Bài giảng bài đạo hàm của hàm số lượng giác giải tích 11

TRƯỜNG THPT VĨNH THẠNH


BÀI 3: ĐẠO HÀM CỦA CÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
Nội dung cơ bản
s inx
1/ Giới hạn của
x
2/ Đạo hàm của hàm số y= sinx

3/ Đạo hàm của hàm số y= cosx
4/ Đạo hàm của hàm số y= tanx

5/ Đạo hàm của hàm số y= cotx


1. Giới hạn của

sin x
x

Em có nhận xét
gì về giá trị của sin x
x
khi x nhận các
giá trị gần
điểm 0

Dùng máy tính bỏ túi để tính
sin 0,01

 0,999983333
0,01
sin 0, 001
0, 001
sin 0, 0001
0, 0001

 0,999999833
 0,999999998

1


Định lí 1:

Chú ý:

sin x
lim
1
x 0
x


sin u ( x)
u ( x)  0 , x  x0
1
 lim u ( x)  0  xlim
 x0
u

(
x
)
x

x

0


Ví dụ. Tính

tan x
 sin x 1 
sin x
1
a) lim

lim
.
1
.lim

 lim
x 0
x
x 0
 x cosx  x0 x x0 cosx
sin 3x
 sin 3x 

sin 3x
b) lim
 lim3 
  3lim
3
x

0
x 0
x
x 0
 3x 
3x


Bằng định nghĩa
2. Đạo hàm của hàm số y = sinx
Hãy tính đạo hàm 1.G/sử Δ là số gia của x.
x
Δy = sin(x + Δx ) - sinx
của hàm số
Định lí 2: Hàm số y = sin x có đạo
hàm
tại
xx  R

x




y = sinx
 2cos  x +
 .sin
2 
2

và (sinx)’ = cosx x  R
x

sin
y

x


2
2.
 2cos  x +


x
2
 (sinu)’=u’.cosu
 x
Chú ý. Nếu y = sinu vµ u = u(x) thì
x
sin

x



2
 cos  x +
 x
2


x
2
sin
y
x 

2
3. lim
 lim cos  x +
lim
 x0 x
x 0 x
x 0
2 

 cos x
2


Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a) y =



sin(x2 +



1)

Giải

 x
b) y  sin  
2


a / y= sin  x 2 +1   x 2  1 .cos  x 2  1
 2 x.cos  x 2  1
'

  x   x 
 x
b / y '   sin       cos  
2
  2   2 
1
 x
 cos  
2
2

Dựa vào đạo
hàm của hàm
số y=sinx, hãy
tìm đạo hàm
của hàm số
y = cosx ?

Ta có:




y '  (cosx)'= sin(  x) 
2




'
 (  x) .cos(  x)
2
2

 cos(  x)   s inx
2

'


3. Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lí 3: Hàm số y = cosx có đạo hàm tại x  R
và (cosx)’ = - sinx
Chú ý.
Nếu y = cosu và u = u(x) thì (cosu)’= - u’.sinu


Ví dụ. Tìm đạo hàm của các hàm số sau
a / y  cos  5x+1

s inx 


b/ y 
 x   k , k  Z 
cosx 
2


Giải



a / y   cos  5x+1     5x+1 sin  5x+1  5sin 5x+1
sinx  .cosx- sinx.  cosx 


s inx 
 cosx.cosx+ sinx.sinx

2

b / y  
cos x
 
2
c
os
x
cosx


1
cos 2 x  sin 2 x

=
2
cos x
cos 2 x


H1

H2

H3



x. cot 3x  . Hãy tìm kết quả
H1: Cho m  lim
x 0

đúng trong các kết quả sau:
1
A, m  0
B, m  3
C, m  1
D, m 


3



ĐA : D . Vỡ

 cos 3 x 
m  limx. cot 3x   lim x.

x o
x o
 sin 3x 







1 
1
  lim cos 3 x.


 lim cos 3x .
x o 
sin 3x  xo 
sin 3x 
3.




x 
3x 


1

3


H2: Cho hàm số y  sin x . Hãy chọn kết quả
đúng trong các kết quả sau :
1
cos x
cos
x
A, y'
B, y '
C, y' cos x D, y' cos

ĐA : A

2 x

x

2 x

vì



y '  cos x
cos x

2 x

 x   2
'

1
x

. cos x


2
y

cos
x . Hãy chọn kết quả đúng

H3 : Cho hàm số

trong các kết quả sau:
2
y
'

sin
x B, y '   sin 2 x
A,

y '  cos

2

C, y' sin 2x D, y'   sin 2x

Đáp án : D vì
x   cos x    2 cos x.cos x 
'

2

'

 2 cos x.(  sin x )  2 sin x. cos x
 2 sin 2 x

'

Bài1

Bài2

Bài3


Bài1: Hãy ghép mỗi dòng ở cột trái
với một đáp án ở vế phải để được
kết quả đúng:
sin 5 x
1, lim
x 0
x
tan 2 x
lim
2, x 0
sin 5 x

1  cos2 x
lim
3, x 0
x. sin 2 x

A,

2
5

1
B,
2

1
C,
5
D, 5


Bài2 : Hãy ghép mỗi dòng ở cột trái với
một đáp án ở vế phải để được kết quả
đúng:
1, y  5 sin x  3 cos x
2, y

 sin( x 2  3 x  2)

A,

B, y '  2 x  3 cos(x  3x  2)
2

C,
3, y 

cos 2 x

sin 2 x
y'  

cos 2 x

y'  5 cos x  3sin x

D, y '  

sin 2 x  1
2x 1


Bài3: Các bài giải sau đã đúng chưa ? Nếu
chưa hãy sửa lại cho đúng

1,

lim
x

2,



2

cos x



x



2



1

y  sin(cos 2 x)
 y '  cos(cos 2 x).(cos 2 x)'
 cos(cos x).2cos x
2


Bài3: Bài toán được sửa lại như sau:

1,

3,



sin
 x
cos x
2
 1
lim
 lim
 





x
x
2 
2
 x

x


2

2


y  sin(cos2 x)
 y '  cos(cos2 x).(cos2 x) '
 cos(cos2 x).2 cos x. sin x 
  sin 2 x. cos(cos2 x)


Củng cố

sin x
lim
1
x 0
x

(sinx)’ = cosx, x  R

(cosx)’ = - sinx,x R

(sinu)’= u’.cosu

(cosu)’= - u’.sinu


Bài tập về nhà :
Về nhà làm
các bài tập
trong sách
giáo khoa trừ
các bài chứa
hàm tang,
cotang và
xem trước hai
phần còn lại.




Bài tập: Tìm đạo hàm các hàm số sau:
1/ y  sin x  2
Bài làm:





1
'
y '  sin x  2 
 sin x  2 
2 sin x  2
1

.cos x
2 sin x  2
'


2 / y  x.cos 2+3x 2
Bài làm:

  ( x) '.cos 2+3x  x.cos 2+3x 
 cos 2+3x  x.sin  2+3x  .  2+3x 
1
 cos 2+3x  x.sin  2+3x  .
.(2+3x ) '
2 2+3x
3x
 cos 2+3x  x.sin  2+3x  .
2+3x


y '  x.cos 2+3x

2

'

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

'

2

2

'