Tiết 36 phương trình đường tròn

Ch ­¬ng III

Tiết 36:

Ph­¬ng Ph¸p Täa §é Trong MÆt Ph¼ng

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Giáo viên: Nguyễn Đức Thiện
Trường THPT B Duy Tiên


Kiểm tra bài cũ:

1) Định nghĩa đường tròn?
Trả lời: Cho I là một điểm cố định và R là một số dương cho trước. Tập hợp những
điểm M trong mặt phẳng sao cho khoảng cách từ M đến I bằng R gọi là đường tròn

2) Viết phương trình đường thẳng đi qua M 0 (x 0 ; y 0 )và vuông góc với IM 0 (với I(a;b)).
uuuur
Trả lời: nhận IM 0 = (x 0 a; y 0 b) làm véc tơ pháp tuyến và đi qua M 0
Vậy phương trình của là: (x 0 a)(x x 0 ) + (y 0 b)(y y 0 ) = 0


1)Phương trình đường tròn có tâm và bán kính cho trước:
y

M(x;y)
I

R

b

O

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C)
tâm I(a;b), bán kính R. M(x;y) (C) IM=R

a

x

(x-a)2 + (y b) 2 = R
(x-a)2 + (y b) 2 = R 2 (1)
(1)gọi là phương trình của đường tròn
tâm I, bán kính R


VÝ dô 1: Cho ®­êng trßn cã ph­¬ng tr×nh: (x+3)2 + (y − 1) 2 = 3
T×m t©m, b¸n kÝnh cña ®­êng trßn.
Gi¶i
§­êng trßn ®­îc viÕt d­íi d¹ng: [x-(-3)]2 + (y − 1) 2 = ( 3) 2

VËy ®­êng trßn cã t©m I(-3;1); b¸n kÝnh R= 3


Ví dụ 2: Viết phương trình đường tròn tâm I(-2;0) và bán kính R= 3
Giải
Phương trình đường tròn có tâm I(-2;0) và bán kính R=3 là:
[x-(-2)]2 + (y 0) 2 = 32

(x + 2) 2 + y 2 = 9
Chú ý: Phương trình đường tròn tâm O(0;0), bán kính R là: x 2 + y 2 = R 2
Ví dụ 3: Cho hai điểm A(3;-4) và B(-3;4)
Viết phương trình đường tròn (C) nhận AB làm đường kính
Giải
Trung điểm của đoạn AB là O(0;0)
AB
2
2

b
án
kính
R=
=5
AB= (-6) + 8 = 10
2
Vậy phương trình đường tròn đường kính AB là: x 2 + y 2 = 25


2)Nhận xét:
Ph ương trình (1) : (x - a)2 + (y b) 2 = R 2
2
2
2
x 2 + y 2 2ax - 2by + a 2 + b 2 R 2 = 0 Đặt c = a + b R .Ph ương trình có dạng:
x 2 + y 2 2ax - 2by + c = 0(2)

(2)chỉ là phương trình đường tròn a 2 + b 2 c > 0
Khi đó đường tròn có tâm I(a;b), bán kính R= a 2 + b 2 c

3) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:
M

M0

Ph ương trình tiếp tuyến của đường tròn

(x-a)2 +(y-b)2 =R 2 tại M 0 (x 0 ; y 0 )

ChoM 0 (x 0 ; y 0 ) (C), I(a;b)là tâm
là tiếp tuyến của (C) tại M 0
I(a;b)
đi qua M 0 (x 0 ; y 0 )
uuuur

nhận IM 0 (x 0 a; y 0 b)là véc tơ pháp tuyến
Vậy phương trình của là:
(x 0 a)(x x 0 ) + (y 0 b)(y y 0 ) = 0
Ví dụ 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x 2 + (y 2) 2 = 5 t ại A(2;3).
Giải
(C)có tâm I(0;2)
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A(2;3) là:
(2 0)(x 2) + (3 2)(y 3) = 0
2x + y 7 = 0.


Ph ương pháp giải toán:
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C):

(x-a)2 +(y-b)2 =R 2 đi qua điểm A(x1 ; y1 ).
Bước 1: Gọi là tiếp tuyến đi qua A(x1 ;y1 ) của đường tròn(C).
có phương trình: a(x-x1 ) + b(y y1 ) = 0
r
với n = (a;b)là véc tơ pháp tuyến của , (a 2 + b 2 0)
Bước 2: Do là tiếp tuyến của (C) nên d(I,) = R (với I(a;b) là tâm của (C))
Từ đó chọn các giá trị của a,b


Ví dụ 5: Cho đường cong có phương trình: x 2 + y 2 4mx 2my + 3m + 1 = 0(Cm)
a)T ìm m để (Cm) là phương trình của đường tròn.
b) Khi m=1, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C1 ) biết tiếp tuyến
đi qua điểm A(5;0).
Giải
a) Ta có a= 2m; b=m; c=3m+1
(Cm)là phương trình của đường tròn
a 2 + b2 c > 0
(2m) 2 + m 2 3m 1 > 0



3 29 3 + 29
; + ữ
5m 3m 1 > 0 m ;
ữU
10
10

b) Khi m = 1(Cm) trở thành: x 2 + y 2 4x 2y + 4 = 0
2
2
2
2
2
2
(x
2)2:
+(Cm)
(y 1)
Cách
=( x9(C
2m
1 ) ) + ( y m ) 4m m + 3m + 1 = 0
2
(C1 )là phương trình
đường tròn
có 2tâm I(2;1), bán kính R=3 R
2
2
( x 2m ) + ( y m ) = 5m 3m 1
Gọi đường thẳng đi qua A(5;0) là tiếp tuyến của (C1 )
(Cm)là phương trình đường tròn
2
2
có phương
trình:
a(x-5)+b(y-0)=0
(a

+
b
0) ax+by-5a=0
2
5m 3m 1 > 0 kết quả
Mặt khác, do là tiếp tuyến của (C1 ) n ên:
2


Ví dụ 5: Cho đường cong có phương trình: x 2 + y 2 4mx 2my + 3m + 1 = 0(Cm)
a)T ìm m để (Cm) là phương trình của đường tròn.
b) Khi m=1, hãy viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C1) biết tiếp tuyến
y
đi qua điểm A(5;0).
Giải
d(I, ) = R


2a + b 5a

=3

:ax+by-5a=0
Tâm I(2;1), bán kính R=3

1
.I(2;1)

a 2 + b2
O

b 3a = 3 a 2 + b 2
b 2 6ab + 9a 2 = 9a 2 + 9b 2
2
8b 2 6ab = 0
b = 0(1)
(1) : b = 0 a 0 nên có dạng: ax - 5a = 0 x = 5

8b 6a = 0(2)
b =3
(2) :8b 6a = 0 4b 3a = 0 Chọn
a = 4
Vậy qua A(5;0), (C1 ) có hai tiếp tuyến: 1 :x = 5; 2 :4x + 3y 20 = 0

x
A(5;0)


Bài tập trắc nghiệm
Bài 1: Phương trình nào là phương trình của đường tròn
2x 2 + y 2 8x + 2y 1 = 0(C1 )
x 2 + y 2 + 2x 4y 4 = 0(C 2 )
x 2 + y 2 2x 6y + 20 = 0(C3 )
A.(C1 ) và(C 2 )

B. (C 2 )

x 2 + y 2 + 6x + 2y + 10 = 0(C 4 )
C.(C 4 ) và(C 3 )

D.(C1 ), (C 2 ),(C 3 ) và(C 4 )

Bài 2. Cho phương trình: x 2 + y 2 + 4x 6y 3 = 0(C). Kh ẳng định nào sau đây là đúng?
A.(C)là đường tròn tâm I(2;3), bán kình R=4. B.(C)là đường tròn tâm I(-2;3), bán kình R= 10.
C.(C)là đường tròn tâm I(-2;3), bán kình R=4. D.(C)là đường tròn tâm I(2;-3), bán kình R=4.
Bài 3. Cho đường tròn (C) tâm I(2;0), bán kính R=1. Phương trình đường tròn (C) là:
A.(x 2) 2 + y 2 = 1 B. x 2 + y 2 4x 3 = 0 C.(x + 2) 2 + y 2 = 1
A.x 2 + (y 2) 2 = 1
Bài 4. Cho đường tròn (C) có phương trình:(x-1)2 + (y + 2) 2 = 4.
Ph ương trình tiếp tuyến của (C) tại A(-1;-2) là:
A. x 1 = 0

B. y 2 = 0

C. x + 2y 3 = 0

D. x + 1 = 0


KiÕn thøc cÇn nhí:
1) Ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn:
+ )(x − a) 2 + (y − b) 2 = R 2 víi t©m I(a;b), b¸n kÝnh R

+ ) x 2 + y 2 − 2ax - 2by + c = 0 ( víi a 2 + b 2 - c > 0) t©m I(a;b) b¸n kÝnh R = a 2 + b 2 − c
+ )C¸ch viÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn
2)C¸ch viÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®­êng trßn:
+ )TiÕp tuyÕn t¹i M 0 (x 0 ; y 0 ) (M 0 ∈ (C))
+ )TiÕp tuyÕn ®i qua A(x1 ; y1 ).


Bài tập về nhà:

1) 1, 2, 3, 4, 5, 6 sách giáo khoa trang 83, 84.
2)Cho (C m )có phương trình: x 2 + y 2 + 4mx 2my + 2m + 3 = 0
a)T ìm m để (C m )là phương trình của đường tròn.
b)T ìm m để đường tròn (C m )có bán kính là 2, xác định tâm của đường tròn này
3)Cho đường tròn (C) có phương trình: x 2 + y 2 2x 8y 8 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn(C) biết tiếp tuyến đi qua N(-4;-6)


Bµi häc ®Õn ®©y lµ kÕt thóc
Chóc c¸c em häc tèt