Ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng

GV Nguyễn Thành Tín GT12-NC Trường THPT Nguyễn Du

ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
ðỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Tiết:68
I/MỤC TIÊU:
1.Kiến thức:
-Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các ñồ thị hàm số và hai ñường thẳng vuông góc
với trục hoành.
2.Kĩ năng:
-Ghi nhớ và vận dụng các công thức trên vào việc giải các bài toán cụ thể
3.Thái ñộ:Cẩn thận,chính xác
4.Tư duy: Phân tích,tổng hợp
II/CHUẨN BỊ CỦA GV VÀ HS.
GV:Phiếu học tập các hình vẽ
HS:ðọc trước bài ở nhà.
III/PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC.
-Gợi mở vấn ñáp.
-ðan xen hoạt ñộng nhóm.
IV/TIẾN TRÌNH BÀI HỌC:
1.Ổn ñịnh lớp.
2.Kiểm tra kiến thức cũ:(5’) Phát biểu ðịnh lí 1 ?
3/Nội dung bài mới.
Thời
lượng
Hoạt ñộng của GV Hoạt ñộng của HS Ghi bảng hoặc trình chiếu

10’

Ta biết:nếu )(xfy
=
là
một hàm liên tục,không
âm trên ñoạn

[
]
ba;
.Khi ñó
diện tích S của hình thang
cong giới hạn bởi ñồ thị
hàm số )(xfy
=
,trục
hoành và hai ñường thẳng
bxax
=
=
,



GV gợi ý cho HS tìm lời
giải







GV hướng dẫn trình bày
lời giải

HS ñọc và hiểu ñề bài






-HS nhận nhiệm vụ
-Suy nghĩ và tìm cách giải
-Tiến hành thực hiện lời giải
-Báo cáo kết quả tìm ñược





Hð2:HS thực hiện lời giải






Ví dụ 1:Tính diện tích hình phẳng
giới hạn bởi elip

1
2
2
2
2
=+
b
y
a
x
)0(
>
>
ba
Gi
ả
i: G
ọ
i S là di
ệ
n tích c
ủ
a elip
1
S
là di
ệ
n tích m
ộ

t ph
ầ
n t
ư
c
ủ
a hình
elip n
ằ
m trong góc ph
ầ
n t
ư
th
ứ

nh
ấ
t.
ð
ó là hình gi
ớ
i h
ạ
n b
ở
i
ñồ
th
ị

hàm s
ố

22
xa
a
b
y −=
,tr
ụ
c
hoành.tr
ụ
c tung và
ñườ
ng th
ẳ
ng x=a
V
ậ
y dxxa
a
b
S
a
∫
−=
0
22

1

ðặ
t tdtadxtax cossin
=
⇒
=

Khi
ñ
ó
tataaxa cossin
22222
=−=−

ðổ
i c
ậ
n
x 0 a
t 0
2
π

Do
ñ
ó
dxxa
a
b

S
a
∫
−=
0
22
1
∫
=
2
0
2
cos
π
tdtab

GV Nguyễn Thành Tín GT12-NC Trường THPT Nguyễn Du







5’

5’

10’






GV hướng dẫn trình bày
lời giải





GV ñi ñến tổng quát


GV cho HS Hoạt ñộng 1
theo nhóm




GV hướng dẫn HS khử
dấu giá trị tuyệt ñối

GV khuyến khích HS vẽ
hình



















GV cho HS hoạt ñộng 2
theo nhóm

-HS nhận nhiệm vụ
-Suy nghĩ và tìm cách giải
-Tiến hành thực hiện lời giải
-Báo cáo kết quả tìm ñược


Tổng quát: Nếu hàm số
)(xfy
=
là một hàm liên tục
trên ñoạn
[
]
ba;
.Khi ñó diện
tích S của hình phẳng giới hạn
bởi ñồ thị hàm số
)(xfy
=
,trục hoành và hai
ñường thẳng bxax
=
=
,
là :

∫
=
b
a
dxxfS )(



Hð1
-HS nhận nhiệm vụ theo nhóm
-Suy nghĩ và tìm cách giải
-Tiến hành thực hiện lời giải
-Báo cáo kết quả tìm ñược của
nhóm mình



Hð2
-HS nhận nhiệm vụ theo nhóm
-Suy nghĩ và tìm cách giải
-Tiến hành thực hiện lời giải
-Báo cáo kết quả tìm ñược của
nhóm mình

dt
t
ab
∫







+
=
2
0
2
2cos1
π






+=
2
2sin
2
t
t
ab

2
0
2
2sin
2

π






+=
t
t
ab
4
π
ab
=
V
ậ
y Di
ệ
n tích elip là
π
abSS
==
1
4


Ví dụ 2
:Tính di
ệ

n tích S c
ủ
a hình
gi
ớ
i
h
ạ
n b
ở
i
ñồ
th
ị
hàm s
ố

1
3
−=
xy ,
ñườ
ng th
ẳ
ng
2
=
x ,tr
ụ
c

tung và tr
ụ
c hoành
Gi
ả
i:Theo công th
ứ
c ,di
ệ
n tích S c
ủ
a
hình
ñ
ang xét là

dxxS
∫
−=
2
0
3
1

=
dxxdxx
∫∫
−+−
2
1

3
1
0
3
11

∫∫
−+−=
2
1
3
1
0
3
)1()1( dxxdxx

2
1
4
1
0
4
44









−+








−= x
xx
x
2
7
4
11
4
3
=+=

Ví dụ 3
:Tính di
ệ
n S c
ủ
a hình ph
ẳ
ng
gi

ớ
i h
ạ
n b
ở
i parabol
2
2 xy −= và
ñườ
ng th
ẳ
ng
x
y
−
=

Gi
ả
i
Hoành
ñộ
giao
ñ
i
ể
m là nghi
ệ
m c
ủ

a
ph
ươ
ng trình
xx −=−
2
2




=
−=
⇔
2
1
x
x

Ta có
∫
−
−+=
2
1
2
)2( dxxxS
2
9
32

2
2
1
32
=








−+=
−
xx
x
Ví dụ 4:Tính diện tích S của hình H
giới hạn bởi ñồ thị hàm số
xy = ,trục hoành và ñường thẳng
2
−
=
xy


GV Nguyễn Thành Tín GT12-NC Trường THPT Nguyễn Du

5’










Chú ý :Diện tích S của
hình phẳng giới hạn bởi
các ñường cong )(ygx
=

và )(yhx
=
liên tục trên
ñoạn
[
]
dc,
và hai ñường
thẳng dycy
=
=
, là


∫
−=
d
c
dyyhygS )()(




Diện tích S của hình phẳng
giới hạn bởi ñồ thị các hàm số
)(xfy
=
, )(xgy
=
liên tục

trên ñoạn
[
]
ba;
và hai ñường
thẳng bxax
=
=
, ,ta có công
thức sau

∫
−=
b
a
dxxgxfS )()(





Giải:Hoành ñộ giao ñiểm là nghiệm
của phương trình 2−= xx

4
=
⇔
x
Di
ệ

n tích S c
ủ
a H b
ằ
ng di
ệ
n tích hình
thang cong OCA tr
ừ

ñ
i di
ệ
n tích tam
giác ABC
Di
ệ
n tích hình thang công

3
16
3
2
4
0
2
3
4
0
==

∫
xdxx
Di
ệ
n tích tam giác ABC

22.2.
2
1
.
2
1
==ACAB
V
ậ
y
3
10
2
3
16
=−=S


Chú ý:SGK


4.C
ủ
ng c

ố
:(5 phút)
5/D
ặ
n dò:bài t
ậ
p 26-27-28 trang 67