LTDH ... TÍCH PHÂN HÀM NHỊ PHÂN THỨC

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

Email:

TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC, LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ – LOGARIT DƯỚI “CON
MẮT” CỦA TÍCH PHÂN HÀM NHỊ THỨC
I. Trước khi tìm hiểu về chuyên đề này chúng ta tìm hiểu qua tích phân hàm nhị thức


Có dạng

x

m

(a  bx n ) p dx với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0



Tùy thuộc vào tính chất và mối quan hệ qua lại giữa lũy thừa của m, n, p mà ta có các cách đặt khác nhau.
m 1 m 1
Cụ thể xét bộ ba số p;
;
p
n
n
TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
p

m 1
s
TH 2: Nếu
 Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n
n
r
Đặc biệt
r
- Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bx n
s
r
- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3
s
TPTP hai lần, …
a  bx n
m 1
s
TH 3: Nếu
 p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt
 tr
n
r
xn
Bài tập giải mẫu:
TH 1: Nếu p  Z thì ta đặt x  t q với q là mẫu số chung nhỏ nhất của phân số tối giản của m và n
4

Bài 1: Tính tích phân sau I  
1

dx



x 1 x



Giải:
4

1

4

1


Ta có I  
  x 1  x 2  dx
x
1 x 1
1



dx



1



Nhận xét: m  1, n 

1
, p  1  Z  q  2
2

Cách 1:
Đặt

x  t2
x t
dx  2tdt

www.mathvn.com

1


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
 x  4 t  2
Đổi cận 

x  1

t  1

Email:

2

2
2
2
t
dt
1 
4
1
Khi đó I  2 2
dt  2 
 2  
  2  ln t  ln 1  t   2 ln
t 1 t
t 1 t 
1
3
1 t 1  t 
1 
1
Cách 2:
 x   t  1 2
Đặt 1  x  t  
dx  2  t  1 dt
 x  4 t  3

Đổi cận 

x  1
t  2

3
3
 t  1 dt 3 dt
1
4
 1
I  2

2

2

dt

2
ln
t

1

ln
t
 2ln





2


2
t  1 t
t 1 t 
3
2  t  1 t
2 
2
2

Khi đó

TH 2: Nếu

p
m 1
s
 Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bx n  hoặc t  a  bx n
n
r

Đặc biệt
r
 Z ta chỉ được đặt t  a  bx n
s
r

- Nếu p   Z và p  2,3,... ta có thể sử dụng tích phân từng phần, khi p  2 TPTP một lần, khi p  3
s
TPTP hai lần, …

- Nếu p 

1

Bài 2: (ĐHDB – A 2003 – ĐHNT – 1996) Tính tích phân sau I   x 3 1  x 2 dx
0

Giải:
1

1

Phân tích I   x 3 1  x 2 dx   x 2 1  x 2 .xdx
0

0

1
m 1
Nhận xét: m  3, n  2, p  
 2
2
n
Cách 1:
 x2  1  t 2
Đặt t  1  x 2  

 xdx  tdt

x  1
t  0
Đổi cận 

 x  0 t  1
0

1
2



Khi đó I    t 1  t
1

2

 dt   t 1  t  dt   t
0

1

1
2

2

0

2

t

4



1 
2
1
dt   t 3  t 5  
5  0 15
3

Cách 2:

www.mathvn.com

2


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
x2  1  t

2

Đặt t  1  x  
dt
 xdx  

2
x

1
t

0


Đổi cận 

 x  0 t  1

Email:

1

0 1
1 1
1
1
3
3
3

1 2

1 2
1  2
12 2 2 2 
2
2
Khi đó I    t 1  t  dt   t 1  t  dt    t  t dt   t  t  
21
20
2 0
23
3 
15

0
Cách 4:
Đặt x  cos t  dx   sin tdt


2


2

0

0

Khi đó I   sin 2 t cos 3 tdt   sin 2 t 1  sin 2 t  cos tdt
Cách 4.1.
Đặt sin t  u  cos tdt  du

Khi đó
1
1
 u 3 u5  1 2
I   u 2 (1  u 2 )du    u 2  u 4  du     
5  0 15
 3
0
0
Cách 4.2.


2
2



2


2



I   sin t 1  sin t d  sin t   
0

0




 sin 3 t sin 5 t 
2
sin t  sin t d  sin t   

 2 .
5 
15
 3
0
2

4



Cách 4.3.








12
1 2 1  cos 4t
12
12

I   sin 2 2t costdt  
cos tdt   cos tdt    cos 4t cos tdt
40
40
2
80
80
Cách 5:
1
1
1
1
I    x2 1  x 2 d 1  x 2   1  x2  1 1  x 2 d 1  x 2
20
20



1

1
  1  x2
20





1

3
2

1
d 1  x   1  x2
20
dt
Cách 3: Đặt t  x 2 
 xdx
2



 

2





7

Bài 3: Tính tích phân I 


0



1
2





 d 1  x 
2

x 3 dx
3

x2  1

Giải :

 x2  t 3  1

Cách 1: Đặt t  x  1  
3 2
 xdx  t dt

2
3

www.mathvn.com

2

3


Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
t  2
 x  7
Đổi cận 

 x  0
t  1
7

Khi đó I 


0

www.MATHVN.com

Email:

3
2
2
2
3  t  1 .t dt 3
3  t 5 t 2  2 93
4
 

   t  t  dt     
t
21
2  5 2  1 10
x2  1 2 1

x 2 .xdx
3

Cách 2:

x2  t  1

Đặt t  x 2  1  
dt
 xdx 

2
t  8
 x  7
Đổi cận 

t  1
 x  0
2
1
5
2
8
8

1  t  1 dt 1  3  3 
13 3 3 3  8
Khi đó I  
   t  t  dt   t  t 
1
21
2 1
25
2 1

3
t
2
x3
x
Cách 3: Phân tích x 3  x  x 2  1  x 
 x  x 2  1 3 
3 2
3 2
x 1
x 1
Cách 4: Sử dụng tích phân từng phần
u  x 2
du  2 xdx


2
3
Đặt 
3 2

x
1 d  x  1  
2
v

x

1
dv

dx





3 2
3 2

4
2
x 1
x 1

4

Bài 4: (ĐHAN – 1999) Tính tích phân I 

x
7

dx
x2  9

Giải:
Phân tích
4

I

x
7

4

dx
x2  9



 x x
1

2

1
2

 9  dx

7

Nhận xét: m  1, n  2, p  

1
m 1

 0
2
n

 x2  t 2  9
Đặt t  x 2  9  
 xdx  tdt
t  5
 x  4
Đổi cận 

t  4
 x  7
4

Khi đó I 

x
7

xdx
2

x2  9

5

5
tdt
dt
1 t 3 5 1 7


ln
 ln
2

2
6
t

3
4
6 4
t
(
t

9)
t

9
4

4



Cách 2:

www.mathvn.com

4


www.MATHVN.com Email:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
x2  t  9

2
Đặt t  x  9  
dt
 xdx 

2
25
1
dt
Khi đó I  
... đến đây liệu ta có thể làm được không, có thể đó bằng cách đặt
1
2 16
2

t  9 t
1
u 2  t
… bạn đọc giải tiếp nhé
u  t2  
2udu  dt

1

6

Bài 5: (ĐH KTQD – 1997) Tính tích phân sau: I   x5 1  x3  dx
0

Giải:
1

I   x 1  x
5

3 6



1

6

dx   x 3 1  x 3  x 2 dx

0

0

Nhận xét: m  5, n  3, p  6  Z 

m 1
 0
n

Cách 1:

 dt
2
  x dx
Đặt t  1  x   3
 x3  1  t

3

x  1
t  0
Đổi cận 

 x  0 t  1
0
1
1
1 6
1 6

1 6 7
1  t 7 t8 
1
Khi đó I    t 1  t dt   t 1  t dt    t  t dt     
31
30
30
3  7 8  168
Cách 2:
1

6

1

6

1

6

1

7

I   x5 1  x3  dx   x 2 1  1  x 3   1  x3  dx   x 2 1  x 3  dx   x 2 1  x 3  dx
0

0

0

0

6
7
1
1 1  x
   1  x3  d 1  x 3    1  x3  d 1  x3    .
30
3
7
0
1

1

3 7



1 1  x
 .
0 3
8

1

3 8



1
0



1
168

2
2

Bài 6: (SGK – T 112) Tính tích phân sau I   x  x  1 dx
0

Giải:
Cách 1: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
du  2  x  1 dx
u   x  12

Đặt 

x2
dv

xdx
v





2
2
2
2
 x 4 x 3  2 34
2 x 2
2
Khi đó I   x  1
  x  x  1 dx  6    x 3  x   dx  6     
2 0 0
3 0 3
 4
0

www.mathvn.com

5


www.MATHVN.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Cách 2:
x  t  1
Đặt t  x  1  
dx  dt
 x  2 t  3
Đổi cận 


 x  0 t  1
Khi đó
3
3
 t 4 t 3  3 34
2
I    t  1 t dt    t 3  t 2  dt     
 4 3 1 3
1
1
Cách 3: Sử dụng phương pháp phân tích
2
Ta có x  x  1  x  x 2  2 x  1  x 3  2 x 2  x

Email:

2
 x 4 2 x 3 x 2  2 34
Khi đó I    x3  2 x 2  x  dx   
  
3
2 0 3
 4
0
Cách 4: Sử dụng phương pháp đưa vào vi phân
2
2
3
2

Ta có x  x  1   x  1  1  x  1   x  1   x  1

2

2

2

3

2

2

3

2

Khi đó I    x  1 dx    x  1 dx    x  1 d  x  1    x  1 d  x  1 
0

TH 3: Nếu

0

0

 x  1
4

0

4



 x  1

3

3



34
3

a  bx n
m 1
s
 p  Z , p  , r , s  Z  thì ta đặt
 tr
n
r
xn
2

Bài 7: Tính tích phân sau I  
1

dx
x 4 1  x2

Giải:
Nhận xét: m  2; n  2; p 

x2  1 2
1
m 1

 p  2  Z nên đặt
t
2
n
x2

1
 2
x  2

t 1
1  x2

Đặt
 t2  
2
tdt
x
 xdx  
2


 t 2  1

5
 x  2 t 
Đổi cận 

2
x  1
t  2

Ta có
2

I
1

dx
x4 1  x2

2


1

www.mathvn.com

dx
x6

1
1
x2

5
2




2

t

2

 1
t

3

.

2

tdt

t

2

 1

 t3

   t  1 dt    t 
3

5
2

2

2

2
5
2

7 5 8 2
24

6


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
1

Bài 8: Tính tích phân sau: I  

Email:

1
3 3

x  x 
x4

1
3

dx .

HD:
1

1

1

1
 1
3 1
Ta có I    2  1 . 3 dx   x 3  1  x 2  3 dx
 x
1 x
1

3

3

1
m 1
Nhận xét: m  3, n  2, p  
 1 Z
3
n
1
dt dx
Đặt t  2  1    3 ….  I  6 bạn đọc tự giải
2 x
x
3

Bài 9: Tính tích phân sau I 

dx



(1  x 2 )3

3
2

Giải :
Ta có m  0; n  2; p 

3
m 1

 p  1  Z
2
n

 1
2
 t 2  1  x
x 1 2
Đặt
t 
x2
 xdx  tdt
(t 2  1) 2

2

x  3
 2 3

t 
Đổi cận 
3
3 
x 
t  3


2

3

Khi đó I 


3
2

3
dt
1
1
 
  2  2 3 
2
2
1
t
2
2
2 3
(1  x ) 1  x
2 3 (t  1) .
.t 2 .t 2 3 t
2
2
x4.
.

3
2
3
3
(t  1)
x
x
3

xdx

3

tdt

Bài tập tự giải:
2

Bài 1: (ĐHSP II HN – A 2000) Tính tích phân I  
1

dx
x x3  1

HD:
Đặt t  x3  1  dt 

3x2
2 x3  1

dx 

dx
x x3  1



4

Bài 2: (ĐHAN – A 1999) Tính tích phân I 

x
7

www.mathvn.com

dt
t 1
2

dx
x2  1



1 7
ln
6 4

7

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

2

Bài 3: (ĐHBKHN – 1995) Tính tích phân I 



dx
x x2  1

2

Email:


12



3

Cách 1:
Đặt t  x 2  1  dt 

x

dx 

dx

xdx



x2  1
x x2  1 x2 x2  1
1
dx
 
Cách 2: Đặt t 
, t   0;  
 dt
cos t
 2
x x2  1
1
1
 π
C1: Đặt x 
với t   0;  hoặc x 
cos t
sin t
 2



dt

 dt
và t  tanu ,   u  , 2
 du .
2
2 t 1
t 1
2

C2: Đặt x 2  1  t
C3: Đặt x 2  1  t
1
C4: Đặt x 
t
C5: Phân tích 1    x 2  1  x 2 
1

Bài 4: Tính tích phân I 



1

x3
x2  1

dx  0

C1: Đặt x  tan t
C2: Phân tích x 3  x  x 2  1  x
u  x 2

C3: Đặt 
x
dx
dv 
2
x

1

C4: Đặt x  t
C5: Phân tích x 3 dx  x 2 xdx   x 2  1  1 d  x 2  1
7

Bài 5: (ĐHTM – 1997) Tính tích phân I 


0

x3
3

1 x

2

2

dx 
x4

Bài 6: (CĐKT KT I – 2004) Tính tích phân I  

x5  1

0

141
20
dx

3

Bài 7: (CĐ Hàng hải – 2007) Tính tích phân I   x 3 x 2  1 dx 
1

14 3
5

9

Bài 8: (CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006) Tính tích phân I   x. 3 1  x dx  
1
1

468

7

2 2 1
3

Bài 9: (CĐ Nông Lâm – 2006) Tính tích phân I   x x 2  1dx 
0

3

Bài 10: (CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005) Tính tích phân I 


0

www.mathvn.com

x 3  1.x5 dx 

848
105

8


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

1

Bài 11: (CĐ Khối A, B – 2005) Tính tích phân I   x3 . x 2  3dx 
0

1

Bài 12: (CĐ GTVT – 2005) Tính tích phân I   x5 1  x 2 dx 
0

Email:
6 3 8
5

8
105

1

x
1
dx  ln 2
2
2
0 1 x

Bài 13: (ĐH Hải Phòng – 2006) Tính tích phân I  
1

2

3 32 2
9
0
Bài 15: (CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007) Tính tích phân



Bài 14: Tính tích phân I   x 2 2  x 3 dx 
3

I

dx

 x x
2

2

1

 1

 1



3 

3 12

2 3

Bài 16: Tính tích phân I 


3

dx
x2 x 2  1



2
3



3
2 2

b. Tích phân hàm phân thức, lượng giác, mũ – loga dưới “con mắt” của tích phân hàm nhị phân thức


p

Mở rộng I   u m  x   a  bu n  x   d u  x   với với a, b  R  , m, n, p  Q, n, p  0


Và cụ thể hóa trường hợp 2 như sau
p

m 1
s
Nếu
 Z , p  , r , s  Z  ,  r , s   1 ta đặt t   a  bu n  x   hoặc t  a  bu n  x 
n
r
r
Đặc biệt : Nếu p   Z ta chỉ được đặt t  a  bu n  x 
s
Ta xét các thí dụ sau đây
ln 5

Thí dụ 1. (ĐH DB – B 2003) Tính tích phân sau I 


ln 2

e2 x
ex  1

dx

Lời giải.
ln 5

Ta có I 



e2 x

x

ln 5

dx 

 

e x 1  e x





1
2

de x thì đây chính là tích phân nhị thức với

e 1
ln 2
1
m 1
m  n  1, p   
 2  Z và u  x   e x
2
n
x
e  t 2  1
x

2
Đặt e  1  t   x
e dx  2tdt
 x  ln 5
t  2
Đổi cận 

 x  ln 2 t  1
2 t 2  1 tdt
2
2 20
2 2
Khi đó I  2 
 2  t 2  1 dt  t 3  2t 
1 3
t
3 1
1
1
ln 2



www.mathvn.com







9


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Cách khác: Đặt e x  1  t

e

Thí dụ 2. (ĐH – B 2004 ) Tính tích phân sau I  
1

Email:

1  3ln x .ln x
dx
x

Lời giải.
e

e

1
1  3ln x .ln x
dx   ln x 1  3ln x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
x

1
1
1
m 1
m  n  1, p  
 2  Z và u  x   ln x
2
n

t2 1
ln
x


3
Đặt 1  3ln x  t 2  
 dx  2 tdt
 x 3
 x  e t  2
Đổi cận 

x  1
t  1
2
2
2 t2 1 2
2
2  t 5 t 3  2 116
Khi đó I  
t dt   (t 4 t 2 )dt     

31 3
91
9  5 3  1 135

Ta có I  

Cách khác: t  1  3ln x
e

ln x. 3 2  ln 2 x
dx
x
1

Thí dụ 3. (PVBCTT – 1999) Tính tích phân sau I  
Lời giải.
e

e

1
ln x. 3 2  ln 2 x
dx   ln x 1  ln 2 x  3 d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
x
1
1
1
m 1
m  1, n  2, p  
 1  Z và u  x   ln x

3
n

Ta có I  

3 2
ln x
t dt 
dx
2
x
 x  e t  3 3
Đổi cận 

x  1
t  3 2

Đặt t 3  2  ln 2 x 

3

3

3

3

3
3 3
3 t4

2
Khi đó I   t.t dt   t dt  .
232
2 32
2 4

3
3

3
2



3 3
3 3  23 2
8





Cách khác: Đặt 2  ln 2 x  t
e

Thí dụ 4. (ĐH – B 2010) Tính tích phân sau I  
1

ln x
x  2  ln x 

2

dx

Lời giải.

www.mathvn.com

10


www.MATHVN.com Email:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
e
2
ln x
2
Ta có I  
dx   ln x  2  ln x  d  ln x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
2
1 x  2  ln x 
1
m 1
 2  Z , p  2  Z và u  x   ln x
n
ln x  t  2

Đặt t  2  ln x   dx

 x  dt
m  1, n  1, 

3

Khi đó I  

t  2
t

2

2

3

1 2
dt     2
t
2t

2 3
3 1


dt   ln t    ln 
t2
2 3



ln 3

Thí dụ 5. (ĐHDB – 2002) Tính tích phân sau I 


0

e x dx

e

x

3



1

Lời giải.
ln 3

Ta có I 

ln 3

e x dx



e

0

x



1

3



 e

x



1



1
3

de x thì đây chính là tích phân nhị thức với

0

1
m 1

 1  Z và u  x   e x
2
n
2
x
Đặt t  e  1  2tdt  e x dx  dx  2tdt
2
tdt
12
Khi đó I  2  3  2.
 2 1
t
t
2
2
m  0, n  1, p  

2

Thí dụ 6. Tính tích phân sau I  
1

dx
x  x3
5

Lời giải.
2

2

dx
Ta có I   5
  x 3 1  x 2
3
1 x  x
1



x2

Đặt t  x 2  1   dt

2
x

2

t
Đổi cận 

x  1
t
2

Ta có I  
1



5
2



x x 1
5

Khi đó I  
2

dt
t  t  1

www.mathvn.com

2

dx đây là tích phân nhị thức với m  3, n  2, p  1  Z

 xdx

2

2

1

 t 1

1
3



dx  
1

x
x

4

x

2



1

dx

5
1  1

1
1
1 1
t 5 3
1 5
 


 ln
 dt   
 2   ln 2  ln
2
2 2   t  1
t 1 t 
2  t 1
t 1 
8
2 2



11


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498
Thí dụ 7. Tìm nguyên hàm: I  

Email:

x 2 dx
39

1  x 

Lời giải.
Ta có I  

x 2 dx

1  x 

39

  x 2 1  x 

39

dx đây là tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  39  Z 

m 1
 3 Z
n

Đặt t  1  x  x  1  t  dx   dt
Khi đó
2
1  t  dt

1
1
1
1 1
2 1
1 1
I  
   39 dt  2  38 dt   37 dt 


 C với t  1  x
39
38
37
38 t
37 t
36 t 36
t
t
t
t

2

sin 2 x.cos x
dx
1  cos x
0

Thí dụ 8. (ĐH – B 2005) Tính tích phân sau I  

Lời giải.
Phân tích

2





2
2
sin 2 x.cos x
sin x.cos 2 x
1
I
dx  2 
dx  2  cos 2 x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức
1  cos x
1  cos x
0
0
0

với m  2, n  1, p  1  Z và u  x   cos x
dt   sin xdx
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1


t  1

x 
Đổi cận 
2 
t  2
 x  0
1

Khi đó I  2 
2

 t  1
t

2

2
 t2
1

dt  2   t  2   dt  2   2t  ln t
t
2
1


2

2
  2 ln 2  1
1

2

Thí dụ 9. (ĐHTS – 1999) Tính tích phân sau I   sin x cos x 1  cos x  dx
0

Lời giải.

2

2


2

2

Ta có I   sin x cos x 1  cos x  dx    cos x 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tích phân nhị thức với
0

0

m  1, n  1, p  2  Z và u  x   cos x
sin xdx   dt
Đặt t  1  cos x  
cos x  t  1

www.mathvn.com

12

www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498


t  1
x 
Đổi cận 
2 
t  2
 x  0

Email:

1
2
 t 4 t 3  2 17
Khi đó I     t  1 t 2 dt    t 3  t 2  dt     
 4 3  1 12
2
1
Nhận xét: Nếu gặp tích phân là tổng (hiệu) của hai tích phân nhị thức mà có cùng cách đặt thì ta vẫn tính như
trong lý thuyết


2

Thí dụ 10. (ĐH – A 2005) Tính tích phân sau I  

0

sin 2 x  sin x
1  3cos x

dx

Lời giải.

2

Ta có I  
0

sin x  2 cos x  1
1  3cos x


2


2

1

2



1

dx    2 cos x 1  3cos x  d  cos x    1  3cos x  2 d  cos x 
0
0




I1

I2

Nhận xét: Đây chính là tổng của hai nhị thức u  x   cos x với I1 ta có m  n  1 

m 1
 2  Z và với I 2
n

m 1
 1 Z .
n
Vậy chung qui lại ta có thể

t2 1
cos
x


3
Đặt 1  3cos x  t 2  

2dt
 sin x
dx  
 1  3cos x
3

ta có m  0, n  1 



t  1
x 
Đổi cận 
2 
t  2
 x  0
2
 4t 2 2 
2  2 34
 4
Khi đó I   
  dt   t 3  t  
9
9
9  1 27
 27
1

2

sin 3 x
dx
1  cos x
0

Thí dụ 11. (ĐHQG HCM – B 1997) Tính tích phân sau I  
Lời giải.

2


2

3


2

sin 3 x
3sin x  4sin x
1
dx  
dx     4cos 2 x  1 1  cos x  d  cos x  thì đây chính là tổng của
1  cos x
1  cos x
0
0
0

Ta có I  

hai tích phân nhị thức tích phân nhị thức với m  2, n  1, p  1  Z 

m 1
 3  Z và u  x   cos x nên ta
n

cos x  t  1
đặt t  1  cos x  
 dt  sin xdx

www.mathvn.com

13


www.MATHVN.com Email:
Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498


t  1
x 
Đổi cận 
2 
t  2
 x  0
2
1
2

4  t  1  1
2
3


Khi đó I   
dt    4t   8  dt   2t 2  3ln t  8t   3ln 2  2
1
t
t

2
1

Để kết thúc bài viết này mời các bạn tự giải các tích phân sau
e3

Bài 1: (ĐHDB – D 2005) Tính tích phân sau I 

ln 2 x

x

ln x  1

1

ln 2

Bài 2: (ĐHBK – 2000) Tính tích phân sau I 

e



Bài 3: (ĐHHH – 98) Tính tích phân I =

 x.
1

dx 

e 1

ln x

dx 

1  ln x
e

Bài 4: (ĐHDB 2 – 2006) Tính tích phân sau I 

2x

x

0

e

dx 

x

76
15

2 2
3

42 2
3

3  2 ln x

dx 

10 2  11
3

1  2 ln x
ln x
1
Bài 5: (ĐHCT – 1999) Tính tích phân sau I  
dx  (ln 2  1)
2
2
1 x  ln x  1
1

e

e

Bài 7: Tính tích phân sau I  
1

log 32 x
2

dx 

x 1  3ln x

4
27 ln 3 2

ln 8

Bài 8: (ĐHDB – 2004) Tính tích phân sau I 



ln 8

e x  1.e 2 x dx 

ln 3

e

ln 5

Bài 9: Tính tích phân sau I 


ln 2

x

 1 e
ex  1



e x  1.e x .e x dx

ln 3

x

dx

2

sin 4 x
3
dx  2  6 ln
2

4
0 1  cos x

Bài 10: (HVNH TPHCM – D 2000) Tính tích phân sau I  

2

3

Bài 11: Tính tích phân sau I   sin 2 x 1  sin 2 x  dx 
0

15
4


2

sin x cos 3 x
dx
2
1

cos
x
0

Bài 12: (ĐH BCVT – 1997) Tính tích phân sau I  

6

sin 3 x  sin 3 3 x
1 1
dx    ln 2
1  cos 3 x
6 3
0

Bài 13: Tính tích phân I  

www.mathvn.com

14


www.MATHVN.com

Giáo viên: Nguyễn Thành Long
DĐ: 01694 013 498

3

Bài 14: (ĐHDB – B 2004) Tính tích phân sau I 

dx

 xx
0

3

 ln

Email:

6
2

3

Bài 15: Tìm nguyên hàm I  

x dx
1 1
3 1
3 1
1 1




C
10
6
7
8
6 ( x  1)
7 ( x  1)
8 ( x  1)
9 ( x  1)9

( x  1)

Góp ý theo địa chỉ Email: hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa

www.mathvn.com

15