Bài giảng bài đại cương về phương trình đại số 10

§ 1 - ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH
I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
2. Điều kiện của một phương trình
3. Phương trình nhiều ẩn
4. Phương trình chứa tham số
II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG
VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
1. Phương trình một ẩn
- Khái niệm phương trình (sgk – 53)
Mệnh đề chứa biến

x0 

f(x) = g(x) (1) là một phương trình(pt).
x: ẩn
f(x): vế trái, g(x) :vế phải của pt(1) (1)
: f  x0   g  x0  gọi là một nghiệm của pt (1)

Tập nghiệm của pt(1) T   x0 
Pt (1) vô nghiệm  T  
- Chú ý (sgk – 53)

: f  x0   g  x0 

Với những giá trị nào của x thì các
Xét phương trình f(x) = g(x)
phép tính trong
x  1 biểu thức của hàm số
Có những phép
 tính
x  1 nào
 2  đã học mà
x f2x  
x hiện
2 được?
không
thực
x cần thỏa
mãn
điều
kiện
gì để hai vế
luôn thực hiện được?

Với x 2 thì mọi phép toán
trong biểu
Điềuthức
kiện của
củaf(x)
x đều
thực xhịên
 2 được

x  1

của phương trình (2) đều có nghĩa
Với những giá trị nào của x thì hàm số
Phép tínhVới
chiax cho
một
số số
0, phép
1 thì
hàm
g(x) có
(mọi phép toán đều thực hiện được)?
g  x   x 1
tính lấy căn bậc chẵn
của một số
nghĩa
có nghĩa?
âm không thực hiện được


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
2. Điều kiện của một phương trình
Điều kiện của một pt(1) là điều kiện đối với ẩn số x để f(x)
và g(x) có nghĩa. Ta nói đó là điều kiện xác định của phương trình
(gọi tắt : điều kiện của phương trình)
Ví dụ: Hãy tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
x
2
a)3  x 
2 x

1
b) 2
 x3
x 1
x2
c)
 3x 2  x  1
2 x2  1


Ví dụ: Hãy tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
x
1
x2
2
a)3  x 
3 b) 2
 x  3  4  c)
 3 x 2  x  1 5 

Tổng2quát
 x hãy cho xbiết 1điều kiện
2 x2  1
xác định của pt mà các vế có
Điều kiện:
Điềucó
kiện:
Nhận xét
chứa các biểu thức
dạng

P  x
2
2 x  0
x

1
x
 0, x 

a)  2
Q xx  1  0   x  1
2
 x2



2
x
 1Q(x)
 1 0,0x 
a)
Điều
kiện
x3 0

 x  3
b) P  x 
Phương trình (5) xác

b) Điều kiện P(x)  0

định với x 


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
3. Phương trình nhiều ẩn
Phương trình hai ẩn x, y có dạng f(x, y) = g(x,y)

(6)

Phương trình ba ẩn x, y, z có dạng f(x, y,z) = g(x,y,z)

(7)

Ví dụ:
Cặp số (x0,y0) : f(x0, y0) = g(x0,y0) gọi là một nghiệm của pt(6)
Bộ ba số (x0,y0, z0) : f(x0, y0, z0) = g(x0,y0, z0) gọi là một nghiệm
của pt(7)


1. Hãy vẽ đồ thị (P) của hàm số y  x 2  2 x
2. TừCác
đồ thị
hãyđộ
tìmgiao
các điểm
giá trịcủa
củahai
m đồ
saothị
cho

hoành
đường
thẳng
d: ylà= nghiệm
m
hàm
số trên
của phương
a) Cắt (P) tại 2 điểmtrình
phânnào?
biệt
b) Không cắt (P)
c) Chỉ có 1 điểm chung với (P)


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
4. Phương trình tham số
Ví dụ:các phương trình

a) x 2  2 x  m

8
9

b)  m  1 x  3  0
có thể được coi là các pt ẩn x chứa tham số m.
Bài toán :Hãy giải phương trình
(m+1)x – 3 = 0 (9)
Trong các trường hợp
a) m = -1

b) m  - 1


Bài toán :Hãy giải phương trình (m+1)x – 3 = 0 (9)
Trong các trường hợp
a) m = -1
b) m  - 1
Giải
a) Nếu m = -1 thì (9)  0.x – 3 = 0. Phương trình vô nghiệm
b) Nếu m  - 1 thì m + 1  0
3
(9)   m  1 x  3  x 
m 1

3
Phương trình (9) có một nghiệm x 
m 1


I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH
4. Phương trình tham số
Ví dụ:các phương trình

a) x 2  2 x  m

8
9

b)  m  1 x  3  0
có thể được coi là các pt ẩn x chứa tham số m.

Giải và biện luận phương trình có chứa tham số là xét xem
với giá trị nào của tham số thì pt vô nghiệm, có nghiệm và tìm
các nghiệm đó


Các phương trình sau có tập
nghiệm bằng nhau hay không?
4x
a) x  x  0 vµ
x0
x 3
b) x 2  4  0 vµ 2  x  0
2


II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
Hai phương trình gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm
Ví dụ : Hai phương trình sau có tương đương không?

2 x  3  0 vµ 10 x  7  8 x  10
Giải:
Hai phương trình trên tương vì chúng cùng có một nghiệm duy nhất
3
x
2


II . PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ

PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
1. Phương trình tương đương
- Định nghĩa (sgk - 55)
Cho các phương trình

f1  x   g1  x 

cã tËp nghiÖm T1

f 2  x   g 2  x  cã tËp nghiÖm T2

Pt f1  x   g1  x  t­¬ng ®­¬ng pt f 2  x   g 2  x  khi vµ chØ khi T1  T2 .
Kí hiệu :

f1  x   g1  x   f 2  x   g 2  x 

1 2
 x  1 x  3  0   x  4 x  3  0
2x
Hai phương trình x 2  4  0 vµ 2  x  0 là hai phương trình không
tương đương.
- Ví dụ 1 :


II . PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ
PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ
Phươngtrình
trình tương đương
Hai1.phương
- Ví dụ 2

cùng có tập nghiệm là

rỗngsau
thìđây
tương
đương
Mỗi khẳng định
đúng
hay sai?
x  1  2 1  xvới
 nhau
x 1
1
1
b) x 
 1
 x 1
x 1
x 1
c) x  1  x  1

a)

d) x 

10
09
08
07

06
05
04
03
02
00
01
15
14
13
12
11

1
1
 1
 x 4  x  3 4 x
x 1
x 1

Thời gian
§óng 

Sai

§óng

Sai 

§óng

Sai 

§óng 

Sai


II . PHNG TRèNH TNG NG &PHNG TRèNH H QU

2. Phộp bin i tng ng
Phộp bin i tng ng (sgk 55)
nh lớ : (Sgk 55)
? Tỡm sai lm trong bin i sau
a) f x g x f x h x g x h x
hi :Cho hai phng trỡnh
1 b) f Cõu
1
1 x . f 1 x h x 1.g x 1với h x 0
x

g
x

h




x

1
20
x x 11
14 x 711 và 3x
9 x 21
x 1
x 1
xf 1x x g1 x x 1 x 1
phng trỡnh
cú tng
khụng?
f x a)g Hai
x
trờn với
h x ng
0
h i
x ha
x pt (1) v pt (2)
b) Hóy bin
Với h x thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Chỳ ý f x g x h x f x h x g x h x h x
f x h x g x


II . PHNG TRèNH TNG NG &PHNG TRèNH H QU
Cỏch
loi
3. Phng trỡnh h

qu

- nh ngha (sgk - 56)
Cho cỏc phng trỡnh
Ta th li cỏc

nghim ngoi lai?
f x g x

có tập nghiệm T

f1 x g1 x có tập nghiệm T1

f1 nghim
x g1 tỡm
là pt hệ quả của f x g x khi và chỉ khi T T1
x c

Kớ hiu :

Vớ d

f x g x f1 x g1 x

x0 T1
x0 được gọi là nghiệm ngoại lai

x0 T

x 5 x2 6x x 5 x2 6 x 0

x = 0 l nghim ngoi lai


Giải bài tập 1, bài tập 2(sgk – 57)
Khi cộng hoặc nhân các vế
tương ứng của hai phương trình
nói chung ta không nhận được
Bài 1:
một phương trình tương đương
Phương trình 5x = 5 không tương
hoặc là phương trình hệ quả của
đương với pt nào trongĐối
hai với
pt đãphương trình
các phương trình đã cho
cho và cũng không là pt hệ quả
của một trong hai pt đó.nhiều ẩn, ta cũng có
các khái niệm tương tự
Bài 2:
Phương trình 12x2 = 20
không tương đương với pt
nào trong hai pt đã cho và
cũng không là pt hệ quả của
một trong hai pt đó.


Luyện tập Bài 1: Giải phương trình a) x  1  2  x  5
Giải

b)

x3
x  2 x

x3

(*)

**

x  3  0

(*)   x 2  4 x  5 x  5
Nhân cả hai vế của pt (*) với x + 3
 x3  x3

ta được pt hệ quả
 x  3
x2  4x  5 x  5
 2
(*) 

x3
x3
x  4x  5  x  5
 x2  4x  5  x  5
 x  3
 2
2

 x  3x
0
0
 x  3x
x  0
 x  3


x


3
lo¹i
do
vi
ph¹m
®iÒu
kiÖn



 x  0  x  0

  x  3

Vậy phương trình (*) có một nghiệm là x = 0. 
b) Phương trình (**) có một nghiệm x = 1
a) Điều kiện :

x  3

Bài 2
Cho phương trình
Và phương trình

3 x  2  0 1

 m  3 x  m  4  0  2 

(m tham số)

Tìm giá trị của m để pt (1) và pt (2) tương đương
Giải
Điều kiện cần: Giả sử (1)  (2)
2
2
Phương trình (1) có nghiệm là x  , thay x  vào phương trình (2)
3
3
Ta có
2
1
 m  3   m  4  0   m  6  0  m  18
3
3
Điều kiện đủ: Với m = 18 thì
2
 2   21x  14  0  21x  14  x   1
3

Kết luận : Phương trình (1) và (2) tương đương khi và chỉ khi m = 18.


-Xem lại nội dung bài học
-Làm bài tập 3,4(sgk – 57)
-Đọc trước nội dung của bài phương trình quy
về phương trình bậc nhất, bậc hai
-Bài tập: giải các phương trình sau
a) x  3  9  2 x

b) x -1  x  3

c)2 x  1  x  2

d ) x - 2  2x 1


XIN CHÂN THÀNH CẢM ƠN
CÁC THẦY CÔ GIÁO VÀ
CÁC EM HỌC SINH