LTDH TICH PHAN

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
CHUYÊN ĐỀ 1: DIỆN TÍCH CỦA HÌNH PHẲNG
I. Lý thuyết:
1. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b]. Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và
hai đường thẳng x = a và x = b là
S =
∫
b
a
dxxf |)(|
2. Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên [a; b]. Diện tích giới hạn bởi y = f(x), y = g(x) và hai
đường thẳng x = a, x = b là
S =
∫
−
b
a
dxxgxf |)()(|
II. Các dạng toán thường gặp:
Phương pháp giải:
+ Diện tích cần tìm là S =
∫
b
a
dxxf |)(|
+ Xét dấu f(x) trên [a; b]
S =
∫
b
a
dxxf |)(|

+ Nếu f(x) không đổi dấu trên [a; b] thì
S =
∫
b
a
dxxf )(
+ Nếu f(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = α; x = β (α <β ) thì
S =
∫∫∫
++
b
a
dxxfdxxfdxxf
β
β
α
α
|)(||)(||)(|
Giải:
+ Diện tích cần tìm S =
∫
2
0
32
|cossin|
π
dxxx
Với mọi x ∈ [0;
2
π

] thì cosx ≥ 0, do đó
S =
∫
2
0
32
cossin
π
xdxx
* Tính S:
Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx
1
Ví dụ1 (ĐHBK HN – 2000). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = sin
2
xcos
3
x; y = 0 và x = 0; x =
2
π
.
Bài toán 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x), trục Ox và x = a, x = b.
Đổi cận
1
2
00
=⇒=
=⇒=
tx
tx
π

Khi đó S =
dttt )1(
2
1
0
2
−
∫
=
dttt )1(
2
1
0
2
−
∫
=
1
0
53
)
5
1
3
1
( tt
−
=
15
2

(đvdt).
Giải:
Diện tích cần tìm S =
∫
−
2
1
dxxe
x

∫∫
+−=
−
2
0
0
1
dxxedxxe
xx
Tính A =
∫
−
0
1
dxxe
x
Đặt




=
=
⇒



=
=
xx
ev
dxdu
dxedv
xu
A =
∫
−
−
−
0
1
0
1
dxexe
xx
=
0
1
1
−
−

x
e
e
=
1
2
−
e
Tính B =
∫
2
0
dxxe
x
Đặt



=
=
⇒



=
=
xx
ev
dxdu
dxedv

xu
B =
∫
−
2
0
2
0
dxexe
xx
=
2
0
2
2
x
ee
−
=
1
2
+
e
.
Vậy S = - A + B =
2
2
2
+−
e

e
(đvdt).
Giải:
Diện tích cần tìm là
2
Ví dụ 2 (HVBCVT HN – 2001 - 2002). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x
x
e
; y = 0 và x = -1; x = e.
Ví dụ 3 (ĐH Huế - 1999) Tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi y =
x
x
2
ln
, y = 0 và x = 1;
x = e.
S =
∫
e
dx
x
x
1
2
ln
Với mọi x ∈ [1; e] ⇒ lnx ≥ 0, do đó
S =
∫
e
dx

x
x
1
2
ln
Tính S: Đặt





=
=
⇒





=
=
xv
x
dx
du
dx
x
dv
xu
2

1
ln
S =
.22ln
1
1
2/1
1
1
exedxxe
x
dx
xx
e
ee
e
−=−=−=−
∫∫
−
(đvdt).
Giải:
Diện tích cần tìm là:
S =
∫
−
−
2
1
2
2 dxxx

Xét dấu f(x) = x
2
– 2x trên [-1; 2]
f(x) = 0 khi x = 0 và x = 2.
x -1 0 2
f(x) + 0 - 0
Khi đó: S =
∫∫
−−−
−
2
0
2
0
1
2
)2()2( dxxxdxxx
=
2
0
23
0
1
23
3
1
3
1







−−






−
−
xxxx
=
3
8
(đvdt).
Giải:
Diện tích cần tìm: S =
dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
Với mọi x ∈[1; e] ⇒ lnx ≥ 0. do đó:
S =

dx
x
x
e
∫
+
1
ln1
Tính S: Đặt t =
xln1
+
⇒ t
2
= 1 + lnx ⇒ 2tdt =
x
dx

Đổi cận
2
11
=⇒=
=⇒=
tex
tx
3
Ví dụ 4 (ĐHTN – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x
2
– 2x; y = 0; x = -1 và x = 2.
Ví dụ 5 (ĐH Huế 2000 – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =
x

xln1
+
; y = 0 và x = 1; x = e.
S =
)122(
3
2
3
2
2
2
3
2
1
2
1
−==
∫
tdtt
(đvdt).
Giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và Ox:
2
1 xx
+
= 0 ⇔ x = 0.
Diện tích cần tính là:
S =
dxxxdxxx
∫∫

+=+
1
0
2
1
0
2
11
=
)122(
3
1
)1(
3
1
)1()1(
1
0
32
1
0
22/12
−=+=++
∫
xxdx
(đvdt).
Phương pháp giải:
+ Diện tích cần tìm S =
∫
−

b
a
dxxgxf )()(
.
+ Xét dấu: f(x) – g(x) trên [a; b]
Nếu f(x) – g(x) không đổi dấu trên [a; b] thì
S =
∫
−
b
a
dxxgxf )()(
Nếu f(x) – g(x) đổi dấu trên [a; b], giả sử PT f(x) – g(x) có nghiệm x = α; x = β (α < β) thì
S =
∫∫∫
−+−+−
b
a
dxxgxfdxxgxfdxxgxf
β
β
α
α
)()()()()()(
Giải:
Diện tích cần tìm S =
∫ ∫
+=+−+
π π
0 0

22
sinsin)cos1()sin2( dxxxdxxx
=
∫ ∫ ∫
+−=+
π π π
0 0 0
2
sin)2cos1(
2
1
)sin(sin xdxdxxdxxx
=
2
2
cos2sin
2
1
2
1
0
0
+=−






−

π
π
π
xxx
(đvdt).
Giải:
Diện tích cần tìm S =
∫
−
3
6
22
cos
1
sin
1
π
π
dx
xx
4
Ví dụ 6 (HVNH TPHCM 1999) Tính diện tích của miền giới hạn bởi (C) y =
2
1 xx
+
, trục Ox và x = 1.
Ví dụ 1 (ĐHTCKT – 2001) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2 + sinx và y = 1 + cos
2
x với x ∈ [0; π].
Ví dụ 2 (HVKTQS – 2000) Tính diện tích hình phẳng y =

x
2
sin
1
; y =
x
2
cos
1
và x =
6
π
; x =
3
π
.
Bài toán 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = g(x); x = a và x = b.
Xét dấu f(x) =
xx
22
cos
1
sin
1
−
với x ∈







3
;
6
ππ
Trên đoạn






3
;
6
ππ
ta có f(x) = 0 khi x =
4
π
.
Dấu của f(x)
x
π/6 π/4 π/3
f(x) + 0 -
Khi đó S =
∫ ∫







−−






−
4
6
3
4
2222
cos
1
sin
1
cos
1
sin
1
π
π
π
π
dx
xx

dx
xx
=
( ) ( )
4
3
38
tancottancot
3
4
4
6
−=−−−−−
π
π
π
π
xxxx
(đvdt).
Giải:
Xét PT: 2
x
= 3 – x ⇔ 2
x
+ x – 3 = 0 (1)
Xét hàm số f(x) = 2
x
+ x – 3 ta có f’(x) = 2
x
ln2 + 1 > 0, ∀x ∈ R ⇒ f(x) đồng biến trên R.

Mà f(1) = 0 ⇒ PT(1) có nghiệm duy nhất x = 1.
Ta có diện tích cần tính S =
( )
∫
−=








−+=−−
1
0
1
0
2
2ln
1
2
5
3
22ln
2
32 x
x
dxx
x

x
(đvdt).
Chú ý: Bài toán tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f(x); y = 0 và x = a. Khi đó ta chỉ cần giải PT
f(x) = 0 để tìm cận còn lại.
Giải:
Xét phương trình:
x
=x ⇔
1
1;0
0
0
2
=⇒



==
≥
⇔



=
≥
x
xx
x
xx
x

.
Vẽ hình:
5
1
Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y =
x
; y = x; x = 4.
Ví dụ 3 (HVBCVT – 1999) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = 2
x
; y = 3 – x và x = 0.
S =
∫∫
−+−
4
1
1
0
)()( dxxxdxxx
=
4
1
32
1
0
23
3
2
2
1
2

1
3
2






−+






−
xxxx
= 3 (đvdt).
Phương pháp:
• Xét phương trình: f(x) = g(x) có nghiệm x
1
< x
2
< x
3
< …< x
n
.
• Diện tích cần tìm là:

• S =
.)()(...)()()()(
1
3
2
2
1
∫∫∫
−
−++−+−
n
n
x
x
x
x
x
x
dxxgxfdxxgxfdxxgxf
Giải:
Xét PT: (e + 1)x = (1 + e
x
)x ⇔ x(e
x
– e)= 0 ⇔ x = 0 v x = 1.
Khi đó diện tích cần tìm
S =
∫∫
−=+−+
1

0
1
0
)1()1( dxxeexdxxexe
xx
=
.
22
)(
1
0
1
0
2
1
0
I
e
dxxex
e
dxxeex
xx
−=−=−
∫∫
Tính I: Đặt



=
=

⇒



=
=
xx
ev
dxdu
dxedv
xu
I =
1
1
0
1
0
1
0
=−=−
∫
xxx
eedxexe
Vậy S =
1
2
−
e
(đvdt).
Giải:

Xét phương trình
|x
2
– 4x + 3| = x + 3 ⇔



+=+−
≥+
222
)3()34(
03
xxx
x

6
Ví dụ 1 (ĐH-CĐ khối A 2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = (e + 1)x; y = (1 + e
x
)x.
Ví dụ 2 (ĐHCĐ khối A) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = |x
2
-4x+3| và y = x + 3.
Bài toán 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x) và y = g(x).