Bài giảng bài giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số giải tích 12

Bài giảng toán 12

10/22/2013


KiÓm tra bµi cò:
1) XÐt sù biÕn thiªn vµ t×m cùc trÞ cña hµm sè:
y  f (x)  4  x

2) CMR: Hµm sè trªn ta cã:
0  f(x) 2, x[-2; 2].
T×m x[-2; 2] ®Ó f(x)=0 vµ
t×m x[-2; 2] ®Ó f(x)=2.

2
4 y
3
2
1
x
-6

-4

-2

2

4

6

-1
-2
-3
-4

Khi ®ã, ta nãi hµm sè y  f (x)  4  x 2 ®¹t gi¸ trÞ
lín nhÊt lµ 2 trªn ®o¹n [-2; 2] vµ ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt
lµ 0 trªn tËp [-2; 2] .
10/22/2013


1. ĐỊNH NGHĨA:
Định nghĩa:
Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D
a) Nếu tồn tại x0 D sao cho:
f(x)  f(x0) với mọi x  D.
thì ta số M = f(x0) được gọi là GTLN của hàm số f trên D.
Ký hiệu: M  Max f (x)
xD

b) Nếu tồn tại x0 D sao cho:
f(x)  f(x0) với mọi x  D.
thì ta số m = f(x0) được gọi là GTNN của hàm số f trên D.
Ký10/22/2013
hiệu: M  min f (x)
xD


* Muốn chứng minh số M (hoặc m) là giá trị lớn

nhất (hoặc giá trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập
hợp D , ta cần chứng minh 2 bớc:
B1: f(x) M (hoc f(x) m) vi mi x D.
B2: Tn ti ớt nht mt im xo D sao cho f(xo) = M
(hoc f(xo) = m).

Quy ớc: Khi nói giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của
hàm số mà không nói rõ trên tập nào thì ta hiểu đó
là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên tập xác định của
hàm
số
10/22/2013


Ví dụ 1:
Tìm GTLN và GTNN của hàm số: y  f (x)  4  x 2
Cách 1: như câu 2) của phần kiểm tra bài cũ.
Cách 2: như câu 1) của phần kiểm tra bài cũ.
PP: Tìm GTLN, GTNN của hàm số nhờ vào tính đơn điệu
và cực trị của hàm số.

B1: Lập bảng biến thiên của hàm số.
B2: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số kết luận GTLN,
GTNN (nếu có).
10/22/2013


Ví dụ 2:
Một hình hộp không nắp được làm từ
một mảnh các-tông theo mẫu (hình

1.1). Hộp có đáy là hình vuông cạnh
x(cm), chiều cao là h(cm) và có thể
tích là 500(cm3).
a)Hãy biểu diễn h theo x.
b)Tính diện tích S(x) của mảnh cáctông theo x.
c) Tìm giá trị của x sao cho S(x) nhỏ
nhất.
10/22/2013

h

h

x
x

H×nh 1.1


Nhận xét:
Ngời ta chứng minh đợc các hàm số liên tục trên 1 đoạn
thì đạt đợc giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên đoạn [a; b]

B1: Tỡm cỏc im x1, x2, ..., xm thuc (a; b) ti ú hm s f
cú o hm bng 0 hoc khụng cú o hm.
B2: Tớnh f(x1), f(x2), ..., f(xm), f(a) v f(b).
B3: So sỏnh cỏc giỏ tr f(x1), f(x2), ..., f(xm), f(a) v f(b) v
kt lun: Max f (x); min f (x)
x a;b

x a;b
10/22/2013


VÝ dô 3:
Nhãm 1

Nhãm 2
Nhãm 3

10/22/2013

T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè:
a) f(x)  x 2  2x  5 trªn ®o¹n -2; 3.
x3
b) f(x) =
 2x 2  3x  4 trªn ®o¹n -4; 0
3

1
c) f(x) = x +
trªn kho¶ng (1; +).
x-1


Ví dụ4: Tìm sai lầm trong lời giải các bài toán:

Bài 1
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: f(x) = sin 4 x cos4 x
Lời giải

x :sin 4 x 0 và cos4 x 0 nên f(x) 0.
Do đó min f(x)=0.
x

Vì sin 4 x 1 và cos4 x 1 với mọi x
Do đó max f(x) 2

nên f(x) 1+1=2.

x

Kết luận: giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0, giá trị lớn nhất của hàm số là 2.
Nguyên nhân sai lầm: dấu bằng không xảy ra, tức là không
tồn tại x để f(x) = 0 hoặc f(x) = 2
Gợi ý lời giải:

1
Biến đổi: f(x) = (sin 2 x+cos2 x)2 2 sin 2 x.cos2 x 1 sin 2 2x
2
1
Từ
đó
dễ
dàng
thấy
kết
quả:
max
f(x)

1;min
f(x)

10/22/2013
x
x
2


Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Lời giải

x2
y=
trên đoạn
x 1

1 3
2 ; 2



2x(x-1)-x 2 x 2 2x
Có: y' =

.
2
2
(x 1)

(x 1)
1 3
Xét g(x) = x 2 2x, dễ thấy g(x) < 0 với mọi x ; .
2 2
1 3
Do đó: y' < 0 , x ; .
2 2
1 3
Hàm số đơn điệu giảm trên ; .
2 2
1
1
3
9
max f(x) f( ) ; min f(x) f( )
1 3
2
2 x 1 ; 3
2
2
x ;
2 2

2 2

Nguyên nhân sai lầm:
1 3
Hàm số không liên tục tại điểm x = 1 ; nên không thể
2 2
áp dụng quy tắc tìm GTLN, GTNN trên một đoạn

10/22/2013


Bài tập :
1) BTSGK
2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= x6 + 3(1-x2)3 trên đoạn
[-1;1].
3) Tìm m để hàm số sau nghịch biến trên [1; +):
2
mx  (6m  5)x  2(1  3m)
y
x 1
4) Tìm m để hàm số sau đồng biến trên (0; 3):
1 3
2
y  x  (m  1)x  (m  3)x  4
3

10/22/2013


10/22/2013