Bài giảng bài một số phương trình lượng giác thường gặp đại số 11 (4)

GV: Nguyễn Tâm


Nội dung
Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với hàm lượng giác
Dạng 2:Phương trình bậc hai đối với hàm lượng giác

Dạng 3: Phương trình bậc nhất đối với Sinx và Cosx
Dạng 4: Phương trình thuần nhất bậc hai đối với
Sinx và Cosx
Dạng 5: Phương trình đối xứng


Kiểm tra bài cũ:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình:

2cosx- 3  0
 

 2

a   k 2 , k  Z  b   k 2 , k  Z 
 3

 3

c

 

   k , k  Z 

 6


d

 

  k 2 , k  Z 
 6



Kiểm tra bài cũ:
Câu 2: Tập nghiệm của phương trình:
2

cos x  s inx  1  0

 

a   k 2 , k  Z 
 2


 

b   k 2 , k  Z 
 2


 



c   k 2 , k  Z  d   k , k  Z 
 2

2



Dạng 1 Phương trình bậc nhất đối với hàm lượng giác

PT có dạng:

asinx + b = 0
acosx + b = 0 trong đó: a  0
atanx + b = 0
acotx + b = 0

Phương pháp: đưa về phương trình
lượng giác cơ bản để giải


Dạng 2 Phương trình bậc hai đối với hàm lượng giác

PT có dạng:
asin2x + bsinx + c = 0 (1)
acos2x + bcosx + c = 0 (2)
atan2x + btanx + c = 0 (3)

acot2x + bcotx + c = 0 (4)
(trong đó: a, b  0)
Phương pháp:

• Đối với pt (1) và (2) đặt t=sinx hoặc t=cosx, t[-1,1]
• Đối với pt (3)

đặt t=tanx, cosx  0

• Đối với pt (3)

đặt t=cotx, sinx  0


Dạng 3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

PT có dạng: asinx + bcosx = c (*)
(trong đó: a,b,c  R, a2+b2  0)
 Cách 1: chia 2 vế của pt (*) cho a 2  b 2 ta được:
(*) 

a
a b
2

2

sin x 

b

a b
2

 cos  .sin x  sin  .cos x 
 sin( x   ) 

2

cos x 


a
cos



2
2
c
a

b



2
2 
b
a  b sin  


2
2

a

b


c
a 2  b2

c
a 2  b2

Chú ý: pt (*) có nghiệm là a2+b2 c2









Ví dụ 1:
Giải phương trình sau:

3sin x  3 cos x   3

x
 Cách 2: đặt t  tan
2
x 
TH1:   k  x    k 2 , k  Z
2 2
Thế vào pt (*) xem có là nghiệm hay không?

x  x 
k 2Z , k 
TH 2 : Th
 2 :  k  xk 

xk2, k 
2 2 2 2
2t

sin x 

x 
1 t2
t  tan , 
2
2 
1 t
cos x 
2

1


t


Thế vào pt (*) tìm được t và sau đó tìm được x


Ví dụ 2:
Giải phương trình sau:

sin x  ( 3  2) cos x  1


Dạng 4 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx
PT có dạng:

a sin 2 x  b sin x.cos x  cos 2 x  0(*)

2
2
Dạng đặc biệt: a sin x  b sin x.cos x  cos x  d

 Cách 1:

 TH1: cosx =0 có là nghiệm của pt (*) hay không
TH2: cosx  0 chia 2 vế của pt (*) cho cos2x
Ta được pt: a tan x  b tan x  c  0
2

 Cách 2: đưa pt (*) về dạng pt bậc nhất theo sin2x và cos2x
1  co 2 x

 2
sin
x


2

1  cos 2 x

2
cos
x


2

1

sin x.cos x  2 s ìnx

*d  d (sin 2 x  cos 2 x
d
* 2  d (1  tan 2 x)
cos x


Ví dụ 3:
Giải phương trình sau:

a)3sin x  4sin x.cos x  cos x  0

2

2

b)2sin x  5sin x.cos x  cos x  2
2

2


Củng cố:
Câu 1: Tập nghiệm của phương trình:

3sinx  cosx  1





a   k 2 ,   k 2 / k  Z  b   k 2 , k 2 / k  Z 
 3

3

c

 

   k / k  Z 
 6



 2

d    k / k  Z 
 3



Củng cố:
Câu 2: Với giá trị nào của m thì pt sau có nghiệm:

2 sin3 x  5cos3 x  m

a
c

3  m  3
m9

b

m 3

d

9  m  9


Củng cố:

Câu 3: Tập nghiệm của phương trình:

4sin x  5sinxcosx  6cos x=0
2

2

3


a arctan2+k , arctan(- )  k / k  Z 
4


3


b arctan(- )  k / k  Z 
4


c   +k , arctan2+k , arctan(- 3 )  k / k  Z 
4
2


d

Pt vô nghiệm