Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11 (6)

1. Hàm số liên tục tại một điểm:
2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên
một đoạn:
3. Tính chất của hàm số liên tục:


Chứng minh rằng:

 x3 1
khi x  1

a/ Hàm số y   x  1
gián đoạn tại điểm x = 1
2
khi x  1

b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục trên đoạn [-1, 2].


Chứng minh rằng:

b/ Hàm số y = x4 – 2x2 + 2 liên tục
trên [-1, 2].
Giải
Hàm số f(x) = x4 - 2x2 + 2 xác định
trên R.Với mọi x0  (-1, 2) ta có:
4
2
lim f ( x)  lim ( x  2 x  2)

x  x0

x  x0

 x04  2 x02  2  f ( x0 )
 hàm f liên tục trên khoảng (-1, 2)
Lại có: f(-1) = 1 = lim f(x) khi x  -1+

f(2) = 10 = lim f(x) khi x  2Do đó hàm f liên tục trên đoạn [-1, 2]

 x3 1
khi x  1

y

a/ Hàm số
 x 1
2
khi x  1


gián đoạn tại điểm x = 1
Giải
Với x = 1, f(1) = 2

Với mọi x  1 ta có:
x 3  1 ( x  1)( x 2  x  1)
f ( x) 

x 1
x 1

 x2  x 1
Do đó:
2
lim f ( x)  lim x  x  1  3  2  f (1)
x 1

x 1

Vậy hàm f gián đoạn tại điểm x = 1


y

y = x4 – 2x2 + 2

Nhận xét:
Hàm fHàm
có liên
trên
hay2]không?
f cótục
liên
tụcđoạn
trên [-1,
đoạn2][-1,

10

Ta có: f(-1) = 1

f(2)

f(2) = 10
 f(-1)  f(2)
Với mỗi M bất kì nằm giữa f(-1) và
f(2) ta luôn tìm được ít nhất một giá trị
c  (-1, 2) sao cho f(c) = M
Với mỗi M nằm giữa f(-1)
và f(2), hãy tìm c  (-1, 2) sao
cho f(c) = M trong các trường
Tính f(-1) =
hợp sau:
f(2) =

M=5
M=2

2

M=

3
2

f(-1)

Trường hợp 1: M = 2

1

-1 0

2

Trường hợp 3: M = 5

x


y

3. Tính chất của hàm số liên tục:
Định lí 2: (định lí về giá trị
trung gian của hàm số liên tục)

y = f(x)
f(b)

Giả sử hàm số f liên tục trên
đoạn [a, b]. Nếu f(a)  f(b) thì với
mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b),
tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b)
sao cho f(c) = M.

f(c) = M
y=M

M

Ý nghĩa hình học của định lí:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
[a, b] và M là một số thực nằm giữa
f(a) và f(b) thì đường thẳng y = M
cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít
nhất tại một điểm có hoành độ
c  (a, b)

f(a)
b

a

0

c

x


y = x2 + 1

3. Tính chất của hàm số liên tục:

y

Cho hàm số:

x 2  1


f ( x)   1

2

2

khi x  1
khi x  1

1

Tìm lỗi sai trong lời giải sau:
Giải
Hàm f liên tục trên đoạn [-2, 0]
Lại có f(-2) = 5  1 = f(0)

Theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm
c (-2, 0) sao cho f(c) = M

1
2

-1 0

x


Hãy dự đoán phương trình x4 - x3 – 3 = 0 có ngiệm hay không?

Nhận xét:

y

1.
1.Hàm
Hàmsốsốy y= =f(x)
f(x)
cócó
liênliên
Hệtục
quả:
tục
trên
trênđoạn
đoạn[a,
[a,b]
b].hay không?
y = f(x)

f(b)
M

f(c) = 0
a

0
f(a)

y=0
c

b

x

Nếu2.
f liên tục
2.hàm
Tíchsốf(a).f(b)
Tích
f(a).f(b)
như
<
0trên
thếđoạn
[a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít
nào?
nhất một điểm c  (a, b) sao cho
Theo định lí 2, tồn tại ít nhất
f(c) = 0.
một điểm c  (a, b) sao cho
f(c)=M,
mỗihọc
M của
nằmhệ
giữa
f(a)

Ý nghĩavới
hình
quả:
và f(b).
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn
Khi M = 0 ta có f(c) = 0, với
[a, b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm
c (a, b).
số y = f(x) cắt trục hoành ít nhất tại
Khi
Khi đó:
đó
c đượcđộ
gọic là
một điểm
có hoành
 gì
(a,của
b).
phương
c được
trình gọi
f(x) là
= 0?
nghiệm của
phương trình f(x) = 0


3. Tính chất của hàm số liên tục:
Áp dụng:

Chứng minh phương trình có
nghiệm trong một khoảng:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên
đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0 thì
phương trình f(x) = 0 có ít nhất
một nghiệm trong khoảng (a, b).
Để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phương trình ta thực
hiện như sau:
+ Tìm hàm f(x)
+ Chọn [a, b] sao cho: hàm f(x) liên
tục trên đoạn [a, b] và f(a).f(b) < 0
+ Kết luận.

Ví dụ : Cho hàm số P(x) = x3 + x - 1.
Chứng minh rằng phương trình
P(x) = 0 có ít nhất một nghiệm dương
nhỏ hơn 1.
Giải
Ta có:
+ P(x) = x3 + x - 1 liên tục trên đoạn
[0, 1].
+ P(0) = -1
+ P(1) = 1
 P(0).P(1) = (-1).1 = -1 < 0
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một điểm
c  (0, 1) sao cho P(c) = 0
Do đó: x = c chính là một nghiệm
dương nhỏ hơn 1 của phương trình
P(x) = 0

Định lí 2:
Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [a, b].
nếu f(a)  f(b) thì với mỗi số thực M nằm giữa
f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c  (a, b)
sao cho f(c) = M.
Ý nghĩa hình học của định lí:

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và M
là một số thực nằm giữa f(a) và f(b) thì đường
thẳng y = M cắt đồ thị của hàm số y = f(x) ít
nhất tại một điểm có hoành độ c  (a, b)
Hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c(a, b)
sao cho f(c) = 0.

Ý nghĩa hình học của hệ quả:
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] và
f(a).f(b) < 0 thì đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục
hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ
c(a, b).

Hãy dự đoán phương trình
x4-x3–3=0 có ngiệm hay không?
Ta có:

+ f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn
[-2, 0].

+ Tìm hàm f(x)?
+ f(-2).f(0)
= 5.(-3)
-15 0 f liên
+ Tìm đoạn
[a, b]= thỏa
tụcTheo
trên đoạn
[a,tồn
b] và
f(a).f(b)
hệ quả
tại tích
ít nhất
một
< 0? c  (-2, 0) sao cho f(c) = 0
điểm
+ Theo hệ quả ta có kết luận gì?
Vậy x = c là một nghiệm của
phương trình f(x) = 0.
Ta có

+f(x) = x4-x3-3 liên tục trên đoạn
[0, 2]
+f(0).f(2) = -15
Theo hệ quả tồn tại ít nhất một
điểm c  (0, 2) sao cho f(c) = 0.
Vậy x = c cũng là một nghiệm
của phương trình f(x) = 0.

x 2  5x  2
Cho hàm số f(x) =
2x  2
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một điểm c  (0, 2)
sao cho f(c) = - 0.8
Giải
Ta có: hàm f liên tục trên [0, 2]
Lại có: f(0).f(2) = (-1).2 = -2 < 0
Vì - 0.8  (-1, 2) nên theo định lí 2 tồn tại ít nhất một điểm
c (0, 2) sao cho f(c) = - 0.8