NHÂN của đồ THỊ

3.3. NHÂN CỦA ĐỒ THỊ
 Đị νη νγη ĩ α 3.3 : Γι ả σ ử Γ = ( ς, Φ) λ◊ µ ộτ đồ
τη .
Τ ậπ Β ⊆ ς đượχ γ ọι λ◊ νην χ ủα đồ τη ị Γ ν ếυ
ν⌠ ϖ ừα λ◊
τ ậπ ổν đị νη τρονγ ϖ ừα λ◊ τ ậπ ổν đị νη νγο◊ι
χ α Γ:
1) ∀ ξ ∈ Β : Β ∩ Φ(ξ) = ∅ ϖ◊
2) ∀ ψ ∉ Β : Β ∩ Φ(ψ) ≠ ∅.
Ηαι đι ềυ κι ệν τρν χ ủα νην τ ươνγ đươνγ ϖ ớι
đẳνγ τη ứχ: Φ −1 (Β) = ς ∴ Β.
1/61


3.3. NHÂN CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
 Τ ừ đị νη νγη ĩ α χ ủα νην συψ ρα:
- Nhân không chứa đỉnh nút.
- Nếu F(x) = ∅ thì x phải thuộc vào một nhân nào đó
của đồ thị.

2/61


VÍ DỤ 3.6
Ξτ χ〈χ đồ τη ị σαυ đψ:
a
1

2

b

3

4

c

Ηνη 3.4. Đồ τη ị χ⌠ νην ϖ◊ đồ τη ị κηνγ χ⌠
νην

3/61


NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI
 Đị νη λ 3.2 : Ν ếυ Β λ◊ νην χ ủα đồ τη ị Γ
τη Β χ ũνγ λ◊ τ ậπ ổν đị νη τρονγ χ ựχ đạι.
Χη ứνγ µινη:
Πη ảν χη ứνγ, Β κηνγ λ◊ τ ậπ ổν đị νη τρονγ χ ựχ
ι.
Đι ềυ ν◊ψ χ⌠ νγη ĩ α λ◊ τ ồν τ ạι α ∉ Β µ◊ Β ∪ {α}
ϖ ẫν λ◊
τ π ν
νη τρονγ. ς Β λ◊ νην νν α σ ẽ κ ề
ϖ ớι µ ộτ
đỉ νη ν◊ο đ⌠ τρονγ Β. ς ậψ τη Β ∪ {α} κηνγ
τη ể λ◊ τ ậπ
ν
νη τρονγ. Συψ ρα ι υ ϖ λ.
4/61

NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)
 Χη : Μ ệνη đề νγ ượχ λ ạι λ◊ κηνγ đνγ
 ς ớι đồ τη ị đốι ξ ứνγ τη µ ệνη đề νγ ượχ
λ ạι χ ủα Đ νη λ 3.2 λ◊ νγ.

5/61


VÍ DỤ 3.7
Ξτ πη ảν ϖ δ ụ σαυ đψ:
a

b
c
Ηνη 3.5. Τ ậπ ổν địνη τρονγ χ ựχ đạι κηνγ πη ảι λ◊ νην

Τ ậπ Β ={ α} λ◊ τ ậπ ổν đị νη τρονγ χ ựχ đạι
νη νγ κηνγ πη ι λ◊
νην χ α
τη .
6/61


NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)
 Địνη λ 3.3: Τρονγ đồ τη ị đốι ξ ứνγ
κηνγ χ⌠ đỉ νη ντ, µ ọι τ ậπ ổν đị νη τρονγ
χ ựχ đạι đềυ λ◊ νην χ ủα đồ τη ị .

Χη νγ µινη:
Γι ả σ ử Β λ◊ τ ậπ ổν địνη τρονγ χ ựχ đạι
χ α
τη Γ.
Τα χη ỉ ρα ρ ằνγ Β λ◊ ổν địνη νγο◊ι.
Τη τ ϖ ψ, γι σ ξ ∉ Β. Τηεο τνη χη ấτ
χ χ
ι χ α Β τη ξ πη ảι κ ề ϖ ớι µ ộτ
νη ψ ν◊ο đ⌠ ở τρονγ Β.
ς
τη Γ
ι ξ νγ νν ψ ∈ Φ(ξ). Συψ
ρα τ π Β λ◊ ν
νη νγο◊ι.
7/61


NHÂN VÀ TẬP ỔN ĐỊNH TRONG
CỰC ĐẠI (tiếp)
 Χη : Đι ềυ κι ệν Γ κηνγ χ⌠ đỉνη ντ λ◊
χ ầν τηι ếτ ϖ τρονγ τρ ườνγ η ợπ νγ ượχ
λ ι,
νη ξ κηνγ νη ấτ τηι ếτ πη ảι κ ề
ϖ ι τ π Β.
Η

θυ 3.1: Μ ọι đồ τη ị ξ ứνγ κηνγ χ⌠
νη ντ λυν χ⌠ νην
8/61

NHÂN VÀ CHU TRÌNH
 Địνη λ 3.4: Μ ọι đồ τη ị Γ κηνγ χ⌠ χηυ
τρνη λυν χ⌠ νην.

Χη ứνγ µινη :
Τηεο
νη λ 2.1,
τη Γ χ⌠ η◊µ Γρυνδψ,
τ ậπ χ〈χ đỉ νη µ◊ τ ạι đ⌠ η◊µ Γρυνδψ β ằνγ 0
χηνη λ◊ µ ộτ νην χ ủα đồ τη ị .
 Χυ η ỏι: Κηι ν◊ο
νην?

τη

χ⌠ χηυ τρνη χ⌠
9/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ
 Địνη νγη ĩα 3.4: Τ ậπ χον χ〈χ đỉ νη Β đượχ
γ ọι λ◊ λ⌡ι χ ủα đồ τη ị Γ = ( ς, Ε) ν ếυ:
1) ∀ ξ, ψ ∈ Β , ξ ≠ ψ : κηνγ τ ồν τ ạι
đườνγ đι ν ốι ξ ϖ ớι ψ.
2) ∀ξ ∉ Β : χ⌠ τ ồν τ ạι đườνγ đι τ ừ ξ
đếν Β. a
b
c
d

e
f

g

h

i

Hình 3.5: Lõi và nhân của một đồ thị
10/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
 Β ổ đề 3.1: Μ ι
τη
υ χ⌠ λ⌡ι
Χη ứνγ µινη:
Quy nạp theo số đỉnh n của đồ thị G.
n = 1 : đỉnh duy nhất cũng là lõi của đồ thị.
(n) ⇒ (n+1): Đồ thị G = (V, E) có n+1 đỉnh được
xây dựng từ đồ thị G1 = (V1, E1) có n đỉnh thêm
đỉnh a và một số cạnh kề a. Thế thì, V = V1 ∪ {a}.
- Theo giả thiết quy nạp, đồ thị G1 có lõi là B1.

11/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Χη ứνγ µινη β ổ đề:

- Nếu có đường đi từ a tới V1 thì sẽ có đường từ
a tới B1, do vậy B1 cũng là lõi của G.
- Ngược lại, giả sử không có đường đi từ a tới
V1. Thế thì, không có cạnh đi ra từ a và a sẽ là đỉnh
treo. Ký hiệu:
B2 = { x x ∈ B1 và không có đường đi từ x tới a }.
Ta chứng minh tập B = B2 ∪ {a} là lõi của G.
12/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Χη νγ µινη β

:

Giả sử x, y ∈ B và x ≠ y.
Ta chứng minh rằng không có đường nối x với y.
- Nếu x và y cùng thuộc B2 thì chúng cùng thuộc B1.
Mà B1 là lõi của G1 nên không có đường nối x với
y trong G1. Hơn nữa, cũng không thể có đường nối
qua đỉnh a vì a là đỉnh treo.
13/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Chứng minh bổ đề:
Nếu x = a , y ∈ B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ
không có đường đi từ y đến a và cũng không có
đường từ a đến y vì a là đỉnh treo.
B1

B2

a

Hình 3.7. Xây dựng lõi của đồ thị
14/61


LÕI CỦA ĐỒ THỊ (tiếp)
Χη ứνγ µινη β ổ đề:
Với x ∉ B thì x ≠ a và x ∉ B2.Ta chỉ ra là có
đường đi từ x đến B.
Giả sử x ∈ B1. Vì x ∉ B2 nên có đường từ x đến
a theo định nghĩa của B2.
Giả sử x ∉ B1. Vì x ≠ a nên x ∈ V1. Suy ra có
đường đi từ x đến y ∈ B1 vì B1 là lõi của G1.
Nếu y ∉ B2 thì theo định nghĩa của B2 sẽ có đường
đi từ y đến a. Trong tất cả các trường hợp đều suy
ra là có đường từ x đến B.
15/61


SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN
 Địνη λ 3.5: Μ ọι đồ τη ị κηνγ χ⌠ χηυ
τρνη độ δ◊ι λ ẻ λυν χ⌠ νην
Πη ươνγ η ướνγ χη ứνγ µινη:
Τα ξψ δ ựνγ βα δψ τ ậπ χον χ〈χ đỉνη
χ ủα đồ τη ị
ς 0 , ς 1 , ς 2 , … ; Β 0 , Β 1 , Β 2 , … ϖ◊ Χ 0 , Χ 1 , Χ 2 , …
λ ầν λ ượτ νη ư σαυ:

Đặt: V0 = V,
Chọn B0 là lõi của V0 và
C0 = { x x ∈ V0 \ B0 và có cạnh đi từ x đến B0 }.
16/61


SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)
Πη ươνγ η ướνγ χη ứνγ µινη :
Lấy V1 = V0 \ (B0 ∪ C0) ; B1 là lõi của V1 và
C1 = { x x ∈ V1 \ B1 và có cạnh đi từ x đến B1 }.
Tương tự: V2 = V1 \ (B1 ∪ C1)
B0

V0

C0

...

V1

Bi

Ci

...

Vi

Vk

Hình 3.8. Cách xây dựng ba dãy tập con
17/61


SỰ TỒN TẠI CỦA NHÂN (tiếp)
Πη νγ η νγ χη νγ µινη :
Giả sử đã chọn được Bi là lõi của Vi. Đặt:
Ci = { x x ∈ Vi \ Bi và có cạnh đi từ x đến Bi }.
Đến một bước nào đó thì Vk \ Bk = ∅ và ta đã vét hết
các đỉnh của đồ thị.
Chọn tập B = B0 ∪ B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bk. Ta chỉ ra rằng
tập B là nhân của đồ thị G.


18/61


NHÂN VÀ HÀM GRUNDY
 Địνη λ 3.6 : Ν ếυ µ ỗι đồ τη ị χον χ ủα đồ
τη Γ đềυ χ⌠ νην τη Γ χ⌠ η◊µ
Γρυνδψ.

Χη ứνγ µινη:
Xây dựng hai dãy tập con các đỉnh: V0, V1, V2, … và
B0, B1, B2, … lần lượt như sau:
V0 = V,
Chọn B0 là nhân của G.
19/61

NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
V1 = V0 \ B0
B1 là nhân của đồ thị con tạo bởi V1
. . . . . . . . ….
Vi+1 = Vi \ Bi
Bi+1 là nhân của đồ thị con tạo bởi Vi+1.
Vì mỗi nhân đều khác rỗng nên đến một bước nào đó
sẽ vét hết các đỉnh của đồ thị và ta nhận được dãy các
nhân: B0, B1, … , Bk.
20/61


NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
Χη ứνγ µινη địνη λ :
Xây dựng hàm g như sau: với x ∈ Bi , đặt g(x) = i .
Ta chứng minh g là hàm Grundy của đồ thị.
y
B0
V0

...

V1

x

Bi
Vi

...

Bi
Vj

Bk
Vk

Hình 3.9. Cách xây dựng dãy các nhân
21/61


NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
Χη ứνγ µινη địνη λ:
1) Ν ếυ ξ, ψ κ ề νηαυ τη χηνγ κηνγ τη ể τηυ ộχ
χνγ µ ộτ τ ậπ Β ι ϖ Β ι λ◊ νην, χηο νν γ( ξ) ≠
γ(ψ).
2) Γι ả σ ử χ⌠ σ ố νγυψν ι < γ(ξ) = ϕ.
Κηι đ⌠ ξ ∈ Β ϕ ⊆ ς ι ∴ Β ι . ς ψ τη ξ ∉ Β ι .
ς Β ι λ◊ τ ậπ ổν địνη νγο◊ι χ ủα ς ι µ◊ ξ ∈ ς ι ∴ Β ι
νν τ ồν τ ạι ψ ∈ Β ι σαο χηο ψ ∈ Φ(ξ). Συψ ρα:
γ(ψ) = ι.
22/61


NHÂN VÀ HÀM GRUNDY (tiếp)
 Η ệ θυ ả 3.2 : Đồ τη ị đốι ξ ứνγ χ⌠ η◊µ Γρυνδψ

κηι ϖ◊ χη ỉ κηι ν⌠ κηνγ χ⌠ đỉ νη ντ.
Χη νγ µινη:

Τη ậτ ϖ ậψ, đồ τη ị χ⌠ η◊µ Γρυνδψ τη κηνγ
χ⌠
νη ντ. Νγ ượχ λ ạι, γι ả σ ử đồ τη ị Γ
λ◊ đốι ξ ứνγ ϖ◊ κηνγ χ⌠ đỉ νη ντ. Τηεο Η ệ
θυ ả 3.6, µ ọι đồ τη ị χον χ ủα Γ đềυ χ⌠ νην.
∆ο ϖ ậψ đồ τη ị Γ χ⌠ η◊µ Γρυνδψ.
23/61


TÌM NHÂN CỦA ĐỒ THỊ
 Τηυ ậτ το〈ν 3.3
1. Chọn một tập ổn định ngoài bé nhất.
2. Kiểm tra xem nó có phải là tập ổn định trong hay
không. Nếu đúng thì ta nhận được nhân bé nhất.
3. Tăng dần số phần tử của tập ổn định ngoài và lặp
lại phép kiểm tra, để nhận được các nhân khác.
Χη : Ν ếυ µ ộτ đồ τη ị χ⌠ σ ố ổν địνη τρονγ
β η ơν σ ố ổν
địνη νγο◊ι τη đồ τη ị ấψ κηνγ χ⌠ νην.
24/61


ỨNG DỤNG NHÂN VÀO TRÒ CHƠI
 Τρ∫ χη ơι Νιµ:
1. Χ⌠ µ ộτ τ ậπ η ợπ η ữυ η ạν χ〈χ ηνη τρ νγ ς.
2. Χηο πηπ χηυψ ểν τ ừ µ ộτ ηνη τρ ạνγ σανγ
µ ộτ σ ố ηνη τρ ạνγ κη〈χ, γ ọι λ◊ χ〈χ ν ướχ đι .
3. Χ⌠ µ τ τ π χον χ〈χ ηνη τρ νγ
χ γ ι λ◊
τ π χ〈χ ηνη τρ ạνγ κ ếτ τηχ .

4. Ξυ ấτ πη〈τ τ ừ µ ộτ ηνη τρ ạνγ, ηαι đấυ τη ủ
λ ầν λ ượτ χη ọν ν ướχ đι. Αι ρ ơι ϖ◊ο ηνη
τρ ạνγ κ ếτ τηχ λ◊ νγ ườι τηυα χυ ộχ.

25/61