TINH CHAT 3 DUONG CAO CUA TAM GIAC

A

d

Cho trước điểm A và
đường thẳng d không
qua A .



Hãy vẽ đoạn vuông góc
AI kẻ từ A đến đường
thẳng d.

.

.

.
B0

2

4

I

6

8

C

10

12

Trên đường thẳng d
lấy hai điểm B ,C sao
cho BI = 4 cm , CI = 5
cm . Hãy so sánh AB
và AC .


GT : AI là đoạn vuông
góc kẻ từ A đến đường
thẳng d và BI < CI .

Ta có :
BI là hình chiếu của AB trên

A

đường thẳng d .
CI là hình chiếu của AC trên
đường thẳng d .

d

BI < CI (gt) nên AB < AC

B

I

C

(theo định lí về các đường
xiên và hình chiếu của chúng)


Trong ABC thì AI còn được gọi là đường
cao . Vậy một tam giác có mấy đường cao ,
chúng có tính chất gì ?
A

d

.

.

.

.

B

I

C

A

B

C


1 . Đường cao của tam giác :
Trong tam giác , đoạn vuông góc kẻ từ
một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh
đối diện của tam giác
gọi là đường cao của tam giác.


A

Trong hình bên , AI là một đường
cao của
ABC
Ta còn nói AI là đường cao xuất phát
từ đỉnh A (của
ABC )

B

I

C

Đôi khi ta cũng gọi đường
thẳng AI là một đường cao
của ABC
Mỗi tam giác có ba đường cao .


1 . Đường cao của tam giác :
A
K

L

Hãy vẽ ba đường cao của tam giác ABC trong
các trường hợp sau
H

H
K
B

I

Ta thấy hình như ba đường
cao cùng đi qua một điểm .
L

A

C

A
H trùng A
B

C

I

B

I

C


2 . Tính chất ba đường cao của tam giác .
Định lí
Ba đường cao trong một tam giác cùng đi qua một điểm .
Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác .
Trong
ABC các đường cao AI ,BK , CL
cùng qua điểm H . H gọi là trực tâm của
ABC
H
A

K
L

K

L

A trùng H

A

H
B

I

C

B

I

C

B

I

C


Từ định lí ta có thể suy ra được :
ABC BK và CL là hai
Trong

đường cao của tam giác , BK và CL
cắt nhau tại H thì H là trực tâm
A

của
K

L
H
B

I

C

ABC

nên AH

BC


Bài 59 sgk

a) Chứng minh NS

b) Khi góc LNP = 500, hãy tính
góc MSP và góc PSQ .

L

Q
S
M

P

LM .

N


Bài 59 sgk
GT : LP MN , MQ

LN

a) Chứng minh NS

LM .

LP và MQ cắt nhau tại S
L
Q
S
M

P

N

Trong ABC hai đường cao MQ
và LP cắt nhau tại S
vậy NS nằm trên đường
cao còn lại (do ba đường
cao trong tam giác đồng
qui ) .
Nên NS

LM


Bài 59 sgk
GT : LP MN , MQ

LN

b) Khi góc LNP = 500, hãy tính
góc MSP và góc PSQ .

LP và MQ cắt nhau tại S
Trong
MSP = 500 L
Q

Trong

v

PSM có

MSP + M

=90 0

có
vQMN

N

+ M

=90 0

S
Vậy MSP = N
M

P

N

= 500 .

Ta có
MSP + PSQ = 1800
PSQ = 1800 - MSP
0
0
0
PSQ = 180 – 50 = 130

2009-2ö

Giao điểm của ba đường trung
tuyến gọi là trọng tâm .

A

F

B

G

D

E

C


2008-2009

Giao điểm của ba đường phân
giác thì cách đều ba cạnh .
A
IM = IH = IK

H
M
I
B

K

C


Giao điểm của ba đường
trung trực thì cách đều ba
đỉnh .

2008-2009

A

OA = OB = OC
O
B

C


3 . Về các đường cao trung tuyến trung trực phân
giác của tam giác cân
A

Cho tam giác ABC cân tại A , hãy vẽ

đường trung trực d của cạnh đáy BC .
CM : d qua đỉnh A .
Hãy nhắc lại tính chất của đường
trung trực của đoạn thẳng .

.
B

I

C

Ta đã có giả thiết gì ?


M thuộc đường trung trực của đoạn PQ thì
MP = MQ

A

Ngược lại , MP = MQ thì M thuộc đường trung
trực của đoạn PQ .
GT : AB = AC , góc B bằng góc C
Ta có :

.
B

I

C

AB = AC (gt) nên A thuộc đường
trung trực của đoạn BC ( theo tính
chất đường trung trực )
Vậy d qua đỉnh A .


Đường trung trực d của đoạn BC qua đỉnh A .
Ta thấy AI còn là
đường gì nữa ?
A
AI còn là đường cao.
AI còn là đường trung tuyến .

.
B

I

C

AI còn là đường phân giác .


A

.
B

I

C

Trong một tam giác cân ,
đường trung trực ứng
với cạnh đáy đồng thời
là đường phân giác ,
đường trung tuyến và
đường cao cùng xuất
phát từ đỉnh đối diện với
cạnh đó .

Tam giác ABC cân tại A , AI là đường trung trực ứng với
cạnh đáy đồng thời là đường phân giác , đường trung
tuyến và đường cao cùng xuất phát từ đỉnh đối diện với
cạnh đó .


Nhận xét ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân ) :
Trong một tam giác , nếu hai trong bốn loại đường
(đường phân giác , đường trung tuyến và đường cao
cùng xuất phát từ một đỉnh và đường trung trực ứng với
cạnh đối diện đỉnh này ) trùng nhau thì tam giác đó là
một tam giác cân .

A

B

I

C


Nhận xét ( dấu hiệu nhận biết tam giác cân ) :
AI là ( một trong các trường hợp sau )
_ Đườngtrung
trungtrực
trực và
_Đường
Ta thấy
đường phân giác
A
đường trung
(Hay
phát
biểu
:
một
tam
giác
_ Đường trung trực và
trực qua đỉnh
có
đường
trung
trực
của
một

đường trung tuyến .
cạnh đi qua đỉnh đối diện thìđã đủ để KL
_ Đường
trung
tam giác cân
tam
giác đó
cântrực
.) và
đường cao .
_ Đường phân giác và đường
C trung tuyến .
B
I
_ Đường phân giác và đường
cao .
_ Đường trung tuyến và
đường cao .
Thì tam giác ABC cân tại A


Trong tam giác đều ,trọng tâm , trực tâm ,
Có thể
tam ,giác
là đều ba
điểm cách
đềuxem
ba đỉnh
điểmđều
cách

không
?.
cạnh là tam
bốngiác
điểmcân
trùng
nhau
A

B

Ta có KL gì về giao điểm của bốn loại
đường trong tam giác đều ?

C

Nhắc lại tên gọi và tính chất của giao
điểm của các loại đường trong tam
giác
Đường trung trực ?
Đường phân giác ?
Đường trung tuyến ?
Đường cao ?


Nắm vững khái niệm và tính chất của bốn
loại đường trong tam giác .
Làm các bài tập 61 , 62 trang 83 sgk và các
bài tập ôn chương .