Bài giảng bài hàm số liên tục giải tích 11

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x0  (a; b)  lim f ( x)  f ( x0 )
x  x0

*) Các bước c/m hàm số f(x) liên tục tại 1 điểm xo:

xo € TXD, tính f(xo)

lim f ( x) tồn tại
x x
0

lim f ( x)  f ( x0 )

x  x0

*) Hàm số f(x) vi phạm 1 trong 3 bước trên thì không liên tục tại 1 điểm xo
hay gián đoạn tại điểm xo đó:



Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:

- Hàm số f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục
tại mọi điểm của khoảng đó.
- Hàm số f(x) được gọi là liên tục đoạn [a; b] nếu nó liên tuc trên

khoảng (a; b) và lim f ( x)  f (a ), lim f ( x)  f (b)


xa

x b

Nx: Đồ thị của hàm số liên tục trên 1 khoảng là một “ đường liền” trên
khoảng đó

*) Định lý 1:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng
*) Định lý 2:

Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại

một điểm là liên tục tại điểm đó


3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*) Định lý 3:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục

f(x) liên tục

f(x) liên tục

tại một điểm

trên một khoảng

f(x) = 0

có nghiệm




Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Phương pháp:
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x0  (a; b)  lim f ( x)  f ( x 0 )
x x 0

*)Ví dụ áp dụng:
Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm được chỉ ra
2
x
1
1) f(x) =
x 1

2) f(x) =

3) f(x) =

Tại điểm x0 = 2

2x 1

nếu x > 1

x2

nếu x ≤ 1

-2

1
x

nếu x # 0

1

nếu x = 0

Tại điểm x0 = 1

Tại điểm x0 = 0




Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Phương pháp: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)

f(x) liên tục tại x0  (a; b)  lim f ( x)  f ( x 0 )
x x 0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài1
x2 1
1) f(x) =
x 1

Tại điểm x0 = 2

Bài giải: TXĐ: D =R =>xo = 2 € D.
x2 1 = 5
lim f ( x) = lim
Ta có:
=> lim f ( x)  f (2)
x2 x  1
x 2
x2
f (2) = 5
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x0 = 2
2) f(x) =

2x 1

x2

-2

nếu x > 1
nếu x ≤ 1

TXĐ: R.
Tinh lim f ( x)  lim( x 2  2)  1
x 1

x 1

Tại điểm x0 = 1

 lim f ( x)  lim f ( x) KL:H/s gián đoạn
x 1

x 1


Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
*)Phương pháp: Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x0  (a; b) 
Bài 1:
3) f(x) =

1
x

nếu x # 0

1

nếu x = 0

Tại điểm x0 = 0

Bài giải: TXD: R do đó xo = 0 € TXD

1
lim f ( x)  lim  
x 0
x

x 0

KL: Hàm số f(x) gián đoạn tại xo = 0




Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
*)Phương pháp:
ÁP DỤNG ĐỊNH
các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,
LÝ
2:lượng giác, liên tục trên tập xác định của chúng
hàm1,số

*)Ví dụ áp dụng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
x 2  16
nếu x  4
a) f( x) =
x4

8
nếu x = 4
b) f(x) =

2x 1

nếu x > 1

x2 - 2
nếu x ≤ 1
Bài 3: a/ Vẽ đồ thị h.s sau. Từ đó nhận xét tính liên tục trên TXĐ.
f ( x) 

( x  1) x
x

b/ Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.




Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
x 2  16
nếu x  4
a) f( x) =
x4
8
nếu x = 4
Bài giải:

Tập xác định: D = R
x 2  16
Với x  4: Hàm số f(x) =
liên tục trên các khoảng (-; 4) và (4; +)
x  42
Xét tại x = 4: lim f (x) = lim x  16 = lim(x  4) = 8
x4
x 4
x 4
x4
 lim f (x) = f(4)
 Hàm số liên tục tại x = 4
x4
f(4) = 8
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R




Vấn đề 2: Xét tinh liên tục của hàm số trên một khoảng
Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
b) f(x) =

Bài giải:

2x 1
x2 - 2

nếu x > 1
nếu x ≤ 1

Tập xác định: D = R
*) Với x > 1 hoặc x < 1 thì h/s f(x) trên là các hàm đa thức nên nó liên tục trên
các khoảng (-; 1) và (1; +)
*) Tai x = 1 thì h/s f(x) gián đoạn
Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên mỗi khoảng (-; 1) và (1; +)
và gián đoạn tại x = 1.



BÀI TẬP: HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 3: a) Vẽ đồ thị h/số

f ( x) 

( x  1) x
x

 x  1 neáu x  0

=> Hàm số liên tục trên
1 - x neáu x  0

(;0) va (0;)

y

b/
+) Ta có: f(x) = x - 1 với x>0;

f(x) = 1 - x (x<0) là(hàm
;0)đa
va thức
(0;)
nên liên tục trên

1
o

-1

x

+ Tại x = 0 không thuộc
TXD của h/s nên h/s gián
đoạn tại x = 0.
Kl: Hàm số liên tục trên (-; 0) va (0; +),gi¸n ®o¹n t¹i x = 0



Vấn đề 3

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

*)Phương pháp Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài 4: a) Cho phương trình: x3 - 3 x + 1 = 0

Chứng minh rằng phương trình có nghiệm  ( 1; 2 )
b/ Phương trình x4 – 3x3 + 1 = 0 có nghiệm
hay không trên khoảng (-1; 3)
c/ CMR :ph¬ng trinh m(2 cos x  2 )  2 sin 5x  1.
có nghiệm với mọi m




Vấn đề 3

Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm

*)Phương pháp Sử dụng kết quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
=> Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm xo thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng

Bài 4:
Bài giải:

a) Cho phương trình: x3 - 3 x + 1 = 0
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm  ( 1; 2 )
f(x)= x3 - 3 x + 1

Hàm số f(x) là đa thức nên liên tục trên R  hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]

f(1) = -1
 f(1).f(2) = - 3 < 0

f(2) = 3
  x0  ( 1; 2) :
f(x0) = 0
Kết luận: phương trình có nghiệm  ( 1; 2 )




BÀI TẬP: HÀM SỐ LIÊN TỤC
b/ Hàm số f(x) = x4 – 3x3 + 1 liên tục trên R, do đó liên tục trên
khoảng ( -1; 3) và có : f( -1) = 5 ;f(1) = -1; f(3) = 1 > 0. Do đo trên
khoảng (- 1; 3) thì Pt có 2 nghiệm.

c/ CMR :phương trinhm(2 cos x  2 )  2 sin 5x  1. cú nghệm với mọi m
Đặt f ( x)  m(2 cos x  2 )  2 sin 5x 1
là hàm số xác định và liên tục trên R nên liên tục trên


f ( và).có
f(
)  (1 
4
4
.

2 ).(1 

2)  0

  

 4 ; 4 



m

Vậy pt :f(x)=0 có nghiệm với mọi m




BÀI TẬP
Đ3 HÀM SỐ LIÊN TỤC
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng




Cám ơn các thầy giáo, cô
giáo cùng tập thể lớp 11a1
đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi
hoàn thành bài giảng