Báo cáo nghiên cứu khoa học bộ điều KHIỂN TRƯỢT mới CHO HOẠT ĐỘNG bền VỮNG của TAY máy ROBOT

BỘ ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT MỚI CHO HOẠT ĐỘNG
BỀN VỮNG CỦA TAY MÁY ROBOT
A NEW TYPE OF SLIDING MODE CONTROLLER FOR ROBUST TRACKING
OF ROBOTIC MANIPULATORS

LÊ TẤN DUY
Đại học Đà Nẵng

TÓM TẮT
Bài báo này trình bày các nghiên cứu lý thuyết, mô phỏng và thực nghiệm của bộ điều khiển trượt mới
cho hoạt động bền vững của tay máy robot bằng cách thay hàm chuyển mạch signum bằng hàm chuyển
mạch tích phân-bão hòa (sat-PI) nhằm giảm hiện tượng chattering và nâng cao chất lượng điều khiển.
ABSTRACT
This paper is concerned with the theory, simulation, and experiment of a new type of sliding mode
controller for robust tracking performances of robotic manipulators by replacing the signum function
with a satured proportional-integral (sat-PI) to alleviate the chattering problem and improve the control
quality.

1. Giới thiệu
Bài báo này giới thiệu một bộ điều khiển trượt mới, sử dụng hàm chuyển mạch là hàm
tích phân-bão hòa (sat-PI). Việc mô hình hóa và nghiên cứu mô phỏng hệ thống điều khiển
chuyển động được thực hiện trên nền Matlab-Simulink, sau đó kiểm nghiệm bằng thực
nghiệm trên mô hình thực tế là robot Gryphon EC. Kết quả trên mô phỏng và thực nghiệm
chứng minh được tính đúng đắn và khẳng định việc chọn luật điều khiển trong phương pháp
điều khiển trượt đề xuất (sat-PI) đã nâng cao chất lượng và khắc phục được nhược điểm của
hệ điều khiển trượt truyền thống.
2. Điều khiển trượt hệ thống phi tuyến [5][7]
Ta xem xét hệ động học sau: x(n) = a(X) + B(X).u
(2.1)
trong đó đại lượng vô hướng x là đầu ra mong muốn, đại lượng vô hướng u là tín hiệu điều





T

khiển đầu vào, X  x x ... x ( n 1) là vectơ trạng thái, a(X) là hàm phi tuyến không biết
chính xác và B(X) là ma trận biểu diễn độ khuếch đại điều khiển không biết chính xác.
Trạng thái ban đầu Xd(0) phải là: Xd(0)  X(0)
(2.2)
T
~
(
n

1
)
~
~
~
và
X  X  X  x x ... x
d





Ngoài ra, ta định nghĩa bề mặt biến thiên theo thời gian s(t) trong không gian trạng
d

thái R(n) bằng phương trình vô hướng S(X;t) = 0 trong đó: S(X;t) = (   ) n1 ~
x (2.3)
dt
với  là một hằng số dương. Ví dụ nếu n = 2 thì S  ~
x ~
x tức s là tổng mức ảnh hưởng của
sai lệch vị trí và sai lệch vận tốc.
Việc giữ giá trị vô hướng S bằng 0 có thể giải quyết được bằng cách chọn luật điều
1 d 2
khiển u trong (2.1) sao cho ở bên ngoài s(t) ta có:
S ( X , t )   S
(2.4)
2 dt
trong đó  là hằng số dương. (2.4) cho thấy rằng khoảng cách đến bề mặt s, được tính bằng
S2, giảm xuống theo quỹ đạo hệ thống.


Vì thế nó buộc các quỹ đạo hệ thống hướng tới bề mặt s(t) như minh họa trong hình
2.1 dưới đây.
s(t)

Mặt phẳng trượt

x(t)

Thời gian tín
hiệu điều
khiển chạm
vào mặt trượt

x

x

Chattering

x

xd(t)
0

S=0

S=0

x
Hình 2.2

Hình 2.1

x

xd(t)

x(t)

Hình 2.3

Bắt đầu từ điểm xuất phát ban đầu nào đó, quỹ đạo trạng thái chạm đến mặt trượt, sau
đó sẽ trượt dọc theo mặt trượt và hướng đến xd với tốc độ hàm mũ, với hằng số thời gian 1/

(hình 2.2).
Tóm lại, từ phương trình (2.3) chọn một hàm S, sau đó chọn luật điều khiển u trong
(2.1) sao cho S2 duy trì một hàm Lyapunov của hệ thống kín, bất chấp sự thiếu chính xác của
mô hình và sự có mặt của nhiễu loạn. Trình tự thiết kế do đó sẽ bao gồm 2 bước:
+ Bước một, chọn luật điều khiển u thỏa mãn điều kiện trượt (2.4).
+ Bước hai, luật điều khiển không liên tục u đã được chọn trong bước một được làm
nhẵn một cách thích hợp để có sự dung hòa tối ưu giữa dải thông điều khiển và tính chính xác
của quỹ đạo, đồng thời khắc phục hiện tượng chattering (hình 2.3).
3. Phương pháp nâng cao chất lượng hệ điều khiển trượt
Xét một hệ phi tuyến bậc hai có phương trình trạng thái như sau:

x a (X)  B(X )u

(3.1)

với X  x x là ma trận biểu thị trạng thái của hệ thống.
T

3.1. Các giả thiết của (3.1)
 Hàm a(X) không được biết chính xác nhưng có ngưỡng giới hạn
~
a (X)  a (X)  a max (X ) là một hàm xác định

(3.2)



Gọi bx là giá trị riêng của B(X), bx min và bx max lần lượt là giá trị riêng nhỏ nhất và
lớn nhất của B(X). Đặt x = (bx max/bx min)1/2, ta được:
1

~
 B(X)B 1 (X )   x
(3.3)
x

3.2. Các bước xây dựng bộ điều khiển trượt
e  x  xd
Sai lệch quỹ đạo:
(3.4)
e x xd
( n 1)

d

S(X, t )     
e  0 (3.5)
 dt

trong đó  là hằng số dương. Nếu n = 2 thì mặt s(X,t) là: S(X,t) = e e = 0 (3.6)
+ Bước 2: Tính u để cho trạng thái hệ thống tiến về mặt s(t) và nằm trên đó như trên
hình 2.2.

+ Bước 1: Định nghĩa mặt s(t) như sau:


Để có được điều đó, xét một hàm năng lượng V( x )  1 2 .S T S  0 của hệ thống kín.
Giả sử có điểm cân bằng tại điểm x = 0 tại đó V(x) cực tiểu. Nếu chứng minh được:
( x )  S T S 0
V
(3.7)

thì điểm x = 0 được gọi là điểm ổn định.
Theo nguyên lý ổn định Lyapunov, chọn một hàm: V( x )  1 2 .S T S  0 với S  0
( x )  0 , nghĩa là:
 S T S 0 .
Phải làm cho V
V
Đây là điều kiện để hệ thống luôn luôn ổn định tiệm cận toàn thể tại S = 0. Khi điều
kiện (3.7) được thỏa mãn thì trạng thái của hệ thống luôn luôn được đưa về trên mặt trượt S =
0 và giữ trên đó. Đó là yêu cầu của bước 2. Như vậy phải thiết kế u sao cho điều kiện (3.7)
được thỏa mãn.
Ta có: S 
e e 
x 
xd  e = e 
xd  a ( X )  B( X )u

(3.8)

Chọn tín hiệu đầu vào theo công thức sau [3]:
~
u  B 1 ~
u eq  K. sgn(S)  u eq  u r

(3.9)



trong đó:
với



~
~
u eq  B 1.~
u eq và u r   B 1K. sgn(S)

(3.10)

sgn(S) = [sgn(S1), ..., sgn(Sn)]T
K = diag(K1, ..., Kn); Ki > 0 với i = 1, 2, ..., n

(3.11)

Đối với hệ phương trình trạng thái (3.1), nếu các giả thiết (3.2) và (3.3) đều được thỏa
mãn và luật điều khiển được chọn như trong (3.9) với
Ki  x  1 ~
u eq   x   a max  (i  1, 2, ..., n )
(3.12)
thì sai số quỹ đạo e = xd – x sẽ hội tụ về 0, nghĩa là xd  x.
3.3. Phương pháp lớp biên để làm giảm hiện tượng chattering [6]
Để khắc phục hiện tượng chattering, thay hàm dấu sgn(S) bằng hàm bão hòa sat(S):
 1 khi
S
S
sat (S)  
khi    S  


S  

 1 khi
và làm nhẵn tín hiệu điều khiển không liên tục trong một lớp biên mỏng B(t):
B( t )  x : S(X, t )  
(3.13)

x
x
xd
0


x




S=0
Hình 3.1: Định nghĩa lớp biên B(t)
Lớp này bao quanh mặt trượt S = 0 với bề dày  và độ rộng  = /.


Nếu luật điều khiển bảo đảm cho điều kiện trượt (3.7) được thỏa mãn ở bên trong lớp
biên B(t) thì sau một thời gian hữu hạn, sai số điều khiển sẽ bé hơn , nghĩa là:
e( t )     / 
(3.14)
Khi S   thì sat (S) 

S
là hàm liên tục nên tín hiệu sẽ giảm chattering, nhưng xảy


ra sai lệch quỹ đạo.
3.4. Phương pháp đề xuất (dùng hàm Sat-PI)
Để giảm hiện tượng chattering và sai lệch quỹ đạo, định nghĩa một hàm tích phân-bão
hòa (sat-PI) như sau:

sgn(S)
khi
S 

t
(S)   S
(3.15)
 K I  S( )  d khi    S  

to

trong đó KI là hệ số tích phân dương, to là thời điểm đầu khi trạng thái hệ thống đi vào trong
lớp biên B(t).
Bây giờ thay hàm signum trong luật điều khiển u ở (3.9) bằng hàm tích phân-bão hòa:
~
u  u eq  B 1 K.(S) (3.16)
trong đó ueq và K được chọn như trong (3.10) và (3.12) và (S)  1 (S1 ),...,  n (S n ) .
T

Giả sử rằng hệ số tích phân KI được chọn đủ lớn sao cho
 S
  K I S  0 khi S  0



 S
  K IS  0 khi S  0


(3.17)

Bất đẳng thức (3.17) có nghĩa (s) là hàm tăng khi S > 0 và hàm giảm khi S < 0.
Đối với hệ thống (3.1), nếu các giả thiết (3.2) và (3.3) thỏa mãn và luật điều khiển
được chọn như trong (3.16), với K được chọn theo (3.12) và (S) được chọn như (3.15), thì
các quỹ đạo trạng thái luôn hướng về các mặt trượt.
3.4.1. Chứng minh
Các quỹ đạo trạng thái sẽ hướng về các mặt trượt khi điều kiện mặt trượt thoả mãn:
i  SiSi  0; Si  0; i  1,..., n
(3.18)
V
Điều kiện trượt được viết lại như sau:
~
~
~
~
~
T

V  S B.B -1  I .~
u eq  ~
a  a  B.B -1 .(S)  ST .B. B -1 I  B.B -1 .~
u eq  B.B -1 .a  ~a   K(S)  0













(3.19)
Rõ ràng, đối với các trạng thái hệ thống nằm bên ngoài Bi(t) (i = 1, ..., n), luật điều
khiển được chọn theo (3.16) (bởi vì Vi(Si) = sgn(Si)) sẽ đảm bảo rằng các lớp biên là hấp dẫn
và do đó tất cả mọi quỹ đạo bắt đầu ở bên ngoài Bi(t) sẽ được đẩy vào trong Bi(t).
Ở bên trong Bi(t) (i = 1, ..., n), luật điều khiển (3.16) trở thành liên tục nên có thể giảm
hiện tượng chattering. Trong (3.17),  i có thể tăng đến khi  i >1. Do đó, điều kiện trượt
được thỏa mãn và mọi quỹ đạo trạng thái có thể chạm đến mặt trượt ít nhất một lần.


Bây giờ xét một hệ thống con thứ i. Bất đẳng thức (3.18) có nghĩa rằng:
~ -1 ~
~
i  S i Si  S i I  B
V
.B .u eq  B.B -1 .a  ~
a  i  K i (S i )  0
(i  1, 2, ..., n )









(3.20)
Giả sử Si  0 với Si  0 (Si ở lân cận 0).
Hàm tăng Si khiến cho quỹ đạo trạng thái bị đẩy về nửa bên phải
(Si > 0) của mặt trượt Si = 0. Khi Si > 0,  i tăng theo thời gian như trong (3.17), dẫn đến:
~
~
I  B.B -1 .~
u eq  B.B -1 .a  ~
a  i  K i (S i )  0 hoặc S i Si  0
(3.21)









có nghĩa là điều kiện trượt (3.18) được thỏa mãn và quỹ đạo được hướng vào mặt trượt.
Si  0 với Si  0 (Si ở lân cận 0).

Tiếp tục giả thiết rằng:

Hàm giảm Si khiến quỹ đạo trạng thái được đẩy về nửa bên trái
(Si < 0) của mặt trượt Si = 0. Khi Si < 0,  i giảm theo thời gian như (3.17), dẫn đến:
~
~
I  B.B -1 .~
u eq  B.B -1 .a  ~
a  i .  K i (S i )  0 hoặc S i Si  0
(3.22)









và quỹ đạo được hướng đến mặt trượt tương tự như trên.
3.4.2. Khảo sát hệ số tích phân KI trong (3.15)

Khi S   thì (S) = sgn(S). Luật điều khiển u được xây dựng theo (3.9) bảo
đảm điều kiện trượt (3.7) được thỏa mãn. Lúc đó hệ số K trong công thức (3.9) của
  S và điều kiện trượt được thỏa
luật điều khiển u được chọn theo (3.12) để V
mãn.
t
S
 Khi S   thì (S) 
 K I  S()  d . Ta có:


to
t
 ~ 1

S
~
 STS ST  (BB
V
 I)~
u eq  ~
a  a  BB1K(  K I  S()  d)



to
T
t
S S
~
~
~
 S T (BB 1  I)~
u eq  ~
a  a  BB 1 K
 S T BB 1 KK I  S( )  d

to









.

Xét hàm V ở trên trong 2 trường hợp khi 0  S  , và khi   S  0, ta chọn hệ số KI sao
cho:
t

~
~
~
KK I  S()  d  I  BB 1 ~
u eq  BB 1 ~
a  a  BB 1 

(3.23)

to

  S và điều kiện trượt được thỏa mãn.
thì V

Với luật điều khiển u được xây dựng theo (3.16) trong đó hàm chuyển mạch (s) được
định nghĩa theo (3.15), nếu ta chọn các hệ số Ki theo (3.12) và ta chọn các hệ số tích phân K Ii
   S (với i = 1, 2, ..., n), điều kiện trượt được thỏa mãn và sai số quỹ
theo (3.23) thì V

i
i
đạo ei sẽ hội tụ tiệm cận về 0.
4. Kết quả mô phỏng trên mô hình mô phỏng robot Gryphon EC


- Hình 4.1: Robot Gryphon EC là loại robot 5 bậc tự do với 3 trục chuyển động và một
đầu quay-kẹp chi tiết. Mỗi trục được truyền động bằng một động cơ Servo đồng bộ nam châm
vĩnh cữu, điều khiển theo vòng kín.
- Hình 4.2: Mô hình mô phỏng robot Gryphon EC trên nền Matlab-Similink.
Qua việc chạy thử với các giá trị khác nhau của các hệ số ,  và KI để có được các
đường biểu diễn tốt, cuối cùng ta chọn các hệ số cho các trục như bảng 4.1 với tải mt = 0,2 kg.
Kết quả mô phỏng được thể hiện trên các hình 4.3 và 4.4.
4.1. Mômen tác động lên các trục

Trục 1

Trục 1

Trục 1

4.2. Sai lệch quỹ đạo không gian

Trục 2
Hình 4.3.a: Hàm Signum

Trục 3

Trục 2
Hình 4.3.b: Hàm Sat

Trục 3

Trục 2
Hình 4.3.c: Hàm Sat-PI

Trục 3

Hình 4.4.a: Hàm Signum

Hình 4.4.b: Hàm Sat

Hình 4.4.c: Hàm Sat-PI

5. Kết quả thực nghiệm trên robot Gryphon EC
5.1. Mômen tác động lên các trục

(a) Hàm Sat

(b) Hàm Sat-PI

5.2. Sai lệch quỹ đạo không gian

(a) Quỹ đạo thực và đặt

(b) Sai lệch quỹ đạo


Bảng 4.1:
Trục 1

Trục 2
Trục 3


0.2
0.3
0.25


7
5
6

KI
20
25
22

6. Kết luận
Phương án dùng hàm chuyển mạch sat-PI đã được đề xuất trong bài báo. Thuật toán
đưa ra có khả năng điều khiển hệ phi tuyến bậc cao giảm đáng kể chattering, sai lệch quỹ đạo
điều khiển thấp hơn so với hàm sat, hệ điều khiển làm việc ổn định, ít chịu ảnh hưởng của tải,
do đó chất lượng điều khiển được cải thiện đáng kể. Ngoài ra, phương án còn có ưu điểm là
khối lượng tính toán nhỏ, thuật điều khiển ít phức tạp, đáp ứng nhanh, hệ thống kín ổn định.
Việc so sánh các kết quả mô phỏng giữa các trường hợp hàm signum, hàm sat và hàm sat-PI
đã minh chứng tính đúng đắn của thuật toán đã nêu ra trong việc nâng cao chất lượng của hệ
điều khiển.
Cấu trúc mô hình thực nghiệm đã được xây dựng trên một đối tượng có tính phi tuyến
mạnh là robot Gryphon EC với 3 bậc tự do và qua kết quả thực nghiệm đã khẳng định tính
đúng đắn của kết quả nghiên cứu, cho thấy thuật toán đề xuất hoàn toàn có thể ứng dụng vào

thực tế điều khiển các hệ thống động lực học có tính phi tuyến mạnh, có yêu cầu đáp ứng
nhanh và chính xác.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

[7]

Lê Tấn Duy, Thiết kế bộ điều khiển trượt cho hệ tay máy robot, Tạp chí Khoa học và
Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 4/2003.
Lê Tấn Duy, Điều khiển trượt cho tay máy robot hai bậc tự do, Tạp chí Khoa học và
Công nghệ Đại học Đà Nẵng, số 1(5)/2004.
K.S. Fu, Robotics Control, Sensing, vision and intelligence, Graw Hill, Inc. 1987.
Y.Itkis, Control systems of variable structure, New York, Wiley, 1976.
V.A.Utkin, Sliding Modes and Their Application in Variable Structure Systems,
Moscow, Mir 1987.
J.J.E Slotine and S.S Satry, Tracking control of nonlinear systems using sliding
surface with application to robot manipulator, Int. J. Control, vol 38, no. 2, pp. 465492, 1983.
J.J.E Slotine and W.Li, Applied nonlinear control, Prentiee Hall, Englewood Cliff,
New Jersey, 1991.


[8]

J.J.E Slotine and S.Asada, Robot analysis and control, A. Wiley-Interscience
Publication, John Wiley& Sons, Inc. 1986.

(Tiếp theo trang 5)
[3]
Bui Van Ga, Pham Xuan Mai, Nguyen Huu Huong, Calculation of LPG Stratified
Mixture Formation in a Direct Injection Engine, International Conference on
Automotive Technololy, ICAT’02, Paper 044, Hanoi, 24-28 October 2002.
[4]
Bui Van Ga, Duong Viet Dung, Tran Van Nam, Simulation of liquefied petroleum gas
jet in combustion chamber of spark ignition engine, Vietnam Journal of Mechanics,
Volume 24 Number 4, Page 209-218, 2002.
[5]
Bui Van Ga, An Integral Model for Calculation of LPG Jet Development in
Combustion Chamber of Spark Ignition Engine, International Conference on HPSC,
Hanoi 10-14 March 2003.
[6]
Bui Van Ga, Phung Xuan Tho, Nhan Hong Quang, Nguyen huu Huong, Xác định
trường tốc độ của tia phun LPG bằng thực nghiệm, Hội nghị Cơ học Thủy khí tòan
quốc năm 2003, Đà Nẵng, 21-23/7/2003.

(Tiếp theo trang 10)
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]

Nguyễn Quang Khải, Hướng dẫn xây dựng, bảo dưỡng, sử dụng toàn diện khí sinh
học và bã thải, NXB Khoa học và Kỹ thuật.

Uỷ ban Khoa học & Kỹ thuật Đồng Nai, Hướng dẫn sản xuất và sử dụng khí đốt sinh
vật, NXB Đồng Nai.
Nguyễn Quang Khải, Xây dựng và vận hành thiết bị khí sinh học, Hà Nội, 1990.
Ngô Kế Sương, Nguyễn Lân Dũng, Sản xuất khí đốt (Biogas) bằng kỹ thuật lên men
kỵ khí, NXB Nông Nghiệp.
Đỗ Ngọc Quỳnh và cộng sự, Nghiên cứu ứng dụng thiết bị khí sinh học cho đồng bằng
sông Cửu Long.
Võ Đình Hiệp, Nguyễn Thiện Tống, Khoa học Kỹ thuật phục vụ nông thôn, NXB Tp
Hồ Chí Minh.