Bài giảng bài giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số giải tích 12 (3)

Chào mừng các thầy cô giáo đến dự giờ môn toán
lớp12

BÀI 3

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ

10/22/2013


KIỂM TRA BÀI CŨ:
Bài tập:
Xét chiều biến thiên của hàm số

f(x)  2x3  3x 2 +1

10/22/2013


XÐt c²c h¯m sè:
1) f(x) = cosx trªn tËp c²c sè thùc
ThÊy : x  th×
*) -1  cosx  1
*) cosx = 1  x=2k , k 
*) cosx = -1  x=(2k+1) , k 
Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất
y
là (-1) trên
5

4

3

2) g(x) = x2 trªn D = -1; 2

g(x) = x2

2

1

ThÊy x  -1; 2  th×
0  x 2  4.
v¯ g(x) = 0 víi x=0  -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2  -1; 2 
-4

-3

-2

-1

o

1

2

x

3

4

5

-1

Ta nói hàm số g(x)  x 2 đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá
trị
nhỏ nhất là 1 trên tập D
10/22/2013


1. nh ngha
Gi sử hm số f xc định trên tập hợp D,(D ).
a ) Nếu tồn ti một điểm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số M = f(x 0 ) được gọi l giá trị lớn nhất của hm số f trên D
Kí hiệu: M = max f (x).
xD

b) Nếu tồn ti một điểm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số m = f(x 0 ) được gọi l giá trị nhỏ nhất của hm số f trên D
Kí hiệu: m = min f (x).
xD

* Mun chng minh s M (hoc m) l giỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
ca hm s f trờn tp hp D , ta cn chng minh 2bc:

b1) f(x) M (hoặc f(x) m) với mọi x D.
b2) x0 D: f(x0 ) = M (hoặc f(x0 ) = m ).

Quy c: Khi núi giỏ tr ln nht hay nh nht ca hm s m khụng núi rừ
trờn tp no thỡ ta hiu ú l giỏ tr ln nht hay nh nht trờn tp xỏc nh ca
hm s
10/22/2013


2. Ví dụ
Ví dụ1.

T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
f(x)  2x3  3x 2 +1 trªn ®o³n -2; 1 .
Ví dụ 2.
Mét h×nh hép kh«ng n¾p ®­îc l¯m tõ mét
m°nh c²c t«ng theo mÉu h×nh 1.1. Hép cã
®²y l¯ h×nh vu«ng c³nh x (cm), chiÒu cao
l¯ h (cm) v¯ cã thÓ tÝch l¯ 500cm 3 .
a) H±y biÓu diÔn h theo x.
b) TÝnh diÖn tÝch S(x) cña m°nh c²c t«ng theo x.
c) T×m gi² trÞ cña x sao cho S(x) nhá nhÊt.

h

h

x
x

Hình 1.1

10/22/2013


10/22/2013


10/22/2013


Nhận xét:
Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

Quy tắc tìm đạo hàm của hàm số liên tục trên 1đoạn

Gi° sö h¯m sè f liªn tôc trªn ®o³n  a; b  v¯ cã ®³o h¯m trªn kho°ng (a; b), cã
thÓ trõ mét sè h÷u h³n ®iÓm. NÕu f'(x) = 0 chØ t³i mét sè h÷u h³n ®iÓm thuéc
(a; b) th× ta cã quy t¾c t×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m f trªn
®o³n  a; b  nh­ sau:

Quy tắc:
b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0
hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m.
b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®­îc
- Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  .
- Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  .
10/22/2013

Ví dụ 3:

Nhóm 1
Nhóm 2
Nhóm 3

T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o³n -2; 3 .
x3
b) f(x) =
 2x 2  3x  4 trªn ®o³n -4; 0 
3 1
c) f(x) = x +
trªn kho°ng (1; +).
x-1

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]
b1) T×m c²c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t³i ®ã h¯m sè f cã ®³o h¯m b´ng 0
hoÆc kh«ng cã ®³o h¯m.
b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
b3) So s²nh c²c gi² trÞ t×m ®­îc
* Sè lín nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  .
* Sè nhá nhÊt trong c²c gi² trÞ ®ã l¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o³n  a;b  .
10/22/2013


Ví dụ4: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán:

Bài 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt cña h¯m sè: f(x) = sin 4 x  cos4 x
Lời giải

x  :sin 4 x  0 v¯ cos4 x  0 nªn f(x)  0.
Do ®ã min f(x)=0.
x

V× sin 4 x  1 v¯ cos4 x  1 víi mäi x 
Do ®ã max f(x)  2

nªn f(x)  1+1=2.

x

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không
tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2
Gợi ý lời giải:

1
BiÕn ®æi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2  2 sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2x
2
1
Tõ
®ã
dÔ
d¯ng
thÊy
kÕt

qu°:
max
f(x)

1;min
f(x)

10/22/2013
x
x
2


Bi 2 Tìm gi trị lớn nhất v gi trị nhỏ nhất của hm số:
Li gii

x2
y=
trên đon
x 1

1 3
2 ; 2



2x(x-1)-x 2 x 2 2x
Có: y' =

.

2
2
(x 1)
(x 1)
1 3
Xét g(x) = x 2 2x, dễ thấy g(x) < 0 với mọi x ; .
2 2
1 3
Do đó: y' < 0 , x ; .
2 2
1 3
Hm số đơn điệu gim trên ; .
2 2
1
1
3
9
max f(x) f( ) ; min f(x) f( )
1 3
2
2 x 1 ; 3
2
2
x ;
2 2

2 2

Nguyên nhân sai lầm:
1 3

Hàm số không liên tục tại điểm x = 1 ; nên không thể
2 2
áp dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
10/22/2013


Ghi nh:
1) nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s

Gi sử hm số f xc định trên tập hợp D,(D ).
a ) Nếu tồn ti một điểm x 0 D sao cho
f(x)
f(x
mọim)
x lDgiỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
2) Mun chng
minh
s0 )Mvới
(hoc
thì s
số fMtrờn
= f(x
được
trị lớn
nhất2bc:
của hm số f trên D
ca hm
tp0 )hp
D gọi
, ta l

cngiá
chng
minh
Kí
f (f(x)
x). m) với mọi x D.
b1)hiệu:
f(x) M
=
M max
(hoặc
xD

x 0tồn
D:
= M x(hoặc
f(x 0 ) cho
= m ).
bb2)
) Nếu
tif(x
một
0 ) điểm
0 D sao
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số m = f(x 0 ) được gọi l giá trị nhỏ nhất của hm số f trên D
3) S Kí
dng
omhm
vof bi

hiệu:
= min
(x).toỏn tỡm GTLN, GTNN :
xD

* Lp bng bin thiờn.
* Dựng quy tc tỡm GTLN, GTNN ca hm s liờn tc trờn mt on

V nh: lm bi tp 17d), e); 21,22.
10/22/2013


x

a

b

x

a

b

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b], có
f’ đạo hàm trên-khoảng (a; b), có thể
f’ trừ một
sốf(a)
hữu hạn điểm. Nêu cách tìm giá trị lớn
f nhất và nhỏ nhất của hàm số trênf đoạn [a; b]

f(b)

x

f’

x1

a

-

0

0

-

0

+

f(b)

f(x 2 )
f(x1 )

b

x4

f(x3 )

f

10/22/2013

x3
+

f(a)

f(b)

f(a)

x2
+

+

f(x 4 )


Bài 2 T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
x2
y=
trªn ®o³n
x 1
Hướng dẫn giải:

1 3
2 ; 2



2x(x-1)-x2 x 2  2x
1 3
2
Cã: y' =

.
§Æt
g(x)
=
x

2x

g(x)
<
0
,

x

; .
2
2


(x  1)
(x  1)
2 2
B°ng biÕn thiªn:
3
x 1
1
2

y’

y

2

-



1
2



9
2

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số không có giá trị lớn nhất và không có giá trị
nhỏ nhất trên đoạn đã cho .
10/22/2013

Nhóm 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o³n -2; 3 .

Bài giải

10/22/2013


Nhóm 2
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
x3
b) f(x) =
 2x 2  3x  4 trªn ®o³n -4; 0
3

Bài giải

10/22/2013


Nhóm 1
T×m gi² trÞ lín nhÊt v¯ gi² trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
c) f(x) = x +

1
trªn kho°ng (1; +).
x-1

Bài giải

10/22/2013


Cảm ơn các thầy cô giáo đã
chú ý theo dõi!
Chúc các em học tập tốt!

10/22/2013