Sử dụng các biểu thức liên hợp để giải toán

S DNG BIU THC LIấN HP GII TON
Cao Quốc Cờng ( GV. THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Sử dụng các biểu thức liên hợp để giải toán là một kỹ năng cơ bản của học sinh THCS.
Trong bài viết này tôi muốn giới thiệu với các bạn một số bài toán trong quá trình giải
có sử dụng các biểu thức liên hợp.

)(

(

)

Bài 1: Cho x + x 2 + 2010 y + y 2 + 2010 = 2010 (*)
Tính giá trị của biểu thức M = x + y .

)

(

(

)

2
2
Lời giải: Lần lợt nhân hai vế của đẳng thức (*) với x x + 2010 và y y + 2010 ta

(
(

)

)
)

(

2010 y + y 2 + 2010 = 2010 x x 2 + 2010 (1)

đợc:
2010 x + x 2 + 2010 = 2010 y y 2 + 2010 (2)

Cộng vế với vế của (1) và (2) ta đợc: 2010 ( x + y ) = 2010 ( x + y ) x + y = 0 .
Vậy giá trị của biểu thức M = x + y = 0 .

)

(

Bài 2: Giải phơng trình:
a, 3x + 1 6 x + 3x 2 14 x 8 = 0 ( x R )
(Trích: Đề thi tuyển sinh đại học năm 2010 môn toán khối B)
b,
c,

(

(

) (
5

x2 + 1 x +
2 3

) (
x

+

x2 + 1 + x

2+ 3

)

x

)

5

= 123

=4

(2b)
(2c)

3 x + 1 0
1

x6.
3
6 x 0

Lời giải: a, ĐKXĐ:

2
Ta có: 3x + 1 6 x + 3x 2 14 x 8 = 0 ( 3x + 1 4 ) + ( 1 6 x ) + 3x 14 x 5 = 0







3 ( x 5)

3
1


x 5
+
+ 3x + 1ữ = 0
+ ( x 5 ) ( 3 x + 1) = 0 ( x 5 )
6 x +1
3x + 1 + 4
6 x +1
3x + 1 + 4

x 5 = 0(1)
3
1
+
+ 3 x + 1 = 0(2)
3x + 1 + 4
6 x +1
+

PT (1) có nghiệm x = 5 thỏa mãn ĐKXĐ.
3
1
1
+
+ 3 x + 1 > 0 với x ;6
3x + 1 + 4
6 x +1
3

PT (2) vô nghiệm vì

Vậy phơng trình có nghiệm là x = 5.

a + b = 2 x 2 + 1

b, ĐKXĐ: x R . Đặt a = x 2 + 1 x ; b = x 2 + 1 + x . Khi đó:

a.b = 1

PT(2b) có dạng: a + b 123 = 0 a + b + a b ( a + b ) ( a + b ) 123 = 0

5

5

5

5

2 2

3
2
( a 3 + b3 ) ( a 2 + b 2 ) ( a + b ) 123 = 0 ( a + b ) 3 ( a + b ) ( a + b ) 2 ( a + b ) 123 = 0





( a + b ) 5 ( a + b ) + 5 ( a + b ) 123 = 0
5

3

4
3
2
( a + b 3) ( a + b ) + 3 ( a + b ) + 4 ( a + b ) + 12 ( a + b ) + 41 = 0 (*)


4

3
2
2
Vì a + b = 2 x + 1 > 0 ( a + b ) + 3 ( a + b ) + 4 ( a + b ) + 12 ( a + b ) + 41 > 0 .
5
Từ (*) suy ra a + b 3 = 0 a + b = 3 2 x 2 + 1 = 3 x = .
2
5
Vậy PT có nghiệm là: x = .
2

c, Ta thấy 2 3. 2 + 3 = 1 . Đặt

(

2 3

)

x

= t (Với t > 0 ) thì

1
t

(

2+ 3

)

x

1
= .
t

PT (2c) có dạng : t + = 4 t 2 4t + 1 = 0 t = 2 + 3; t = 2 3 .
*Với t = 2 + 3 ta có :

(

2 3

x
2

) = ( 2 3)

(

1

* Với t = 2 3 ta có :

2 3


(

)

x

= 2+ 3

(

2 3

)

x

=

( 2 + 3) ( 2 3)
2 3

x
= 1 x = 2.
2
2 3

)

x

(

= 2 3 2 3

)

x
2

= 2 3 x = 2.

Vậy phơng trình có nghiệm x = 2.
Nhận xét: - Trong cách giải của bài 1 và bài 2a ta đã nhân với các biểu thức liên hợp để
làm xuất hiện các hạng tử chung, nhân tử chung.
- Với bài 2b ta đã sử dụng tích hai biểu thức liên hợp a.b = 1 để biến đổi phơng
trình a5 + b5 123 = 0 về dạng phơng trình tích.
- Với bài 2c bên cạnh việc sử dụng biểu thức liên hợp để đặt ẩn phụ ta còn sử dụng
biểu thức liên hợp để giải PT

(

2 3

)

x

= 2+ 3 .

Bài 3: Tính giá trị của biểu thức :
M = 3 3+ 9+

125 3
125
+ 3 9+
+ 2010
27
27

Lời giải: Đặt A = 3 3 + 9 +

125 3
125
ta có: M = A + 2010
+ 3 9+
27
27

(1).


125
x = 3 3+ 9 +
5

27

x. y =

3
*Tính A: Đặt

A = x + y
125
y = 3 3 9 +
27

5
3
ữA A + 5 A 6 = 0
3


3
3
Vì A = x + y A3 = ( x + y ) A3 = x3 + y 3 + 3xy ( x + y ) A = 6 + 3

( A 1) ( A2 + A + 6 ) = 0 A = 1 (Vì PT A2 + A + 6 = 0 vô nghiệm vì có = 23 < 0 )

Vậy A = 1 (2). Kết hợp (1) và (2) ta có giá trị của biểu thức M = 1 + 2010 .


Nhận xét: Ta thấy 3 + 9 +

125
125
và 3 9 +
là hai biểu thức liên hợp của nhau. Vì vậy
27
27

ta nghĩ đến việc biến đổi để làm xuất hiện tích hai biểu thức trên.
Bài 4: Cho phơng trình: x 2 + 4 4 5 x + 2m3 + 21m = 0 (1) ( Với m là tham số)
Giải phơng trình (1) với M = 3 5 + 5 +

343 3
343
.
+
5 5+
8
8

7
343
. Ta có: a.b =
và m = a + b
2
8
7
3
3
Với m = a + b m3 = ( a + b ) m3 = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) m = 2 5 + 3 ữm
2

Lời giải: Đặt a = 3 5 + 5 +

343
;b =
8

3

5 5+

4 5 2m3 21m = 0 (*)
Mặt khác PT(1) có: / = 4 5 2m3 21m

(**).
Kết hợp (*) và (**) ta thấy PT(1) có = 0 . Vậy PT(1) có nghiệm kép x1,2 = 2 4 5 .
Nhận xét:
Nếu ta làm theo thứ tự tính m ( Tơng tự bài 3) sau đó thay vào PT(1) và giải PT thì sẽ rất
khó khăn. Sự sáng tạo của bài toán là khai khác dữ kiện 4 5 2m3 21m = 0 .
Bài tập áp dụng:
/

)(

(

)

2
2
Bài1: Cho 2 x + 4 x + 5 2 y + 4 y + 5 = 5 . Tính M = x + y + 3 .

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức: E = 3 9 + 4 5 + 3 9 4 5 .
Bài 3: Cho x = 3 6 +

2010
847 3

847
. Tính giá trị của biểu thức: M = ( x3 5 x 11) .
+ 6
27
27

Bài 4: Giải phơng trình:
a, x x 2 1 + x + x 2 1 = 2
b, ( 7 + 4 3 ) 3 ( 2 3 ) + 2 = 0
x

x

3
2
2
3
2
2
Bài 5: Cho biểu thức: A = 3 x 3x + ( x 1) x 4 + 3 x 3x ( x 1) x 4

2
Tính giá trị của biểu thức với x = 2010 .

2

3

..........................................................................................................