Các tập tiền mở và tôpô sinh bởi các tập tiền mở

MỤC LỤC

Mục lục

1

Lời nói đầu

2

Chương 1. Các tập tiền mở

4

1.1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Các tập tiền mở và một số tính chất cơ bản của chúng

6

. .

Chương 2. Tôpô sinh bởi các tập tiền mở

15

2.1. Không gian tôpô (X, τγ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Mối quan hệ giữa không gian tôpô (X, τα ) và không gian tôpô
(X, τγ ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3. Không gian không liên thông cực trị . . . . . . . . . . . . 27
Kết luận

29

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1


LỜI NÓI ĐẦU

Tiếp tục tìm hiểu và nghiên cứu về các tập mở cùng với những ứng
dụng của chúng, nhằm xây dựng lớp các hàm mới và mở rộng các khái niệm
tôpô quan trọng như compact, paracompact, liên thông,... trong các năm gần
đây các nhà toán học đưa ra các khái niệm mới như tập nửa mở, nửa đóng,
tiền mở, tiền đóng, nửa tiền mở, nửa tiền đóng...
Các tập nửa mở, tiền mở, nửa tiền mở và α- tập lần lượt được giới thiệu
bởi Levine, Mashhour, Andrijevic và Njastad. Họ các tập nửa mở, tiền mở,
nửa tiền mở không trở thành tôpô trên X nhưng Njastad đã chỉ ra rằng họ
các α- tập là một tôpô trên X và đưa ra điều kiện để họ các tập nửa mở trở
thành một tôpô trên X. Katetov đưa ra vấn đề tương tự đối với họ các tập
tiền mở và được Reilly và Vamanamurthy giải quyết vấn đề đó.
Trên cở sở các bài báo On the topology generated by preopen sets, A note
on preopen sets và A note on the topology generated by preopen sets của
D.Andrijevic, chúng tôi tiếp cận theo hướng nghiên cứu này. Mục đích của
luận văn là tìm hiểu sâu hơn các tính chất tôpô của các tập nửa mở, tiền mở,
nửa tiền mở. Bên cạnh đó, luận văn còn tìm hiểu các mối liên hệ giữa các
không gian tôpô (X, τα ), (X, τγ ) và không gian không liên thông cực trị. Từ
đó đưa ra điều kiện cần và đủ để giao của hai tập tiền mở là tập tiền mở.

Với mục đích trên, luận văn được trình bày thành hai chương
Chương 1. Các tập tiền mở
Trong chương này, trước tiên chúng tôi giới thiệu một số kiến thức và
tính chất cơ bản của tôpô đại cương để làm cơ sở cho các phần sau. Sau đó
giới thiệu về các tập tiền mở, tiền đóng và liệt kê một số tính chất cơ bản
của chúng.

2


3

Chương 2. Tôpô sinh bởi các tập tiền mở
Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu về tôpô τγ với họ các tập tiền
mở, những tính chất trong không gian tôpô(X, τγ ). Tiếp theo đó chúng tôi
giới thiệu không gian (X, τα ), đưa vào một số kết quả về mối quan hệ giữa
hai không gian (X, τα ) và không gian tôpô (X, τγ ), đồng thời đưa ra một số
tính chất về mối liên hệ giữa không gian không liên thông cực trị với các
không gian (X, τγ ) và không gian (X, τα ).
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc nhất đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm khoa Toán, Ban chủ nhiệm khoa Sau đại học, các thầy giáo, cô
giáo trong khoa, đặc biệt là các thầy cô giáo trong tổ Giải tích khoa Toán
trường Đại học Vinh đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hoàn thành
luận văn. Tác giả xin cảm ơn các bạn học viên cao học khoá 14 Toán - Giải
tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ trong suốt
khoá học.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi những
thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các

thầy cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện.
Vinh, tháng 12 năm 2008
Tác giả


CHƯƠNG 1

CÁC TẬP TIỀN MỞ

1.1.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.1 Định nghĩa ([1]). Cho tập X = ∅. Họ τ các tập con của X được gọi
là một tôpô trên X nếu nó thoả mãn
i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
ii) Với mọi A, B ∈ τ thì A ∩ B ∈ τ ;
iii) Với mọi họ {Ai , i ∈ I} ⊂ τ thì ∪{Ai , i ∈ I} ∈ τ .
Khi đó (X, τ ) được gọi là không gian tôpô.
Mỗi tập A ∈ τ gọi là một tập mở. Phần bù của tập mở gọi là tập đóng.
Giả sử τ và σ là các tôpô trên X. Ta nói rằng tôpô τ yếu hơn (thô hơn)
tôpô σ nếu τ ⊂ σ.
Lúc đó ta cũng nói rằng tôpô σ mạnh hơn (hay mịn hơn) tôpô τ .
1.1.2 Định nghĩa ([1]). Giả sử X là một không gian tôpô và A ⊂ X.
Hợp của tất cả các tập mở được chứa trong A được gọi là phần trong của
A và kí hiệu là intA.
Giao của tất cả các tập đóng chứa A được gọi là bao đóng của A và kí
hiệu là clA.
1.1.3 Nhận xét ([1]). Từ định nghĩa trên ta có
i) intA (tương ứng, clA) là tập mở lớn nhất (tương ứng, tập đóng nhỏ

nhất) chứa A;
ii) Tập A ⊂ X là mở (tương ứng, đóng) khi và chỉ khi intA = A (tương
ứng, clA = A);
iii) Nếu A, B là các tập con của X và A ⊂ B thì intA ⊂ intB và clA ⊂
4


5

clB.
1.1.4 Định lý ([1]). Giả sử X là không gian tôpô và A, B là những tập con
của X. Khi đó
a) intA ⊂ A và A ⊂ clA;
b) cl(A ∪ B) = clA ∪ clB và int(A ∩ B) = intA ∩ intB;
c) int(intA) = intA và cl(clA) = clA;
d) cl(A ∩ B) ⊂ clA ∩ clB.
1.1.5 Định lý ([1]). Nếu A là tập con của không gian tôpô X, thì intA = X\
cl(X \ A).
1.1.6 Bổ đề ([2]). a) Với mỗi tập G mở trong không gian tôpô X và mỗi
A ⊂ X ta có clA ∩ G ⊂ cl(A ∩ G);
b) Với mỗi tập F đóng trong không gian tôpô X và mỗi A ⊂ X ta có
int(A ∪ F ) ⊂ intA ∪ F .
1.1.7 Định nghĩa ([8]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) được gọi là
mở chính quy nếu tồn tại một tập đóng F sao cho A = intF . Phần bù của
tập mở chính quy là tập đóng chính quy.
Họ tất cả các tập mở chính quy trong X được kí hiệu là RO(X, τ ).
1.1.8 Nhận xét. Từ định nghĩa trên ta có
i) A là mở chính quy nếu và chỉ nếu A = int(clA);
ii) A là đóng chính quy nếu và chỉ nếu A = cl(intA).
1.1.9 Định nghĩa ([1]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X.

A được gọi là trù mật trong X nếu clA = X.
A được gọi là không đâu trù mật trong X nếu int(clA) = ∅.
Kí hiệu họ tất cả các tập con không đâu trù mật của không gian tôpô
(X, τ ) là N (X, τ ).
1.1.10 Định nghĩa ([1]). Không gian tôpô X được gọi là liên thông nếu
không tồn tại các tập mở khác rỗng U, V trong X sao cho X = U ∪ V và
U ∩ V = ∅.


6

1.1.11 Nhận xét ([1]). Không gian tôpô X là không liên thông nếu tồn tại
các tập mở khác rỗng U, V trong X sao cho X = U ∪ V và U ∩ V = ∅.

1.2.

CÁC TẬP TIỀN MỞ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHÚNG

1.2.1 Định nghĩa ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Tập A ⊂ X được gọi
là nửa mở (semi - open) nếu A ⊂ cl(intA). Phần bù của tập nửa mở là tập
nửa đóng (semi - closed).
Họ các tập nửa mở trong X được kí hiệu là SO(X).
Họ các tập nửa đóng trong X được kí hiệu là SC(X).
1.2.2 Định nghĩa ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Tập A ⊂ X được gọi
là tiền mở (preopen) nếu A ⊂ int(clA). Phần bù của tập tiền mở là tập tiền
đóng (preclosed).
Họ các tập tiền mở trong X được kí hiệu là P O(X).
Họ các tập tiền đóng trong X được kí hiệu là P C(X).
1.2.3 Nhận xét ([3]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó
i) Một tập mở là tập tiền mở, một tập đóng là tập tiền đóng;

ii) Hợp tuỳ ý các tập nửa mở trong X là tập nửa mở;
iii) Giao của họ tuỳ ý các tập nửa đóng trong X là tập nửa đóng;
iv) Hợp tuỳ ý các tập tiền mở trong X là tập tiền mở;
v) Giao của họ tuỳ ý các tập tiền đóng trong X là tập tiền đóng;
vi) Giao của hai tập tiền mở trong X chưa hẳn là tập tiền mở.
Chứng minh. i) Giả sử A ⊂ X và A mở. Khi đó A ⊂ clA kéo theo intA ⊂
int(clA) mà A mở nên intA = A. Do đó A ⊂ int(clA).
Vậy A là tiền mở.
Vì A đóng nên X \ A mở suy ra X \ A là tiền mở. Do đó A là tiền đóng.
ii) Giả sử {Ai , i ∈ I} là họ các tập nửa mở. Khi đó ta có Ai ⊂
cl(intAi )), i ∈ I. Từ đó ta có Ai ⊂ cl(intAi )) ⊂ cl(int(∪Ai )), với mọi i ∈ I.
Vì thế ta có ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ cl(int(∪{Ai , i ∈ I})). Do đó ∪{Ai , i ∈ I} là tập


7

nửa mở.
iii) Suy từ định nghĩa tập nửa đóng và Nhận xét 1.2.3 ii).
iv) Giả sử {Ai , i ∈ I} là họ các tập tiền mở trong X. Khi đó ta có Ai ⊂
int(clAi ), mọi i ∈ I kéo theo ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ ∪{int(clAi ), i ∈ I}.
Mặt khác int(clAi ) ⊂ cl(Ai ) nên int(clAi ) ⊂ ∪{clAi , i ∈ I}, mọi i ∈ I
kéo theo ∪{int(clAi ), i ∈ I} ⊂ ∪{clAi , i ∈ I}, mà ∪{int(clAi ), i ∈ I} là tập
mở nên ∪{int(clAi ), i ∈ I} ⊂ int (∪{clAi , i ∈ I}) ⊂ int(cl(∪{Ai , i ∈ I})). Do
đó ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ int(cl(∪{Ai , i ∈ I})).
Vậy ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ P O(X).
v) Suy từ định nghĩa tập tiền đóng và Nhận xét 1.2.3 iv).
vi) Cho X = {a, b, c}. Trên X trang bị tôpô τ = {∅, X, {a, b}}. Ta có
{a, c} ⊂ int(cl{a, c}) = intX = X, do đó {a, c} là tập tiền mở.
{b, c} ⊂ int(cl{b, c}) = intX = X, do đó {b, c} là tập tiền mở.
Tuy nhiên {a, c}∩{b, c} = {c} không là tập tiền mở vì {c} ⊂ int(cl{c}) =

int{c} = ∅.
1.2.4 Định nghĩa ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Tập A ⊂ X được gọi
là nửa tiền mở (semi - preopen) nếu A ⊂ cl(int(clA)). Phần bù của tập nửa
tiền mở là tập nửa tiền đóng (semi - preclosed).
Họ các tập nửa tiền mở trong X được kí hiệu là SP O(X).
Họ các tập nửa tiền đóng trong X được kí hiệu là SP C(X).
1.2.5 Nhận xét ([12]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó
i) Hợp tuỳ ý các tập nửa tiền mở trong X là tập nửa tiền mở;
ii) Giao của họ tuỳ ý các tập nửa tiền đóng trong X là tập nửa tiền
đóng;
iii) SO(X), P O(X) và SP O(X) mịn hơn tôpô τ .
Chứng minh. i) Giả sử {Ai , i ∈ I} là các tập nửa tiền mở. Khi đó ta có Ai ⊂
cl(int(clAi )), i ∈ I. Từ đó ta có Ai ⊂ cl(int(clAi )) ⊂ cl(int(cl( ∪Ai ))), với
mọi i ∈ I. Vì thế ta có ∪{Ai , i ∈ I} ⊂ cl(int(cl( ∪{Ai , i ∈ I}))). Do đó
∪{Ai , i ∈ I} là tập nửa tiền mở.


8

ii) Suy từ định nghĩa tập nửa tiền đóng và Nhận xét 1.2.5 i).
iii) Lấy bất kì A ∈ τ . Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA = cl(intA). Do
đó A ⊂ cl(intA) hayA ∈ SO(X). Vậy τ ⊂ SO(X).
Lấy bất kì A ∈ τ . Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA. Suy ra A = intA ⊂
int(clA). Do đó A ⊂ int(clA) hayA ∈ P O(X). Vậy τ ⊂ P O(X).
Lấy bất kì A ∈ τ . Khi đó A = intA và ta có A ⊂ clA = cl(intA) ⊂
cl(int(clA)). Do đó A ⊂ cl(int(clA)) hayA ∈ SP O(X). Vậy τ ⊂ SP O(X).
1.2.6 Định lý ([8]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó
SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X).
Chứng minh. Lấy bất kì A ∈ SO(X) ∪ P O(X). Khi đó A ∈ SO(X) hoặc
A ∈ P O(X).

Nếu A ∈ SO(X), thì A ⊂ cl(intA) mà cl(intA) ⊂ cl(int(clA)). Do đó
A ⊂ cl(int(clA)) suy ra A ∈ SP O(X).
Nếu A ∈ P O(X), thì A ⊂ int(clA) mà int(clA) ⊂ cl(int(clA)). Do đó
A ⊂ cl(int(clA)) suy ra A ∈ SP O(X).
Vậy SO(X) ∪ P O(X) ⊂ SP O(X).
1.2.7 Định nghĩa ([9]). Không gian tôpô X được gọi là dưới cực đại (submaximal) nếu mỗi tập con trù mật của X là mở.
1.2.8 Định lý ([9]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó mỗi tập tiền
mở là mở nếu và chỉ nếu (X, τ ) là dưới cực đại.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A ⊂ X và clA = X. Khi đó ta có A ⊂
clA = X = intX = int(clA), kéo theo A ⊂ int(clA). Suy ra A là tập tiền mở.
Theo giả thiết điều kiện đủ ta có A mở. Vậy (X, τ ) là dưới cực đại.
Điều kiện đủ. Giả sử A là tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó A ⊂ int(clA kéo theo clA ⊂ cl(int(clA)) ⊂ clA hay clA = cl(int(clA)).
Đặt B = A ∪ X\int(clA)). Ta có clB = cl(A ∪ X\int(clA))) = clA ∪
X\cl(int(clA))) = X. Vì (X, τ ) là dưới cực đại, B là tập mở trong X. Từ đó
suy ra A = int(clA) ∩ B là tập mở trong X.


9

1.2.9 Định lý ([9]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó mỗi tập con
là tập tiền mở nếu và chỉ nếu (X, τ ) mỗi tập mở trong (X, τ ) là đóng.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử A là tập mở trong (X, τ ). Khi đó vì clA ⊂
X, nên theo giả thiết ta có clA ⊂ int(clA). Vì A mở nên ta có int(clA) ⊂ A.
Suy ra clA ⊂ A. Vậy A đóng.
Điều kiện đủ. Giả sử A là tập con bất kỳ của (X, τ ). Từ giả thiết điều
kiện đủ và int(clA) là tập mở ta suy ra int(clA) là tập đóng. Vì thế ta suy
ra A ⊂ int(clA). Do đó A là tập tiền mở.
1.2.10 Định lý ([9]). a) Nếu U là tập mở và A là nửa mở trong không gian
tôpô X, thì A ∩ U là nửa mở;

b) Nếu U là tập mở và A là tiền mở trong không gian tôpô X, thì A ∩ U
là tiền mở;
c) Nếu U là tập mở và A là nửa tiền mở trong không gian tôpô X, thì
A ∩ U là nửa tiền mở.
Chứng minh. a) Giả sử U là tập mở và A là nửa mở trong không gian tôpô
X. Khi đó A ⊂ cl(intA) và intU = U . Do đó A ∩ U ⊂ cl(intA) ∩ intU =
cl(int(A ∩ U )) suy ra A ∩ U ⊂ cl(int(A ∩ U )).
Vậy A ∩ U là tập nửa mở.
b) Nhờ Bổ đề 1.1.6 a) ta có clA ∩ U ⊂ cl(A ∩ U ) suy ra int(clA ∩ U ) ⊂
int(cl(A ∩ U )) hay int(clA) ∩ intU ⊂ int(cl(A ∩ U )) mà A là tiền mở nên
A ⊂ int(clA) và U mở nên intU = U . Do đó A ∩ U ⊂ int(clA) ∩ intU ⊂
int(cl(A ∩ U )) suy ra A ∩ U ⊂ int(cl(A ∩ U )).
Vậy A ∩ U là tập tiền mở.
c) Nhờ Bổ đề 1.1.6 a) ta có clA ∩ U ⊂ cl(A ∩ U ) suy ra int(clA ∩ U ) ⊂
int(cl(A ∩ U )) hay int(clA) ∩ intU ⊂ int(cl(A ∩ U )) kéo theo cl(int(clA) ∩
intU ) ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))) mà A là nửa tiền mở nên A ⊂ cl(int(clA)) và U
mở nên intU = U . Do đó A ∩ U ⊂ cl(int(clA)) ∩ intU ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))
(do Bổ đề 1.1.6 a)) suy ra A ∩ U ⊂ cl(int(cl(A ∩ U ))).
Vậy A ∩ U là tập nửa tiền mở.


10

1.2.11 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) A là nửa đóng nếu và chỉ nếu int(clA) ⊂ A;
b) A là tiền đóng nếu và chỉ nếu cl(intA) ⊂ A;
c) A là nửa tiền đóng nếu và chỉ nếu int(cl(intA)) ⊂ A.
Chứng minh. a) Giả sử A là nửa đóng. Khi đó X \A là nửa mở suy ra X \A ⊂
cl(int(X \ A)) kéo theo X\ cl(int(X \ A)) ⊂ A. Sử dụng Định lý 1.1.5 ta có
X\ cl(int(X \ A)) = int(X\int(X \ A)) = int(clA). Do đó int(clA) ⊂ A.

Ngược lại, giả sử A ⊂ X và int(clA) ⊂ A thì X \ A ⊂ X\ int(clA) =
cl(X\ clA) = cl(int(X \ A)) suy ra X \ A ⊂ cl(int(X \ A)). Do đó X \ A là
tập nửa mở. Vậy A là tập nửa đóng.
b) Giả sử A là tiền đóng. Khi đó X \ A là tiền mở suy ra X \ A ⊂
int(cl(X \ A)) kéo theo X\ int(cl(X \ A)) ⊂ A. Sử dụng Định lý 1.1.5 ta có
int(cl(X \ A)) = X\ cl(X\ cl(X \ A)). Kéo theo X\ int(cl(X \ A)) = cl(X\
cl(X \ A)) = cl(intA). Do đó cl(intA) ⊂ A.
Ngược lại, giả sử A ⊂ X và cl(intA) ⊂ A thì X \ A ⊂ X\ cl(intA) = X\
cl(X\ cl(X \ A)) = int(cl(X \ A)) suy ra X \ A ⊂ int(cl(X \ A)). Do đó X \ A
là tập tiền mở. Vậy A là tập tiền đóng.
c) Giả sử A là nửa tiền đóng. Khi đó X \ A là nửa tiền mở suy ra X \ A ⊂
cl(int(cl(X \A))) kéo theo X\ cl(int(cl(X \A))) ⊂ A. Sử dụng Định lý 1.1.5 ta
có cl(int(cl(X \ A))) = cl(int(X\intA)) = cl(X\cl(intA)) = X\int(cl(intA)).
Suy ra X\cl(int(cl(X \ A))) = int(cl(intA)). Do đó int(cl(intA) ⊂ A.
Ngược lại, giả sử A ⊂ X và int(cl(intA)) ⊂ A thì X \A ⊂ X\ int(cl(intA))
= cl(int(cl(X \ A))). Suy ra X \ A ⊂ cl(int(cl(X \ A))). Do đó X \ A là tập
nửa tiền mở. Vậy A là tập nửa tiền đóng.
1.2.12 Định nghĩa ([9]). Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X.
Hợp của họ tất cả các tập nửa mở của X được chứa trong A được gọi là
nửa phần trong của A và kí hiệu là sintA.
Giao của họ tất cả các tập nửa đóng của X chứa A được gọi là nửa bao
đóng của A và kí hiệu là sclA.


11

Hợp của họ tất cả các tập tiền mở của X được chứa trong A được gọi là
tiền phần trong của A và kí hiệu là pintA.
Giao của họ tất cả các tập tiền đóng của X chứa A được gọi là tiền bao
đóng của A và kí hiệu là pclA.

Hợp của họ tất cả các tập nửa tiền mở của X được chứa trong A được
gọi là nửa tiền phần trong của A và kí hiệu là spintA.
Giao của họ tất cả các tập nửa tiền đóng của X chứa A được gọi là nửa
tiền bao đóng của A và kí hiệu là spclA.
1.2.13 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) sintA = A ∩ cl(intA);
b) sclA = A ∪ int(clA);
c) pintA = A ∩ int(clA);
d) pclA = A ∪ cl(intA);
e) spintA = A ∩ cl(int(clA));
f) spclA = A ∪ int(cl(intA)).
Chứng minh. a) Từ Nhận xét 1.2.3 ii) ta có sintA là tập nửa mở và sintA ⊂
A ∩ cl(intA). Mặt khác ta có intA ⊂ intA ∩ cl(intA). Điều này kéo theo
intA ⊂ int(A ∩ cl(intA)) và cl(intA) ⊂ cl(int(A ∩ cl(intA))). Vì thế ta có
A ∩ cl(intA) ⊂ cl(int(A ∩ cl(intA))), nghĩa là A ∩ cl(intA) là tập nửa mở
nằm trong A. Do đó ta có sintA = A ∩ cl(intA).
b) Từ Nhận xét 1.2.3 iii) ta có sclA là tập nửa đóng và sclA ⊃ A ∪
int(clA). Mặt khác ta có cl(A ∪ int(clA)) ⊂ clA, nên int(cl(A ∪ int(clA))) ⊂
int(clA). Kéo theo int(cl(A ∪ int(clA))) ⊂ A ∪ int(clA). Do đó A ∪ int(clA)
là tập nửa đóng chứa chính nó. Vì vậy ta có sclA ⊂ A ∪ int(clA). Suy ra
sclA = A ∪ int(clA).
c, d, e và f chứng minh tương tự.
1.2.14 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) pint(clA) = int(clA) = int(sclA);
b) pcl(intA) = cl(intA) = cl(sintA);


12

c) int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA);

d) cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA).
Chứng minh. a) Sử dụng Định lý 1.2.13 c) ta có
pint(clA) = clA ∩ int(cl(clA)) = clA ∩ int(clA) = int(clA).
Từ Định lý 1.2.13 b) suy ra int(clA) ⊂ sclA kéo theo int(clA) ⊂ int(sclA).
Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 b) ta có int(sclA) = int(A ∪ int(clA) ⊂
int(A ∪ clA) = int(clA). Do đó int(clA) = int(sclA).
Vậy pint(clA) = int(clA) = int(sclA).
b) Sử dụng Định lý 1.2.13 d) ta có
pcl(intA) = intA ∪ cl(int(intA)) = intA ∪ cl(intA) = cl(intA).
Từ Định lý 1.2.13 a) suy ra sintA ⊂ cl(intA) kéo theo cl(sintA) ⊂ cl(intA).
Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 a) ta có
cl(sintA) = cl(A ∩ cl(intA) ⊂ clA ∩ cl(cl(intA)) = clA ∩ cl(intA) = cl(intA).
Do đó cl(intA) = cl(sintA).
Vậy pcl(intA) = cl(intA) = cl(sintA).
c) Từ Định lý 1.2.13 b) suy ra scl(intA) = intA ∪ int(cl(intA)) = int(cl(intA)).
Từ Định lý 1.2.13 d) suy ra cl(intA) ⊂ pclA kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(pclA).
Sử dụng Bổ đề 1.1.6 b) ta có
int(pclA) = int(A ∪ cl(intA)) ⊂ intA ∪ cl(intA) ⊂ cl(intA) suy ra
int(pclA) ⊂ int(cl(intA)). Do đó int(cl(intA) = int(pclA).
Vậy int(pclA) = int(cl(intA)) = scl(intA).
d) Từ Định lý 1.2.13 a) suy ra sint(clA) = clA ∩ cl(int(clA)) = cl(int(clA)).
Từ Định lý 1.2.13 c) suy ra pintA ⊂ int(clA). Do đó cl(pintA) ⊂ cl(int(clA)).
Sử dụng Bổ đề 1.1.6 a) ta có cl(pintA) = cl(A ∩ int(clA)) ⊃ clA ∩
int(clA) = int(clA) suy ra cl(pintA) ⊃ cl(int(clA)).
Do đó cl(pintA) = cl(int(clA)).
Vậy cl(pintA) = cl(int(clA)) = sint(clA).
1.2.15 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) scl(pintA) = int(clA);

13

b) pcl(sintA) = cl(intA).
Chứng minh. a) Sử dụng Định lý 1.2.13 và 1.2.14 d) ta có
scl(pintA) = pintA ∪ int(cl(pintA)) = pintA ∪ int(cl(int(clA))) = (A ∩
int(clA)) ∪ int(clA) = int(clA).
b) Sử dụng Định lý 1.2.13 ta có
pcl(sintA) = sintA ∪ cl(int(sintA)) = sintA ∪ cl(int(A ∩ cl(intA))) =
(A ∩ cl(intA)) ∪ cl(intA ∩ cl(intA)) = cl(intA).
1.2.16 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) scl(pclA) = pclA ∪ sclA;
b) pcl(pintA) = pintA ∪ cl(intA).
Chứng minh. a) Sử dụng 1.2.13 ta có
scl(pclA) = pclA ∪ int(cl(pclA)) = pclA ∪ int(clA) = pclA ∪ sclA.
b) Vì τ ⊂ P O(X) nên intA ⊂ pintA ⊂ A suy ra int(pintA) = intA. Sử
dụng 1.2.13 d) ta có
pcl(pintA) = pintA ∪ cl(int(pintA)) = pintA ∪ cl(intA).
1.2.17 Mệnh đề ([11]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) scl(sintA) = sintA ∪ int(cl(intA));
b) pcl(pintA) = pintA ∪ cl(intA);
c) spcl(spintA) = spint(spclA);
d) int(sclA) = pint(clA) = pint(sclA) = scl(pintA) = int(clA);
e) int(pclA) = scl(intA) = spcl(intA) = int(spclA) = int(cl(intA)).
1.2.18 Định lý ([13]). Nếu A là tập con của không gian tôpô X, thì các
khẳng định sau là tương đương
i) A là tiền mở;
ii) Nửa bao đóng của A tập mở chính quy;
iii) A là giao của tập mở và tập trù mật;
iv) A là giao của tập mở chính quy và tập trù mật;
v) A là tập con trù mật của không gian con mở chính quy;

vi) A là tập con trù mật của không gian con mở;


14

vii) A là tập con trù mật của không gian con tiền mở;
viii) sclA = int(clA);
ix) Tồn tại một tập mở chính quy F chứa A sao cho clA = clF .
1.2.19 Bổ đề ([13]). Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con
của X. Nếu A là nửa mở và B là tiền mở, thì A ∩ B là nửa mở trong B và
tiền mở trong A.
1.2.20 Mệnh đề ([13]). Giả sử X là không gian tôpô và A, B là các tập con
của X. Khi đó
a) Nếu A là tiền mở và B là đóng chính quy (tương ứng, mở chính quy)
thì A ∩ B) là đóng chính quy (tương ứng, mở chính quy) trong không gian
tiền mở A;
b) Nếu A là tiền mở thoả mãn B ⊂ A ⊂clB, thì B cũng là tiền mở;
c) Tập A là mở chính quy nếu và chỉ nếu A là nửa đóng và tiền mở;
d) Nếu A là tiền mở và B là nửa mở, thì A ∩ clB = cl(A ∩ intB)=
cl(A ∩ B) = cl(A ∩ clB) = cl(int(clA ∩ B)).


CHƯƠNG 2

TÔPÔ SINH BỞI CÁC TẬP TIỀN MỞ

2.1.

KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τγ )

2.1.1 Định nghĩa ([9]). Tập con A của không gian tôpô X được gọi là γ tập nếu A ∩ B ∈ P O(X) với mọi tập tiền mở B.
Họ tất cả các γ - tập trong X được kí hiệu là τγ .
2.1.2 Nhận xét ([3]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó τγ là tôpô trên
X và τγ mịn hơn τ .
Chứng minh. Hiển nhiên ∅ ∈ τγ và X ∈ τγ .
Giả sử {As , s ∈ S} ⊂ τγ thì As ∩ B ∈ P O(X), với mọi B ∈ P O(X) và
với mọi s ∈ S. Do đó theo Nhận xét 1.2.3 (∪As ) ∩ B = ∪(As ∩ B) ∈ P O(X),
với mọi B ∈ P O(X) hay ∪As ∈ τγ .
Giả sử C, D ∈ τγ thì (C ∩ D) ∩ B = C ∩ (D ∩ B) ∈ P O(X), với mọi
B ∈ P O(X) hay C ∩ D ∈ τγ .
Vậy τγ là tôpô trên X.
Bây giờ với bất kì A ∈ τ suy ra A mở trong không gian tôpô (X, τ ). Khi
đó nhờ Định lý 1.2.10 ta có A ∩ B ∈ P O(X), với mọi B ∈ P O(X). Do đó
A ∈ τγ . Vậy τ ⊂ τγ .
2.1.3 Định nghĩa ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).
Kí hiệu bao đóng (phần trong) của tập A trong không gian tôpô (X, τγ )
là clγ A (tương ứng, intγ A).
Kí hiệu lớp các tập đóng trong không gian tôpô (X, τγ ) là Fγ .
2.1.4 Định lý ([9]). Với mọi tôpô τ trên X ta có τγ ⊂ P O(X, τ ).
15


16

Chứng minh. Lấy bất kỳ A ∈ τγ . Khi đó theo Nhận xét 1.2.5 ta có X ∈ τ ⊂
P O(X) và A = A ∩ X nên theo định nghĩa của τγ ta suy ra A = A ∩ X ∈
P O(X, τ ). Vậy τγ ⊂ P O(X, τ ).
2.1.5 Định lý ([9]). P O(X, τ ) là tôpô trên X nếu và chỉ nếu τγ = P O(X).
Chứng minh. Theo Định lý 2.1.4 ta có τγ ⊂ P O(X, τ ). Ta chỉ cần chứng minh
P O(Xτ ) ⊂ τγ . Thậy vậy, giả sử với bất kỳ A ∈ P O(X). Khi đó vì P O(X, τ )

là tôpô trên X nên A ∩ B ∈ P O(X) với mọi B ∈ P O(X). Do đó A ∈ τγ .
Ngược lại, vì τγ = P O(X) theo Nhận xét 2.1.2 ta có τγ là tôpô trên X.
Do đó P O(X, τ ) là tôpô trên X.
2.1.6 Định lý ([8]). Tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là đóng trong
không gian tôpô (X, τγ ) nếu và chỉ nếu A ∪ B là tiền đóng với mọi tập tiền
đóng B.
Chứng minh. Giả sử tập con A của không gian tôpô (X, τ ) là đóng trong
không gian tôpô (X, τγ ). Suy ra X\A là mở theo trong không gian tôpô(X, τγ ).
Từ B là tập tiền đóng suy ra X \ B là tập tiền mở. Nhờ Định nghĩa 2.1.1 ta
có X \ (A ∪ B) = (X \ A) ∩ (X \ B) là tập tiền mở kéo theo A ∪ B là tập
tiền đóng với mọi tập tiền đóng B.
Ngược lại, giả sử A là tập con của không tôpô (X, τ ) và A ∪ B là tập
tiền đóng với mọi tập tiền đóng B. Để chứng minh A là đóng trong không
gian tôpô (X, τ ) ta sẽ chứng minh rằng X \ A là mở trong (X, τ ). Thật
vậy giả sử C là tập tiền mở bất kỳ trong (X, τ ). Khi đó X \ C là tập tiền
đóng. Theo giả thiết ta có A ∪ (X \ C) là tập tiền đóng. Từ đó ta suy ra
(X \ A) ∩ C = (X \ A) ∩ (X \ (X \ C)) = X \ (A ∪ (X \ C)) là tiền mở. Vì
vậy X \ A là mở trong (X, τ ) và A là đóng trong (X, τγ ).
2.1.7 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) intγ (clA) = int(clA);
b) clγ (intA) = cl(intA).
Chứng minh. a) Từ τ ⊂ τγ ta có int(clA) ⊂ intγ (clA). Mặt khác áp dụng
Định lý 2.1.4 và Định lý 1.2.14 a) ta có intγ (clA) ⊂ pint(clA) = int(clA).


17

Vậy intγ (clA) = int(clA).
b) Từ τ ⊂ τγ ta có clγ (intA) ⊂ cl(intA). Mặt khác áp dụng Định lý 2.1.4
và Định lý 1.2.14 b) ta có cl(intA) = pcl(intA) ⊂ clγ (intA).

Vậy clγ (intA) = cl(intA).
2.1.8 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA);
b) cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) ⊂ cl(int(clA)).
Chứng minh. a) Từ τ ⊂ τγ ⊂ P O(X, τ ) và áp dụng Định lý 1.2.14 c) ta có
int(cl(intA)) = int(pclA) ⊂ intγ (clγ A). Từ τ ⊂ τγ ta có clγ A ⊂ clA và áp
dụng Định lý 2.1.7 a) ta được intγ (clγ A) ⊂ intγ (clA) = int(clA).
Vậy int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA).
b) Từ τ ⊂ τγ và áp dụng Định lý 2.1.7 b) ta có cl(intA) = clγ (intA) ⊂
clγ (intγ A). Mà intγ A ⊂ A ⊂ clA kéo theo intγ A ⊂ int(clA). Lại nhờ Định lý
2.1.7 b) ta có clγ (int(clA)) = cl(int(clA)). Từ đó ta có clγ (intA) ⊂ clγ (int(clA))
= cl(int(clA)). Suy ra clγ (intγ A) ⊂ clγ (int(clA)) ⊂ cl(int(clA)).
Vậy cl(intA) ⊂ clγ (intγ A) ⊂ cl(int(clA)).
2.1.9 Hệ quả ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)) ⊂ int(clA);
b) cl(intA) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)).
Chứng minh. a) Từ τ ⊂ τγ và áp dụng Định lý 2.1.8 ta có cl(intA) ⊂
clγ (intγ A) kéo theo int(cl(intA)) ⊂ int(clγ (intγ A)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)). Sử
dụng Định lý 2.1.8 a) và từ intγ A ⊂ A suy ra clγ (intγ A) ⊂ clγ A kéo theo
intγ (clγ (intγ A)) ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA).
Vậy int(cl(intA)) ⊂ intγ (clγ (intγ A)) ⊂ int(clA).
b) Sử dụng Định lý 2.1.8 b) ta có cl(intA) ⊂ clγ (intγ A). Từ A ⊂ clγ A suy
ra intγ A ⊂ intγ (clγ A) kéo theo clγ (intγ A) ⊂ clγ (intγ (clγ A)). Do đó cl(intA) ⊂
clγ (intγ (clγ A)). Sử dụng Định lý 2.1.8 a) ta có intγ (clγ A) ⊂ int(clA) kéo theo
clγ (intγ (clγ A)) ⊂ clγ (int(clA)) ⊂ cl(int(clA)).
Vậy cl(intA) ⊂ clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)).


18

2.1.10 Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô.
Kí hiệu họ các tập nửa mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là SO(X, τγ ).
Kí hiệu họ các tập tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là P O(X, τγ ).
Kí hiệu họ các tập nửa tiền mở trong không gian tôpô (X, τγ ) là SP O(X, τγ ).
2.1.11 Định lý ([8]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó các quan hệ
sau đây là đúng
a) P O(X, τγ ) ⊂ P O(X, τ );
b) SP O(X, τγ ) ⊂ SP O(X, τ );
c) SO(X, τ ) ⊂ SO(X, τγ ).
Chứng minh. a) Sử dụng Định lý 2.1.8 a) ta có với bất kỳ A ∈ P O(X, τγ ) thì
A ⊂ intγ (clγ A) ⊂ int(clA). Do đó A ∈ P O(X, τ ).
Vậy P O(X, τγ ) ⊂ P O(X, τ ).
b) Sử dụng Hệ quả 2.1.9 b) ta có với bất kỳ A ∈ SP O(X, τγ ) thì A ⊂
clγ (intγ (clγ A)) ⊂ cl(int(clA)). Do đó A ∈ SP O(X, τ ).
Vậy SP O(X, τγ ) ⊂ SP O(X, τ ).
c) Sử dụng Định lý 2.1.8 b) ta có với bất kỳ A ∈ SO(X, τ ) thì A ⊂
cl(intA) ⊂ clγ (intγ A). Do đó A ∈ SO(X, τγ ).
Vậy SO(X, τ ) ⊂ SO(X, τγ ).
Ví dụ sau chứng tỏ rằng các đẳng thức trong a) và c) nói chung không
đúng. Đối với b) xem [12]
2.1.12 Ví dụ ([8]). Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a, b}}. Khi đó τ =
SO(X, τ ), P O(X, τ ) = {∅, X, a, b, {a, b}, {a, c}, {b, c}}, τγ = P O(X, τγ ) =
{∅, X, a, b, {a, b}} và SO(X, τγ ) = {∅, X, a, b, {a, b}, {a, c}, {b, c}} .
2.1.13 Định nghĩa ([3]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô.
Kí hiệu họ tất cả các tập mở chính quy trong không gian tôpô (X, τγ ) là
RO(X, τγ ).
Kí hiệu họ tất cả các tập không đâu trù mật trong không gian tôpô
(X, τγ ) là N (X, τγ ).

19

2.1.14 Định lý ([8]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó
a) RO(X, τ ) ⊂ RO(X, τγ );
b) N (X, τ ) ⊂ N (X, τγ ).
Chứng minh. a) Với bất kì A ∈ RO(X, τ ) ta có A = int(clA). Sử dụng Định
lý 2.1.7 a) ta có int(clA) = intγ (clA). Vì τ ⊂ τγ , nên F = clA đóng trong τ
nên F đóng trong τγ . Do đó ta có clF = clγ F . Suy ra A = intF = int(clF )
= intγ (clγ F ). Do đó A ∈ RO(X, τγ ). Vậy RO(X, τ ) ⊂ RO(X, τγ ).
b) Nhờ Định lý 2.1.8 ta có intγ (clγ A) ⊂ int(clA) với mọi tập con A của
(X, τ ). Vì thế nếu int(clA) = ∅ kéo theo intγ (clγ A) = ∅. Do đó N (X, τ ) ⊂
N (X, τγ ).
Ví dụ sau chứng tỏ rằng đẳng thức nói trong Định lý 2.1.14 a) trên không
đúng.
2.1.15 Ví dụ ([8]). Giả sử X là tập hợp chứa ít nhất là 2 điểm. Kí hiệu
A tôpô không rời rạc trên X. Khi đó Aγ = P O(X, A) = 2X , RO(X, A) =
{∅, X} và RO(X, A)γ ) = 2X .
2.1.16 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) clγ (sintA) = cl(intA);
b) sint(clγ A) = cl(int(clγ A)).
Chứng minh. a) Từ τγ ⊂ P O(X, τ ) và Định lý 1.2.15 b) ta có clγ (sintA) ⊃
pcl(sintA) = cl(intA). Mặt khác vì τ ⊂ τγ nên áp dụng Định lý 1.2.14 b) ta
có clγ (sintA) ⊂ cl(sintA) = cl(intA).
Vậy clγ (sintA) = cl(intA).
b) Vì clγ A đóng và τγ ⊂ P O(X, τ ) nên clγ A là tiền đóng, do đó áp
dụng Định lý 1.2.11 cl(int(clγ A)) ⊂ clγ A. Vì vậy nhờ Định lý 1.2.13 a) ta có
sint(clγ A) = clγ A ∩ cl(int(clγ A)) = cl(int(clγ A)).
Vậy sint(clγ A) = cl(int(clγ A)).
2.1.17 Hệ quả ([8]). Nếu A là tập nửa mở, thì clγ A = clA.

20

Chứng minh. Vì τ ⊂ τγ nên clγ A ⊂ clA. Do A là nửa mở nên A ⊂ cl(intA).
Nhờ Định lý 1.2.13 a) và Định lý 2.1.16 a) ta có clA ⊂ cl(intA) = clγ (sintA)
= clγ (A ∩ cl(intA)) ⊂ clγ A ∩ clγ (cl(intA)). Suy ra clA ⊂ clγ A. Vậy clγ A =
clA.
Ví dụ sau chứng tỏ rằng nói chung hai loại bao đóng này không bằng nhau.
2.1.18 Ví dụ ([8]). Giả sử X = {a, b, c}, τ = {∅, X, {a, b}}. Khi đó {a} ∈ τγ
= {∅, X, a, b, {a, b}} nhưng cl{a} = X và clγ {a} = {a, c}.

2.2.

MỐI QUAN HỆ GIỮA KHÔNG GIAN TÔPÔ (X, τα ) VÀ KHÔNG GIAN
TÔPÔ (X, τγ )

2.2.1 Định nghĩa ([9]). Tập con A của không gian tôpô X được gọi là α tập nếu A ⊂ int(cl(intA)). Phần bù của α - tập được gọi là α - đóng.
Họ tất cả các α - tập trong X được kí hiệu là τα .
2.2.2 Nhận xét ([14]). Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X. Khi đó τα
là tôpô trên X và τα mịn hơn τ .
2.2.3 Định lý ([8]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó
τα = SO(X) ∩ P O(X).
Chứng minh. Lấy bất kì A ∈ τα ta có A ⊂ int(cl(intA)) ⊂ cl(intA) kéo theo
A ⊂ cl(intA). Do đó A ∈ SO(X). Từ intA ⊂ A suy ra cl(intA) ⊂ clA kéo
theo int(cl(intA)) ⊂ int(clA). Do đó A ⊂ int(clA) hay A ∈ P O(X). Vì vậy
A ∈ SO(X) ∩ P O(X).
Ngược lại, với bất kì A ∈ SO(X) ∩ P O(X) ta có A ∈ SO(X) và
A ∈ P O(X). Vì A ∈ SO(X) nên A ⊂ cl(intA) suy ra clA ⊂ cl(intA) kéo
theo int(clA) ⊂ int(cl(intA)). Từ A ∈ P O(X) nên A ⊂ int(clA). Vì vậy A ⊂
int(cl(intA)) hay A ∈ τα .

Vậy τα = SO(X) ∩ P O(X).
2.2.4 Định lý ([6]). Các không gian tôpô (X, τ ) và (X, τα ) có chung lớp các
tập con tiền mở.


21

2.2.5 Định lý ([14]). Giả sử (X, τ ) là không gian tôpô. Khi đó τ = τα khi
và chỉ khi tất cả các tập không đâu trù mật là đóng.
2.2.6 Định nghĩa ([7]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô (X, τ ).
Kí hiệu bao đóng (phần trong) của tập A trong không gian tôpô (X, τα )
là A˜ (tương ứng, A◦ ).
2.2.7 Định lý ([7]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) A˜ = A ∪ cl(int(clA));
b) A◦ = A ∩ int(cl(intA)).
2.2.8 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a)(pintA)∼ = cl(int(clA));
˜
b) pcl(sclA) = A.
Chứng minh. a) Sử dụng Định lý 2.2.7, Định lý 1.2.13 và Định lý 1.2.14 ta
có (pintA)∼ = pintA ∪ cl(int(cl(pintA))) = (A ∩ int(clA)) ∪
cl(int(cl(int(clA)))) = (A ∩ int(clA)) ∪ cl(int(clA)) = (A ∪ cl(int(clA))) ∩
(int(clA) ∪ cl(int(clA))) = cl(int(clA)).
Vậy (pintA)∼ = cl(int(clA)).
b) Sử dụng Định lý 1.2.13 và Định lý 1.2.14 a) ta có
pcl(sclA) = sclA ∪ cl(int(sclA)) = A ∪ int(clA) ∪ cl(int(clA)) = A ∪
˜
cl(int(clA)) = A.
˜
Vậy pcl(sclA) = A.

2.2.9 Định lý ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó τα ⊂ τγ .
Chứng minh. Giả sử A ∈ τα . Khi đó A mở trong không gian tôpô (X, τα ).
Theo Định lý 1.2.10 và Định lý 2.2.4 suy ra A ∩ B ∈ P O(X), với mọi
B ∈ P O(X). Do đó A ∈ τγ . Vậy τα ⊂ τγ
2.2.10 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
A˜ = clγ A ∪ int(clA).
Chứng minh. Vì int(int(clA) \ A) = int(clA)\ clA = ∅. Sử dụng Định lý
1.2.11 a) ta được int(clA) \ A là tập tiền đóng. Do đó áp dụng Định lý 2.1.6


22

suy ra clγ A ∪ int(clA)\A = clγ A ∪ int(clA) là tiền đóng. Theo Định lý 1.2.13
b) ta có sclA = A ∪ int(clA) ⊂ clγ A ∪ int(clA). Do đó pcl(sclA) ⊂ clγ A ∪
int(clA). Từ Định lý 2.2.8 b) A˜ ⊂ clγ A ∪ int(clA).
˜
Ngược lại từ τα ⊂ τγ ta có clγ A ⊂ A˜ suy ra clγ A ∪ int(clA) ⊂ A.
Vậy A˜ = clγ A ∪ int(clA).
2.2.11 Hệ quả ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
A˜ = clγ A ∪ sclA.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.2.13 b) và Định lý 2.2.10 ta có
˜ Vậy A˜ = clγ A ∪
clγ A ∪ sclA = clγ A ∪ A ∪ int(clA) = clγ A ∪ int(clA) = A.
sclA.
2.2.12 Định lý ([9]). Đối với tập con A của không gian tôpô X ta có A◦ =
intγ A ∩ cl(intA) = intγ A ∩ sintA.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 1.2.13 a) và Định lý 2.2.10 ta có
intγ A ∩ sintA = intγ A ∩ A ∩ cl(intA) = intγ A ∩ cl(intA) = A◦ .
2.2.13 Hệ quả ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) Nếu A là nửa mở, thì A◦ = intγ A;

b) Nếu A là nửa đóng, thì A˜ = clγ A;
c) Nếu A ∈ τγ , thì A◦ = sintA;
d) Nếu A ∈ Fγ , thì A˜ = sclA.
Chứng minh. a) Vì A là nửa mở nên A ⊂ cl(intA). Sử dụng Định lý 1.2.13 a)
ta có sintA = A ∩ cl(intA) = A. Sử dụng Định lý 2.2.12 ta có A◦ = intγ A ∩
sintA = intγ A ∩ A = intγ A. Vậy A◦ = intγ A.
b) Vì A là nửa đóng nên X \ A là nửa mở, suy ra X \ A ⊂ cl(int(X \ A))
= cl(X\ cl(X \ (X \ A))) = cl(X\clA). Kéo theo A ⊃ X\ cl(X\ clA) =
int(clA). Sử dụng Định lý 1.2.13 b) ta có sclA = A ∪ int(clA) = A. Do đó từ
Hệ quả 2.2.11 ta có A˜ = clγ A ∪ sclA = clγ A ∪ A = clγ A. Vậy A˜ = clγ A.
c) Vì A ∈ τγ nên A mở trong không gian tôpô (X, τγ ). Suy ra intγ A = A.
Từ Định lý 1.2.13 a) suy ra sintA ⊂ A. Sử dụng Định lý 2.2.12 ta có A◦ =


23

intγ A ∩ sintA = A ∩ sintA = sintA. Vậy A◦ = sintA.
d) Vì A ∈ Fγ nên A đóng trong không gian tôpô (X, τγ ). Suy ra clγ A = A.
Từ Định lý 1.2.13 b) suy ra A ⊂ sclA. Nhờ Hệ quả 2.2.11 ta có A˜ = clγ A ∪
sclA = A ∪ sclA = sclA.
Vậy A˜ = sclA.
2.2.14 Định lý ([9]). Đối với không gian tôpô (X, τ ) ta có τα = τγ nếu và
chỉ nếu τγ ⊂ SO(X, τ ).
Chứng minh. Ta có τα = τγ nếu và chỉ nếu clγ A = A˜ với mọi A. Vì thế nhờ
Hệ quả 2.2.11 điều này xảy ra nếu và chỉ nếu sclA ⊂ clA với mọi A. Nhưng
điều này xảy ra nếu và chỉ nếu τγ ⊂ SO(X, τ ).
2.2.15 Định lý ([9]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) cl(int(clA)) = clγ (pintA) ∪ int(clA);
b) A˜ = clγ (pintA) ∪ sclA.
Chứng minh. a) Sử dụng Hệ quả 2.2.11 cho pintA ta có (pintA)∼ = clγ (pintA)

∪ scl(pintA). Do đó theo Định lý 1.2.15 a) ta có (pintA)∼ = clγ (pintA) ∪
int(clA). Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 và Định lý 1.2.14 d) ta có (pintA)∼
= pintA ∪ cl(int(cl(pintA))) = (A ∩ int(clA)) ∪ cl(int(clA)) = cl(int(clA)).
Vậy cl(int(clA)) = clγ (pintA) ∪ int(clA).
b) Sử dụng câu a) và Định lý 1.2.13 ta có
A˜ = A ∪ cl(int(clA)) = A ∪ clγ (pintA) ∪ int(clA) = clγ (pintA) ∪ (A ∪
int(clA)) = clγ (pintA) ∪ sclA.
Vậy A˜ = clγ (pintA) ∪ sclA.
2.2.16 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
a) pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA);
b) clγ (pintA) = clγ A ∩ cl(int(clA)).
Chứng minh. a) Sử dụng Định lý 1.2.13 ta có
pint(clγ A) = clγ A ∩ int(cl(clγ A)) = clγ A ∩ int(clA).
Vậy pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA).


24

b) Sử dụng Định lý 1.2.13 và Định lý 2.2.15 ta có clγ A ∩ int(clA) ⊂
clγ (A ∩ int(clA)) = clγ (pintA). Từ đó clγ A ∩ cl(int(clA)) = clγ A ∩ (clγ (pintA)
∪ int(clA)) = clγ (pintA) ∪ clγ A ∩ int(clA) = clγ (pintA).
Vậy clγ (pintA) = clγ A ∩ cl(int(clA)).
2.2.17 Hệ quả ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
clγ A là tiền mở khi và chỉ khi clA mở.
Chứng minh. Giả sử clγ A ∈ P O(X, τ ) thì clγ A ⊂ int(cl(clγ A)). Sử dụng Định
lý 1.2.13 và Định lý 2.2.16 a) ta có clγ A = pint(clγ A) = clγ A ∩ int(clA) và
do đó clγ A ⊂ int(clA).
Từ Định lý 2.2.10 suy ra A˜ = int(clA) kéo theo A ⊂ A˜ ⊂ int(clA) do đó
A là tiền mở. Vì vậy A˜ = clA do đó clA là mở.
Ngược lại, từ clA mở suy ra clA = int(clA). Sử dụng Định lý 2.2.16 a)

ta có pint(clγ A) = clγ A ∩ clA = clγ A.
Mặt khác áp dụng Định lý 1.2.13 ta có pint(clγ A)= clγ A ∩ int(cl(clγ A).
Do đó clγ A = clγ A ∩ int(cl(clγ A)) kéo theo clγ A ⊂ int(cl(clγ A) kéo theo clγ A
là tiền mở.
2.2.18 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó A
là nửa tiền mở khi và chỉ khi clγ (pintA) = clγ A.
Chứng minh. Ta có A ∈ SP O(X) khi và chỉ khi A ⊂ cl(int(clA)) khi và chỉ
khi clγ A ⊂ cl(int(clA)) khi và chỉ khi clγ (pintA) = clγ A (do Định lý 2.2.16
b)).
2.2.19 Định lý ([8]). Giả sử A là tập con của không gian tôpô X. Khi đó
˜
clγ (sclA) = scl(clγ A) = A.
Chứng minh. Ta có τα ⊂ τγ suy ra A˜ ⊃ clγ A = (clγ A)∼ mà A ⊂ clγ A suy ra
A˜ ⊂ (clγ A)∼ . Do đó A˜ = (clγ A)∼ . Sử dụng Hệ quả 2.2.11 cho clγ A và sclA
ta có A˜ = clγ A ∪ scl(clγ A) = scl(clγ A).
Vì τα ⊂ SO(X) nên A˜ ⊃ sclA = (sclA)∼ , mà A ⊂ sclA suy ra A˜ ⊂
(sclA)∼ .


25

Do đó A˜ = (sclA)∼ = clγ (sclA) ∪ sclA = clγ (sclA).
˜
Vậy clγ (sclA) = scl(clγ A) = A.
2.2.20 Bổ đề ([9]). Giả sử A là tập nửa tiền đóng thoả mãn A˜ = sclA và
int(cl(intA)) = cl(intA) ∩ int(clA). Khi đó A là tiền đóng.
Chứng minh. Sử dụng Định lý 2.2.8 b) ta có pcl(sclA) = A˜ = sclA suy ra
pclA ⊂ sclA. Để chứng minh A là tiền đóng ta chứng minh cl(intA) ⊂ A
(theo Định lý 1.2.11 b)).
Giả sử với bất kì x ∈ cl(intA) ⊂ pclA ⊂ sclA = A ∪ int(clA), nếu x ∈

int(clA) thì x ∈ cl(intA) ∩ int(clA) kéo theo x ∈ int(cl(intA)) ⊂ A với mỗi
A là nửa tiền đóng (theo Định lý 1.2.11 c)). Do đó x ∈ A.
Ngược lại nếu x ∈ int(clA) thì x ∈ A.
Vậy A là tiền đóng.
2.2.21 Bổ đề ([9]). Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó A˜ = pclA ∪ sclA
với mỗi tập con A của X nếu và chỉ nếu cl(int(clA)) = int(clA) ∪ cl(intA).
Chứng minh. Giả sử A là tập con của X. Sử dụng hệ thức (pintA)∼ =
pcl(pintA) ∪ scl(pintA).
Theo Định lý 2.2.8, Định lý 1.2.15 và Định lý 1.2.16 ta có cl(int(clA)) =
pintA ∪ cl(intA) ∪ int(clA) = cl(intA) ∪ int(clA).
Ngược lại, giả sử cl(int(clA)) = int(clA) ∪ cl(intA). Khi đó theo Định
lý 2.2.7 ta có A˜ = A ∪ cl(int(clA)) = A ∪ (int(clA) ∪ cl(intA)) = (A ∪
int(clA)) ∪ (A ∪ cl(intA). Theo Định lý 1.2.13 ta có A˜ = pclA ∪ sclA.
2.2.22 Định lý ([9]). Họ P O(X) là tôpô trên X nếu và chỉ nếu thoả mãn
hai điều kiện sau:
i) Giao của hai tập tiền mở trong X là tập nửa tiền mở trong X;
ii) Với mỗi tập con A của không gian tôpô X thì A˜ = pclA ∪ sclA.
Chứng minh. Giả sử P O(X) là tôpô trên X. Khi đó theo Định lý 2.1.5
P O(X) = τγ và pclA = clγ A với mỗi tập con A của X. Sử dụng Hệ quả
2.2.12 ta có A˜ = clγ A ∪ sclA = pclA ∪ sclA từ đó ta có b).