Bài giảng bài một số phương trình lượng giác thường gặp đại số 11

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP


§3

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP

1- Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai đối với
một hàm số lượng giác

.

Dạng :

asinx + b = 0

( a,bR ; a0 )

asin2x + bsinx +c = 0 ( a,b,cR ; a0 )

.Cách giải : Đặt sinx = t (  t   1 ) . Đưa phương trình về
phương trình bậc nhất ( bậc hai) theo t
2- Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx


2 - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX

* Dạng :
asinx + bcosx = c (1) a, b, c R và a 0 , b  0
* Cách giải :

Cách 1: Vì a  0 , chia hai vế của phương trình(1) cho a
b
rồiđặt
= tg  ta được:
a
c
sinx + tg cosx =

a

c
sin

 sinx +
cosx =
a
cos 

c
 sinx cos + cosx sin  =
cos
a
c
cos
 sin(x +) =
a


Ví dụ 1 : Giải phương trình sau

3 sin x  3 cos x  3 (a)
Chia hai vế của phương trình (a) cho 3 ta được
:
3
cosx = 1  sinx + tg cos x  1
sinx +
3
6

sin



6
 sin x 
cos x  1  sin x cos  cos x sin  cos

6
6
6
cos
6
 

x    k 2
x   k 2
6 3


6


 sin(x  )  sin



6
3

x      k 2
x   k 2
6
3
2
Giải :


a, b ,c  R và a  0 , b  0

asinx + bcosx = c (1)

a b 0

Cách 2: Vì a 0 , b  0 nên

2

2

Chia hai vế của phương trình (1) cho a 2  b 2 , ta được:
c

b
a
sinx+
cosx = 2 2 (2)
2
2
2
2
a b
a b
a b

 a 
Vì :  2 2 
 a b 
a

2

a b
2

2

 b 
+  2 2  = 1 Nên ta có thể đặt:
 a b 
b
= cos ;

a 2  b2

2

Khi đó (2) có dạng:
cos sinx + sin cosx =
Hay:

sin(x + ) =

c
a b
2

2

(3)

= sin 
c

a 2  b2


Ví dụ 2: Giải phương trình

5 sin 2x  2 cos 2x  4 (b)
Giải: Chia 2 vế phương trình (b) cho
ta được :

5
2
4
sin 2x  cos 2x 
3
3
3
2

Vì :

 5  2
    1
 3   3

a b  54  3
2

2

(b’)

2

nên ta đặt
2
5
cos  
; sin  
phương trình (b’) trở thành

3
3
4
4
cos  sin2x  sin  cos 2x   sin(2x  ) 
3
3
4
PT cuối vô nghiệm vì  1  PT đã cho vô nghiệm
3


* Chú ý :
1) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi : c2  a2 +b2
2) Có thể đưa phương trình (1) về một phương trình đại số
x
theo t = tg (x  +k2) bằng cách áp dung các công thức
2
2

2t
sinx =
1 t2

;

1 t
cosx =
1 t2

Phương trình (1) trở thành :

2
2
t
1

t
a
+ b
= c
2
2
1 t
1 t

 (b+c)t2 - 2at + c - b = o
3)Phương pháp đưa vào đối số phụ thích hợp cho các phương
x
trình với hệ số bằng số , phương pháp chuyển sang t = tg
2
thích hợp cho các phương trình chứa tham số


Bài toán :
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số
sin x  3
y=

Giải:

cos x  2

Tập xác định : D = R
sin x  3
có nghiệm
Gọi y0 là một giá trị của hàm số PT y0 =

cos x  2
sin x  3
Ta có : yo =
 y0 cosx + 2y0 = sinx - 3
cos x  2

 sinx - y0 cosx = 2y0 + 3 ( * )
PT (*) có nghiệm  (2y0 +3 )2  1 + y02
62 3

6

2
3
2
 y0 
 3y0 + 12y0 + 8  0 
3
3 62 3
Vậy : Giá trị lớn nhất của hàm số là
3

62 3
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là
3