Hệ phương trình bậc hai hai ẩn

§ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Dạng 1: Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai (hai ẩn)

( )

ax+by
= c 1trình bậc hai hai ẩn ta sẽ nghiên cứu 2 dạng sau đây
Đối
với hệ phương

Hệ có
dạng sau : 

2
2
a'x
+
b
'
y
+ c ' xy + d ' x + e ' y + f ' = 0 ( 2 )


a 2 + b 2 ≠ 0; a '2 + b '2 + c '2 ≠ 0; a, b, c, a ', b ', c ', d ', e ', f ' ∈ R

2 x − y = 1 (1)
(I )  2
3 x − y 2 − x = 1 (2)

Giải :

Ví dụ 1 :

Làm cách nào để giải bài toán ?

Làm thế nào để tính được y ?

(1) ⇔ y = 2 x − 1 (3)
Thế (3) vào (2) ta được :

x = 1
3 x − (2 x − 1) − x − 1 = 0 ⇔ − x + 3 x − 2 = 0 ⇔ 
x = 2
2

2

2

Thế x =1 vào (3) ta có y = 1; x = 2 ta có y = 3

Hệ (I) có nghiệm là : (1;1) ; (2;3)


Giải

2 x − y = 1 (1)
(I )  2
2
3
x

−
y
− x = 1 (2)

 y = 2x −1
(I ) ⇔  2
2
3
x
−
(2
x
−
1)
− x −1 = 0

 y = 2x −1
⇔ 2
− x + 3x − 2 = 0
 y = 2x −1

⇔  x = 1
 x = 2

 x

y

⇔
 x



 y

=1
=1
=2
=3


§ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
Dạng 2: Hệ gồm hai phương trình bậc hai (hai ẩn)

2
2
2
2

a
(
x
+
y
)
+
bxy
+
c
(
x

+
y
)
=
d
;
a
+
b
≠0

Loại 1: Hệ có dạng 
2
2
2
2
a
'(
x
+
y
)
+
b
'
xy
+
c
'(
x

+
y
)
=
d
'
;
a
'
+
b
'
≠0


Ví dụ 2(SGK)

 x 2 + xy + y 2 = 4
( II ) 
Giải hệ phương trình sau:
Các em có nhận xét gì về mốixy
liên +
quan
cácy
ẩn=
x ,2
y của hệ ?
x+

Nếu thay thế x bởi y và y bởi x thì các phương trình Làm

có thay
thế đổi
nàogìđểkhông
giải ?

S = 2
được
P = 2 − S
  phương trình ?
S 2 − P = 4
S + P = 2

P = 0

⇔  2
⇔   S =Tại
2 sao đặt⇔x+y = S và xy = P ?

  S = −3
S + P = 2
 S + S = 6 (*)   S = −3

Hệ (II) trở
 x + y = 2
P = 5hệ 2
 thành
( IIa )

ẩn S;Ptrình
là loại

hệ
gì ?
Phương
(*)
có
xy
=
0

Trở vềGiải
ẩn xhệ, ynày
của
tahệ
được
( II ) ⇔ 
nghiệm
là
mấy
?ban các
  x + y = −3
Làmtathế
nào
đểtương
giải
đầu
cặp
được
nghiệm
hệ
nàohệ? phương


( IIb)
trình
Trong
bài
ptnày
bậc
ta đã học dạng
đương
? ?
Điều
kiện
để
hệ2 (IIa),(IIb)
  xy = 5
toán biết tổng , tích 2 số ?
Đặt ẩn phụ x + y = S; xy = P

X1 = 0 ?
cónghiệm
⇔
Giải hệ (IIa) : x,y là nghiệm của pt: X - 2X=0
X = 2
 2
Do đó hệ (IIa) có 2 cập nghiệm là : ( 0;2) ; (2;0)
2

Hệ (IIb) Vô nghiệm
Vậy hệ (II) có 2 cập nghiệm là : (0;2) ; (2;0)

 x 2 + xy + y 2 = 4
( II ) 
 xy + x + y = 2
Giải

 x + y = S ; xy = P

( II ) ⇔ ( x + y ) 2 − xy = 4
( x + y ) + xy = 2

 x + y = S ; xy = P

⇔ S 2 − P = 4
S + P = 2


 x + y = S ; xy = P

⇔ P = 2 − S
S 2 + S − 6 = 0




 x + y = S ; xy = P

⇔ P = 2 − S
 S =2


 S = −3



 x + y = S ; xy = P

S = 2

( II ) ⇔    P = 0
  S = −3




 P = 5

 x + y = 2

 xy = o

⇔
  x + y = −3

  xy = 5
 x = 0

y = 2

⇔
 x = 2



 y = 0


§ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN
2
2
Loại 2: Hệ có dạng : 
ax + by + cxy + dx + ey = f
2

2
;
a
+
b
≠0

2
2

bx + ay + cxy + ex + dy = f
Ví dụ 3: (SGK)
2
Các
emx nhận
gì
về
mối

quan
giữa
x , y thành
của các
x
−tương
ynhất
( 1)biến
Thay
bởi y xét
và thay
y
x2
thìxpt=
thứ
pt phương
thứ hai trình của hệ
 bởi
( III )  2
Giải hệ pt :
y − 2 y = x ( 2)


2
2
Lấy (1) trừ (2) ta có

( x − y ) − 2( x − y ) = −( x −Làm
y ) thế
⇔nào

( x −đểygiải
)( xhệ
+ ypt−?1) = 0

x − y = 0
⇔
 x + y − 1 = 0  x − y = 0

Từ 2 pt trên ta biến đổi thàn 2 pt
đơn giản hơn .Vậy hệ (III) tương
đương với hệ pt nào ?

( IIIa)
 2
 x − 2 x = y
( III ) ⇔ 
Do đó
x + y −1 = 0
 
( IIIb)
2
 x = 0
  x − 2 x = y

x = y
y = 0

⇔

x = y

⇔   x Hệ
=(IIIa)
0 và hệ (IIIb)
= dạng
3 hệ
Giải hệ (IIIa)  2
 pt 1gì
 x là
−?5

x
=



 x = 3
 x − 3x = 0
2
  y = 3 




 y = 1− x
1+ 5
 y = 1− x
y = 1− x

y
=




Giải hệ (IIIb)⇔  2

2

1− 5
⇔ 2


⇔

x
=

 x − 2 x = y  x − x − 1 = 0 ⇔  
2
1+ 5
 x=
Vậy hệ có 4 cặp nghiệm là :
(0;0);(3;3);

 1− 5 1+ 5   1+ 5 1− 5 
;
;
÷÷
;

÷

÷ 2
2
2
2


 


 x = 1 + 5

2



2



 y = 1 − 5
2

 


 x 2 − 2 x = y ( 1)
( III )  2
 y − 2 y = x ( 2 )

Giải:

2

x − 2x = y
( III ) ⇔  2
2
x
−
y
− 2( x − y ) = y − x



 x2 − 2x = y
⇔
( x − y )( x + y − 1) = 0
x − 2x = y

⇔  y = x
 y = 1 − x

2

 y = x
 2
  x − 3x = 0
⇔
y = 1− x



  x 2 − x + 1 = 0

 y = x

 x = 0

( III ) ⇔    x = 3
 y = 1 − x


x = (1 ±



 x=0
 
 y = 0

 x = 3
( III ) ⇔  
y =3

  x = (1 ± 5) / 2

  y = (1 m 5) / 2

5) / 2


§ 5. MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN

Trắc nghiệm khách quan
2

 x = 13 x + 4 y
Cho hệ pt :  2

 y = 4 x + 13 y

A

4 ;

B

3 ;

Có 2 cặp nghiệm là : (17;17) ; (-3;12)
Hệ pt này có tất cả bao nhiêu cặp nghiệm ?
C

2 ;

D

5

Chú ý
Qua bài trắc nghiệm trên các em có nhận xét gì về
cặp
nghiệm

ví dụ
dụ 3
1) Các hệ phương trình có dạng 2các
; loại
1 và
loại 2của
được
gọi2,ví
chung
là?hệ đối xứng
(đối với 2 ẩn)
2) Nếu một hệ đối xứng có cặp nghiệm là ( a;b) thì cũng có cặp nghiệm là (b;a)
3) Hệ pt có thể có bậc cao hơn (ôn tập chươngIII)
4) Điều kiện hệ có nghiệm,có nghiệm duy nhất ( chứa tham số)(ôn tập chương III)
Tóm lại
* Giải dạng 1 : Dùng phép thế đưa hệ về phương trình bậc2
* Giải dạng 2 :- Loại 1 : Ta đặt ẩn phụ x + y = S ; x.y = P được hệ đơn giản hơn
•- Loại 2 : Ta lấy 2 phương trình trừ đi nhau được phương trình đơn
giản hơn
Bài tập : 45; 46; 47; 48; 49 Trang 100 (SGK)