Tất Tật Về HÓA HỌC LƯỢNG TỬ

Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH SÓNG CỔ ĐIỂN VÀ PHƯƠNG TRÌNH SÓNG ĐỘC
LẬP THỜI GIAN CỦA SCHRODINGER
1-1. Giới thiệu
Việc áp dụng các nguyên lý của cơ học lượng tử cho các bài toán hóa học đã tạo nên
cuộc cách mạng lớn trong lĩnh vực hóa học. Ngày nay sự hiểu biết của chúng ta về liên kết
hóa học, hiện tượng quang phổ, độ hoạt động phân tử, và các vấn đề hóa học cơ bản khác đều
dựa trên sự hiểu biết chi tiết về trạng thái của các electron trong nguyên tử và phân tử. Trong
cuốn sách này chúng tôi sẽ mô tả chi tiết một số nguyên lý cơ bản, phương pháp, và kết quả
của hóa lượng tử dẫn đến sự hiểu biết của chúng ta về trạng thái của electron.
Trong những chương đầu tiên chúng ta sẽ thảo luận một số vấn đề đơn giản, nhưng
quan trọng, đó là các hệ hạt. Điều này sẽ cho phép chúng ta giới thiệu nhiều khái niệm cơ bản
và định nghĩa theo quan điểm của vật lý. Do đó, sẽ trang bị nền tảng mang tính hệ thống hơn
trong chương 6. Trong chương đầu tiên này, chúng ta sẽ củng cố ngắn gọn một số khái niệm
về vật lý cổ điển cũng như một số dấu hiệu ban đầu để thấy rằng vật lý cổ điển là không thể
giải thích đầy đủ mọi hiện tượng (Những độc giả đã biết về vật lý sóng cổ điển và vật lý
nguyên tử thì có thể chuyển đến mục 1-7).
1-2. Sóng
1-2.A. Sóng lan truyền
Một ví dụ rất đơn giản của sự lan truyền sóng là việc quất một cái roi. Một xung lượng
được truyền đến dây roi bởi một dao động duy nhất của tay cầm. Kết quả là một làn sóng
được truyền đến cuối dây roi, chuyển năng lượng đến ở cuối khuy bấm của dây roi. Một ý
tưởng của quá trình đã được phát họa trong hình 1-1. Hình dạng của sự nhiễu loạn trong dây
roi được gọi là hình ảnh của sóng và thường được ký hiệu là ψ(x). Hình ảnh sóng truyền
trong hình 1-1 cho thấy năng lượng tồn tại trong một khoảnh khắc nhất định. Nó cũng chứa
đựng thông tin cần thiết để cho biết có bao nhiêu năng lượng đang được truyền đi, bởi vì
chiều cao và hình dạng của sóng phản ánh sức mạnh khi cán roi được dao động.

Hình 1-1: Sự quất roi. Theo thời gian, sự nhiễu loạn di chuyển từ trái sang phải dọc theo dây
roi mở rộng. Trên mỗi đoạn của roi dao động lên và xuống như nhiễu loạn trôi qua, cuối cùng
trở lại vị trí cân bằng.

Nét đặc trưng thường thấy của tất cả sự truyền sóng trong vật lí cổ điển là năng lượng
thay đổi khi truyền qua môi trường. Môi trường chính nó truyền qua không dịch chuyển vĩnh
viễn, nó chỉ đơn thuần là truyền dao động như sự nhiễu loạn trôi qua.
Một trong những điều quan trọng nhất của hàm sóng trong vật lí là hàm sóng điều hòa,
với hình ảnh sóng là một hàm sin. Hàm sóng điều hòa tại một thời điểm được phát thảo trong
hình 1-2. Sự dịch chuyển lớn nhất của sóng từ vị trí dừng gọi là biên độ sóng, và bước sóng λ

1


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
là khoảng cách cần thiết sóng truyền trong một chu kỳ để hoàn thành một dao động. Mỗi hàm
sóng là kết quả của dao động điều hòa ở cuối mỗi dây căng. Tương tự, sóng được sinh ra trên
mặt hồ yên tĩnh bởi một dao động nhấp nhô hay trong không khí bởi sự rung động âm thoa.
Tại thời điểm miêu tả trong hình 1-2, hình ảnh sóng được mô tả bởi phương trình
ψ(x) = A sin(2π x/λ)
(1-1)
(ψ = 0 khi x = 0, và các đối số của hàm sin đi từ 0 → 2π, bao gồm một dao động hoàn thành
như x đi từ 0 đến λ). Ta giả sử rằng trong hình 1-2 liên quan tại thời điểm t = 0 vận
tốc của sự nhiễu loạn trung bình là c. Sau đó tại thời điểm t, khoảng cách truyền
là ct, hình ảnh sóng chuyển sang đúng bằng ct và được đặc trưng bởi:
(1-2)
Ψ (x, t ) = A sin[(2π/λ)(x − ct )]

Hình 1-2: Một hàm sóng điều hòa tại một thời điểm. A là biên độ và λ là bước sóng.
Hàm Ψ được dùng phân biệt hàm phụ thuộc thời gian (1-2) và không phụ thuộc thời gian (11).
Tần số ν của hàm sóng là số lần của đại lượng sóng đó lặp đi lặp lại từng đi qua một
điểm trong mỗi đơn vị thời gian. Trong hàm sóng điều hòa của chúng ta, tần số là khoảng
cách sóng truyền trong một đơn vị thời gian c được chia nhỏ bởi chiều dài của một đơn vị
sóng. Do đó, ν = c/λ

(1-3)
Lưu ý các sóng được mô tả bởi công thức
(1-4)
Ψ ' (x, t ) = A sin[(2π/λ)(x − ct ) + ε]
là tương tự hàm Ψ của phương trình (1-2) trừ đi phần được thay thế. Nếu ta so sánh hai
hàm ở tại cùng một thời điểm cụ thể, chúng ta thấy hàm Ψ ' được chuyển dời về bên trái
hàm Ψ bởi ελ/2π. Nếu ε = π, 3π …, sau đó Ψ ' được chuyển dời bởi λ/2, 3λ/2, . . . và
hai hàm đó được xem là lệch pha. Nếu ε = 2π, 4π …, thì dẫn đến là λ, 2λ, . . . và hai
hàm đó được gọi là cùng pha. ε được gọi là nhân tố pha của hàm Ψ ' và Ψ . Ngoài ra,
chúng ta có thể so sánh hai hàm tại một thời điểm x, trong trường hợp nhân tố pha là
nguyên nhân để hai hàm thay đổi trong một thời gian.
1-2.B. Sóng đứng
Trong các vấn đề mà vật lí quan tâm, môi trường thường chịu những tác động chủ
quan,. Ví dụ, một dây sẽ dừng và chúng có thể bị giữ chặt 2 đầu dây đàn, vì thế chúng
không thể dao động khi sự nhiễu loạn đến. Trong những trường hợp như vậy, xung lượng
không thể vượt qua. Xung lượng không thể được hấp thụ bởi cơ chế buộc chặt nếu nó đi
ngược lại. Sóng phản xạ đang đi vào mặt trước của sóng chính và sự chuyển động của dây
là đáp ứng yêu cầu đặt trên nó hai sóng đồng thời:
(1-5)
Ψ (x, t ) = Ψ primary (x, t ) + Ψ reflected (x, t )
Khi sóng chính và sóng phản xạ có cùng tốc độ và biên độ thì ta có thể viết
Ψ (x, t ) = A sin [(2π/λ)(x − ct )] + A sin [(2π/λ)(x + ct )] = 2A sin(2π x/λ) cos(2π ct /λ)
(1-6)
Công thức này mô tả sóng đứng – một loại sóng không xuất hiện khi truyền qua môi trường,

2


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
nhưng xuất hiện và dao động tại chỗ. Phần đầu tiên của hàm phụ thuộc vào biến x. Khi hàm

sin không tồn tại thì hàm Ψ sẽ không tồn tại bất kể giá trị của t. Điều này có nghĩa rằng có
những nơi hình ảnh sóng không dao động. Những chỗ như vậy gọi là nút. Giữa các nút
hàm sin(2π x/λ) là hữu hạn. Qua thời gian hàm sin dao động giữa cộng và trừ là thống
nhất. Nghĩa là hàm Ψ dao động giữa cộng và trừ giá trị sin(2π x/λ). Chúng ta nói rằng x
là phần phụ thuộc của hàm cho bởi khoảng cách lớn nhất của sóng đứng, t là
phần độc lập điều chỉnh chuyển động của môi trường qua lại giữa những vị trí.
Một sóng đứng với một nút trung tâm như hình 1-3.

Hình 1-3: Một sóng đứng trên sợi dây buộc chặt tại x = 0 và x = L. Bước sóng λ thì bằng L.
Phương trình 1-6 được viết lại như sau
(1-7)
Ψ (x, t ) = ψ(x) cos(ωt )
Trong đó, ω = 2πc/λ
(1-8)
ψ(x) được gọi là hàm biên độ và ω là yếu tố tần số.
Chúng ta hãy xem xét cách năng lượng được lưu trữ trong các dây rung được mô tả
trong hình 1-3. Trên đoạn dây tại trung tâm nút và điểm bị buộc ở cuối mỗi đoạn dây thì
không chuyển động. Do đó, trong suốt thời gian này, động năng bằng không. Hơn nữa, khi
chúng không dịch chuyển vị trí cân bằng của chúng, thế năng luôn giống nhau và bằng 0. Do
đó, tổng năng lượng dự trữ tại những đoạn này luôn bằng 0 với điều kiện dây tiếp tục dao
động trong mô hình đã được chỉ ra. Động năng cực đại và thế năng được kết hợp với những
đoạn nằm ở đỉnh sóng và thung lũng (được gọi là bụng sóng) bởi vì mỗi phần có một giá trị
vận tốc trung bình lớn nhất và thay đổi qua vị trí cân bằng. Một sự khảo sát chi tiết toán học
chỉ ra rằng, tổng năng lượng của mỗi đoạn dây thì tỉ lệ thuận với ψ(x)2 (phần 1-7).
1-3. Phương trình sóng cổ điển
Đây là một điều để vẽ về bức tranh của một hàm sóng và mô tả những thuộc
tính của nó, và hoàn toàn khác để dự đoán các loại sóng sẽ là kết quả từ sự nhiễu
loạn trong một hệ thống cụ thể. Để làm được những dự đoán như vậy, chúng ta
phải xem xét các định luật vật lí mà môi trường tuân theo. Một điều kiện mà môi
trường phải tuân theo là định luật Newton về chuyển động. Ví dụ, mỗi đoạn dây có

khối lượng m chịu tác dụng của lực F với gia tốc F/m tuân theo định luật 2
Newton. Về mặt này, sự chuyển động của sóng hoàn toàn phù hợp với chuyển động
của hạt bình thường. Ở điều kiện khác, mặc dù, đặc biệt với sóng thì mỗi đoạn của
môi trường được gắn với các đoạn bên cạnh, khi nó thay đổi kéo theo các sóng bên

3


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
cạnh cũng thay đổi. Điều này cung cấp cơ chế theo đó các rối loạn được truyền dọc
theo môi trường.

Hình 1-4: Đoạn dây dưới tác dụng của lực căng T. Các lực ở mỗi đầu của khúc dây
này được phân tách ra thành lực vuông góc và song song với x.
Chúng ta xét một dây dưới tác dụng của lực căng T. Khi dây thay đổi qua vị
trí cân bằng, lực này gây ra phản lực tác dụng trở lại. Ví dụ, quan sát một đoạn dây
liên kết với khoảng x đến x + dx ở hình 1-4. Lưu ý, lực gây ra ở hai đầu của đoạn
dây có thể tách thành thành phần song song và vuông góc với trục x. Thành phần
song song có tác dụng kéo dài dây, thành phần vuông góc có tác dụng tăng tốc độ
dây để hướng dây đi qua vị trí cân bằng. Tại điểm cuối bên phải của đoạn dây,
thành phần vuông góc F tách bởi thành phần nằm ngang với hệ số góc T. Tuy
nhiên, những sai lệch nhỏ của dây từ vị trí cân bằng làm cho các thành phần nằm
ngang gần như bằng nhau và bằng chiều dài của vecto T. Điều này có nghĩa rằng
đó là một xấp xỉ tốt nhất để viết:
Hệ số góc vecto T = F/T tại x + dx

(1-9)

Nhưng hệ số góc cũng được xác định bởi đạo hàm của hàm Ψ vì thế nó có thể viết
Fx+dx = T (∂ ψ /∂ x)x+dx

(1-10)
Đầu kia của đoạn dây có một lực kéo theo hướng ngược lại vì thế chúng ta có thể viết
Fx = −T (∂ ψ /∂ x)x
(1-11)
Lực vuông góc trên đoạn dây là hợp của hai lực này
F = T[(∂ Ψ /∂ x)x+dx − (∂ Ψ /∂ x)x ]

(1-12)

Sự khác nhau trong hệ số góc ở hai điểm nhỏ riêng biệt chia bởi dx là do đạo hàm bậc hai của
một hàm. Do đó
F = T ∂ 2ψ /∂ x 2 dx
(1-13)
Phương trình (1-13) cho biết lực trên mỗi đoạn dây. Nếu đoạn dây có khối lượng m trên mỗi
đơn vị chiều dài thì mỗi đoạn có khối lượng mdx và phương trình Newton F = m.a có thể viết
T ∂ 2 Ψ /∂ x 2 = m ∂ 2 Ψ /∂ t 2
(1-14)
Ta nói gia tốc là đạo hàm bậc của vị trí theo thời gian.
Phương trình (1-14) là phương trình sóng cho chuyển động trên đoạn dây đồng chất
dưới tác dụng của lực T. Nó là bằng chứng cho thấy rằng, nguồn gốc của nó liên quan đến
việc không có gì là cơ bản ngoài định luật II Newton và thực tế là hai đầu của khúc dây được
liên kết với nhau bằng một lực kéo thông thường. Khái quát phương trình sóng trong không

4


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
gian ba chiều

(

∂2
∂2
∂2
+
+
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2

) ψ ( x, y , z , t ) = β

∂ 2ψ ( x, y, z, t )
∂t 2

(1-15)

Ở đây β là tổng hợp của một đại lượng vật lí cụ thể trong một hệ thống cụ thể.
Quay lại ví dụ dây của chúng ta, phương trình (1-14) phụ thuộc thời gian. Giả sử chúng
ta muốn giới hạn sự xem xét để sóng dừng có thể được tách thành hàm biên độ phụ thuộc thời
gian và hàm điều hòa phụ thuộc thời gian. Khi đó
(1-16)
Ψ (x, t ) = ψ(x) cos(ωt )
và hàm khác trở thành
d 2ψ ( x) m
d 2 cos(ωt )
m
cos(ωt )
= ψ ( x)
= − ψ ( x)ω 2 cos(ωt )
2
2

dx
T
dt
T
hoặc chia hai vế cho cos(ωt ),
d 2 ψ (x)/d x 2 = −(ω2 m/ T )ψ (x)

(1-17)

(1-18)
Đây là phương trình sóng cổ điển độc lập thời gian cho một đoạn dây.
Chúng ta có thể thấy bằng cách kiểm tra các loại hàm ψ(x) phải thõa mãn phương
trình (1-18). Ψ là một hàm như vậy, khi hai lần phân biệt được lặp lại với hệ số góc – ω2m/T.
Một lời giải là

(

ψ = Asin ω m / T x

)

(1-19)

Điều này cho thấy phương trình (1-18) có giá trị sin khác nhau như những thảo luận mục 1.2.
So sánh phương trình (1-19) và (1-1) chỉ ra rằng 2π / λ = ω m / T . Thay quan hệ này vào (118) được
d 2 ψ (x)/d x 2 = −(2π/λ)2 ψ(x)
(1-20)
Đây là một công thức hữu ích hơn cho các mục đích của chúng ta.
Trong không gian ba chiều, hàm sóng cổ điển độc lập thời gian cho một môi trường
đồng nhất và đẳng hướng là

(∂ 2 /∂ x 2 + ∂ 2 /∂y 2 + ∂ 2 /∂ z2 )ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z)
(1-21)
nơi λ phụ thuộc tính đàn hồi của môi trường. Sự kết hợp đạo hàm riêng ở bên trái của phương
trình (1-21) gọi là Laplacian và thường được đưa ra cách viết tắt biểu tượng ∇ 2. Phương trình
( 1-21) viết lại
∇ 2 ψ (x, y, z) = −(2π/λ)2 ψ (x, y, z)
(1-22)
1-4. Sóng đứng trong một dây buộc hai đầu
Bây giờ chúng ta chứng minh phương trình (1-20) có thể dùng dự đoán tính chất của
sóng đứng trên một dây. Giả sử, dây buộc chặt tại x = 0 và L. Điều này có nghĩa dây không
dao động tại các điểm đó. Về mặt toán học có nghĩa rằng
ψ (0) = ψ (L) = 0
(1-23)
Điều kiện như thế này gọi là điều kiện biên. Một câu hỏi đặt ra là "Hàm ψ thõa mãn
phương trình (1-20) và cũng có phương trình (1-23) như thế nào?". Chúng ta
bắt đầu tìm phương trình tổng quát nhất của phương trình (1-20). Chúng ta vừa
có Asin(2πx/λ) cũng là một giải pháp. Tổng quát hơn cả là sự kết hợp tuyến
tính

5


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
ψ (x) = A sin(2π x/λ) + B cos(2π x/λ)
(1-24)
Bằng cách thay đổi A và B ta có thể nhận được các giá trị khác nhau của hàm ψ.
Có hai nhận xét được thực hiện vào thời điểm này. Trước hết, một số bạn
đọc sẽ thấy rằng các hàm khác nhau tồn tại và thỏa mãn phương trình (1-20).

−i . Lí do chúng ta không đưa ra

các hàm chung (1-24) vì hai hàm mũ là tương đương toán học với hàm lượng
giác. Quan hệ đó là
exp(±ikx) = cos(kx) ± i sin(kx).
(1-25)
Điều này có nghĩa rằng các hàm lượng giác có thể được biểu diễn dưới dạng hàm mũ và
ngược lại. Do đó, tập hợp các hàm mũ và hàm lượng giác là không cần thiết và không linh
hoạt bổ sung sẽ cho kết quả bằng cách bao gồm hàm mũ trong phương trình (1-24). Hai tổ hợp
này là phụ thuộc tuyến tính.
Nhận xét thứ hai là cho các giá trị A và B các hàm được mô tả bởi phương trình (1-24)
là hàm sin duy nhất với bước sóng λ. Bằng cách thay đổi tỷ lệ A và B chúng ta làm cho hàm
sóng chuyển sang trái hoặc phải liên quan đến bản chất của nó. Nếu A = 0 và B = 1 thì hàm số
không có nút nào tại x = 0.
Bây giờ chúng ta tiến hành bằng cách cho các điều kiện biên để xác định các hằng số A
và B. Điều kiện tại x = 0 cho
ψ (0) = A sin(0) + B cos(0) = 0
(1-26)
Tuy nhiên, từ sin(0) = 0, cos (0) = 1 dẫn đến B = 0
(1-27)
Vì vậy, từ điều kiện biên đầu tiên B = 0 dẫn đến
ψ (x) = A sin(2π x/λ)
(1-28)
Điều kiện biên thứ hai tại x = L cho
ψ (L) = A sin(2π L/λ) = 0
(1-29)
Một giải pháp được đưa ra bằng cách thiết lập A = 0. Điều này dẫn đến ψ = 0 tương ứng
không có sóng trên dây. Điều này có thể nhưng không phải là thú vị. Khả năng khác là cho 2π
L/λ bằng 0, ±π , ±2π , …, ±n π … hàm sin sẽ biến mất sau đó. Điều này dẫn đến quan hệ
2π L/λ = n, n = 0,±1, ±2, . . .
(1-30)
Hoặc

λ = 2L/n, n = 0, ±1, ±2, . . .
(1-31)
Thay biểu thức λ vào phương trình (1-28) được
ψ(x) = A sin(nπ x/L), n = 0, ±1, ±2, . . .
(1-32)
Một số lời giải được phát thảo hình 1-5. Lời giải cho n = 0 được lặp lại một lần nữa với
trường hợp ψ = 0 thì không thú vị. Hơn nữa, từ sin(x)=-sin(x), có nghĩa là tập
hợp các hàm cho bởi số thực n không có tính vật lí khác so với từ các hàm cho
bởi số thực –n, vì vậy chúng ta có thể tùy thích giới hạn tập trung giải quyết
vấn đề với giá trị n dương. (Hai bộ này là phụ thuộc tuyến tính). Hằng số A
vẫn không được xác định. Nó tác động đến biên độ của sóng. Để xác định A
đòi hỏi phải biết bao nhiêu năng lượng được dự trữ trong sóng, nghĩa là, làm
thế nào ngắt dây căng.
Hiển nhiên có nhiều giải pháp được chấp nhận, mỗi một số khác nhau
tương ứng với sự phù hợp của nửa sóng giữa 0 và L. Tuy nhiên, một vấn đề lớn
của sóng là loại trừ điều kiện biên, cụ thể tất cả các bước sóng là không chia
hết 2L một số nguyên lần. Kết quả của việc áp dụng điều kiện biên là hạn chế
Đó là Aexp (2πix/λ) và Aexp(-2πix/λ) tại i =

6


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
các bước sóng cho phép xác định các giá trị rời rạc. Như chúng ta thấy, việc
này liên quan chặt chẽ đến sự lượng tử hóa của cơ học lượng tử.

Hình 1-5: Lời giải cho phương trình sóng độc lập thời gian trong điều kiện một chiều với
điều kiện biên.
Ví dụ, việc tìm ra ở trên là cực kỳ đơn giản. Tuy nhiên nó thể hiện như thế nào qua
phương trình vi phân và điều kiện biên để xác định các thành phần của hệ. Chúng ta có thể

đưa đến lời giải cho trường hợp này bằng lập luận vật lí đơn giản nhưng điều không thể áp
dụng trong trường hợp phức tạp hơn. Phương trình vi phân cung cấp một phương pháp tiếp
cận đối tượng để tìm ra lời giải khi các phương pháp vật lí là không đủ.
1-5. Ánh sáng như một sóng điện từ
Giả sử một hạt tích điện được dao động điều hoà trên trục z. Nếu có một hạt tích điện
khác cách đó không xa và lúc đầu đứng yên trong mặt phẳng xy, thì hạt thứ hai này cũng sẽ
bắt đầu dao động điều hoà. Như vậy, năng lượng đang được chuyển từ hạt thứ nhất sang hạt
thứ hai, điều đó chỉ ra rằng có một dao động điện trường phát ra từ hạt thứ nhất. Chúng ta có
thể vẽ cường độ của điện trường này ở thời điểm tức thì bởi một loạt các thí nghiệm ảo mà
điện tích truyền dọc theo một đường bắt đầu từ gốc và vuông góc với trục của dao động
(Hình. 1-6).
Nếu có một số từ tính xung quanh ở vùng lân cận của điện tích dao động, chúng sẽ dao
động qua lại để chống lại sự nhiễu loạn. Điều đó có nghĩa rằng một từ trường dao động cũng
được tạo ra bởi điện tích. Thay đổi vị trí của từ tính sẽ cho thấy trường này dao động trong
một mặt phẳng vuông góc với trục dao động của hạt mang điện. Điện trường và từ trường kết
hợp di chuyển dọc theo một trục trong mặt phẳng xy xuất hiện trong Hình. 1-7.
Sự thay đổi điện và từ trường lan truyền ra ngoài với một vận tốc c, và mô tả được như
sóng lan truyền, gọi là sóng điện từ. Tần số v giống như tần số dao động của điện tích dao
động, bước sóng là λ = c/ν. Ánh sáng nhìn thấy, bức xạ hồng ngoại, sóng radio, lò vi sóng,
bức xạ tia cực tím, tia X, tia γ đều là sóng điện từ, chúng chỉ khác nhau về tần số ν. Chúng ta
sẽ tiếp tục thảo luận trong bối cảnh của ánh sáng, hiểu biết rằng nó áp dụng cho tất cả các
dạng bức xạ điện từ.

Hình 1-6: Một sóng điện trường điều hòa phát ra từ một điện tích dao động. Độ lớn của
sóng tỷ lệ thuận với lực gây ra bởi những điện tích thử nghiệm. Những điện tích chỉ tưởng
tượng, nếu chúng thực sự tồn tại, chúng sẽ có khối lượng và gia tốc dưới sẽ hấp thụ năng
lượng từ sóng, làm cho chúng yếu đi.

7

Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

Hình 1-7: Một trường điện từ điều hòa được gây ra bởi một dòng điện dao động. Các mũi tên
mà không có điện tích chỉ hướng mà cực bắc của nam châm sẽ bị hút. Từ trường được định
hướng vuông góc với điện trường.
Nếu một chùm ánh sáng được tạo ra sao cho chiều điện trường luôn nằm trong cùng một
mặt phẳng, ánh sáng được cho là mặt phẳng (hoặc đường thẳng) phân cực. Mặt phẳng phân
cực ánh sáng trong hình. 1-7 được cho là phân cực z. Nếu mặt phẳng định hướng của sóng
điện trường quay chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng về trục di chuyển (ví dụ, như
sóng điện trường "xoắn ốc" trong không gian), ánh sáng được gọi là phân cực tròn phải hoặc
trái. Nếu ánh sáng là tổng hợp của sóng có trường định hướng ngẫu nhiên thì không có kết
quả định hướng, ánh sáng không bị phân cực.
Thí nghiệm với ánh sáng trong thế kỷ XIX và trước đó đã phù hợp với quan điểm cho
rằng ánh sáng có tính chất sóng. Một trong những bằng chứng thí nghiệm rõ nét hơn xác minh
điều này là các giao thoa tạo ra khi ánh sáng từ một nguồn được phép đi qua một cặp khe và
sau đó cho hình ảnh. Các kết quả hình ảnh giao thoa này có thể hiểu chỉ về mặt cách xây dựng
và giao thoa triệt tiêu sóng. Phương trình vi phân của Maxwell, trong đó cung cấp mối liên hệ
giữa bức xạ điện từ và quy luật cơ bản của vật lý, cũng chỉ ra rằng ánh sáng là một làn sóng.
Nhưng có một số vấn đề vẫn còn tồn tại khiến các nhà vật lý bế tắt. Một là sự bất lực
của lý thuyết vật lý cổ điển để giải thích cường độ và bước sóng ứng với sự bức xạ nhiệt của
"vật thể đen". Vấn đề này đã được nghiên cứu bởi Planck, người mà đã kết luận rằng các hạt
mang điện dao động tạo ra ánh sáng chỉ tồn tại trong một số trạng thái năng lượng tách biệt.
Chúng ta sẽ không thảo luận về vấn đề này. Một bài toán khác có liên quan với giải thích của
hiện tượng khám phá ra vào cuối những năm 1800, gọi hiệu ứng quang điện.
1-6. Hiệu ứng quang điện
Hiện tượng này xảy ra khi vật chất hấp thụ ánh sáng và phát ra các electron. Nhiều kim
loại thực hiện việc này khá dễ dàng. Một thiết bị đơn giản có thể được sử dụng để nghiên cứu
hiện tượng này được mô tả trong sơ đồ hình 1-8. Ánh sáng chiếu tới bề mặt kim loại trong
môi trường chân không. Nếu các electron bị đẩy ra, thì vài trong số đó sẽ đập vào dây tín

hiệu, tạo ra sự lệch của điện kế. Trong thiết bị này, một hiệu điện thế có thể thay đổi giữa đĩa
kim loại và dây tín hiệu, và cũng là cường độ và tần số của ánh sáng tới.

8


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

Hình 1-8: Pin quang điện
Giả sử rằng hiệu điện thế được thiết lập ở số không và có dòng điện chạy qua khi có ánh
sáng ứng với một cường độ và tần số nhất định đập vào đĩa. Điều này có nghĩa rằng các
electron được thoát ra từ các đĩa với động năng hữu hạn, cho phép chúng di chuyển đến dây.
Nếu bây giờ dùng một điện thế hãm, các electron được phát ra với chỉ một động năng nhỏ sẽ
không đủ năng lượng để vượt qua những điện thế chậm và sẽ không đi đến dây. Vì thế, dòng
bị phát ra sẽ giảm. Điện thế hãm có thể được tăng dần cho đến khi ngay cả những quang điện
mạnh nhất không có thể làm cho nó vào dây thu. Điều này cho phép tính toán động năng tối
đa cho hiện tượng quang điện được gây ra bởi ánh sáng tới trên bề mặt kim loại mà đã đề cập.
Từ kết quả nguyên cứu thực nghiệm cho những kết luật sau:
1. Dưới mức tần số giới hạn của ánh sáng tới, không có quang điện tử nào bật ra, bất kể cường
độ ánh sáng mạnh đến thế nào.
2. Trên tần số giới hạn, số quang điện tử được giải phóng trong một đơn vị thời gian thì tỉ lệ
thuận với cường độ bức xạ.
3. Động năng cực đại của các quang điện tử được phóng ra tăng khi tần số bức xạ tăng.
4. Trong trường hợp cường độ bức xạ là rất thấp (nhưng tần số trên giá trị giới hạn) quang
điện tử được phát ra từ các kim loại mà không phụ thuộc vào thời gian.
Một số kết quả được tóm tắt đồ thị trong hình 1-9. Rõ ràng, các động năng của quang
điện tử được cho bởi:
Động năng = h (ν-ν0)
(1-33)
trong đó h là một hằng số. Các tần số giới hạn ν0 phụ thuộc vào kim loại đang được nghiên

cứu (và nhiệt độ của nó), nhưng độ dốc h là như nhau cho tất cả các chất. Chúng ta cũng có
thể viết các động năng như:
Động năng = năng lượng của ánh sáng - năng lượng cần thiết để thoát khỏi bề mặt
(1-34)

Hình 1-9: Động năng cực đại của một quang điện tử như hàm của tần số ánh sáng tới, trong

9


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
đó ν 0 là tần số tối thiểu để quang điện tử được thoát ra từ kim loại khi không có bất kỳ thế
hãm hay thế tăng tốc nào.
Đại lượng cuối cùng trong phương trình (1-34) thường được gọi là công thoát W của
kim loại. Kết hợp phương trình (1-33) với (1-34) cho
Năng lượng của ánh sáng -W = hν - hν0
(1-35)
Thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu W đồng nhất với thuật ngữ phụ thuộc vào vật liệu hν0, theo
đó:
Năng lượng của ánh sáng ≡ E = hν
(1-36)
-34
trong đó giá trị của h đã được xác định là 6.626176 × 10 J.s. (Xem phụ lục 10 cho các đơn
vị và các yếu tố chuyển đổi)
Các nhà vật lý đã gặp khó khăn trong việc dung hòa những quan sát với lý thuyết trường
điện từ cổ điển của ánh sáng. Ví dụ, nếu ánh sáng có một tần số và cường độ nhất định gây ra
phát xạ của các electron có động năng tối đa nhất định thì cường độ ánh sáng gia tăng (tương
ứng với một biên độ trường điện từ lớn hơn và mật độ năng lượng lớn hơn) sẽ sản xuất quang
điện tử có năng lượng động lượng cao hơn. Tuy nhiên, nó chỉ tạo ra nhiều quang điện tử và
không ảnh hưởng đến năng lượng của chúng. Một lần nữa, nếu ánh sáng là một sóng thì năng

lượng được phân phối trên toàn bộ sóng và điều này có nghĩa là một cường độ ánh sáng thấp
sẽ truyền năng lượng ở mức rất thấp đến diện tích bề mặt của một nguyên tử. Người ta có thể
tính toán được sẽ mất nhiều năm cho một nguyên tử riêng lẻ để thu thập đủ năng lượng để đẩy
một electron trong điều kiện như vậy. Người ta không thể quan sát được chu kỳ cảm ứng như
vậy.
Một lời giải thích cho những kết quả đã được đề xuất vào năm 1905 bởi Einstein, người
đề xuất rằng ánh sáng tới được xem như là tập hợp các đơn vị riêng biệt của năng lượng. Mỗi
đơn vị như vậy, hay photon, sẽ có năng lượng liên kết của hν, với ν là tần số của bộ phát dao
động. Tăng cường độ của ánh sáng sẽ tương ứng với tăng số lượng của các photon, trong khi
tăng tần số của ánh sáng sẽ làm tăng năng lượng của các photon. Nếu chúng ta hình dung mỗi
quang điện tử phát ra là kết quả từ một photon chiếu vào bề mặt kim loại, nó là khá dễ dàng
để thấy rằng ý tưởng của Einstein là phù hợp với quan sát. Nhưng nó tạo ra một vấn đề mới:
Nếu chúng ta hình dung ánh sáng như một dòng photon, làm thế nào chúng ta có thể giải thích
tính chất sóng của ánh sáng, chẳng hạn như hình ảnh nhiễu xạ khe đôi? Ý nghĩa vật lý của
sóng điện từ là gì?
Về cơ bản, theo quan điểm cổ điển thì vấn đề này, bình phương của sóng điện từ ở bất
kỳ điểm nào trong không gian là thước đo mật độ năng lượng tại điểm đó. Bình phương của
sóng điện từ là một hàm biến đổi liên tục, và nếu năng lượng liên tục và có thể được chia vô
hạn thì không có vấn đề gì đối với lý thuyết này. Nhưng nếu năng lượng không thể được chia
thành một lượng nhỏ hơn một photon - Nếu nó có bản chất gián đoạn chứ không phải liên tục
thì lý thuyết cổ điển không thể áp dụng, bởi vì nó không thể tạo sự phân phối năng khác nhau
từ các hạt năng lượng hơn là tại cấp độ vi mô có thể tạo ra sự phân bố mật độ xuất hiện trong
chất khí từ nguyên tử vật chất. Einstein cho rằng bình phương của sóng điện từ tại một số
điểm (có nghĩa là, tổng các bình phương của cường độ điện trường và từ trường) được xem
như mật độ xác suất để tìm thấy một photon trong khoảng không gian xung quanh điểm đó.
Bình phương của sóng ở một khu vực nào đó càng lớn thì xác suất để tìm kiếm các photon
trong khu vực đó càng lớn. Như vậy, quan điểm cổ điển về năng lượng có xác định và phân

10

Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
phối thông suốt biến đổi được thay thế bằng ý tưởng về mật độ xác suất thuận lợi biến đổi để
tìm kiếm một gói nhưng vật nhỏ năng lượng.
Chúng ta hãy tìm hiểu sự giải thích xác suất này trong bối cảnh của thí nghiệm giao thoa
hai khe. Chúng ta biết rằng các mô hình của ánh sáng và bóng tối quan sát trên màn hình hòa
hợp với hình ảnh cổ điển của giao thoa của sóng. Giả sử chúng ta thực hiện các thí nghiệm
theo cách thông thường, ngoại trừ chúng ta sử dụng một nguồn ánh sáng (tần số ν) quá yếu
đến nỗi chỉ có các đơn vị của năng lượng hν mỗi giây đi qua bộ máy và ghi lại trên màn hình.
Theo hình ảnh cổ điển, lượng năng lượng nhỏ bé này sẽ ghi lại trên hình ảnh vô cùng mờ nhạt
của toàn bộ hình ảnh nhiễu xạ. Trong vòng vài giây, mô hình này có thể được tích lũy (trên
một tấm ảnh) và sẽ trở nên mạnh hơn. Theo quan điểm của Einstein, thí nghiệm của chúng ta
tương ứng với truyền tải một photon mỗi giây và mỗi photon đập vào màn hình tại một điểm
lân cận. Mỗi photon tấn công một vị trí mới (không tính đến các vị trí trùng nhau) và sau một
thời gian dài, chúng tạo ra hình ảnh nhiễu xạ có thế quan sát được. Nếu chúng ta muốn biết
trạng thái nơi photon tiếp theo sẽ xuất hiện, chúng ta không thể làm như vậy. Cách tốt nhất ta
có thể làm là các photon kế tiếp có khả năng chiếu vào khu vực này hơn khu vực khác, xác
suất tương đối được mô tả định lượng bằng bình phương của sóng điện từ. Nếu làn sóng chỉ
cho chúng ta biết xác suất tương đối tìm thấy một photon tại một thời điểm này hay điểm
khác, chúng ta có thể xem sóng có "thực tại vật lý", hoặc là nó chỉ đơn thuần là một công cụ
toán học cho phép chúng ta phân tích phân bố photon, các photon là "thực tại vật lý" Chúng ta
sẽ bàn luận về câu hỏi này trong phần nhiễu xạ điện tử.
Ví dụ 1-1: Một điện thế hãm có giá trị 2,38 vôn đủ để ngăn chặn một quang điện tử phát ra từ
kali bởi ánh sáng của tần số 1,13 × 1015 s-1. Công thoát W, của kali là bao nhiêu?
Giải: Eánh sáng = hν = W + KEelectron
→ W = hν - KEelectron = (4,136 × 10-15 eV.s) (1,13 × 1015s-1) – 2,38eV = 4,67eV – 2,38eV =
2,29eV
[Ghi chú: Để thuận tiện, ta sử dụng đơn vị của h là eV.s cho vấn đề này. Xem Phụ lục 10 cho
dữ liệu]
Ví dụ 1-2: Đơn vị thường diễn tả cho ∆ E trong một quá trình chuyển đổi giữa các trạng thái

số sóng, ví dụ, m-1, hoặc cm-1, thay vì trong các đơn vị năng lượng như J hoặc eV. (Thông
thường cm-1 được lựa chọn, vì vậy chúng ta sẽ tiến hành với sự lựa chọn đó)
a. Thuật ngữ số sóng có ý nghĩa vật lý là gì?
b. Mối liên hệ giữa số sóng và năng lượng là gì?
c. Số sóng áp dụng đối với một năng lượng của 1.000 J, 1.000 eV là gì?
Giải:
a. Số sóng là con số của sóng phù hợp với một đơn vị khoảng cách (thường là một cm). Đôi
khi nó là biểu diễn v% . v% = 1/λ, trong đó λ là bước sóng trong cm.
b. Số sóng đặc trưng cho ánh sáng có các photon năng lượng được xác định. E = hν = hc/ λ =
hc v% . (trong đó c có đơn vị cm/s).
c. E = 1,000 J = hc v% ; v% = 1,000 J/hc = 1,000 J/[(6,626×10-34 Js) (2,998 × 1010 cm/s)] = 5,034 ×
1022 cm-1.
Rõ ràng, đây là ánh sáng có bước sóng rất ngắn kể từ hơn 10 22 bước sóng phù hợp với 1
cm. Cho 1.000 eV, phương trình trên được lặp đi lặp lại sử dụng h trong eV s. Điều này cho
phép v% = 8065cm-1.

11


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
1-7. Bản chất sóng của vật chất
Rõ ràng ánh sáng có bản chất sóng và hạt, và chúng ta có thể mô tả nó trong điều kiện
của các photon, được gắn liền với sóng tần số ν = E/h. Bây giờ photon là hạt khá đặc biệt ở
chỗ chúng có khối lượng nghỉ bằng không. Trong thực tế, chúng chỉ có thể tồn tại khi chuyển
động với tốc độ của ánh sáng. Trong kinh nghiệm của chúng ta, nhiều hạt thông thường có
khối lượng nghỉ khác không và có thể tồn tại ở bất kỳ vận tốc lên đến giới hạn tốc độ của ánh
sáng. Chúng ta cũng có sóng liên kết với hạt bình thường như vậy?
Hãy tưởng tượng một hạt có khối lượng nghỉ hữu hạn bằng cách nào có thể được thực
hiện nhẹ hơn và nhẹ hơn, gần bằng không trong một cách liên tục.
Nó có vẻ hợp lý rằng sự tồn tại của một làn sóng kết hợp với chuyển động của các hạt sẽ

trở nên ngày càng nhiều rõ rệt, chứ không phải là sóng đi vào sự tồn tại đột ngột khi m = 0.
De Broglie đề xuất rằng tất cả các hạt vật chất đều tương ứng với một sóng, mà ông gọi là
"sóng vật chất", nhưng sự tồn tại của các sóng này có thể sẽ quan sát được trong các hành vi
của các hạt cực nhẹ. Mối quan hệ của de Broglie có thể đạt được như sau. Mối quan hệ của
Einstein đối với các photon là
E = hν
(1-37)
Nhưng một photon mang năng lượng E có khối lượng tương đối được đưa ra bởi
E = mc2
(1-38)
Kết hợp hai phương trình trên:
E = mc2 = hν = hc/λ
(1-39)
hoặc
mc = h/λ
(1-40)
Một hạt bình thường, có khối lượng nghỉ khác không, di chuyển với một vận tốc v. Nếu
chúng ta xem phương trình (1-40) chỉ đơn thuần là một biểu thức tổng quát của vận tốc lớn
giới hạn, chúng ta đến một phương trình liên hệ giữa động lượng p và bước sóng λ:
mv = p = h/λ
(1-41)
hoặc
λ = h/p
(1-42)
Ở đây, m dùng để chỉ khối lượng nghỉ của hạt có sự sai lệch tương đối, nhưng sự sai
lệch đó thường không đáng kể so với ban đầu.
Mối quan hệ này, được đề xuất bởi de Broglie vào năm 1922, đã được nhanh chóng
chứng minh là chính xác. Sau đó khi Davisson và Germer làm thí nghiệm về sự tán xạ
electron khi phóng chùm electron qua tinh thể Ni, đã kiểm chứng giả thiết của Broglie và cho
rằng giả thiết này là phù hợp với thực nghiệm. Những "sóng điện tử" đã được quan sát có

bước sóng liên quan đến động lượng electron chỉ là cách đề xuất của de Broglie.
Phương trình (1-42) liên hệ giữa bước sóng de Broglie λ của một sóng vật chất với
động lượng p của hạt. Một động lượng cao hơn tương ứng với bước sóng ngắn hơn. Từ:
1
Động năng T = mv2 = (1/2m)(m2v2) = p2/2m
(1-43)
2
Suy ra:
p=

(1-44)
2mT
Hơn nữa, vì E = T + V, trong đó E là tổng năng lượng và V là thế năng, chúng ta có thể viết
lại các bước sóng de Broglie như sau:

12


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

λ=

h
2 m( E − V )

(1-45)

Phương trình (1-45) là hữu ích cho sự hiểu biết cách thức mà λ sẽ thay đổi cho một hạt
chuyển động với tổng số năng lượng trong động năng khác nhau. Ví dụ, nếu các hạt ở trong
khu vực mà nó động năng tăng (ví dụ, một điện tử tiếp cận một tấm tích điện âm), E-V giảm

và tăng λ (tức là hạt chậm, vì vậy động lực của nó giảm và bước sóng của nó tăng). Chúng ta
sẽ xem các ví dụ về vấn đề này trong các chương sau.
Quan sát thấy rằng nếu E ≥ V, λ được cho bởi phương trình (1 – 45) là số thực. Tuy
nhiên, nếu E < V, λ trở thành số ảo. Điều này không bao giờ gặp trong vật lý cổ điển, nhưng
chúng ta sẽ thấy nó là cần thiết để xem xét khả năng này trong cơ học lượng tử.
Ví dụ 1-3: Một ion He2+ được gia tốc nghỉ thông qua một giảm điện áp của 1.000 kilovolt.
Hãy tính bước sóng de Broglie cuối cùng ? Tính chất của sóng có phù hợp không?
Giải: Khi một thay đổi hai đơn vị điện tử đã làm sụt giảm điện áp 1,000 × 103 volt, động
năng cuối cùng của ion là 2,000 × 103 eV. Để tính λ, đầu tiên chúng ta đổi từ eV thành J:
KE ≡ p2/2m = (2,000 × 103 eV) (1,60219 × 10-19 J/eV) = 3,204× 10-16 J.
mHe = (4,003 g/mol) (10-3 kg/g) (1 mol/6,022 × 1023nguyên tử) = 6,65 × 10-27 kg;
p = 2mHe .KE = [2 (6,65 × 10-27 kg) (3,204 × 10-16 J)]1/2 = 2,1 × 10-21 kg m/s.
λ = h/p =(6,626 × 10-34 Js) / (2,1 × 10-21 kg m/s) = 3,2 × 10-13 m = 0,32pm.
Bước sóng này lệnh 1% bán kính của một nguyên tử hydro- quá ngắn để tạo ra kết quả
giao thoa quan sát được khi tương tác với tán xạ nguyên tử. Đối với hầu hết các mục đích,
chúng ta có thể coi như ion này chỉ là một hạt có vận tốc.
1-8. Thí nghiệm nhiễu xạ với electron
Để hiểu rõ hơn về ý nghĩa của sóng vật chất, bây giờ chúng ta xem xét một tập hợp các
thí nghiệm đơn giản. Giả sử chúng ta có nguồn electron đơn năng và cặp khe hở, như sơ đồ
trong hình 1-10. Bất kỳ electron nào đến màn hình lân quang đều tạo ra một tia sáng, cũng
giống như trong ti vi. Lúc này chúng ta bỏ qua những nguồn sáng ở gần khe hở (giả định rằng
nó bị tắt) và tìm hiểu về bản chất của ảnh trên màn hình lân quang khi chùm tia electron chiếu
vào khe hở. Kết quả thu được phù hợp với các giả thiết của Davisson và Germer đã đề cập, là
có sự xen kẽ giữa các dải sáng và tối, điều đó chỉ ra rằng các tia electron bị nhiễu xạ bởi các
khe hở. Hơn nữa, khoảng cách giữa các băng tần phù hợp với bước sóng de Broglie tương
ứng với năng lượng của electron. Sự thay đổi về cường độ ánh sáng thể hiện trên màn hình
được mô tả trong hình 1 - 11a.
Rõ ràng, các electron trong thí nghiệm này thể hiện bản chất sóng. Có phải điều này có
nghĩa rằng các electron được truyền đi như sóng khi chúng được phát hiện ở màn hình?
Chúng ta sẽ kiểm tra điều này bằng cách giảm cường độ chùm tia tới để cho mỗi giây chỉ có

một electron đi qua thiết bị và thấy rằng mỗi electron đánh dấu một vệt sáng nhỏ, toàn bộ hình
ảnh nhiễu xạ xây dựng bởi tập của nhiều điểm. Do đó, bình phương sóng vật chất của de
Broglie có cùng một ý nghĩa thống kê mà Einstein đề xuất đối với các sóng electron và
photon, và electron thật sự là hạt có vị trí xác định, ít nhất là chúng ta có thể thấy chúng trên
màn hình.
Tuy nhiên, nếu chúng là hạt thực sự, rất khó để xem cách chúng bị nhiễu xạ. Xem xét
thấy, khi khe b được đóng lại thì tất cả các electron đật vào bức màn hình rồi đi qua khe a. Kết

13


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
quả là có một khu vực ánh sáng duy nhất trên màn hình (hình 1- 11b). Đóng khe a và mở khe
b sẽ cho kết quả tương tự (nhưng có sự đảo lại) như thể hiện trong hình 1- 11c.

Hình 1-10: Nguồn điện tử tạo ra chùm điện tử, một trong số đó đi qua khe hở a và/hoặc b để
được phát hiện như ánh chớp của ánh sáng trên màn lân quang.

Hình 1-11: Cường độ ánh sáng ở màn lân quang dưới điều kiện khác nhau: (a) a và b mở,
ngắt ánh sáng; (b) mở, b kín, ngắt ánh sáng; (c) kín, b mở, ngắt ánh sáng; (d) a và b mở, ánh
sáng trên, λ ngắt mạch; (e) a và b mở, ánh sáng trên, λ dài.
Những mô hình này đúng với những gì chúng ta dự đoán đối với các hạt. Bây giờ, với cả
hai khe đều mở, liệu có một nửa số hạt đi qua khe a và một nửa còn lại đi qua khe b, kết quả
là tổng của các kết quả trên. Điều đó dẫn đến là chúng ta có được những hình ảnh nhiễu xạ
(Hình 1- 11a). Vậy điều này có thể xảy ra? Có vẻ như là, bằng cách nào đó, một electron đi
qua thiết bị có thể cảm nhận dù một hoặc cả hai khe mở, mặc dù là một hạt có thể khám phá
chỉ khe này mở hay khe khác mở. Người ta có thể giả sử rằng chúng ta đang nhìn thấy kết quả
của hai electron di chuyển đồng thời đến hai khe, con đường của mỗi electron bị ảnh hưởng
bởi sự hiện diện của một electron trong khe kia. Điều này sẽ giải thích làm thế nào một
electron đi qua khe a sẽ "biết" cho dù khe b là mở hoặc đóng. Nhưng thực tế là mô hình hình

thành ngay cả khi các electron di chuyển qua với tốc độ trong 1 giây cho thấy lập luận này là
không có cơ cở. Vậy một electron có thể đi qua cả hai khe cùng một lúc đươc không?
Để kiểm tra câu hỏi này, chúng ta cần phải có thông tin chi tiết về vị trí của các electron
khi chúng đi qua các khe hở. Chúng tôi có thể nhận được dữ liệu đó bằng cách bật nguồn ánh
sáng và đặt một kính hiển vi tại các khe hở. Sau đó các photon sẽ bật ra khỏi mỗi electron như
nó vượt qua các khe và sẽ được quan sát qua kính hiển vi. Như vậy người quan sát có thể nói
rằng mỗi electron đã đi qua, và cũng ghi lại vị trí cuối cùng của nó trên màn hình lân quang.
Trong thí nghiệm này, cần thiết phải sử dụng ánh sáng có bước sóng ngắn hơn so với khoảng
cách giữa hai khe, nếu không thì kính hiển vi không thể xử lý đèn flash đủ tốt để phát hiện
khe nào là gần nhất. Khi thí nghiệm này được thực hiện, chúng tôi thực sự phát hiện mỗi
electron khi chúng đi qua khe này hay khe khác, hay không qua khe nào, nhưng chúng ta cũng
thấy rằng hình ảnh nhiễu xạ trên màn hình đã bị mất và chúng ta có sự phân bố rộng khắp và
không đặc trưng như hình 1- 11d, mà về cơ bản là tổng của các thí nghiệm đơn khe. Những gì
đã xảy ra là các photon từ nguồn sáng của chúng ta, chiếu vào các electron khi chúng xuất
hiện từ các khe, đã ảnh hưởng đến xung của các electron và thay đổi đường đi của chúng

14


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
trong trường hợp không có ánh sáng. Chúng ta có thể cố gắng để chống lại điều này bằng
cách sử dụng các photon với động lượng thấp hơn, nhưng điều này có nghĩa là sử dụng các
photon của E thấp hơn, thì λ dài hơn. Kết quả là, những hình ảnh của các electron trong kính
hiển vi được rộng hơn, và nó càng trở nên mờ hơn khi mà một electron cho trước đã đi qua
khe nào hoặc là nó thực sự đi qua chỉ một khe. Khi chúng ta ngày càng trở nên không chắc
chắn về con đường của mỗi electron hơn khi nó di chuyển qua các khe hở thì hình ảnh nhiễu
xạ tích lũy ngày càng trở nên rõ rệt hơn (Hình 1- 11e). (Bởi vì đây là một "thí nghiệm tưởng
tượng" chúng ta có thể bỏ qua yếu tố bất tiện, đó là nguồn "ánh sáng" của chúng ta phải sản
xuất tia X hoặc tia γ để có bước sóng ngắn hơn so với khoảng cách giữa hai khe thích hợp).
Thí nghiệm có tính khái niệm này minh họa một tính năng cơ bản của hệ thống vi mô chúng ta không thể đo lường hết các đặc tính của hệ thống mà không tác động đến sự phát

triển trong tương lai của hệ thống một cách đáng kể. Hệ thống với ánh sáng tắt là khác nhau
đáng kể từ hệ thống với ánh sáng bật (với λ ngắn), và do đó các electron đến màn hình với
phân phối khác nhau. Không có vấn đề như thế nào khéo léo nghĩ ra một thí nghiệm, có một
số xáo trộn cần thiết tối thiểu tham gia vào bất kỳ đo lường. Trong ví dụ này với ánh sáng ra,
vấn đề là chúng ta biết động lực của mỗi electron khá chính xác (vì chùm tia là đơn năng và
trực chuẩn), nhưng chúng tôi không biết bất cứ điều gì về cách thức các electron đi qua khe.
Với ánh sáng, chúng ta có được thông tin về vị trí electron chỉ vượt ra ngoài khe nhưng chúng
ta thay đổi động lực của mỗi electron trong một cách không rõ. Việc đo vị trí hạt dẫn đến
giảm hiểu biết về động lượng của hạt. Đây là một ví dụ của nguyên lý bất định của
Heisenberg, người cho rằng sản phẩm của sự không chắc chắn đồng thời trong "biến liên
hợp", a và b, không bao giờ được nhỏ hơn giá trị của hằng số Planck h của chia 4π:
h
∆a.∆b ≥
(1 – 46)
4π
Ở đây, ∆a là thước đo độ bất định của biến a, v.v (cách dễ nhất để nhận ra các biến liên
hợp là phải chú ý rằng kích thước của chúng phải nhân với jun.giây. Động lượng tuyến tính
và vị trí tuyến tính phải đáp ứng yêu cầu này. Hai cặp biến liên hợp quan trọng khác năng
lượng - thời gian và momen động lượng-momen vị trí) trong ví dụ với ánh sáng tắt, sự bất
định trong động lượng nhỏ và bất định vị là rất lớn, vì chúng ta không thể xác định được mỗi
electron đi qua khe nào. Với ánh sáng mở, chúng ta sẽ giảm sự bất định trong vị đến một kích
thước chấp nhận được, nhưng theo sau vị trí của mỗi electron được quan sát, chúng tôi có tính
bất định lớn hơn nhiều trong động lượng.
Vì vậy, chúng ta thấy rằng vẻ bề ngoài của một electron (hoặc một photon) như một hạt
hoặc một sóng phụ thuộc vào thí nghiệm của chúng ta. Bởi vì bất kỳ quan sát nào trên hạt quá
nhỏ như vậy liên quan đến sự nhiễu loạn đáng kể trạng thái của nó, cho nên phù hợp với ý
nghĩ của các electron cộng với thiết bị như một hệ thống duy nhất. Câu hỏi đặt ra, "electron là
hạt hay một làn sóng?" chỉ có ý nghĩa khi thiết bị này được xác định trên kế hoạch đo lường
của chúng ta. Trong một số thí nghiệm, thiết bị và electron tương tác với nhau theo cách thức
đề nghị electron là một làn sóng, và ở vị dụ khác là một hạt. Câu hỏi, "Electron là gì khi mà

không nhìn thấy chúng?", câu này không thể trả lời được bằng thí nghiệm, vì một thí nghiệm
là cái "nhìn" vào electron. Trong những năm gần đây thí nghiệm loại này đã được thực hiện
bằng cách sử dụng các đơn nguyên tử.
Ví dụ 1-4: Thời gian tồn tại một trạng thái kích thích của một phân tử là 2 × 10-9s. Hãy tính độ
bất định về năng lượng theo J? Theo cm -1? Bằng cách nào sẽ kiểm chứng điều này bằng thực

15


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
nghiệm.
Giải: Theo nguyên lý bất định Heisenberg, độ bất định tối thiểu:
h
∆E.∆t =
.∆t = (6,626×10-34J.s)/[(4π)(2×10-9s)]= 2,6×10-26J(2,6×10-26J)(5,03×1022cm-1J-1)=
4π
0,001cm-1
(Xem phụ lục dữ liệu 10). Độ bất định của E càng lớn sẽ cho thấy độ rộng vạch trong quang
phổ phát ra càng rộng hơn.
1-9. Phương trình sóng độc lập thời gian của Schrodinger
Trước đây chúng ta thấy rằng cần một phương trình sóng để giải quyết sóng dừng liên
quan đến hệ cổ điển đặc biệt và các điều kiện biên của nó. Thật sự cũng cần tồn tại một
phương trình sóng để giải quyết sóng vật chất. Schrodinger thu được một phương trình như
vậy bằng khai thác phương trình sóng độc lập thời gian cổ điển và thay thế hệ thức de Broglie
cho λ. Do đó, nếu
2π
∇ 2ψ = −( 2 )ψ
(1 – 47)
λ
và

h
λ=
(1 – 48)
2 m( E − V )
thì
  h2  2

 −  2 ÷∇ + V ( x, y, z ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z )
  8π m 


(1 – 49)

Phương trình (1-49) là phương trình hàm sóng độc lập thời gian của Schrodinger cho
một hạt duy nhất có khối lượng m chuyển động trong trường thế ba chiều V.
Trong cơ học cổ điển chúng ta có phương trình riêng biệt cho sự chuyển động của sóng
và hạt, trong khi đó trong cơ học lượng tử, sự khác biệt giữa các hạt và sóng là không rõ ràng,
chúng ta chỉ có một phương trình – phương trình Schrodinger. Chúng ta thấy rằng sự liên kết
giữa phương trình Schrodinger và phương trình sóng cổ điển là hệ thức de Broglie. Bây giờ
chúng ta so sánh phương trình Schrodinger với phương trình cổ điển cho chuyển động hạt.
Theo cơ học cổ điển, năng lượng của một hạt chuyển động trong không gian ba chiều
bằng tổng động năng và thế năng:
 1  2
2
2
(1 – 50)

÷( px + p y + pz ) + V = E
2
m



Ở đây px là động lượng theo trục x, … Chúng ta đã thấy rằng tương tự phương trình
Schrodinger được [viết ra phương trình (1-49)]
 h2  ∂ 2

∂2
∂2 
−
+
+
+ V ( x, y, z ) ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) (1 – 51)

 2
2
2
2 ÷
 8π m  ∂x ∂y ∂z 

Dễ dàng thấy thấy rằng phương trình (1-50) có liên quan đến các đại lượng trong ngoặc
đơn của phương trình (1-51) bằng mối quan hệ giữa momen cổ điển đến toán tử vi phân riêng:
 h  ∂ 
px ↔ 
(1 – 52)
÷ ÷
 2π i  ∂x 

16

Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
và tương tự cho p y và pz . Mối quan hệ (1-52) sẽ được nhìn thấy sau này trong một định đề
quan trọng của cơ học lượng tử.
Phía bên trái của phương trình (1-50) được gọi là hamiltonian của hệ. Vì lý do này toán
tử trong dấu ngoặc vuông trên LHS của phương trình (1-51) được gọi là toán tử hamiltonian
H. Đối với một hệ thống nhất định, chúng ta sẽ thấy rằng việc xây dựng H không phải là khó
khăn. Nhưng khó khăn đi kèm là việc giải quyết của phương trình Schrodinger, thường được
viết như
Hψ = Eψ
(1 – 53)
Các phương trình sóng cổ điển và cơ học lượng tử mà chúng ta đã thảo luận là trường
hợp đặc biệt của phương trình gọi là phương trình hàm riêng trị riêng. Những phương trình
như vậy có định dạng tổng quát:
Opf = cf
(1 – 54)
Ở đây Op là một toán tử, f là một hàm, và c là một hằng số (trị riêng). Như vậy, phương
trình hàm riêng trị riêng có tính chất rằng sự tác động vào hàm thì hàm này sẽ chuyển thành
một hằng số nhân với chính nó. Hàm f thỏa mãn phương trình (1-54) được gọi là hàm riêng
của toán tử. Hằng số C được gọi là trị riêng liên quan đến hàm riêng f. Thông thường, một
toán tử sẽ có nhiều hàm riêng và trị riêng có liên quan với nó, và do đó, cần thiết có một chỉ
số để phân loại giữa chúng, tức.
Opf i = ci fi
(1 – 55)
Chúng ta đã thấy một ví dụ về loại này phương trình này, phương trình (1-19) là một

ω 2m
.
T
Lời giải ψ cho Schrodinger phương trình của (1-53), được gọi là hàm riêng, hàm số
sóng, hoặc hàm trạng thái.

1-10. Điều kiện hàm sóng
Chúng tôi đã chỉ ra bình phương của sóng điện từ được diễn giải là hàm mật độ xác suất
để tìm photon ở chỗ khác nhau trong không gian. Bây giờ chúng ta áp đặt ý nghĩa đó ψ2 cho
sóng vật chất. Do đó, trong bài toán một chiều (ví dụ, một hạt dao động cưỡng bức trên một
đoạn thẳng), xác suất hạt sẽ được tìm thấy trong khoảng dx quanh điểm x 1 được xác định bởi
ψ2 (x1).dx. Nếu ψ là hàm số phức, thì bình phương môđun, |ψ|2 ≡ ψ*ψ được dùng thay cho ψ2.
Về mặt toán học, không thể phân bố khối lượng bình quân thành giá trị âm tại bất kỳ khu vực
nào.
Nếu hàm riêng ψ đã tìm thấy cho phương trình (1-53), thật dễ dàng thấy là cψ cũng sẽ
được hàm riêng, cho bất kỳ hằng số c. Điều này cho thấy rằng hằng số nhân giao hoán với
toán tử H, vì
H (cψ ) = cHψ = cEψ = E (cψ )
(1 – 56)
Dựa vào vế đầu và vế cuối của phương trình cho thấy rằng cψ là hàm riêng của H. Câu
hỏi đặt ra là hằng số nào được để sử dụng cho hàm sóng để làm sáng tỏ xác suất của |ψ|2. Đối
với một hạt chuyển động trên trục x, xác suất mà hạt ở giữa x = - ∞ và x = + ∞ bằng 1, đó là
điều chắc chắn. Theo lí thuyết xác suất, tổng của các xác suất cho việc tìm kiếm các hạt trong
mỗi khoảng thời gian vô cùng nhỏ của trục tọa độ x bằng 1, tức tích phân lấy trong toàn bộ
không gian này phải bằng 1:
hàm riêng cho phương trình (1-18), với giá trị riêng −

17


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
+∞

c * c ∫ ψ * ( x )ψ ( x)dx = 1

(1 – 57)

−∞

Nếu chọn hằng số c cần nhân sao cho phương trình (1-57) là thoả mãn, hàm sóng được gọi là
chuẩn hoá. Cho hàm ba chiều, yêu cầu chuẩn hóa là
+∞

+∞

+∞

−∞

−∞

−∞

c *c ∫

∫ ∫ ψ *( x, y, z )ψ ( x, y, z)dxdydz ≡ c ∫
2

2

ψ dv = 1

(1-58)

allspace

Từ ý nghĩa vật lý của |ψ|2 cộng với việc ψ phải được hàm riêng của toán tử hamiltonian H,
chúng ta có thể đi đến một vài kết luận mang tính chất toán học của ψ có thể có hay không có.
Trước tiên, chúng ta cấn phải có ψ là hàm đơn trị vì |ψ|2 biểu thị mật độ xác suất có mặt
của hạt trong vùng đã cho (xem hình 1-12). Ngoài ra, chúng ta loại bỏ các hàm vô hạn trong
bất kỳ khu vực không gian nào vì sự vô cực như vậy bao giờ cũng sẽ lớn hơn rất nhiều mọi
vùng có giới hạn, và |ψ|2 sẽ vô dụng với vai trò là một phép tính xác xuất có thể đối chiếu. Để
cho Hψ để được định nghĩa khắp nơi, cần là đạo hàm cấp hai của ψ được xác định khắp nơi.
Điều này đòi hỏi đạo hàm cấp một của ψ phải liên tục từng phần và bản thân ψ được liên tục
như trong hình 1 d. (Chúng ta sẽ xem ví dụ này ngay)

Hình 1-12: (a) ψ có bộ ba giá trị tại xo. (b) ψ là không liên tục tại xo. (c) ψ mọc không có giới
hạn khi x đến gần + ∞ (nghĩa là, ψ "đồng biến" hoặc "tăng lên"). (d) ψ là liên tục và có"
đỉnh" tại xo. Vì thế, đạo hàm bậc nhất của ψ là không liên tục tại xo và chỉ là liên tục từng
đoạn. Điều này không ngăn cản ψ khả vi.
Một hàm đơn trị, liên tục, hữu hạn, và có đạo hàm thứ nhất liên tục từng đoạn được gọi
là hàm khả vi. Ý nghĩa của khái niệm này được minh hoạ bằng một vài hàm mẫu trong hình.
1-12.
Trong hầu hết các trường hợp, có thêm một thừa số tổng quát đặt vào ψ, khi đó nó là
hàm chuẩn hóa. Điều này có nghĩa tích phân của |ψ| 2 trên toàn bộ không gian phải không bằng
0 hay là không xác định. Hàm thoả mãn điều kiện này được cho là được bình phương - khả
tích.
1-11. Một số bản chất về phương trình Schrodinger

18


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
Có một cách khá đơn giản để thấy được ý nghĩa vật lý của phương trình Schrodinger (149). Thực chất trạng thái năng lượng E trong Hψ = Eψ tùy theo hai thứ, V và đạo hàm bậc hai
của ψ. Vì V là thế năng nên đạo hàm bậc hai của ψ phải liên quan đến động năng. Bây giờ đạo
hàm bậc hai của ψ đối với một hướng nhất định là thước đo của độ biến thiên hệ số góc (tức

là, độ cong, hoặc"ít dao động") của ψ theo hướng đó. Vì thế, chúng ta thấy rằng hàm sóng dao
động mạnh về phía trước, thông qua phương trình Schrodinger, dẫn đến động năng cao hơn.
Điều này phù hợp với hệ thức của de Broglie, vì một hàm có bước sóng ngắn thì dao động
nhiều hơn. Nhưng phương trình Schrodinger có tính ứng dụng rộng rãi hơn vì chúng ta có thể
tính được đạo hàm cấp hai của các hàm khả vi, trong khi bước sóng chỉ được xác định đối với
những hàm tuần hoàn. Vì E là hằng số, lời giải của phương trình Schrodinger được dao động
mạnh hơn ở những vùng V thấp và ít dao động ở những nơi V cao. Thí dụ cho một số hộp một
chiều được trình bày trong hình 1-13.

Hình 1-13: (a) Khi V = 0, E = T. Dẫn đến T tăng, ψ dao động nhiều, có nghĩa là λ ngắn lại
(Từ chu kỳ của ψ của hạt tự do, có thể xác định được λ). (b) Khi V tăng từ trái qua phải, ψ trở
nên ít dao động. (c) - (d) ψ dao dộng nhiều ở nơi V thấp và T lớn.
Trong chương tiếp theo chúng ta sử dụng một số ví dụ đơn khá để minh hoạ ý tưởng, cái
mà chúng ta đã đưa vào và để mang ra một số điểm bổ sung.
1-12. Tóm tắt
Ở chương này, chúng ta sẽ tóm lược những điểm chính được dùng cho các thảo luận tiếp
theo.
1. Đối với bất kỳ hạt nào thì hàm sóng có bước sóng và momen động lượng hạt cho bởi:
h
h
λ= =
p
2 m( E − V )
2. Hàm sóng có ý nghĩa vật lý sau đây; bình phương trường tuyệt đối của nó tỉ lệ thuận với
hàm mật độ xác suất tìm thấy hạt. Nếu hàm sóng được chuẩn hoá thì bình phương của nó
tương đương với hàm mật độ xác suất.
3. Phương trình hàm sóng ψ độc lập thời gian là hàm riêng của phương trình hàm riêng
Schrodinger, có thể được xây dựng từ phương trình sóng cổ điển, hoặc từ phương trình hạt cổ
 h  ∂
điển bằng cách thay thế pk với 

÷ , k = x, y, z.
 2π i  ∂k

19


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
4. Hàm sóng ψ chấp nhận được nếu nó đơn trị, liên tục, hữu hạn, với đạo hàm cấp một liên
tục. Cho hầu hết tình huống, chúng tôi cũng đòi hỏi ψ để được bình phương khả tích.
5. Hàm sóng đối với hạt trong thế năng thay đổi sẽ dao động nhanh nhất nơi V là thấp, nên T
cao trong khu vực này. V thấp cộng với T cao bằng E. Ở vùng khác, nơi V là cao, hàm sóng
dao động chậm hơn, cho T thấp, với V cao, tương đồng cùng E với trong vùng đầu tiên.

20


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

CHƯƠNG 2. CƠ HỌC LƯỢNG TỬ CỦA MỘT SỐ HỆ ĐƠN GIẢN
2-1. Hạt trong hộp thế 1 chiều
Tưởng tượng một hạt có khối lượng m chuyển động tự do trên trục x trong khoảng x = 0 và
x = L, với thế năng không đổi (tức là V = 0 trong khoảng 0 < x < L). Tại x = 0, x = L và tất cả
các điểm nằm ngoài giới hạn đó thì hạt gặp phải hàng rào thế năng vô cùng lớn (V = ∞ trong
khoảng x ≤ 0, x ≥ L). Những vị trí đó được minh họa trong hình 2.1. Bởi vì khung thế năng có
hình dạng đó nên thường được gọi là hạt trong giếng thế hay hạt trong hộp thế. Điều này cần
ghi nhớ, tuy nhiên, vị trí thật sự của hạt giống như một hạt bị giới hạn về sự chuyển động trên
một dây dài hữu hạn.

Hình 2-1. Một hạt ở trong thế năng như một hàm số đối với trục x
Như trường hợp này, khi thế năng gián đoạn, ta dễ dàng viết được phương trình sóng cho

mỗi vùng. Đối với 2 vùng ngoài thành hộp
−h 2 d 2ψ
+ ∞ψ = Eψ , x ≤ 0, x ≥ L
8π 2 m dx 2
Ở bên trong hộp, ψ phải thỏa mãn phương trình
−h 2 d 2ψ
= Eψ ,
8π 2 m dx 2

0
(2-1)

(2-2)

21


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

Hình 2-2. Các hàm f ( x) hàm không liên tục, δ gần bằng không (bề ngang của một
điểm) và n dần đến vô cùng.
Điều này nói lên rằng E phải có những giá trị như nhau cho cả hai phương trình. Trị riêng
E liên quan đến hạt và nó không bị ảnh hưởng bởi những phép biến đổi tính toán.
Trước tiên ta xét phương trình (2-1).Giả thiết rằng ở các điểm bên trong hàng rào thế năng x
= L+dx, ψ hữu hạn. Thì phần số hạng thứ hai bên trái của phương trình (2-1) sẽ không xác
định. Nếu số hạng thứ nhất bên trái là hữu hạn hoặc 0, thì E không xác định tại điểm x =
L+dx (và ở khắp mọi nơi trong hệ). Có thể có lời giải rằng E là hữu hạn không? Một khả năng
là ψ = 0 ở tất cả mọi điểm nơi có V = ∞. Một khả năng khác là số hạng thứ nhất phía bên trái
của phương trình (2-1) có thể làm mất đi số hạng thứ hai. Điều này có thể xảy ra nếu đạo hàm

cấp hai của hàm sóng không xác định tại tất cả mọi điểm có V = ∞ và ψ ≠ 0. Để đạo hàm cấp
hai không xác định thì đạo hàm cấp một phải gián đoạn, do đó ψ phải không liên tục (nghĩa là
nó phải có góc nhọn, như hình 2-2). Do đó chúng ta có thể tìm được giá trị hữu hạn cho cả E
và ψ tại x=L+dx, với điều kiện rằng ψ không liên tục tại đó. Nhưng có những điểm sau, x =
L+2dx, và tất cả các điểm khác ở bên ngoài hộp không? Nếu chúng ta thử làm tương tự với
yêu cầu kết thúc là ψ không liên tục tại mọi điểm nơi có V = ∞. Hàm đó là liên tục nhưng đạo

22


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
hàm cấp một có những điểm không liên tục mà đối ngược từng phần (nghĩa là một hàm liên
tục f không phải gấp khúc 100% mà nó phải có một vài điểm gấp khúc. Chúng ta nói đạo hàm
cấp một của ψ phải liên tục từng đoạn). Do đó, nếu V = ∞ tại những điểm đơn lẻ, ta sẽ giải ra
hàm ψ hữu hạn tại điểm đó, với năng lượng xác định. Nếu V = ∞ trên toàn bộ dãy nối các
điểm đó, tuy nhiên E lại là không xác định cho toàn bộ hệ, và ψ hữu hạn trên vùng đó hoặc E
xác định và ψ là bằng không trên toàn bộ vùng đó.
Chúng ta không cần lo ngại với hạt có năng lượng không xác định, và ta sẽ thấy đó là lời
giải của phương trình (2-1) khi ψ = 0.
Bây giờ ta trở lại với phương trình (2-2) yêu cầu lời giải cho ψ tồn tại ở trong hộp có dựa
vào trị riêng E là xác định và dương. Bất kì hàm số nào, khi đạo hàm bậc hai kết quả thu được
là chính hàm số đó nhưng ngược dấu , những hàm này có thể thay thế cho ψ. Đó là những
hàm sin(kx), cos(kx) và e ± kx . Như đã nói trong chương 1, những hàm đó phụ thuộc tuyến tính
e ± kx = cos(kx) ± sin(kx)

(2-3)

Do đó chúng ta có thể biểu diễn ψ thông qua e ± kx hoặc khác là cả sin(kx) và cos(kx). Chúng
ta chọn trường hợp sau bởi vì chúng quen thuộc hơn, mặc dù câu trả lời cuối cùng là hàm
được chọn phải độc lập.

Biểu thức chung của lời giải là
ψ ( x) = A sin(kx) + Bcos(kx)
(2-4)
ở đây A, B và k cần phải xác định. Như chúng ta đã trình bày, ψ = 0 tại x ≤ 0, x ≥ L và do
đó ta có được điều kiện biên
ψ (0) = 0
(2-5)
ψ ( L) = 0
(2-6)
Về tính toán, điều đó chúng ta đã trình bày chính xác ở trong chương 1 cho sóng đứng trên
sợi dây buộc chặt. Lời giải đó là
ψ (x) = A sin( nπ x / L) , n = 1,2,…, 0 < x < L
ψ (0) = 0 ,
x ≤ 0, x ≥ L
(2-7)
Một sự khác nhau giữa phương trình (2-7) với lời giải cho sợi dây đó là ta đã loại bỏ n = 0
trong phương trình (2-7). Đối với sợi dây, kết quả đó có nghĩa là không có dao động trên toàn
sợi dây - trường hợp vật lí có thể xảy ra. Đối với hạt ở trong hộp thế, lời giải này bị loại bỏ vì
nó không khả tích bình phương. (cho ψ = 0, điều này có nghĩa là không có hạt trên trục x, trái
ngược với giả thiết ban đầu. Người ta cũng có thể loại bỏ lời giải đó cho giả định cổ điển vì
không có năng lượng trên dây, điều này cũng có thể trái ngược với giả thiết ban đầu phụ
thuộc vào vấn đề diễn đạt.)
Chúng ta hãy kiểm tra lại có chắc chắn rằng hàm số đó thỏa mãn phương trình
Schrodinger:
Hψ (x) =

−h2 d
8π 2 m

2

[ A sin(nπ x / L)]
dx 2

=

−h 2  n 2π 2
 nπ x  
− A 2 sin 
÷

2
8π m 
L
 L 

=

n2h2
8mL2


 nπ x  
 A sin  L ÷ = Eψ ( x )




(2-8)

23


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn
Điều đó cho thấy hàm số (2-7) đúng là hàm riêng của H. Ta cần chú ý rằng hàm số đó đã
được chấp nhận trong chương 1.
Tham số duy nhất còn lại là hằng số A. Chúng ta thiết lập nó dựa vào xác suất tìm thấy của
hạt là bằng đơn vị:

∫

L

0

L

ψ 2 ( x)dx = A2 ∫ sin 2 (nπ x / L)dx = 1
0

(2-9)

Từ đó dẫn đến
(2-10)
A= 2/ L
Điều này hoàn thành việc giải cho phương trình Schrodinger’s độc lập với thời gian của
vấn đề trên. Kết quả đó là hàm riêng đã được chuẩn hóa

ψ n ( x) = 2 / L sin(nπ x / L) ,

n = 1,2,3,…

(2-11)

và trị riêng tương ứng, từ phương trình (2-8),
En = n 2 h 2 / 8mL2 ,

n = 1,2,3,…

(2-12)

Các giá trị khác nhau của n tương ứng với trạng thái dừng khác nhau của hệ đó.
2-2. Khảo sát chi tiết lời giải của hạt ở trong hộp thế
Chúng ta đã giải phương trình Schrodinger’s cho một hạt ở trong một giếng thế có thành
cao vô hạn, bây giờ chúng ta xem xét kết quả một cách chi tiết.
2-2.A. Năng lượng
Tính chất rõ ràng nhất của năng lượng đó là đã thông qua các trạng thái cho phép (n=1, 2,
3, …), E nhảy vọt từ một giá trị rời rạc, được tách ra những giá trị khác nhau (1, 4, 9, … với
đơn vị là h 2 / 8mL2 ). Do đó, hạt chỉ có những mức năng lượng rời rạc - năng lượng được
lượng tử hóa. Những vị trí đó thì được phát họa thành những mức năng lượng như những
đường thẳng nằm ngang trong giản đồ thế năng, như hình 2-3a. Sự thực là những mức năng
lượng đó là những đường nằm ngang nhấn mạnh rằng E là hằng số bất kể tọa độ x của hạt. Đó
là lí do E được gọi là hằng số của chuyển động. Sự phụ thuộc của E vào n2 thể hiện sự tăng
khoảng cách giữa hai mức năng lượng với sự tăng n trong hình 2-3a. Số n được gọi là số
lượng tử chính.
Chúng ta cũng chú ý rằng E tỉ lệ với L-2. Điều đó có nghĩa rằng hạt được giới hạn chặt chẽ
hơn, lớn hơn không gian cho phép giữa hai mức năng lượng. Do đó, hộp như được mở rộng
ra, sự tách năng lượng giảm xuống và giới hạn không xác định của hạt biến mất hoàn toàn. Do
đó chúng ta liên kết các lượng tử năng lượng với không gian giới hạn.
Đối với một vài hệ, mức độ bị giới hạn của hạt phụ thuộc vào năng lượng tổng của hạt đó.

Chẳng hạn như, con lắc chuyển động trên quỹ đạo dài hơn nếu nó có năng lượng cao hơn. Thế
1 2
kx như trong hình 2-3b. Nếu giải phương trình
2
Schrodinger cho hệ này (sẽ thấy trong chương 3), thì tìm được năng lượng tỉ lệ với n hơn là
với n2. Chúng ta có thể hợp lí hóa điều này bởi có thể coi rằng hạt đang chiếm một hộp lớn
hơn nên có năng lượng cao hơn. Điều ngược lại là n2 tăng trong khi mức năng lượng tìm được
năng của con lắc được tính bởi V =

với chiều rộng hộp là hằng số. Đối với thế năng V = −1/ x (điều này tương tự như nguyên tử
hidro trong hộp thế một chiều) E thay đổi theo 1/n2 (hình 2-3c), và điều đó cũng phù hợp với
ảnh hưởng của sự tăng L đối với sự tăng E.

24


Nhóm Cao Học Hóa Lý K18 - Quy Nhơn

Hình 2-3. Thế năng cho phép của hạt trong các hố thế 1 chiều khác
nhau. (a) hộp với thành cao vô hạn. (b) thế năng tuân theo phương trình bậc
1 2
kx . (c) V = −1/ x . Xu hướng năng lượng cao hơn ở (b) và (c)
2
không phân ra như ở (a) là do ảnh hưởng lớn bởi kích thước hộp đối với
năng lượng cao hơn ở (b) và (c).
Năng lượng thì tỉ lệ với 1/m. Điều đó có nghĩa là sự khoảng cách giữa các mức năng lượng
giảm khi m tăng. Cuối cùng, đối với đối tượng vĩ mô, m là đủ lớn để các mức là quá chặt chẽ
về không gian liên tục giống như trong cơ học cổ điển. Đó là ví dụ về nguyên tắc tương
đương, đây là trường hợp chung nhất, trạng thái đó đã được dự đoán trước trong cơ học lượng
tử phải vượt qua một cách suôn sẻ như trong cơ học cổ điển mỗi khi chúng ta phát triển từ

lĩnh vực vi mô đến vĩ mô.
Chú ý rằng năng lượng thấp nhất có thể của một hệ xảy ra khi n = 1 là E = h 2 / 8mL2 . Kết
quả đáng chú ý đó là một hạt bị hạn chế (tức là L hữu hạn) có thể không bao giờ có năng
lượng bằng không. Rõ ràng hạt chuyển động liên tục trong vùng từ 0 đến L, thậm chí tại nhiệt
hai V =

độ tuyệt đối bằng không. Đó là lí do h 2 / 8mL2 được gọi là năng lượng điểm không của hệ đó.
Nhìn chung, viêc xác định năng lượng điểm không cho mọi hệ bị hạn chế cho chuyển động
trên mọi tọa độ. (Chú ý rằng hữu hạn ở đây không bằng không).
Có thể thấy rằng, khi L ≠ ∞ , hạt ở trong hộp sẽ không tuân theo nguyên lí bất định
Heisenberg đó là năng lượng bằng không. Giả thiết năng lượng đúng bằng không. Thì động
lượng phải đúng bằng không. (Trong hệ đó, năng lượng toàn phần của hạt là động năng với V
= 0 ở trong hộp.) Tuy nhiên, nếu động lượng p x cũng đúng bằng 0, không thể chắc chắn rằng
giá trị của động lượng ∆px cũng bằng 0,. Nếu ∆px bằng 0, nguyên lý bất định [phương trình 246] yêu cầu rằng không chắc chắn ∆x là không xác định. Nhưng ta biết rằng hạt ở giữa x = 0
và x = L. Do đó, sự không chắc chắn này đặt trên L, hữu hạn, và nguyên lý bất định không
thỏa mãn. Tuy nhiên, khi L = ∞ ( hạt không bị hạn chế), nguyên lý bất định có thể được thỏa
mãn đồng thời với E = 0, và sự thỏa mãn này phù hợp với sự thật rằng E = h 2 / 8mL2 dần đến
0 khi L dần đến vô cùng.
Cuối cùng, chúng ta chú ý rằng sự tách các giá trị n dẫn đến năng lượng khác nhau. Do đó,
không có hai trạng thái nào có năng lượng như nhau, và trạng thái đó gọi là không suy biến về
mặt năng lượng.
Ví dụ 2-1. Xét một electron ở trong hố thế một chiều dài 258 pm.
a) Tính năng lượng điểm không của hệ (ZPE) ? Tính cho một mol là bao nhiêu?
b) Tính tốc độ electron theo ZPE? So sánh với tốc độ của ánh sáng.
Bài giải:
a) ZPE = Elowest = En=1

25