Bài tập Giới hạn dãy số có lời giải

Giới hạn dãy số 


é 0, p < q
ê
êa
a.n
lim q = ê , p = q
êb
b.n
ê
ê¥
ë , p>q



lim q = 0,

p

n

q <1



Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
u
S = u1 + u1q + u 1q 2 + ... = 1 , q < 1
1- q
 Nếu un £ vn và lim vn = 0 thì

lim un = 0

2
1
+ 3
2
n
n =6
2
1- 2
n
1 1
- +2
2
1- n + 2 n
2
n2 n
2. lim
lim
=
=
2
1
5n + n
5
5+
n
4 3
3
2- + 2 + 3

3
2
2n - 4n + 3n + 3
n n
n =2
3. lim
= lim
5
7
n 3 - 5n + 7
1- 2 + 3
n
n
æ
1 2ö
1 2
n 2 çç-2 + + 2 ÷÷÷
-2 + + 2
2
ç
-2n + n + 2
è
n n ø
n n = lim -2 = 0
= lim
= lim
4. lim
4
æ
æ

5ö
5ö
3n + 5
3n 2
n 4 çç3 + 4 ÷÷÷
n 2 çç3 + 4 ÷÷÷
çè
çè
n ø
n ø

6n 3 - 2n + 1
1. lim
= lim
n 3 - 2n

6-

4 5
1+ - 2
n 2 + 4n - 5
1
n n
5. lim 3
= lim
= lim = 0
2
æ
1 7ö
3n + n + 7

n
n çç3 + + 3 ÷÷÷
çè
n n ø

æ 1 1
2ö
n 2 çç1 + - 4 - 5 ÷÷÷
çè n n
n + n -n-2
n2
n ø
6. lim 3
= lim
= lim = +¥
6 9
4n + 6n 2 + 9
4
4+ + 3
n n
3 2
7- + 2
7 n 2 - 3n + 2
n n =7
7. lim
= lim
5
n2 + 5
1+ 2
n

æ
2
1ö
n çç3 + 2 - 3 ÷÷÷
3
ç
3n + 2n -1
3n
è
n
n ø
8. lim
= lim
= lim = +¥
2
1
2n - n
2
2n
5

4


æ 2n 3
2n3 (5n + 1) + (1- 5n 2 )(2n 2 + 3)
1- 5n 2 ÷ö
ç
÷
lim

+
=
lim
9.
ç 2
çè 2n + 3 5n + 1 ÷÷ø
(2n2 + 3)(5n +1)
13 3
+ 3
2n -13n + 3
1
n
n
= lim
= lim
=
3
2
2
15
3
10n + 2n + 15n + 3
10 + + 2 + 3 5
n n
n
7 11
-3 + 2 - 5
-3n5 + 7 n3 -11
n
n = -3

10. lim
= lim
1 3
n5 + n 4 - 3n
1+ - 4
n n
1
1
n 222
2n - n
n = lim
n =0
11. lim
= lim
2
2
1
1- 3n
1- 3n
- 3n
n
1
1
3 1+
n 3 1+ 2
3 3
n +n
n = lim
n2 = 1
= lim

12. lim
æ 2ö
2
n+2
1+
n çç1 + ÷÷÷
çè n ø
n
3

2-

2

3
2
3
2
2+ 3 - 4
- 4
3
2n + 3n - 2
n
n = lim
n
n = 2
= lim
13. lim
2
æ

1 3
1 3ö
2n - n + 3
2
2- + 2
n 2 çç2 - + 2 ÷÷÷
çè
n n
n n ø
n2 2 +

4

3

14. lim

6

3

n - 7n - 5n + 8
= lim
n + 12

n2 +1 - n +1
= lim
15. lim
3n + 2

(

7
5
8
7
5
8
n 3 1- 3 - 5 + 6
- 5+ 6
3
n
n
n = lim
n
n
n = +¥
æ 12 ö÷
12
1+
n çç1 + ÷÷
çè
n
nø

n 2 3 1-

)(

n2 +1 - n +1

3n + 2

2

= lim

= lim

n -n

(3n + 2)( n 2 +1 + n +1)
1-

1
n

)

n2 +1 + n +1

= lim

ö
æ
öæ
çç3 + 2 ÷÷çç 1 + 12 + 1 + 12 ÷÷÷
çè
n ÷øççè
n

n n ÷ø

=

1
3

æ 1ö
n 2 çç1- ÷÷÷
èç n ø
æ
2 öæ
1
1 1 ö÷
+ ÷÷
n 2 çç3 + ÷÷÷ççç 1 + 2 +
çè
n øçè
n
n n 2 ø÷


æ
æ
7 11 ö
7 11 ö
16. lim (3n3 - 7n +11) = lim n3 .çç3 - 2 + 3 ÷÷÷ = lim n3 .lim çç3 - 2 + 3 ÷÷÷ = 3.¥ = ¥
çè
çè
n

n ø
n
n ø
17. lim 2n 4 - n 2 + n + 2 = lim n 2 2 18. lim

1
1
2
1
1
2
+ 3 + 4 = lim n 2 .lim 2 - 2 + 3 + 4 = +¥
2
n
n
n
n
n
n

1 + 2 + 3 + ... + n
n2

n (n + 1)
(chứng minh qui nạp)
2
æ 1ö
n 2 çç1 + ÷÷÷
çè n ø 1
n (n + 1)

1 + 2 + 3 + ... + n
 lim
=
lim
=
lim
=
n2
2n 2
2n 2
2

Ta có 1 + 2 + 3 + ... + n =

n 2 + 4 + 6 + ... + 2n
3n 2 + n - 2
Ta có 2 + 4 + ... + 2n = 2 (1 + 2 + ... + n) = n (n + 1)

19. lim

n n (n + 1)
n 2 + 4 + 6 + ... + 2n
 lim
= lim 2
= lim
2
3n + n - 2
3n + n - 2

20. lim

n2 1+

1
n

æ
1 2ö
n 2 çç3 + - 2 ÷÷÷
çè
n n ø

1+
= lim

n 1 + 3 + ... + (2n -1)
2n 2 + n + 1

Ta có: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + (2n -1) + 2n =

2n (2n + 1)

= n (2n + 1)
2
 (1 + 3 + 5 + ... + (2n -1)) + (2 + 4 + 6 + ... + 2n) = n (2n + 1)

 (1 + 3 + 5 + ... + (2n -1)) + n (n + 1) = n (2n + 1)
 1 + 3 + 5 + ... + (2n -1) = n (2n + 1) - n (n + 1) = n 2
 lim

n 1 + 3 + ... + (2n -1)
2n 2 + n + 1

= lim

n2
1
1
= lim
=
2
1 1
2n + n + 1
2+ + 2 2
n n
2

n 2 (n +1)
13 + 23 + 33 + ... + n3
3
3
3
3
1
+
2
+
3
+
...

+
n
=
21. lim
biết
4
11n2 + n + 2
n (n + 1)
1
1+
3
3
3
3
1 + 2 + 3 + ... + n
1
n
2
lim
= lim
= lim
=
2
2
æ
1 2 ö 22
11n + n + 2
11n + n + 2
2 çç11 + + 2 ÷÷÷
çè

n n ø

1
n

1 2
3+ - 2
n n

=

1
3


2

æ 2ö
2 æ 2ö
1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷
ç
ç
è 3ø
3 è 3ø
22. lim
n
2
æ 1 ÷ö
1 æç 1 ö÷
ç

1 + + ç ÷÷ + ... + ç ÷÷
çè 5 ø
5 çè 5 ø

n

2

æ 2ö
2 æ 2ö
2
Ta có: 1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷ có u1 = 1, q = < 1
èç 3 ø
3 èç 3 ø
3
n

2

n

2

n

æ 2ö
2 æ 2ö
1
 1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷ =
=3

ç
ç
è 3ø
3 è 3ø
1- 2 / 3
æ1ö
1 æ1ö
1
5
Và 1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷ =
=
èç 5 ø
5 èç 5 ø
1-1/ 5 4
2

æ 2ö
2 æ 2ö
1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷
3 12
èç 3 ø
3 èç 3 ø
 lim
= =
2
n
5
5
æ1ö
1 æ1ö

1 + + çç ÷÷÷ + ... + çç ÷÷÷
4
ç
ç
è 5ø
5 è 5ø

23. lim

n

4n
1
1
= lim
=
=1
n
n
n
2.3 + 4
2.0 + 1
æ 3 ö÷
2.çç ÷÷ + 1
çè 4 ø

æ 3 ö÷
çç ÷ + 1n
n
n

çè 2 ÷ø
æ 3 ö÷
3 +1
2
ç
24. lim n
= lim
= lim ç ÷÷ = +¥
çè 2 ø
1
2 -1
1- n
2
n
æ 3 ö÷
çç ÷ - 2
3n - 2.5n
2
èç 5 ÷ø
25. lim
lim
=
=n
7
7 + 3.5
3
+3
n
5
n

æ 4 ö÷
ç
ççè ÷÷ø -1
4 n - 5n
1
5
26. lim n
= lim
=n
n
2 + 3.5
3
æ 2 ö÷
çç ÷ + 3
÷
çè 5 ø
n

æ 3 ö÷
çç- ÷ + 1
èç 5 ÷ø
n

(-3) + 5n
(-3) + 5n
1
lim
lim
=
=

=
n+1
n
n
5
æ 3ö
(-3) + 5n+1
(-3).(-3) + 5.5n
-3.ç- ÷ + 5
n

27. lim

n

ççè 5 ÷÷ø

28. lim

(

)

3n -1 - 2n -1 = lim

(

)(

3n -1 - 2n -1

)

3n -1 + 2n -1

3n -1 + 2n -1


n
= lim
3n -1 + 2n -1

= lim

29. lim

(

30. lim

(

(
= lim

n
1
1
3- - 2 n
n

) ( n)
2

n +1 -

= +¥

2

1
=0
n +1 + n
n +1 + n
1
1+
n
1
1
+
n
n 2 + n + 1 - n = lim
= lim
=
2
1 1
n2 + n +1 + n
1+ + 2 +1
n n
n +1 - n

)

= lim

)

2

(

2

)

31. lim n n - n + 1 = lim

n 2 (n 2 - (n 2 + 1))
n + n2 +1

= lim

-n 2
æ
1ö
n ççç1 + 1 + 2 ÷÷÷
çè
n ÷ø

= lim (-n) = -¥

32. lim

(

æ
1 2
1 1 ö÷
+ ÷÷ = lim n (1- 0) = +¥
n 2 + n + 2 - n + 1 = lim çççn 1 + + 2 - n
çè
n n
n n 2 ÷ø

33. lim

(

æ n + 3 - (n - 5) ö÷
8
÷ = lim
=0
n + 3 - n - 5 = lim ççç
÷
çè n + 3 + n - 5 ÷ø
n + 3 + n -5

34. lim

(

)

)

)

n 2 - n + 3 - n = lim

2

n - n + 3- n

æ
3ö
n çç-1 + ÷÷÷
èç
nø

2

n2 - n + 3 + n

= lim

æ
ö
1 3
n ççç 1- + 2 + 1÷÷÷
÷ø

çè
n n

3
1
n
= lim
=2
1 3
1- + 2 + 1
n n
-1 +

35. lim

1
n + 2 + n +1
= lim
= lim
n + 2 - (n + 1)
n + 2 - n +1

(

)

n + 2 + n + 1 = +¥