Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị

Y
O X
M
M
C
A
B
a c
b
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
Xét đồ thò ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới
đây.
Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thò đã cho đều có tiếp
tuyến .
Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C .

Y
O
M
M
C
A
B
a c
b
AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thò.
CB là một cung lõm, khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm của đồ thò.
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
Điểm C của đồ thò trong hình vẽ trên là một điểm uốn.

X

2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Đònh lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên
Khoảng (a;b).
1) Nếu f’’(x) < 0 với mọi x

(a;b) thì đồ thò của hàm số lồi trên
khoảng đó.
2) Nếu f’’(x) > 0 với mọi x

(a;b) thì đồ thò của hàm số lõm trên
Khoảng đó .
Đònh lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó
của điểm x
0
và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể
trừ tại điểm x
0
). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
M
0
(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thò hàm số đã cho.
Chứng minh đ/ lí 2

Giả sử f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0

x
f’’(x)
Đồ thò của
hàm số
x
0
- 
x
0
x
0
+ 
_
+
M
0
(x
0
;f(x
0
))
lồi lõm
Vậy điểm M
0
(x
0

;f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thò .
Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thò .