Thế nào là hàm số đồng
biến, nghịch biến? Hàm số
đơn điệu?
1. Định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến
* Hàm số y = f(x) gọi là :
- Đồng biến trên (a; b) nếu:
x1 ,x2 (a;b)mµx1 x2 f(x1 )f(x2 )
- Nghịch biến trên (a; b) nếu:
x1 ,x2 (a;b)mµx1 x2 f(x1 )f(x2 )
* Hàm số y = f(x) gọi là đơn điệu trên (a; b) nếu nó
đồng biến hoặc nghịch biến.
Cách khác để xét tính đơn
điệu của hàm số?
f(x1 )f(x 2 ) y
XÐtdÊucñatûsè :
x
x1 x 2
y
NÕu : 0hàmsốđồng biến
x
y
Nếu : 0hàmsốnghịch biến
x
2. Điều kiện đủ của tính đơn điệu
Định lý1: (Lagrange)
Nếu hàm số f(x) liên tục trên [a; b]
và có đạo hàm trên (a;b)
thì tồn tại c (a;b) sao cho:
f (b) f (a) f '(c)(b a)
f (b) f (a)
f '(c)
ba
(*)
Ý NGHĨA CỦA ĐỊNH LÝ LAGRANGE
XÉT CUNG AB CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Y = F(X) VỚI A(A;
F(A)), B(B;F(B))
Hệ số góc của cát tuyến AB
f (b) f (a)
ba
f(b) f(a)
f '(c)
ba
Hệ số góc của tiếp tuyến
của cung AB tại điểm
C(c; f(c)) bằng hệ số góc
của cát tuyến AB.
y
C
f(c)
f(b)
B
f(a)
O
A
a
c
b
x
* Dấu hiệu (điều kiện đủ) của tính đơn
điệu
Định lý 2: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a; b).
a) Nếu f’(x) < 0 x (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b)
b) Nếu f’(x) > 0 x (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b)
Để xét tính đơn điệu của hàm số ta đi
xét dấu của f’(x)
Ví dụ 1: Xét tính đồng
biến, nghịch biến (đơn
điệu) của hàm số sau
1 3
2
y x 3x 8x2
3
2
y'x 6x 8
x2
2
x 6x 80
x4
TXĐ: D = R
1 3
2
y x 3x 8x 2
3
Bảng biến thiên
x
Y’
y
2
+
0
4
-
14
3
Kết luận: + Hàm số đồng biến trên
khoảng
+ Hàm số đồng biến trên
+
0
2
3
(;2)(4; )
(2;4)
Ví dụ 2: Xét tính đồng
biến, nghịch biến (đơn
điệu) của hàm số sau
3x 1
TX § :DR \ 1
y
1 x
4
y'
2
1 x
y'0xD
3x1
y
1x
Bảng biến thiên
x
Y’
1
+
+
y
Kết luận: + Hàm số đồng biến trên
khoảng
(;1)(1; )
Để xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) ta
đi xét dấu của f’(x)
Các bước xét tính đơn điệu:
Bước 1: Tìm TXĐ và tính y’
Bước 2: Xét dấu y’
Bước 3: Lập bảng biến thiên và kết luận
HẾT