t =0 = a k sin
k =1

u
t



t =0

= bk
k =1

kx
= 0 ak = 0
l

(4)
(5)

ka

kx
sin
= F ( x)
l
l

Nhận thấy bk là hệ số trong khai triển F(x) thành chuỗi Fourier theo hàm sin
ka
kx
kx
sin 2
dx = F ( x ) sin
dx

l 0
l
l
0
l

trong khoảng (0, l) bk
bk =

l

c + / 2

2vo
kx
cos( x c) sin

dx

ka c / 2
l

c + / 2
v0 c + / 2 k

k



+ 1.x c dx + sin
1.x c dx
=
sin
ka c / 2 l



l

c / 2

=

=

c + / 2
c + / 2


v0 1
k

k

1


cos
+ 1 x c

cos
1 x c


ka k


l
c / 2 k 1
l
c / 2
+1
l

l

kc k 2
v0
1 kc k 2

+
+ cos


k
cos
ka
l
2l
2
2l
2
l
+1

l



kc k 2
1 kc k 2

cos
+
+ cos

k
l
2l
2
2l
2
l
1

l



14

kc k 2
v 0 1 kc k 2



=
sin
+
+
sin

ka k
l
2
l
l
2l


+1
l

=



v0 1
1
kc
k 2

cos

2 sin
k
ka k
l
2l
+1

1

l
l
4v 0



bk = ka1 k 2 2

l2


. sin .


1 kc k 2

+
sin
k

l
2l

1
l


kc k 2

sin

l
2l



4v 0
1
kc
k 2
. 2 2
sin .
cos
ka k
l
2l
1
2
l

=

kc
k 2
cos
l
2l

Do đó nghiệm của bài toán đã cho là :
u ( x, t ) =



4v 0
.
a k =1

kc
k 2
cos
l
2l sin kat sin kx .
2 2
l
l
k
k 1 2
l


sin .

Bài 3 : Xác định dao động dọc của thanh nếu một mút gắn chặt còn một mút
tự do, biết các điều kiện ban đầu : u t =0 = f ( x) ,

u
t

= F ( x)
t =0

Giải :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện của thanh có hoành độ x ở thời điểm t. Khi
đó u(x,t) thoả mãn phơng trình :
với điều kiện đầu : u t =0 = f ( x) ,
và điều kiện biên : u x =0 = 0 ,

u
x

2
2u
2 u
=
a
t 2
x 2

u
t

(1)

= F ( x)

(2)

t =0

=0 .

(3)

x =l

Ta tìm nghiệm riêng của phơng trình (1) dạng : u(x,t) = X(x).T(t)
Bằng lý luận quen thuộc ta có :

(4)

X "+X = 0

2
T "+ a T = 0

(5)

Từ điều kiện biên (3) ta có : X(0) = 0 ; X (l) = 0
Giải phơng trình (5) với điều kiện (7), ta xét các trờng hợp :
= - c2<0. Phơng trình (5) có nghiệm tổng quát : X(x) = c1.e-cx + c2.ecx

(6)

(7)

15
nên theo (7) :
X ( x ) = c1 + c 2 = 0

cl
cl
X ' ( l ) = c c1 e + c c 2 e = 0

c1 = 0

c 2 = 0



(loại)

= 0 . Nghiệm tổng quát của phơng trình (5) là: X(x) = c1 + c2x
X ( 0) = c1 = 0

Theo (7) :
X ' ( l ) = c2 = 0

(loại)

= c2 > 0 . Nghiệm tổng quát của (5) : X(x) = c1cos cx + c2sin cx

X (0) = c1 = 0

X ' (l ) = c2 c cos cl = 0

Từ (7)

Để có nghiệm không tầm thờng thì cos cl = 0 cl =


( 2k + 1)
+ k c =
2
2l

( 2k + 1)
0, 1, 2.... )
nên =
là các trị riêng ( k=
2l
2

và ta có nghiệm của phơng trình (5) thoả mãn điều kiện biên (7) là :
X k ( x ) = Ak sin

( 2k + 1)x
2l

có thể lấy k = 0,1,2... ( do tính tuỳ ý của Ak )
Khi đó nghiệm tổng quát của phơng trình (6) tơng ứng :
Tk ( t ) = Bk cos

( 2k + 1)at + D
2l

k

sin

( 2k + 1)at
2l

Vậy nghiệm của phơng trình (1) là :

( 2k + 1)at + b sin ( 2k + 1)at sin ( 2k + 1)x

u ( x, t ) = ak cos
k

2l
2l
2l
k =0

(8)

Từ điều kiện ban đầu (2) ta có :


u t =0 = a k sin

( 2k + 1)x =
2l

k =0

u
t



t =0

= bk
k =0

f ( x)

( 2k + 1)a sin ( 2k + 1)x = F ( x)
2l

2l

(9)
(10)

Nhận thấy ak là hệ số trong khai triển chuỗi Fourier nên
2
( 2k + 1)x dx
f ( x ) sin

l o
2l
l

ak =

Tơng tự , từ (10) ta có :

(11)


16
bk

( 2k + 1)a l sin 2 ( 2k + 1)x = l F ( x) sin ( 2k + 1)x dx
2l





2l

o

2l

o

4

( 2k + 1)x dx
bk = ( 2k + 1)a F ( x) sin
2l
o
l

(12)

Vậy (8) là nghiệm của bài toán trong đó ak và bk đợc xác định từ (11),(12)

Bài 4 :

Một thanh đồng chất có độ dài 2l bị nén cho nên độ dài của nó còn

lại là 2l(1-). Lúc t = 0, ngời ta buông ra. Chứng minh rằng độ lệch của thiết
diện có hoành độ x ở thời điểm t đợc cho bởi:
u ( x, t ) =

8l (1) n +1
( 2n + 1)x
(2n + 1)at
sin
cos
nếu gốc toạ độ đặt ở tâm của
2
2
l
l
n =0 ( 2n + 1)

thanh.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ có gốc trùng với tâm của thanh . Trục 0x dọc theo thanh
Gọi u(x,t) là độ lệch của mặt cắt có hoành độ x ở thời điểm t.
Khi đó u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động của thanh :
2
2u
2 u
=
a
t 2
x 2

(1)

-l

x l

Theo bài ra, tại thời điểm t = 0 ngời ta buông ra tức vận tốc
ban đầu bằng không , hai đầu mút của thanh đều tự do nên ta có điều kiện biên
:
u
x

= 0;
x =0

u
x

= 0.

(2)

x =l

Do thiết diện có hoành độ x tại thời điểm t = 0 nằm ở vị trí (1-)x nên có độ
lệch : u(x,0) = x(1-) x = -x = f(x) ,
do đó điều kiện ban đầu : u t =0 = .x = f ( x) ;

u
t

= 0.

(3)

t =0

Tìm nghiệm riêng của phơng trình (1) dới dạng u(x,t) = X(x).T(t)
Sử dụng phơng pháp tách biến ta có :

(4)

x


17
X " ( x ) + X ( x ) = 0

2
T " ( t ) + a T (t ) = 0

(5)
(6)

Bây giờ ta đi tìm nghiệm của phơng trình (5) với điều kiện biên :
X(-l) = 0 ; X (l) = 0 .
Ta xét các trờng hợp:
Dễ thấy < 0 không phải là trị riêng

(7)

= 0 . Phơng trình (5) có nghiệm tổng quát : X(x) = c1x + c2
X ' (l ) = c1 = 0
X ' (l ) = c1 = 0

c2 0 và c2 = A0

Theo (7) :

X0(x) = A0

nên

ứng với trị riêng = 0 thì (6) có nghiệm tổng quát : T0(t) = B0t + D0
nên ta có nghiệm riêng của (1) u0(x,t) = a0 + b0t (a0 = A0D0; b0= A0B0) (8)
= c2> 0. Nghiệm tổng quát của (5) là : X(x) = c1cos cx + c2sin cx

Theo (7) :
u
x


u
x

= c1cc sin(cl ) + cc 2 cos(cl ) = 0
x =l

= cc1c sin( cl ) + cc 2 cos(cl ) = 0

c sin cl + c 2 cos cl = 0
c sin cl = 0
1
1
c1 sin cl + c 2 cos cl = 0 c 2 cos cl = 0

x =l

Để có nghiệm không tầm thờng thì sincl = 0 hoặc coscl = 0
+ Xét sincl = 0 cl = k c =
k

l

Khi đó ứng với = k =

2

k
và c1 = Ak
l

( k= 1, 2...).

phơng trình (5) có nghiệm : X k ( x ) = Ak sin

kx
l

và phơng trình (6) có nghiệm tổng quát tơng ứng :
Tk ( t ) = Bk cos

kat
kat
+ Dk sin
.
l
l

Nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) :
kat
kat
kx

u k ( x, t ) = ak cos
+ bk sin
cos

l
l
l


+ Xét coscl = 0 cl =

(2n + 1)
2

c=

(2n + 1)
2l

a k = Ak Bk
( k=1,2...)

bk = Ak Dk

(n = 0, 1, 2...)

( 2n + 1) thì phơng trình (5) có nghiệm :
ứng với trị riêng = n =

2l
2

(9)

18
X n ( x ) = An sin

(2n + 1)x
( n = 0,1,2...)
2l

và nghiệm tổng quát của (6) tơng ứng :
Tn ( t ) = Bn cos

( 2n + 1)at + D
2l

n

sin

( 2n + 1)at
2l

Nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (2) :
(2n + 1)at
(2n + 1)at
(2n + 1)x
+ bn sin
sin

2l
2l

2l


un ( x, t ) = an cos


a n = An Bn

.
bn = An Dn

(10)

Từ (8),(9),(10) ta có nghiệm của phơng trình (1) thoả mãn điều kiện biên (2)
chính là tổng của các nghiệm riêng của u(x,t) :

kat
kat
kx

u ( x, t ) = a 0 + b0 t + a k cos
+ bk sin
+
cos
l
l
l
k =1

( 2n + 1)at + b sin ( 2n + 1)at sin ( 2n + 1) x

+ a n cos

n
2l
2l
2l

n =0

Từ điều kiện ban đầu (3) :


kx
(2n 1)x
+ a n sin
= .x ,
l
2l
n =0

(11)

ka
kx
(2n + 1)a
(2n + 1)x
bk cos
+ bn
sin

=0.
l
2l
2l
k =1 l
n =0

(12)

u t =0 = a 0 + a k cos
k =1

u
t



t =0

= b0 +

Từ (12) b0 = bk = bn = 0 .

(13)

Lấy tích phân 2 vế của (11) theo x cận từ (-l l)
l

l

l

l

a0 dx + ak cos

kx
(2n 1)x
dx + a n sin
dx = .xdx ,
l
2l
l
l
l

l

l

l

l

l

do đó ta có : a0 dx = xdx a0 x l
l

x2

=
2

l

a0 = 0 .

(14)

l

kx
kx
l a k cos l dx = l .x cos l dx
l

l

2

l2
kx
a k l = 2 2 cos
l
k

l

=
l

l2
[ cos k cos k ] = 0 a k = 0 .
k 2 2

(15)


19
l

2
a n sin

l

(2n + 1)x
(2n + 1)x
dx = .x sin
dx
2l
2l
l

an l =

l

2l
(2n + 1)x

x cos
(2n + 1)
2l

4 l 2
=
(2n + 1) 2 2

l


l

l

a n l = x sin
l

( 2n + 1)x
2l

2l l
(2n + 1)x
cos
dx

(2n + 1) l
2l

(2n + 1)

8 l 2
(2n + 1)
(2n + 1)
+ sin
=
sin
2 2
sin

2
2
2
(2n + 1)
8. .l

n +1
a n = ( 1) (2n + 1) 2 2 .

(16)

Từ (14), (15), (16) ta có nghiệm của bài toán :
u ( x, t ) =

Dạng 2 :

8. .l (1) n +1
(2n + 1)at
(2n + 1)x
cos
sin

.
2
2
2l
2l
n =0 (2n + 1)

Bài toán có điều kiện biên khác không.

Bài 10 : Xác định dao động của một dây gắn chặt ở mút x = 0, còn mút x = l
chuyển động theo quy luật Asint, biết rằng độ lệch và vận tốc ban đầu bằng
không.
Giải: :
Gọi u(x,t) là độ lệch của điểm trên dây có hoành độ x ở thời điểm t .
u(x,t) thoả mãn phơng trình dao động :

với điều kiện biên : u x =0

2
2u
2 u
=
a
trong miền
t 2
x 2
= 0 ; u x =l = A sin t

và điều kiện đầu : u t =0 = 0 ;

u
t

0 < x < l


0 < t T

= 0.

(1)
(2)
(3)

t =0

Ta tìm nghiệm của (1) dới dạng tổng của 2 hàm: u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)

(4)


20
trong đó :
hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình :
có điều kiện biên : w x =0 = 0 ; w x =l
hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình

2
2w
2 w

=
a
t 2
x 2
= A sin t ;

(5)
(6)

v
v
= a2 2
2
t
x
w x =0 = 0
2

2

(7)

v x =0 = u x =0

v x =l = 0
v t =0 = w t =0

và điều kiện đầu : v
u
w

w
=

=
t
t t =0
t =0 t t =0 t t =0

với điều kiện biên :

(8)

(9)

Ta tìm nghiệm w(x,t) của phơng trình (5) dới dạng : w(x,t) = X(x).T(t) (10)
Bằng lý luận quen thuộc ta có :
X " ( x) + X ( x) = 0

2
T " (t ) + a T (t ) = 0
w x =0 = X (0).T (t ) = 0

Từ (6) và (10) ta có :

(11)
(12)

w x =l = X (l ).T (t ) = A sin t .

Để có nghiệm không tầm thờng, tức T(t) 0 thì X(0) = 0; X(l) = B

A
sin t .
B
A
A
Thay (14) vào (12) : 2 sin t + a 2 sin t = 0
B
B

Khi đó :

T (t ) =

(13)
(14)

2


= ,
a

2


ứng với trị riêng = phơng trình (11) có nghiệm tổng quát :
a
x
x
X ( x) = c1 cos

+ c 2 sin
.
a
a

Từ (13) :

X (0) = c1 = 0
B
c2 =

.l


.l
sin
X (l ) = c 2 sin a = B
a

X ( x) =

B
.x
sin
.l
a .
sin
a

Thay (14), (15) vào (10) ta có nghiệm của phơng trình (5) :

w( x, t ) =

x A
B
sin
sin t
l
a B
sin
a

(15)


21


w( x, t ) =

A

sin t. sin x
.l
a
sin
a

(16)

nên điều kiện ban đầu của phơng trình (5) là:

w t =0 = 0

.x

A sin
w
a
=


.
l
t t =0
sin
a


(17)

Nghiệm của phơng trình (7) thoả mãn điều kiện biên (8) có dạng:


kat
kat
kax

v( x, t ) = a k cos
+ bk sin
sin
.

l
l
l
k =1
v t =0 = 0

.x

A sin
Từ (9) và (17) ta có điều kiện ban đầu của (7) : v
a
=

.l
t t =0
sin
a


kx
a k sin
=0
ak = 0 ,
Từ (18) và (19) ta có :
(20)

l
k =1
.x
. A sin

ka
kx
a
bk
sin
=
.

.l
l
l
k =1
sin
a
l
2
.A
.x
kx
bk =

sin
sin
dx

Từ (21) ta có :
.l 0
ka
a

l
sin
a
ka l
.A
bk
=
I
.l
l 2
sin
a

l

với

I = sin
0

=

l
.x
kx
1 k
k
sin
dx = cos
x cos +

x dx
a
l
20 a
l
l
a

l k
l

l

(1) k sin .
sin k sin + k

a l
1
a
=
a
2
2
k
2 k
k

+

a

l
a
l


a l

(18)

(19)

(21)


22
l
(1) k +1 k . sin
2
A
(1) k +1 .2 . A
a =
bk =
.

l 2 k 2
ka
2 k 2 .
sin

l

a
.
l





a a l


a l

(22)

Do đó ta có nghiệm của phơng trình (7) :
v ( x, t ) =

2A
(1) k +1
kat
kx
sin
sin

2
2
a.l k =1 k

l
l .


a l

(23)

Thay (16), (23) vào (4) ta có nghiệm của bài toán đã cho :
u ( x, t ) =


x. sin t
2Aa
(1) k +1
kat
kx
a
+
sin
sin

2
.l
l k =1 2 ka
l
l
sin

a
l

A sin

Bài 11 : Tìm dao động dọc của một thanh đồng chất mà một mút cố định, còn
mút kia chịu tác dụng của lực Q (lên một đơn vị diện tích) dọc theo thanh, biết
độ lệch và vận tốc ban đầu bằng không.
Giải: :
Gọi u(x,t) là độ lệch của thiết diện có hoành độ x tại thời điểm t, khi đó u(x,t)
thoả mãn phơng trình dao động của thanh:

2
2u
2 u
=
a
t 2
x 2

u t =0 = 0 ;

với điều kiện đầu :
và điều kiện biên :

(1)
u
t

=0

(2)

t =0

- một đầu mút cố định u x =0 = 0
- một đầu mút chịu tác dụng của lực Q lên một đơn
vị diện tích : E

u
x

=Q



x =l

u
x

=
x =l

Q
E

Ta tìm nghiệm dới dạng : u(x,t) = v(x,t) + w(x,t)

(4)

Trong đó hàm v(x,t) thoả mãn phơng trình thuần nhất :
thoả mãn điều kiện biên : v x =0 = 0 ;

v
x

(3)

=
x =l

Q
E

v
v
= a2 2
2
t
x
2

2

(5)
(6)

và điều kiện ban đầu đợc tìm sau;
còn hàm w(x,t) thoả mãn phơng trình :

2
2w
2 w
=
a
t 2
x 2

(7)


23
với điều kiện biên : w x =0 = 0 ;

w
x

=0

(8)

w
v
=
t t =0
t t =0

(9)

x =l

và điều kiện ban đầu : w t =0 = v t =0 ;

* Nghiệm v(x,t) của phơng trình (5) đợc tìm dới dạng :
v(x,t) = X(x).T(t)
sử dụng phơng pháp tách biến ta có :

(10)

X " ( x ) + X ( x ) = 0

2
T " (t ) + a T (t ) = 0
X(0).T(t) = 0

Từ (6) và (10) :
Q
X' (l).T(t) = E

(11)
(12)

Để hệ có nghiệm không đồng nhất bằng không thì T(t) 0
X ' (l ) = B T (t ) =

Q
B.E

(13)

Thay (13) vào (12) ta có = 0 X(x) = c1x + c2
X(0) = c 2 = 0
X ( x) = B x là nghiệm của (11)
X' (l) = c1 = 0

Nên

Do đó nghiệm riêng của (5) :

v ( x, t ) =

Q
x
E

(14)

Q

v t =0 = E .x
Điều kiện ban đầu của phơng trình(5) là : v

=0
t t =0

(15)

* Ta biết phơng trình (7) thoả mãn điều kiện biên (8) có nghiệm :
w(x,t) =





a
k =0

k

cos

( 2k + 1)at
(2k + 1)at
(2k + 1)x
+ bk sin
sin

2l
2l
2l



Ta có điều kiện ban đầu : w t =0 = a k sin
k =0

(2k + 1)x

Q
= x
2l
E


w
(2k + 1)a
(2k + 1)x
= bk
sin
= 0 bk = 0 .
t t =0 k =0
2l
2l

(16)
(17)

Từ (16) ta có :
2Q
( 2k + 1)x dx
x sin

El 0
2l
l

ak =

8Ql ( 1)
ak = 2
.
E ( 2k + 1) 2
k +1

(18)


24
Từ (17) và (18) ta có nghiệm của phơng trình (7) thoả mãn điều kiện (8),(9) là:
w( x, t ) =

8QL (1) k +1
(2k + 1)at
( 2k + 1)x
cos
sin

2
2
2l
2l
E k =0 (2k + 1)

(19)

Từ (14) và (18) ta có nghiệm của bài toán :
Q
8QL (1) k +1

(2k + 1)at
(2k + 1)x
u ( x, t ) = x + 2
cos
sin
.
2
E
2l
2l
E k =0 (2k + 1)

II Phơng trình sóng 2 chiều :

Dạng 3 :

Dao động của màng hình chữ nhật

Bài 12: Một màng hình vuông đồng chất lúc t = 0 có độ lệch đợc xác định bởi
u t =0 = Axy (b x)(b y ) trong đó 0 x b, 0 y b, dao động với vận tốc ban

đầu bằng không, mép gắn chặt. Hãy xác định dao động của màng.
Giải: :
Gọi u(x,y,t) là độ lệch của màng tại điểm (x,y) ở thời điểm t, khi đó u(x,y,t)
thoả mãn phơng trình dao động của màng :
2
2u
2u
2 u
= a 2 + 2

t 2
y
x

0 x b


0 y b
0 t T



u t =0 = Axy (b x)

với điều kiện ban đầu : u
,
=0
t
t =0

và điều kiện biên :

(1)

(2)

uc =0 .

(3)

Ta tìm nghiệm riêng của (1) thoả mãn điều kiện biên (3) có dạng :
u(x,y,t) = V(x,y).T(t)

(4)

2v 2v
T " (t )
V
T " (t ) V ( x, y ) = a 2 + 2 T (t )
=
=
2
a T (t ) V
x
y

Thay (4) vào (1) :

2


25
Từ (3), (4) V c .T (t ) = 0 V c = 0

(3)

T " (t ) + .a 2T (t ) = 0

V + V = 0

(5)
(6)

Ta tìm nghiệm của phơng trình (6) dới dạng : V(x,y) = X(x).Y(y).

(7)

Từ (6) và (7) ta có :
X " ( x)

Y "( y)

X " ( x) Y ( y ) + X ( x) Y " ( y ) + X ( x) Y ( y ) = 0 X ( x) + Y ( y ) + = 0
X " ( x) + . X ( x) = 0 (8)

= +

Y " ( y ) + .Y ( y ) = 0 (9)


X (0).Y ( y ) = 0

X (0) = 0

Từ (3), (7) X (b)Y ( y ) = 0 X (b) = 0



(10)

X ( x).Y (0) = 0 Y (0) = 0


X ( x)Y (b) = 0
Y (b) = 0

(11)

Giải (8) : X ( x) = c1 cos cx + c 2 sin cx
X (0) = c1 = 0


c 2 = 1
với

X (b) = c 2 sin cb = 0 c = k


b
2

k
ứng với trị riêng k = (k=1,2...) có các hàm riêng tơng ứng:
l
X k ( x) = sin

k . .x
b

2

n
( n = 1,2...) thì phơng trình (9) có nghiệm :
m

Tơng tự với trị riêng n =

Yn ( y ) = sin

Vkn ( x, y ) = sin

n. . y
b

kx
n. . y
sin
là hàm riêng của (6) ứng với trị riêng :
b
b
2

2

2
2
k n
2 k + n
= +
=

2
b b
b


= c kn2