Diện tích hình phẳng

ζ 4 – Ứng Dụng Hình Học & Vật
Lý
Của Tích Phân

A – Diện Tích Hình
Giáo Viên:BÙPhẳng
I HUY THỐNG


Diện Tích Hình Phẳng
Phần 1: Kiểm Tra Bài Cũ
2)Công thức:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng
x = a; x = b và đồ thò của hai hàm số

Liên tục trên

y = f1 ( x ); y = f2 ( x )
được tính theo công thức

[ a, b ]

b

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (1)
a


Diện Tích Hình Phẳng
Phần 2: Nội Dung Bài Mới

3.Tính diện tích hình phẳng theo cơng thức :
b

S = ∫ f1 ( x ) − f2 ( x ) dx (1)
a


Diện Tích Hình Phẳng
4) Các Ví Dụ:

a)

Ví Dụ 1:

Tính diện tích hình phẳng nằm giữa (c) : y = x3 ;
y=0;x=-1;x=2


Giaûi

Ñaët

f (x) = x3
1
f (x) =0
2

f (x) – f (x) =0
1
2

x3 – 0 = 0

⇔x = 0

∈ [ −1;2]

⇔
S =

0

∫(

)

x 3 − 0 dx +

−1

4

0

2

∫(
0

4

2

 x 
 x 
= 
+ 
÷
÷
 4  −1
 4 0
1
16
17
= −
+
=
4
4
4

ñvdt

)

x 3 − 0 dx


Diện Tích Hình Phẳng
b) Ví dụ 2 :

Tính diện tích hình phẳng nằm giữa hai đường
f (x) = x3 -3x và f (x) = x
1
2


Giaûi

f1 ( x ) − f2 ( x ) = 0 ⇔ x 3 − 3 x − x = 0
 x = −2

3
⇔ x − 4x = 0 ⇔  x = 0
 x = 2
2

S =

∫

x 3 − 4 x dx

−2
0

=

∫(

x3 − 4x

−2

4

)

dx +

2

∫(

x3 − 4x

0

0

)

4

dx
2

 x
 x
2 
2 

= 
− 2x ÷
+ 
− 2x ÷
 4
 −2
 4
0
= −4 + 8 + 4 − 8 = 4 + 4 = 8 ñvdt


Diện Tích Hình Phẳng
5 ) Chú ý :
a) Chú ý 1 : Diện tích hình phẳng giới hạn
bởi nhiều đường
Vẽ các đường lên một hệ trục tọa độ
Chia diện tích ra nhiều vùng nhỏ và sử
dụng công thức (3)


Diện Tích Hình Phẳng
Ví dụ :
Cho (c) : y = -x2 + 4x – 3
a) Vẽ (c) trong mặt phẳng oxy
b) Viết phương trình tiếp tuyến (T ) và (T ) với (c) lần lượt tại các điểm M (0 ; -3 ) và N (3 ; 0)
1
2
c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (c) và (T ), (T )
1
2

Giaûi

a)

Ñænh S ( 2 , 1 )

x = 1
y = 0 ⇔ −x + 4x − 3 = 0 ⇔ 
x =3

x = 0 ⇒ y = −3
2

x = 0
y = −3 ⇒ 
x = 4


b) Ta coù y’= -2x + 4
Tieáp tuyeán (T1) vôùi (c) taïi
M coù phöông trình :

y + 3 = 4( x − 0) ⇔ y = 4 x − 3

Tieáp tuyeán (T2) vôùi (c) taïi N
coù phöông trình :

y − 0 = −2( x − 3) ⇔ y = −2 x + 6

c)

3
2

3

0

2

S = ∫  4 x − 3 − ( − x 2 + 4 x − 3)  dx + ∫  −2 x + 6 − ( − x 2 + 4 x − 3 )  dx
3
=

3
2

2
−
x
∫ dx +
0

3

3
2

3

∫( x
3
2

3

2

)

− 6 x + 9 dx
3

 x 
x

=  − ÷ +  − 3x + 9 x ÷
 3 0  3
 23
9
=
4

ñvdt


Diện Tích Hình Phẳng

b) Chú ý 2 :
Khi diện tích S ở vò trí phức tạp ta dùng tính chất:
Diện tích S bất biến qua một phép dời hình
Ví dụ :

Tính diện tích hình tròn tâm tùy ý và bán kính R


Giải

Mọi đường tròn có tâm tùy ý và bán kính R đều có cùng
diện tích. Nên ta cần tính diện tích của đường tròn (c)
tâm O bán kính R là đủ
(c) : x2 +y2 =R2 (1)

(c) = (c1 ) ∪ (c2 )

 x = −R
f1 ( x ) − f2 ( x ) = 0 ⇔ 
x = R

S=

∫(
R

2

2

=2

∫

−R

2

2

)

R − x + R − x dx

−R
R

dx = R cos tdt

Ta Có

 y = f ( x ) = R 2 − x 2 (c )
1
1
(1) ⇔ 
( −R ≤ x ≤ R)
2
2
 y = f ( x ) = − R − x (c )


2
2

R 2 − x 2 dx

 π π
t ∈ − , 
 2 2

Đặt x = R sint; Với

π
x = − R ⇒ sin t = −1 ⇒ t = −
2
π
x = R ⇒ sin t = 1 ⇒ t =
2
S=2

π
2

∫

− π2

= 2R2

π
2

∫

(

)

R 2 1 − sin 2 t R cos tdt

cos2 tdt = 2 R 2

− π2

π
2

1 + cos 2t
∫− π 2 dt
2

π
2

 sin 2t 
2
= R2  t +
=
π
R
dvdt

÷
2  −π

2