Soạn bài 1: Mệnh đề và mệnh đề chứa biến

[GÓC ĐẠI SỐ 10] CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP
BÀI 1: MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN
* Lý thuyết:
1. Mệnh đề là gì?
-> Mệnh đề (gọi đầy đủ là một mệnh đề logic) là một câu khẳng định đúng
(được gọi là một mệnh đề đúng) hoặc một câu khẳng định sai(được gọi là
một mệnh đề sai). Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.
- Một mệnh đề có thể được đặt là mệnh đề P, Q, a, b…
- Dấu hiệu nhận biết: mệnh đề là một câu trần thuật và được kết thúc bằng
dấu chấm.
- Ví dụ: “21 chia hết cho 7” là một mệnh đề đúng.
“1+1=3” là một mệnh đề sai.
“Hôm nay trăng sáng quá!” không phải là một mệnh đề.
2. Mệnh đề phủ định là gì?
-> Mệnh đề phủ định là mệnh đề trái ngược lại với mệnh đề đã cho. Như
mệnh đề a có mệnh đề phủ định là mệnh đề “Không phải a” và được kí hiệu
là . Trong mọi trường hợp a đúng thì sai, và ngược lại.
- Ví dụ: c: “Tớ thích cậu” => : “Tớ ghét cậu”
=> Lưu ý: Có nhiều cách để thay đổi mệnh đề thành mệnh đề phủ định, chứ
không nhất thiết là chỉ dùng từ không như sử dụng những từ trái nghĩa,
những từ mang ý phủ định, … để làm cho mệnh đề trở nên hay hơn và nghe
vui hơn.
3.1. Mệnh đề kéo theo là gì?
-> Mệnh đề kéo theo là từ mệnh đề này sẽ được mệnh đề kia, và hai mệnh
đề kéo theo như mệnh đề T và K thì thường được gọi là mệnh đề “Nếu T thì
K”; “Vì T nên K” hay “T suy ra K”;… và được ký hiệu là T=>K.
- Về tính đúng, sai thì mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng, Q sai, và đúng
trong các trường hợp còn lại.
- Ví dụ: Ta có: P: “Tam giác ABC cân tại A” và Q: “Hai cạnh bên bằng nhau”
Thì mệnh đề kéo theo của P và Q là: “Do tam giác ABC cân tại A nên hai
cạnh bên bằng nhau” và mệnh đề P=>Q là một mệnh đề đúng.

3.2. Mệnh đề đảo là gì?


-> Mệnh đề đảo là mệnh đề ngược lại với mệnh đề kéo theo.
- Về tính đúng sai: thì mệnh đề đảo giống mệnh đề kéo theo là chỉ sai khi Q
sai, P đúng; còn lại thì mệnh đề đảo đều đúng.
- Ví dụ: Mệnh đề kéo theo N=>K là: “ Vì a là số chẵn nên a chia hết cho 2” thì
có mệnh đề đảo là: “Vì a chia hết cho 2 nên a là số chẵn ” và mệnh đề đảo
K=>N là một mệnh đề đúng.
4. Mệnh đề tương đương là gì?
-> Hai mệnh đề T và N được gọi là hai mệnh đề tương đương khi được viết
dưới dạng “T nếu và chỉ nếu Q” hay “T khi và chỉ khi Q”, được kí hiệu là T
N.
- Về tính đúng, sai: thì mệnh đề tương đương chỉ đúng khi hai mệnh đề
cùng đúng hoặc cùng sai và sai trong các trường hợp còn lại.
- Ví dụ: Ta có: N: “Tam giác ABC vuông tại A”
T: “Trung tuyến AM bằng nửa cạnh BC”
Thì mệnh đề N T là: “Tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi trung tuyến
AM bằng nửa cạnh BC” khi đó mệnh đề tương đương này là một mệnh để
đúng.
5. Mệnh đề chứa biến là gì?
-> Mệnh đề chứa biền là mệnh đề chứa một hay nhiều biến nhận giá trị
trong một tập xác định X nào đó.
- Về tính đúng, sai của mệnh đề thì tùy thuộc vào giá trị cụ thể của biến đó.
- Ví dụ: “n chia hết cho 4” với n là số tự nhiên.
Khi n bằng 4 thì mệnh đề trên đúng.
Khi n bằng 2 thì mệnh đề trên sai.
6. Các kí hiệu ∀ và Ǝ:
6.1. Kí hiệu ∀: được đọc là “với mọi”
- Ví dụ: “Với mọi x thuộc X, P(x) đúng” ( hay “P(x) đúng với mọi x thuộc X ”

)
=> Kí hiệu là: “∀x ∈ X, P(x)” ( hay “∀x ∈ X: P(x) ” )
6.2. Kí hiệu Ǝ: được đọc là “tồn tại” hay “chỉ một”
- Ví dụ: “Tồn tại x thuộc X để P(x) đúng” ( hay “P(x) đúng với chỉ một giá trị
của x thuộc X” )
=> Kí hiệu là: “Ǝx ∈ X, P(x)” ( hay “Ǝx ∈ X: P(x) “ )
7. Mệnh đề phủ định của mệnh đề chứa ∀ và Ǝ
Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, A(x)” là mệnh đề “Ǝx ∈ X, Ā(x)”


- Ví dụ: “Mọi con đường trên phố đều có trồng cây xanh” có mệnh đề phủ
định là “Chỉ một con đường trên phố không trồng cây xanh”.
* Giải bài tập sách giáo khoa đại số nâng cao 10:
H1. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau đây và xác định xem
mệnh đề phủ định đó đúng hay sai.
a) A: “Pa-ri là thủ đô của nước Anh”
b) U: “2002 chia hết cho 4”
Giải: Ā: “Pa-ri không phải là thủ đô của nước Anh” là một mệnh đề đúng
Ū “2002 không chia hết cho 4” là một mệnh đề đúng
H2. Cho tứ giác ABCD . Xét mệnh đề P: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật” và
mệnh đề Q: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo bằng nhau”. Hãy phát biểu
mệnh đề P=>Q theo nhiều cách khác nhau.
Giải: P=>Q: “Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên tứ giác ABCD có hai đường
chéo bằng nhau” hay “Ta có tứ giác ABCD là hình chữ nhật suy ra tứ giác
ABCD có hai đường chéo bằng nhau” ; …
H3. a) Cho tam giác ABC. Mệnh đề T: “Tam giác ABC là một tam giác có ba
góc bằng nhau nếu và chỉ nếu tam giác đó có ba cạnh bằng nhau” là mệnh
đề gì? Mệnh đề đó đúng hay sai?
b) Xét các mệnh đề P: “36 chi hết cho 4 và chia hết cho 3”
Q: “36 chia hết cho 12”

i) Phát biểu mệnh đề P=>Q, Q=>P và PQ
ii) Xét tính đúng – sai của mệnh đề PQ
Giải: a) Mệnh đề T là mệnh đề tương đương. Đó là một mệnh đề đúng.


b)Mệnh đề P là mệnh đề đúng, mệnh đề Q là mệnh đề đúng.
i) P=>Q: “Vì 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 nên 36 chia hết cho 12”
Q=>P: “Do 36 chia hết cho 12 nên 36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3”
PQ: “36 chia hết cho 4 và chia hết cho 3 khi và chỉ khi 36 chia hết
cho 12”
ii) Mệnh đề PQ là mệnh đề đúng, vì mệnh đề P và mệnh đề Q đều
đúng.
H4. Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x>x2” với x là số thức. Hỏi mệnh đề P(2) và
P() đúng hay sai?
Giải: P(2): “2 > 22” là mệnh đề sai, vì 2<4
P(): “ > ()2” là mệnh đề đúng, vì >
H5. Cho mệnh đề chứa biến P(n): “n(n+1) là số lẻ” với n là số nguyên. Phát
biểu mệnh đề “∀n ∈ Z, P(n)”. Mệnh đề này đúng hay sai?
Giải: “∀n ∈ Z, P(n)”: “Với mọi giá trị của n thuộc số nguyên
sao cho n(n+1) là số lẻ”. Mệnh đề này là mệnh đề sai, vì P(1)
thì “ 1(1+1) là số chẵn”.
H6. Cho mệnh đề chứa biến Q(n): “2n – 1 là số nguyên tố” với n là số nguyên
dương. Phát biểu mệnh đề “Ǝx ∈ N*, Q(n)”. Mệnh đề này đúng hay
sai?
Giải: “Ǝx ∈ N*, Q(n)”: “Tồn tại giá trị của x thuộc số tự nhiên
khác không sao cho 2n – 1 là số nguyên tố”. Mệnh đề này là
mệnh đề đúng, vì Q(3): “23 không là số nguyên tố”.
H7. Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề “Tất cả các bạn trong lớp em đều
có máy tính”
Giải: Mệnh đề phủ định là: “Chỉ một bạn trong lớp em không có máy tính”.

1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh
đề? Nếu là mệnh đề thì em hãy cho biết nó đúng hay sai.
a) Hãy đi nhanh lên!
b) 5+7+4=15
c) Năm 2002 là năm nhuận.
Giải: Câu a không phải là mệnh đề.
Câu b,c là mệnh đề sai.
2. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xác định xem mệnh đề
phủ định đó đúng hay sai.
a) U: “Phương trình x2-3x+2=0 có nghiệm.”
b) A: “210-1 chia hết cho 11.”
c) E: “Có vô số số nguyên tố.”
Giải:
- Mệnh đề Ū: “Phương trình x2-3x+2=0 vô nghiệm.” là một mệnh đề.
- Mệnh đề Ā: “210-1 không chia hết cho 11.” là một mệnh đề đúng.
- Mệnh đề Ē: “Có hữu hạn số nguyên tố.” là một mệnh đề sai.
3. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:
P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”,
Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”.
Phát biểu mệnh đề PQ bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay
sai.


Giải: PQ: “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi tứ giác ABCD là hình
chữ nhật có hai đường chéo vuông góc” hay “Tứ giác ABCD là hình vuông
nếu và chỉ nếu tứ giác ABCD là hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc”
Mệnh đề PQ là một mệnh đề đúng.
4. Cho mệnh đề chứa biến P(n): “n2-1 chia hết cho 4” với n là số nguyên. Xét

xem mỗi mệnh đề P(5) và P(2) đúng hay sai.
Giải: P(5): “52-1 chia hết cho 4” là một mệnh đề đúng.
P(2): “22-1 chia hết cho 4” là một mệnh đề sai.
5. Nêu mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:
a) I: “∀n ∈ N*, n2-1 là bội của 3”;
b) O: “∀x ∈ R, x2-x+1>0”;
c) U: “Ǝx ∈ Q, x2=3”;
d) E: “Ǝn ∈ N, 2n+1 là số nguyên tố”;
e) A: “∀n ∈ N, 2n ≥ n+2”.
Giải: Ī: “Ǝx ∈ N*, n2-1 không là bội của 3”
Ō: “Ǝx ∈ R, x2-x+1≤0”;
Ū: “∀x ∈ Q, x2≠3”;
Ē: “∀n ∈ N, 2n+1 không là số nguyên tố”;
Ā: “Ǝn ∈ N, 2n ≤ n+2”.
* Luyện tập:
1. Trong các phát biểu sau đây, phát biểu nào là mệnh đề?
Nếu là mệnh đề, hãy nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề đó
và xét tính đúng, sai.


a) 25 là số nguyên tố
b) Thành phố Đà Nẵng ở miền Trung Việt Nam
c) Các bạn hãy tập trung vào bài học!
d) Hình thang cân có hai góc ở đáy bằng nhau.
e) Số 220-1 chia hết cho 4.
2. Cho tam giác ABC. Xét hai mệnh đề:
P: “Tam giác ABC cân”, Q: “Tam giác ABC có hai đường cao
bằng nhau”
Hãy phát biểu mệnh đề P=>Q; Q=>P và PQ
3. Gọi X là tập hợp các cầu thủ x trong đội bóng chuyền, P(x)

là mệnh đề chứa biến “x cao trên 175cm”. Dùng kí hiệu lôgic
để biểu diễn các mệnh đề sau đây:
a) Mọi cầu thủ trong đội bòng chuyền đều cao trên 175cm;
b) Có một số cầu thủ trong đội bóng chuyền cao trên 175cm;
c) Có một cầu thủ trong đội bòng chuyền cao trên 175cm.

- - - - - Hết - - - - Lời giới thiệu: Mình rất muốn giúp đỡ các bạn còn yếu môn
toán khắc phục được môn này, cùng mình tìm hiểu vẻ đẹp
của những con số và biết thêm nhiều bạn bè nên mình tạo
blog nào để mọi người có thể gặp nhau, giúp đỡ nhau. Vì là
lần đầu nên mong các bạn đóng góp ý kiến để mình khắc
phục và có thêm động lực làm tiếp các bài sau.