Bài giảng bài giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số giải tích 12 (7)

Bài giảng lớp12

10/22/2013


XÐt c¸c h¯m sè:
1) f(x) = cosx trªn tËp c¸c sè thùc
ThÊy : x  th×
*) -1  cosx  1
*) cosx = 1  x=2k , k 
*) cosx = -1  x=(2k+1) , k 
Ta nói hàm số y = cosx đạt giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất
y
là (-1) trên
5

4

3

2) g(x) = x2 trªn D = -1; 2

g(x) = x2

2

1

ThÊy x  -1; 2  th×
0  x 2  4.
v¯ g(x) = 0 víi x=0  -1; 2 ; g(x) = 4 víi x=2  -1; 2 

-4

-3

-2

-1

o

1

2

x
3

4

5

-1

Ta nói hàm số g(x)  x 2 đạt giá trị lớn nhất là 4 trên tập D và đạt giá
trị nhỏ nhất là 1 trên tập D
10/22/2013


1. nh ngha
Gi sử hm số f xác định trên tập hợp D,(D ).

a ) Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số M = f(x 0 ) được gọi l giá trị lớn nhất của hm số f trên D
Kí hiệu: M = max f (x).
xD

b) Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số m = f(x 0 ) được gọi l giá trị nhỏ nhất của hm số f trên D
Kí hiệu: m = min f (x).
xD

* Mun chng minh s M (hoc m) l giỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
ca hm s f trờn tp hp D , ta cn chng minh 2bc:
b1) f(x) M (hoặc f(x) m) với mọi x D.
b2) x0 D: f(x0 ) = M (hoặc f(x0 ) = m ).

Quy c: Khi núi giỏ tr ln nht hay nh nht ca hm s m khụng núi rừ
trờn tp no thỡ ta hiu ú l giỏ tr ln nht hay nh nht trờn tp xỏc nh ca
hm s
10/22/2013


2. Ví dụ
Ví dụ1.

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
f(x)  2x3  3x 2 +1 trªn ®o¹n -2; 1 .

Nhận xét:

Người ta chứng minh được các hàm số liên tục trên 1đoạn thì đạt được giá trị
lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.

10/22/2013


Quy tắc tìm đạo hàm của hàm số liên tục trên 1đoạn

Gi° sö h¯m sè f liªn tôc trªn ®o¹n  a; b  v¯ cã ®¹o h¯m trªn kho°ng (a; b), cã
thÓ trõ mét sè h÷u h¹n ®iÓm. NÕu f'(x) = 0 chØ t¹i mét sè h÷u h¹n ®iÓm thuéc
(a; b) th× ta cã quy t¾c t×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m f trªn
®o¹n  a; b  nh­ sau:

b1) T×m c¸c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t¹i ®ã h¯m sè f cã ®¹o h¯m bºng 0
hoÆc kh«ng cã ®¹o h¯m.
b2) TÝnh
f(x1tắc:
), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
Quy
b3) So s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc
- Sè lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  .
- Sè nhá nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  .

10/22/2013


Ví dụ 2:

Nhóm 1
Nhóm 2

Nhóm 3

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt v¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña h¯m sè:
a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o¹n -2; 3 .
x3
b) f(x) =
 2x 2  3x  4 trªn ®o¹n -4; 0 
3 1
c) f(x) = x +
trªn kho°ng (1; +).
x-1

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]
b1) T×m c¸c ®iÓm x1 , x 2 ,...., x m thuéc (a; b) t¹i ®ã h¯m sè f cã ®¹o h¯m bºng 0
hoÆc kh«ng cã ®¹o h¯m.
b2) TÝnh f(x1 ), f(x 2 ),..., f(x m ) , f(a) v¯ f(b).
b3) So s¸nh c¸c gi¸ trÞ t×m ®­îc
* Sè lín nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ lín nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  .
* Sè nhá nhÊt trong c¸c gi¸ trÞ ®ã l¯ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña f trªn ®o¹n  a;b  .

10/22/2013


Ví dụ 3: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán:

Bài 1
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña h¯m sè: f(x) = sin 4 x  cos4 x
Lời giải

x  :sin 4 x  0 v¯ cos4 x  0 nªn f(x)  0.

Do ®ã min f(x)=0.
x

V× sin 4 x  1 v¯ cos4 x  1 víi mäi x 
Do ®ã max f(x)  2

nªn f(x)  1+1=2.

x

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không
tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2
Gợi ý lời giải:

1
BiÕn ®æi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2  2 sin 2 x.cos2 x  1  sin 2 2x
2
1
Tõ ®ã dÔ d¯ng thÊy kÕt qu°: max f(x)  1;min f(x) 
x
x
2
10/22/2013


Bi 2 Tìm giá trị lớn nhất v giá trị nhỏ nhất của hm số:
Li gii

x2

y=
trên đoạn
x 1

1 3
2 ; 2



2x(x-1)-x 2 x 2 2x
Có: y' =

.
2
2
(x 1)
(x 1)
1 3
Xét g(x) = x 2 2x, dễ thấy g(x) < 0 với mọi x ; .
2 2
1 3
Do đó: y' < 0 , x ; .
2 2
1 3
Hm số đơn điệu gim trên ; .
2 2
1
1
3
9

max f(x) f( ) ; min f(x) f( )
1 3
2
2 x 1 ; 3
2
2
x ;
2 2

2 2

Nguyên nhân sai lầm:
1 3
Hàm số không liên tục tại điểm x = 1 ; nên không thể
2 2
áp dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn
10/22/2013


Ghi nh:
1) nh ngha giỏ tr ln nht, giỏ tr nh nht ca hm s

Gi sử hm số f xác định trên tập hợp D,(D ).
a ) Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho
f(x)
f(x
mọim)
x lDgiỏ tr ln nht (hoc giỏ tr nh nht)
2) Mun chng
minh

s0 )Mvới
(hoc
thì s
số fMtrờn
= f(x
được
trị lớn
nhất2bc:
của hm số f trên D
ca hm
tp0 )hp
D gọi
, ta l
cngiá
chng
minh
Kí
f (f(x)
x). m) với mọi x D.
b1)hiệu:
f(x) M
=
M max
(hoặc
xD

x 0tồn
D:
= M x(hoặc
f(x 0 ) cho

= m ).
bb2)
) Nếu
tạif(x
một
0 ) điểm
0 D sao
f(x) f(x 0 ) với mọi x D
thì số m = f(x 0 ) được gọi l giá trị nhỏ nhất của hm số f trên D
3) S Kí
dng
omhm
vof bi
hiệu:
= min
(x).toỏn tỡm GTLN, GTNN :
xD

* Lp bng bin thiờn.
* Dựng quy tc tỡm GTLN, GTNN ca hm s liờn tc trờn mt on

10/22/2013


BÀI TẬP VỀ NHÀ
Về nhà: làm bài tập 17d), e); 21,22.
Xem lại bài vừa học
Chuẩn bị bài kết tiếp

10/22/2013