Chuyên đề hình giải tích trong không gian

Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian


x = 1 + t1 + t 2

2) ( P) : y = 2t1 + t 2 (t1 ; t 2 R)
z = 1 + 3t + t
1
2


Chuyên đề hình giải tích trong
không gian

3) (P) : x+4y+7z+16=0
Bài 2: Tìm một cặp VTPT của các mặt phẳng
sau:

Chơng 1

Mặt Phẳng

x = 1 + t1 + t 2

1) ( P) : y = 2t1 + t 2 (t1 ; t 2 R)
z = 1 + 3t + t
1
2


Bài 1

Phơng trình mặt phẳng
Bài 1 Lập phơng trình tham số của mặt phẳng
(P) đi qua điểm M(2,3,2) v cặp VTCP l

2) (P): x-2y-1=0.
3) (P) :x+4y+7z+16=0.
a (2,1,2); b(3,2,1)
Bài 3: Chuyển dạng phơng trình tổng quát của
(P)
sang dạng tham, số trong các trờng hợp sau:
Bài 2: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng
1) (P): x+2y+3z-12=0.
(P) đi qua M(1,1,1) v
2) (P): 3x+2y+z-6=0.
1) Song song với các trục 0x v 0y.
3) (P): x+2y-4=0.
2) Song song với các trục 0x,0z.
4) (P): 2y+3z-6=0.
3) Song song với các trục 0y, 0z.
Bài 3: Lập phơng trình tham số của mặt phẳng Bài 4: Chuyển dạng phơng trình tham số của
(P) sang dạng tổng quát trong các trờng hợp
đi qua 2 điểm M(1,-1,1) v B(2,1,1) v :
sau:
1) Cùng phơng với trục 0x.
2) Cùng phơng với trục 0y.
x = 1 t1 + t 2

3) Cùng phơng với trục 0z.
(t1 ; t 2 R)
1) ( P) : y = 2t1

Bài 4: Xác định toạ độ của véc tơ n vuông góc
z = 2t 2
với hai véc tơ a (6,1,3); b(3,2,1) .
x = 1 + t1 + t 2

Bài 5: Tìm một VTPT của mặt phẳng (P) ,biết
2) ( P) : y = 2t1 + t 2 (t1 ; t 2 R)
(P) có cặp VTCP l a (2,7,2); b(3,2,4)
z = 1 + 3t + t
1
2

Bài 6: Lập phơng trình tổng quát của mặt
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) phơng trình tham số:
phẳng (P) biết :
x = 1 + t1
1) (P) đi qua điểm A(-1,3,-2) v nhận n(2,3,4);

( P) : y = 2 + t 2 (t1 ; t 2 R )
lm VTPT.
z = 3 t
2) (P) đi qua điểm M(-1,3,-2) v song song với
1

(Q): x+2y+z+4=0.
1) Lập phơng trình tổng quát của (P).
Bài7: Lập phơng trình tổng quát của các mặt
2) Lập phơng trình tổng quát của (Q) đi qua
phẳng đi qua I(2,6,-3) v song song với các mặt điểm A(1,2,3) v song song với (P).

phẳng toạ độ.
Bài 6: Lập phơng trình tham số v phơng
Bài 8: (ĐHL-99) :Trong không gian 0xyz cho
trình tổng quát của mặt phẳng (P) trong các
điểm A(-1,2,3) v hai mặt phẳng (P): x-2=0 ,
trờng hợp sau:
(Q) : y-z-1=0 .Viết phơng trình mặt phẳng (R) 1) Đi qua hai điểm A(0,-1,4) v có cặp VTCP l
r
r
đi qua điểm A v vuông góc với hai mặt phẳng
a (3,2,1) v b ( 3,0,1)
(P),(Q).
2) Đi qua hai điểm B(4,-1,1) v C(3,1,-1) v
Bài 2
cùng phơng với trục với 0x.
Chuyển dạng phơng trình
Bài 7: Cho tứ diện ABCD có A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6) .
mặt phẳng
1) Viết phơng trình tham số v phơng trình
Bài1 Tìm một cặp VTCP của các mặt phẳng
tổng quát các mặt phẳng (ABC) (ACD)
sau:
(ABD) (BCD).
1) (P) : x-2y-1=0
Trờng THPT Bình Giang

1

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
2) Viết phơng trình tham số v phơng trình
tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua cạnh AB
v song song vpí cạnh CD.
Bài 8: Viết phơng trình tham số v tổng quát
của (P)
1) Đi qua ba điểm A(1,0,0), B(0,2,0) , C(0,03) .
2) Đi qua A(1,2,3) ,B(2,2,3) v vuông góc với
mặt phẳng (Q) : x+2y+3z+4=0
3) Chứa 0x v đi qua A(4,-1,2) ,
4) Chứa 0y v đi qua B(1,4,-3)
Bài 9: Cho hai điểm A(3,2,3) B(3,4,1) trong
không gian 0xyz
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) l trung trực
của AB.
2) Viết phơng trình mặt phẳng (Q) qua A
vuông góc vơi (P) v vuông góc với mặt
phẳng y0z
3) Viết phơng trình mặt phẳng (R) qua A v
song song với mặt phẳng (P).


Bài 2:Lập phơng trình mặt phẳng đi qua điểm
M(2,1,-1) v qua hai giao tuyến của hai mặt
phẳng (P1) v (P2) có phơng trình :
(P1): x-y+z-4=0 v (P2) 3x-y+z-1=0

Bài 3: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
3x 2 y + z 3 = 0
v song song với
x 2z = 0

thẳng (d ) :

mặt phẳng (Q) có phơng trình :
(Q): 11x-2y-15z-6=0.
Bài 4: Lập phơng trình mặt phẳng qua giao
tuyến của (P1): y+2z-4=0 v (P2) : x+y-z-3=0 v
song song với mặt phẳng (Q):x+y+z-2=0.
Bài 5: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
3x 2 y + z 3 = 0
v vuông góc với
x 2z = 0

thẳng (d ) :

(Q) có phơng trình ;
1) (ĐHNNI-95): (Q): x-2y+z+5=0.

x = 4 + 3t1 + t 2

2) (Q ) : y = 4 + t1 2t 2 , (t1 , t 2 R )
Bài 3
z = 5 t + t
1
2

Vị trí tơng đối của hai mặt phẳng

Bài 6: Lập phơng trình của mặt phẳng qua hai
giao tuyến của hai mặt phẳng (P1): 3x-y+z-2=0
v (P2): x+4y-5=0 v vuông góc với mặt phẳng :
2x-z+7=0.
Bài 7: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng

Bài 1: Xét vị trí tơng đối ciủa các cặp mặt
phẳng sau:
1) (P1): y-z+4=0, v
x = 3 + 2t1
(P2 ) : y = 1 t1 4t 2 , (t1 , t 2 R )
z = 5 t 4t
1
2


3x 2 y + z 3 = 0
v song song với
x 2z = 0

thẳng : (d ) :

2) (P1): 9x+10y-7z+9=0

đờng thẳng (d) có phơng trình :

x = 1 + 2t1 + 3t 2
(P2 ) : y = 7 + t1 2t 2 , (t1 , t 2 R )

z = 3 + 4t + t
1
2


3 x y + 2 z 7 = 0
x + 3 y 2z + 3 = 0
x2 y 3 z +5
2) (d ) :
=
=
2
4
5

1) (d ) :

3) (P1): x+y-z-4=0v

x = 1 + t1 t 2
(P2 ) : y = 2 + 2t1 t 2 , (t1 , t 2 R )
z = 1 + t + t
1
2


Bài 8:Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng
x 2 y = 0
v vuông góc
3x 2 y + z 3 = 0

thẳng : (d ) :

đờng thẳng (d) có phơng trình :

Bài 4

3x y + 2 z 7 = 0
x + 3 y 2z + 3 = 0
x2 y 3 z +5
2) (d ) :
=
=
2
4
5

1) (d ) :

Chùm mặt phẳng
Bài 1: Lập phơng trình mặt phẳng qua
M(2,1,3) v chứa (d) , biết :
2 x y + 3 z 5 = 0
x 2 y + z 1 = 0

1) (d ) :

Bài 9: Lập phơng trình chứa mặt phẳng đờng
thẳng v với mặt phẳng (Q) một góc 60 độ biết:

x = t

2) (d ) : y = 2 + 2t
z = 1 + 2t


Trờng THPT Bình Giang

3x 2 y + z 3 = 0
v (Q):3x+4y-6=0
x 2z = 0

(d ) :

2

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
Bài 10: Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng Chơng 2
x 3z 2 = 0
v có khoảng cách đến
y + 5z 1 = 0

thẳng (d ) :

Đờng thẳng trong

điểm A(1,-1,0) bằng 1.
Bài 11: Cho đờng thẳng (d) v hai mặt phẳng

không gian
Bài 1
Phơng trình đờng thẳng

xz2=0
v (P1): 5x+5y-3z-2=0 v
y + z 1 = 0

(d ) :

Bài 1:Lập phơng trình đờng thẳng (d) trong
các trờng hợp sau :
1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) v nhận
a (3,2,3) lm VTCP
2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) v B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phơng trình
tổng quát của các giao tuyến của mặt phẳng
(P) : x-3y+2z-6=0 v các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phơng trình chính tắc của đờng
thẳng đi qua điểm M(2,3,-5) v song song với
đờng thẳng (d) có phơng trình

(P2):2x-y+z-6=0. Lập phơng trình mặt phẳng
(P) chứa đờng thẳng (d) sao cho: (P ) (P1 ) v

(P ) (P2 ) l hai đờng trực giao.
Bài 12: (ĐHKT-93): cho hai đờng thẳng (d1)
v (d2) có phơng trình :

x 8 z + 23 = 0
x 2z 3 = 0
, , (d 2 ) :
.
y 4z + 1 = 0
y + 2z + 2 = 0
1) Viết phơng trình các mặt phẳng (P1 ) , (P2 )
song song với nhau v lần lợt chứa (d1 )
(d 2 )
2) Tính khoảng cách giữa (d1 ) , (d 2 )

(d1 ) :

3x y + 2 z 7 = 0
x + 3 y 2z + 3 = 0

(d ) :

3) Lập phơng trình đờng thẳng (D) song song
với trục Oz v cắt cả 2 đờng thẳng (d1 ) , (d 2 ) Bài 4: Cho đờng thẳng (D) v mặt phẳng (P) có
phơng trình l :
Bài 5
3x y + 4 z + 1 = 0
v (P): x+y+z+1=0
2 x + 3 y + z + 7 = 0

(d ) :

Khoảng cách từ một điểm
tới mặt phẳng

Bài1:Tính khoảng cách từ điểm M(2,2,1) đến Tìm phơng trình chính tắc của đờng thẳng (t)
đi qua A(1,1,1) song song với mặt phẳng (P) v
mặt phẳng (P) trong các trờng hợp sau:
vuông góc với đờng thẳng (D)
1) (P): 2x+y-3z+3=0
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm
x = 4 + 3t1 + t 2
A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9). Viết phơng trình

2) (P ) : y = 4 + t1 2t 2 t 1 , t 2 R
tham số của đờng thẳng (d) đi qua trọng tâm
z = 5 t + t
tam giác ABC v vuông góc với mặt phẳng chứa
1
2

Bài2:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn tam giác đó
Bài 2
Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(5,1,3) B(1,6,2)
C(5,0,4) D(4,0,6)
Chuyển dạng phơng trình
1) Lập phơng trình tổng quát mặt phẳng
đờng thẳng
(ABC)
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phơng của các đờng

2) Tính chiều di đờng thẳng cao hạ từ đỉnh D thẳng sau
của tứ diện, từ đó suy ra thể tích của tứ diện
x 1 y + 2 z +1
1) (d ) :
=
=
3) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của
3
4
3
góc nhị diện (A,BC,D)
x y + 4 z + 10 = 0
Bà3:Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn
2) (d ) :
Oxyz , cho tứ diện có 4 đỉnh A(1,1,1) B(-2,0,2)
2 x 4 y z + 6 = 0
C(0,1,-3) D(4,-1,0)
Bài 2:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
1) (ĐH Luật 1996) Tính chiều di đờng thẳng
x y + 4 z + 10 = 0
(d ) :
. Hãy viết phơng trình
cao hạ từ đỉnh D của tứ diện
2 x 4 y z + 6 = 0
2) Viết phơng trình mặt phẳng phân giác của
tham số của đờng thẳng đó
góc nhị diện (A,BC,D)
Trờng THPT Bình Giang

3

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
Bài3:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :


Bài1: Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d)
v mặt phẳng (P) ,biết:

x y + 4 z + 10 = 0
. Hãy viết phơng trình
2 x 4 y z + 6 = 0

(d ) :

x = 1 + t

1) (d ) : y = 3 t , t R (P): x-y+z+3=0
z = 2 + t


chính tắc của đờng thẳng đó
Bài4:Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :
x = t
(d ) : y = 2 + 2t , t R . Hãy viết phơng trình
z = 1 + 2t

x = 12 + 4t

2) (d ) : y = 9 + t , t R (P): y+4z+17=0
z = 1 + t

2 x + 3 y + 6 z 10 = 0
(P): y+4z+17=0
3) (d ) :
x + y + z + 5 = 0

tổng quát của đờng thẳng đó
Bài5:Lập phơng trình tham số, chính tắc v
tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(2,1,3) v vuông góc với mặt phẳng (P) trong
các trờng hợp sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
x = 4 + 3t1 + t 2

2) (P ) : y = 4 + t1 2t 2
z = 5 t + t
1
2

x = 1 + t1

3) (P ) : y = 2 + t 2
z = 3 t
2

x + y + z 3 = 0
(P): x+y-2=0
y 1 = 0

4) (d ) :

Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đờng thẳng
(d) v mặt phẳng (P) cho bởi :

t1 , t2 R .

x = 12 + 4t

1) (d ) : y = 9 + 3t (t R) .v
z = 1 + t


t1 , t2 R

x = 1 + t1
(P ) : y = 2 + t 2
z = 3 t
2


Bài 6:Lập phơng trình tham số, chính tắc v
tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) v song song với đờng thẳng (D) cho

bởi :
x = 2 + 2t

1) (D ) : y = 3t
z = 3 + t


( t 1 , t 2 R) .

2 x + 3 y + 6 z 10 = 0
x + y + z + 5 = 0

2) (d ) :

x = 2 t1 t 2
(P ) : y = 1 + 2t 2
z = t
1


tR.

x + y 1 = 0
4 x + z + 1 = 0

2) (D ) :

3)

Bài 7:Lập phơng trình tham số, chính tắc v

tổng quát của đờng thẳng (d) đi qua điểm
A(1,2,3) v vuông góc với 2 đờng thẳng :

( t 1 , t 2 R)

x = 1 + 2t

(d ) : y = 2 + t , t R (P): x-2y+2z+3=0.

z = 2 + 2t

Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) v
đờng thẳng (d) có phơng trình (P) :2x+y+z=0

2x + y 2 = 0
x y + 4 z + 10 = 0
, (d 2 ) :
2 x + z 3 = 0
2 x 4 y z + 6 = 0

(d1 ) :

v (d ) :

x 1 y z + 2
.
= =
2
1
3

Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phơng trình 1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) v (P) .
tham số, chính tắc v tổng quát của đờng thẳng 2) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) qua A
(d) đi qua điểm A(3,2,1), song song với mặt
vuông góc với (d) v nằm trong mặt phẳng
phẳng (P) v vuông góc với đờng thẳng
(P) .
Biết mặt phẳng
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian
0xyz ,cho mặt phẳng (P) v đờng thẳng (dm) có
x + y 1 = 0
(P): x+y+z-2=0 v () :
phơng trình : (P) :2x-y+2=0 ,
4 y + z + 1 = 0
(2m + 1) x + (1 m) y + m 1 = 0
xác định m
mx + (2m + 1) z + 4m + 2 = 0

(d m ) :

Bài 3
Vị trí tơng đối của đờng thẳng
v mặt phẳng
Trờng THPT Bình Giang

để (dm)//(P)
4

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian


x = 1 + t
x 1 y + 2 z 4
(d1 ) :
(d 2 ) : y = t (t R )
=
=
1
3
2
z = 2 + 3t


Bài 4
Vị trí tơng đối của hai
đờng thẳng

Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tơng 1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt
đối của hai đờng thẳng (d1) v (d2) có phơng
nhau.
trình cho bởi:
2) Viết phơng trình đờng phân giác của
=

+

x
3
2
t
(d1),(d2)

4 x + y 19 = 0 Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng

1) (d1 ) : y = 2 + 3t t R , (d 2 ) :
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
x z + 15 = 0
z = 6 + 4t


x = 1 + 2t
x = u + 2


2) (d1 ) : y = 2 + t
t R , (d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3 + 3t
z = 3u + 1


2 x + y + 1 = 0
3x + y z + 3 = 0
, (d 2 ) :
3) (d1 ) :
x + y z + 1 = 0
2 x y + 1 = 0

x = 3 + 2t1

, (d 2 ) : y = 3 t1
z = 1 t
1


(t, t 1 R )

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau.
2) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song
,cách đều (d1),(d2) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
x = 5 + 2t
(d1 ) : y = 1 t
z = 5 t


x = 2t1

, (d 2 ) : y = 1 + t1
z = t
1

x = 1 t
(d1 ) : y = t
z = 1


x + 8z + 23 = 0
x 2z 3 = 0
, (d 2 ) :
y - 4z + 10 = 0
y + 2z + 2 = 0

(d1 ):

(t, t 1 R )

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song
nhau.
song với nhau .
2) Viết phơng trìnhmặt phẳng(P) song song,
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song
cách đều (d1),(d2) .
,cách đều (d1),(d2) v thuộc mặt phẳng chứa Bài8: Trong không
gian 0xyz ,cho hai đờng
(d1),(d2) .
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
x + 2y z = 0
trình cho bởi :
(d1 ) : x 1 = y 2 = z 3 (d 2 ) :

(d1 ) : x + 7 =

1

y 5 z 9
x y + 4 z + 18
, (d 2 ) : =
=
=
1
4
3
4
1

2

3

2 x y + 3 z 5 = 0

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau.
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song
2) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song,
song với nhau .
cách đều (d1),(d2) .
2) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song
Bài 5

,cách đều (d1),(d2) v thuộc mặt phẳng chứa
(d1),(d2).
Hai đờng thẳng đồng phẳng v
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
bi tập liên quan
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phơng trình
3

x = 3 + 2t
(d1 ) : y = 2 + t
z = 6 + 4t


mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2) ,biết:

4 x + y 19 = 0
t R , (d 2 ) :
x z + 15 = 0

(d1 ) : x + 1 =
3

Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) v
hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho
bởi :

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt
nhau .
2) Viết phơng trình đờng phân giác của

(d1),(d2)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho bởi :

Trờng THPT Bình Giang

y 1 z 3
(d 2 ) : x = y 1 = z 3
=
2
2
1
1
2

x = t
3x - y - z + 3 = 0
(d1 ) :
(d 2 ) : y = 1 2t
2x - y + 1 = 0
z = 3t


5

Tháng 5/2004

(t R )

VTT

Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian

CMR (d1),(d2) v điểm A cùng thuộc mặt Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz ,
phẳng.
cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình
Bài 3: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng cho bởi : (d1): x=-y+1=z-1, (d2): -x+1=y-1=z
trình cho bởi :
Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) v toạ độ điểm
A
3
3
0
2x
+
y
+
1
=
0
x
+
y

z
+
=
2 thuộc (d2) để đờng thẳng A1A2 vuông góc
(d1 ) :

(d 2 ) :
với (d1) v vuông góc với (d2) .
x - y + z 1 = 0
2 x y 1 = 0
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đờng thẳng
1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.
(d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
x = 2t1
x = 1 t
(P) chứa (d1),(d2).


(d1 ) : y = t
, (d 2 ) : y = 1 + t1 (t, t 1 R )
3) Viết phơng trình đờng phân giác
z = 1
z = t
của(d1),(d2)
1


Bài 4: Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng 1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d ),(d ) chéo
x 2 y 1 z 1
trình cho bởi : (d1 ) :
=
=
1
2
1

x = 1 + 2t
(d 2 ) : y = t + 2 (t R )
z = 1 + 3t


1

x = 1 + 3t
(d1 ) : y = 3 + 2t
z = 2 1


1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau.Xác định
toạ độ giao điểm của nó.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) chứa (d1),(d2).
3) Viết phơng trình đờng phân giác
của(d1),(d2)
Bài5: cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
trình cho bởi :

(d1 ) : x 3 =
1

2

nhau.Viết phơng trình mặt phẳng (P),(Q)
song song với nhau v lần lợt chứa (d1),(d2)
2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đờng thẳng

(d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
3x 2 y 8 = 0
5 x + 2 z 12 = 0

(t R ) (d 2 ) :

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau. Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đờng thẳng
(d1),(d2) ,biết:

4 x y 2 = 0
y +1 z 2
, (d 2 ) :
=
4
3
3x z = 0

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) song (d ) : x + 1 = y 1 = z 2 (d ) : x 2 = y + 2 = z
1
2
2
3
1
2
5
2

song với nhau.
1)
Chứng
tỏ
rằng
hai
đờng
thẳng
(d
),(d
)
chéo
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
1
2
nhau.
(P) chứa (d1),(d2).
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) trong (P) 2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2) .
song song cách đều (d1),(d2) .
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đờng
Bài 6
thẳng (d1),(d2) ,biết:

Hai đờng thẳng chéo nhau v
bi tập liên quan

x = 1 + 3t
x + y = 0
(d 2 ) : y = t

: (d1 ) :
x - y + z 4 = 0
z = 2 + t


Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đờng thẳng
(d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
x = 7 + 3t
(d1 ) : y = 4 2t
z = 4 + 3t


x = 1 + t1
(d 2 ) : y = 9 + 2t1
z = 12 t
1


1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau.
2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2)
Bài 7: : cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết:

(t, t 1 R )

(d1 ) : x 7 =

y 3 z 9
=
1

2
1
(d 2 ) : x 3 = y 1 = z 1
2
3
7

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
nhau.
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2) .

Trờng THPT Bình Giang

(t R )

6

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2)
chéo nhau.
Tháng 5/2004
VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
2) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc
chung của (d1),(d2) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đờng thẳng
(d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
x = 2 + 21 t

(d1 ) : y = 1 + t1
z = 1


x = 1

, (d 2 ) : y = 1 + t 2
z = 3 t
2



x = 1 + 2t
(d1 ) : y = 2 + t
z = 3 + 3t


x = u + 2

t R , (d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3u + 1


(t 1 , t 2 R ) Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng (d) song
song với đờng thẳng () v cắt cả hai đờng
x + y + 2z = 0

1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo thẳng: ( ) : x y + z + 1 = 0

nhau.

x = 2 + t
2) Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) v
x + 2z 2 = 0
(d1 ) : y = 1 t t R (d 2 ) :
song song với (d2) .
y 3 = 0
z = 2t
3) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .

Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đờng thẳng
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phơng trình đờng
(d1),(d2) có phơng trình cho bởi :
thẳng đi qua A(1,-1,0) v cắt cả hai đờng
x = 2 + 2t
x + y + 2z = 0
(d1 ) :
(d 2 ) : y = 5t
x - y + z + 1 = 0
z = 2 + t


x
1

thẳng: (d1 ) : =

(t R )

y +1 z 1
(d 2 ) : x + 1 = y = z

=
1
2
1
2 1

Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phơng trình đờng
1) Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo thẳng đi qua A(1,-1,0) v cắt cả hai đờng
thẳng:
nhau.
x = 1 + 3t
2) Tính khoảng cách giữa (d1),(d2) .
3x - 2y - 8 = 0
3) Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua
(d1 ) :
(d 2 ) : y = 3 2t (t R )
5x + 2z - 12 = 0
M(1,1,1) v cắt đồng thời (d1),(d2) .
z = 2 t

Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các
Bài 6: Viết phơng trình đờng thẳng (d) vuông
đỉnh S(-2,2,4), A(-2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1).
góc với (P) :x+y+z-2=0 v cắt cả hai đờng
Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA v SB.
thẳng (d1) v (d2):

Chơng 3

x = 2 + t

(d1 ) : y = 1 t
z = 2t


Điểm, đờng thẳng v
Mặt Phẳng

Bài 7: Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua
gốc toạ độ v cắt cả 2 đờng thẳng (d1) v (d2):

Bài 1
Đờng thẳng đi qua một điểm cắt
cả hai đờng thẳng cho trớc.

x = 2t + 1
(d1 ) : y = t + 2 t R
z = 3t 3


Bài1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,2,3) v cắt cả hai đờng thẳng

x = u + 2
(d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3u + 1 3 = 0


Bài 2
Đờng thẳng đi qua một điểm
vuông góc với cả hai đờng

thẳng cho trớc.

x 2z 3 = 0
x + 8z + 23 = 0
(d 2 ) :
1) (d1 ) :
y - 4z + 10 = 0
y + 2z + 2 = 0
x 1 y 2 z 3
2) (d1 ) :
=
=
1
2
3
x + 2y z = 0
(d 2 ) :
2 x y + 3 z 5 = 0

Bài 1: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,2,3) v cắt cả hai đờng thẳng (d1) ,(d2):
x 2z 3 = 0
x + 8z + 23 = 0
(d 2 ) :
y - 4z + 10 = 0
y + 2z + 2 = 0

1) (d1 ) :

Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua

gốc toạ độ v cắt cả hai đờng thẳng:

Trờng THPT Bình Giang

x + 2z 2 = 0
t R (d 2 ) :
y 3 = 0

7

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian


Bài 1: Tìm toạ độ điểm đối xứng của A(-2,1,3)
qua (P) cho bởi:
1) (P): 2x+y-z-3=0.

3x 2 y 8 = 0
5 x + 2 z 12 = 0

2) (d1 ) :

x = 1 + 3t
(d 2 ) : y = 3 2t (t R )
z = 2 t

x = 1 + t1 t 2

2) (P ) : y = 2 + 2t1 t 2
z = 1 + t + t
1
2


Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phơng trình
đờng thẳng (d) đi qua A(1,1,-2) song song với
mặt phẳng (P) v vuông góc với đờng thẳng
(d):

(d ) : x + 1 =
2

Bài 2: (ĐHKTCN-97): Cho điểm A(1,2,3) v
mặt phẳng (P) có phơng trình :2x-y+2z-3=0
1) Lập phơng trình mặt phẳng qua A v song
song với (P).
2) Gọi H l hình chiếu vuông góc của A lên
(P). Xác định toạ độ của H
Bài3: (ĐHGTVTTPHCM-99): Cho ba điểm
A(1,1,2),B(-2,1,-1) ,C(2,-2,-1) .Xác định toạ độ
hình chiếu vuông góc của điểm O lên mặt phẳng
(ABC).
Bài 4: (ĐHTCKT-2000): Cho điểm A(2,3,5) v
mặt phẳng (P) có phơng trình :2x+3y+z-17=0

1) Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua A v
vuông gócvới (P).
2) CMR đờng thẳng (d) cắt trục 0z , tìm giao
điểm M của chúng.
3) Xác định toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua
(P).
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) v đờng thẳng (d) có
phơng trình :

y 1 z 2
=
(P) : x - y - z - 1 = 0
1
3

Bài 3
Đờng thẳng đi qua một điểm
vuông góc với một đờng v
cắt một đờng thẳng khác
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phơng trình
đờng thẳng đi qua A(0,1,1) v vuông góc với
đờng thẳng (d1) v cắt (d2) ,biết :

(d1 ) : x 1 =
3

(t 1 , t 2 R )

x + y z + 2 = 0
y+2 z

= (d 2 ) :
1
1
x + 1 = 0

Bài 2: Viết phơng trình đờng thẳng đi qua
A(1,1,1) v vuông góc với đờng thẳng (d1) v
cắt (d2) ,biết :
x + y + z -3 = 0
x 2 y 2z + 9 = 0
(d 2 ) :
y + z - 1 = 0
y z +1 = 0

(d1 ) :

3x y + 4 z 27 = 0
6 x + 3 y z + 7 = 0

(P): 2x+5y+z+17=0 v (d ) :

Bài 3: Viết phơng trình đờng thẳng cắt cả ba
đờng thẳng (d1) (d2) , (d3) v vuông góc với
vectơ u (1,2,3) , biết:

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) v (P).
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng
với (d) qua (P)
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) v đờng thẳng (d) có
phơng trình :

x - y +1 = 0
x + y 1 = 0
(d 2 ) :
z + 1 = 0
z = 0
x y 1 = 0
(d 3 ) :
z = 1

(d1 ) :

x + 2 y 3 = 0
3x 2 z 7 = 0

(P): 2x+y+z+4=0 v (d ) :

1) Xác định toạ độ giao điểm A của (d) v (P).
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng
với (d) qua (P)
mx - y = 0
mx + y = 0
(d 2 ) :
(d1 ) :
Bài
7: (ĐHQG 1998) Cho các điểm A(a,0,0);
z = a
z = a
B(0,b,0); C(0,0,c) (a,b,c dơng ) >Dựng hình
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phơng trình đờng

hộp chữ nhật nhận O,A,B,C lm 4 đỉnh v gọi D
thẳng đi qua A(3,-2,-4) song song với mặt phẳng l đỉnh đối diện với đỉnh O của hình hộp đó
(P) :3x-2y-3z-7=0 v cắt đờng thẳng (d) biết:
1) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (ABD)
x 2 y + 4 z 1
2) Tính toạ độ hình chiếu vuông góc của C
(d ): 3 = 2 = 2
xuống mặt phẳng (ABD). Tìm điều kiện đối
Bài 4:
với a,b,c để hình chiếu đó nằm trong mặt
phẳng (xOy)
Hình chiếu vuông góc của

Bài 4: Tìm tất cả các đờng thẳng cắt (d1), (d2)
dới cùng một góc , biết:

điểm lên mặt phẳng
Trờng THPT Bình Giang

8

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian


1) Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu

Bài 5:
vuông góc (d1) của (d) lên (Oxy) .
Hình chiếu vuông góc của đờng
2) CMR khi m thay đổi đờng thẳng (d1) luôn
thẳng lên mặt phẳng
tiếp xúc với một đờng tròn cố định trong
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian
mặt phẳng 0xy.
với hệ trục toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho đờng
Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ
thẳng (d) v mặt phẳng (P) có phơng trình :
độ vuông góc 0xyz cho mặt phẳng (P) v hai
x + z 3 = 0
đờng thẳng (d1) v (d2) có phơng trình :
Lập
(P):x+y+z-3=0 v (d ) :
(P):x+y-z+1=0
2 y 3 z = 0
3 y z + 12 = 0
2y - z + 1 = 0
phơng trình hình chiếu vuông góc của đờng
(d 2 ) :
(d1 ) :
thẳng (d) lên (Q).
x + 2y = 0
x z + 2 = 0
Bài 2: Lập phơng trình hình chiếu vuông góc
1) Hãy viết phơng trình hình chiếu vuông góc
của giao tuyến (d) của hai mặt phẳng 3x-y+z(1), (2) của (d1), (d2) lên (P) .Tìm toạ độ
2=0 v x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.

giao điểm I của (d1), (d2).
Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ
2) Víêt phơng trình mặt phẳng (P1 ) chứa (d1)
toạ độ trực chuẩn 0xyz cho đờng thẳng (d) v
v vuông góc với (P).
mặt phẳng (P) có phơng trình :

Bi 6:
Hình chiếu vuông góc của
điểm lên đờng thẳng

(d ): 4x = y 3 4 = z+21 v (P): x-y+3z+8=0.

Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu
vuông góc của (d) lên (P) .
Bài4: Trong không gian 0xyz cho đờng thẳng
(d) v mặt phẳng (Q) có phơng trình :

Bài 1: cho điểm A(1,2,3) v đờng thẳng (d) có
x 2 y 2z + 9 = 0
.Xác định
y z +1 = 0

phơng trình : (d ) :

- 2y + z - 3 = 0
(d ): 3x
x - 2z = 0

x = 4 + 3t1 + t 2
(Q ) : y = 4 + t1 2t 2
z = 5 t + t
1
2


toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ
đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d) .
Bài2: cho điểm A(1,2,-1) v đờng thẳng (d) có

(t 1 , t 2 R )

x = 2t + 1

phơng trình : (d ) : y = t + 2
z = 3t 3


t R .Xác định

Lập phơng trình hình chiếu vuông góc của
đờng thẳng (d) lên (Q) .
toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) .Từ
Bài5: Cho đờng thẳng (d) v mặt phẳng (Q) có đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua (d) .
phơng trình :
Bài3: cho điểm A(2,1,-3) v đờng thẳng (d) có
- y + z +1 = 0
(d ): 2x
x + 2y - z - 3 = 0

phơng trình : (d ) :

(Q): x-y+z+10=0

x 1 y 2 z + 3
=
=
.Xác
1
2
1

định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d)
.Từ đó tìm toạ độ điểm A1 đối xứng với A qua
(d) .
Bài 4: (ĐHhuế /A,B phân ban 98): Trong không
gian 0xyz cho điểm A(2,-1,1) v đờng thẳng

Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu
vuông góc (d1) của (d) lên (P) .
Bài6: (ĐH Cn Thơ 1998) Trong không gian với
hệ toạ độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d)
v mặt phẳng (P) có phơng trình :

y + z 4 = 0
2 x y z + 2 = 0

(d ): x 1 1 = y 2 2 = z 3 1 v (P): x+y+z+1=0.

(d) có phơng trình : (d ) :

Hãy viết phơng trình chính tắc hình chiếu
1) Viết phơng trình mặt phẳng (P) đi qua A v
vuông góc (d1) của (d) lên (P) .
vuông góc (d) .
Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ 2) Xác định toạ độ điểm B đối xứng với A qua
độ vuông góc 0xyz cho đờng thẳng (d) v mặt
(d) .
phẳng (P) có phơng trình :
Bài 5: (Đề 60-Va): Lập phơng trình đờng
x 1 y 2 z 1
thẳng
qua A(3,2,1) v vuông góc với đờng
(d ): 1 = 2 = 3 v (P): x+y+z+1=0.
thẳng
Trờng THPT Bình Giang

9

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian


x y z+3

Bài 2: cho hai điểm A(1,1,0) ;B(0,-1,1) v mặt
v cắt với đờng thẳng đó .
(d) : = =
phẳng
(P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P)
2 4
1
Bài 6: (ĐHTM-2000): Lập phơng trình đờng sao cho AM+BM nhỏ nhất.
Bài 3: (ĐHhuế /A hệ cha phân ban 97):Trong
thẳng qua A(2,-1,0) v vuông góc với đờng
không gian với hệ toạ độ 0xyz cho mặt phẳng
5 x + y + z + 2 = 0
thẳng (d ) :
(P): 2x-y+z+1=0 v hai điểm A(3,1,0), B(-9,4,9)
x y + 2z + 1 = 0
.Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho
v cắt với đờng thẳng đó .
MA MB l lớn nhất .
Bài7: (HV BCVT-2000): Cho 2 đờng thẳng ()
Bài 4: (ĐHQG-2000):Cho mặt phẳng
v (d) có phơng trình :
(P):x+y+z-1=0 v hai điểm A(1,-3,0) ,B(5,-1,-2)
( ) : x 3 = y 1 = z 1 (d ) : x 7 = y 3 = z 9 1) Chứng tỏ rằng đờng thẳng đi qua A,B cắt
7
2
3
1
2
1
mặt phẳng (P) tại một điểm I, tìm toạ độ

Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đối xứng với
điểm đó .
(d) qua ()
2) Tìm toạ độ điểm M trên mặt phẳng (P) sao
Bài 8: (ĐHHH-1999): Trong không gian cho 2
cho MA MB đạt giá trị lớn nhất.
đờng thẳng (d1),(d2) :
Bài 5: (ĐHMĐC-97):
x = t
cho
ba điểm A(1,4,5) B(0,3,1) ,C(2,-1,0) v mặt
2 x + y + 1 = 0

(d1 ) :
(d 2 ) : y = 1 + 2t t R
phẳng (P): 3x-3y-2z-15=0.Gọi G l trọng tâm
x y + z 1 = 0
z = 4 + 5t

ABC .CMR điều kịên cần v đủ để M nằm trên
mặt phẳng (P) có tổng các bình phơng khoảng
1) (d1) , (d2) có cắt nhau hay không
cách đến các điểm A,B,C nhỏ nhất l điểm M
2) Gọi B,C lần lợt l các điểm đối xứng của
phải l hình chiếu vuông góc của điểm G trên
A(1,0,0) qua (d1),(d2) . Tính diện tích tam
mặt phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
giác ABC
Bài 6: Cho mặt phẳng (P) 3x+3y+mz-6-m=0.
Bài 9: (ĐHTM-1999): Trong không gian cho

1) CMR (P) luôn đi qua một điểm cố định M,
đờng thẳng (d1) v mặt phẳng (P) :
Tìm toạ độ của M.
2x y 2z 3 = 0
(d1 ) :
(P) : x 2 y + z 3 = 0
2) Giả sử (P) cắt 0x,0y,0z theo thứ tự tại A,B,C .
2 x y 2 z 17 = 0
Tính 0A,0B,0C để tứ diện 0ABC đạt
1) Tìm điểm đối xứng của điểm A(3,-1,2) qua
giá trị nhỏ nhất .
đờng thẳng (d)
Tính 0A,0B,0C để 0A+0B+0C l nhỏ
2) Viết phơng trình hình chiếu vuông góc của
nhất .
đờng thẳng (d) trên mặt phẳng (P)
Bi 8:
Bài10: Trong không gian 0xyz cho bốn đờng
thẳng (d1), (d2), (d3), (d4) có phơng trình :
Điểm v đờng thẳng
mx y = 0
mx y = 0
Bài 1: Tìm trên đờng thẳng (d) điểm
(d1 ) :
, (d 2 ) :
,
z
=
h
z

=

h
M(xM,yM,zM) sao cho x 2 M + y 2 M + z 2 M nhỏ


nhất ,biết:
mx + y = 0
mx + y = 0
(d 3 ) :
, (d 4 ) :
z = h

z = h

CMR các điểm đối xứng A1, , A2, , A3,
A4 của A bất kì trong không gian qua (d1), (d2),
(d3), (d4) l đồng phẳng . Lập phơng trình mặt
phẳng chứa chúng .

Bi 7:
Điểm v mặt phẳng
Bài 1: cho hai điểm A(1,0,2) ;B(2,-1,3) v mặt
phẳng (P): x-2y+z-4=0.Tìm điểm M thuộc (P)
sao cho AM+BM nhỏ nhất.

Trờng THPT Bình Giang

x = 2 + t

1) (d ) : y = 1 2t
z = t 3


tR

x 3 y +1 z 4
=
=
2
3
5
3
4
1
0
x

y
+
z
+
=

3) (d ) :
2 x + 3 y + z + 7 = 0

2) (d ) :

Bài 2: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình :

x y z 3 = 0
.Tìm điểm M thuộc (d) sao
x + y 5 = 0

(d ) :

cho AM+BM nhỏ nhất khi :
10
Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
1) A(1,2,-1), B(8,1,-2) .
2) A(1,2,-1),B(0,1,2).
Bài 3: (ĐHBK-98):Cho đờng thẳng (d) v mặt
phẳng (P)có phơng trình :
x = 1 + 2t
(d ) : y = 2 t
z = 3t


t R ,(P):2x-y-2z+1=0

1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d)
sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt
phẳng (P) bằng 1.
2) Gọi K l điểm đối xứng của điểm
I(2,-1,3) qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ

độ K.
Bài 4: (ĐHHồng Đức -2000): Cho đờng thẳng
(d) v mặt phẳng (P) có phơng trình :
x = 1 + t
(d ) : y = 1 + t
z = 2t


t R v (P): x+2y+z-1=0.



(d 3 ) : x =
3

y 1 z 5
=
1
1

1) Xác định cosin góc giữa (d1),(d2).
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d) song song
với (d3) đồng thời cắt cả (d1),(d2).
Bài 3: Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d)
v mặt phẳng (P) có phơng trình cho bởi :
4 x + y 19 = 0
v (P):x+y-7z-58=0.
x z + 15 = 0

1) (d ) :

x = 1 + t1 + t 2
2 x + y + 1 = 0

& (P ) : y = 2t1 + t 2
2) (d ) :
x + y z + 1 = 0
z = 1 + 3t + t
1
2


Bài 4: (CĐSP TP.HCM-99): Cho đờng thẳng
(d) v mặt phẳng (P) có phơng trình :

(d ): x 1 3 = y 2 4 = z+13

v (P):2x+y+z-1=0

1) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) v
mặt phẳng (P) .
2) Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng (d)
1) Tìm toạ độ các điểm thuộc đờng thẳng(d)
v mặt phẳng (P).
sao cho khoảng cách từmỗi điểm đó đến mặt
3) Lập phơng trình tổng quát của đờng thẳng
phẳng (P) bằng 6 .
(d1) đi qua A vuông góc với (d) v nằm trong
2) Gọi K l điểm đối xứng của điểm I(2,0,-1)
mặt phẳng (P).

qua đờng thẳng (d) .Xác định toạ độ K.
Bài 5: (ĐHAN-CS-98): Cho đờng thẳng (d) v
Bài 5: (ĐHĐ nẵng -2000): Cho điểm
mặt
phẳng (P) có phơng trình :
A(-4,4,0),B(2,0,4),C(1,2,-1),D(7,-2,3).
1) CMR A,B,C,D đồng phẳng .
(d ): x 1 1 = y23 = z 2+ 1 v (P): x+z+2=0
2) Tính khoảng cách từ Cđến đờng thẳng (AB)
1) Xác định số đo góc giữa đờng thẳng (d) v
Bi 9:
mặt phẳng (P) .
Góc trong không gian
2) Lập phơng trình đờng thẳng (d1) l hình
Bài 1: Xác định số đo góc giữa 2 đờng thẳng
chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng (P).
(d1),(d2) có phơng trình :
x = 3 + 2t
4x + y - 19 = 0

1) (d1 ) : y = 2 + 3t & (d 2 ) :
x - z + 15 = 0
z = 6 + 4t


x = 2t + 1
x = u + 2


2) (d1 ) : y = 2 + t

, (d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 3 + 3t
z = 1 + 3u


3x + y z + 3 = 0
2 x + y + 1 = 0
(d 2 ) :
3) (d1 ) :
x y + z 1 = 0
2 x y + 1 = 0

Bài 2: (ĐHHH-2000): Cho ba đờng thẳng
(d1),(d2), (d3) có phơng trình :
x = t + 1
(d1 ) : y = 2 + 4t
z = 2 + 3t


x y + 4z 3 = 0
t R , (d 2 ) :
2 x y z + 1 = 0

Trờng THPT Bình Giang

Bi 10:
Tam giác trong không gian

Bài 1: Cho ABC bíêt A(1,2,5), B(1,4,3),
C(5,2,1) v mặt phẳng (P):x-y-z-3=0.

1) Lập phơng trình đờng trung tuyến ,đờng
caơ v đờng phân giác trong kẻ từ đỉnh A.
2) Gọi G l trọng tâm ABC .CMR điều kịên
cần v đủ để điểm M nằm trên mặt phẳng (P)
có tổng các bình phơng khoảng cách đến
các điểm A,B,C nhỏ nhất l điểm M phải l
hình chỉếu vuông góc của điểm G trên mặt
phẳng (P) .Xác định toạ độ của điểm M đó.
Bài 2: Cho mặt cầu
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 4 y 6 z = 0 .
1) Gọi A,B,C lần lợt l giao điểm (khác gốc
toạ độ ) của mặt cầu (S) với 0x,0y,0z .Các
11

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
đỉnh toạ độ của A,B,C v lập phơng trình
mặt phẳng (ABC).
2) Lập phơng trình các đờng trung tuyến ,
đờng cao v đờng phân giác trong kẻ từ
đỉnh A của ABC.
3) Xác định toạ độ tâm v tính bán kính đờng
tròn ngoại tiếp ABC.
Bài 3 Cho mặt cầu
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 4 z 4 = 0 v các điểm
A(3,1,0), B(2,2,4) ,C(-1,2,1).

1) Lập phơng trình mặt phẳng (ABC).
2) Lập phơng trình các đờng trung tuyến
,đờng cao v đờng phân giác trong kẻ từ
đỉnh A của ABC.
3) Xác định toạ độ tâm v tính bán kính đờng
tròn ngoại tiếp ABC.

Chơng 4

Mặt cầu


2) CMR tâm của (Sm) luôn chạy trên một đờng
tròn (C) cố định trong mặt phẳng 0xy khi m
thay đổi.
3) Trong mặt phẳng 0xy, (C) cắt 0y tại A v B.
Đờng thẳng y=m(-1T, S , đờng thẳng qua A , T cắt đờng thẳng
qua B ,S tại P .Tìm tập hợp các điểm P khi m
thay đổi .
Bài 5: Lập phơng trình mặt cầu (S) ,biết :
1) Tâm I(2,1,-1), bán kính R=4.
2) Đi qua điểm A(2,1,-3) v tâm I(3,-2,-1).
3) Đi qua điểm A(1,3,0) ,B(1,1,0) v tâm I
thuộc 0x.
4) Hai đầu đờng kính l A(-1,2,3), B(3,2,-7)
Bài 6: Cho 3 đờng thẳng (d1),(d2), (d3) có
phơng trình :

(d1 ) : x 2 =

y + 2 z 1
(d 2 ) : x 7 = y 3 = z 9
=
3
4
1
1
2
1
x +1 y + 3 z 2
(d 3 ) :
=
=
3
1
2

1) Lập phơng trình đờng thẳng (d) cắt cả hai
đờng thẳng (d1),(d2) v song song với
đờng thẳng (d ).
Bài 1: Trong các phơng trình sau đây ,phơng 2) Giả sử (d ) (d 3) = {A}, (d ) (d ) = {B} .Lập
1
2
trình no l phơng trình của mặt cầu ,khi đó chỉ
phơng trình mặt cầu đờng kính AB.
rõ toạ độ tâm v bán kính của nó ,biết:
Bài 7: Cho 2 đờng thẳng (d1),(d2) có phơng
1) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 4 y + 6 z + 2 = 0
trình

:
2) (S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x + 4 y 2 z + 9 = 0
x = 2 + t
x + 2z 2 = 0

3) (S ) : 3x 2 + 3 y 2 + 3z 2 6 x + 3 y 9 z + 3 = 0
(
d1 ) : y = 1 t t R , (d 2 ) :
y 3 = 0
4) (S ) : x 2 y 2 z 2 + 4 x + 2 y 5 z 7 = 0
z = 2t

5) (S ) : 2 x 2 + y 2 + z 2 x + y 2 = 0
1) CMR (d1) v (d2) chéo nhau.
Bài 2: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
2) Viết phơng trình đờng vuông góc chung
(S m ) : x 2 + y 2 + z 2 4mx 2my 6 z + m 2 + 4m = 0
của (d1) v (d2).
3)
Lập
phơng trình mật cầu (S) có đờng kính
1) Tìm điều kiện của m để (Sm) l một họ mặt
l đoạn vuông góc chung của (d1) v (d2).
cầu .
2) CMR tâm của (Sm) luôn nằm trên một đờng 4) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
cách đều (d1) v (d2).
thẳng cố định.
Bài 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
Bi 2:

Bài 1
Phơng trình mặt cầu

(S m ) : x 2 + y 2 + z 2 4mx 2m 2 y + 8m 2 5 = 0

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng

1) Tìm điều kiện của m để (Sm) l một họ mặt
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :
cầu .
1) Tâm I(1,2,-2) v tiếp xúc với mặt phẳng
2) Tìm quĩ tích tâm của họ (Sm) khi m thay đổi.
(P):6x-3y+2z-11=0.
3) Tìm điểm cố định M m (Sm) luôn đi qua.
2) (CĐGTVT-2000): Tâm I(1,4,-7) v tiếp xúc
Bài 4: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình :
với mặt phẳng (P) :6x+6y-7z+42=0.
(S m ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x sin m 2 y cos m 3 = 0
3) Bán kính R=9 v tiếp xúc với
(P): x+2y+2z+3=0 tại điểm M(1,1,-3).
1) Tìm điều kiện của m để (Sm) l một họ mặt
Viết phơng trình mặt cầu có tâm I trên
Bài
2:
cầu .
đờng thẳng (d) v tiếp xúc với hai mặt phẳng
( (P1 ) )v (P2 ) , biết :
12
Trờng THPT Bình Giang
Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
x 2 y 1 z 1
=
=
3
2
2
(P1 ) :x+2y-2z-2=0. v (P2 ) :x+2y-2z+4=0.
x + 4 y + 2 z 7 = 0
,
2) (d ) :
x + 5 y + 4 z 14 = 0
(P1 ) :2x+2y-z-12=0. v (P2 ) :-2x+2y-z+8=0.



1) (ĐHL-95): (d ) :

x = 1 + 2t

3) (d ) : y = 3 + t
z = 2 t


Mặt cầu tiếp xúc với
đờng thẳng
Bài 1: Viết phơng trình mặt cầu (S) biết :

1) Tâm I(1,2,-1) v tiếp xúc với đờng thẳng (d)
x = 1 t

có phơng trình : (d ) : y = t
z = 1


tR,

(P1 ) :3x4y+2z-10=0

(P2 ) :2x-3y+4z-10=0

Bài 3: (ĐHLN-97):Cho đờng thẳng (d) v hai
mặt phẳng (P1 ) , (P2 ) ,biết :

(d ) : x = y 1 = z + 1 ,
2
3
2
(P2 ) :2x-y+z+2=0

Bi 4:

(P1 ) :x+y-2z+5=0. v

1) Gọi A l giao điểm của (d) với (P1 ) v (P2 )
.Tính độ di đoạn AB.
2) Viết phơng trình mặt cầu cod tâm I trên
đờng thẳng (d) v tiếp xúc với hai mặt

phẳng (P1 ) v (P2 ) .

Bi 3:
Mặt cầu cắt mặt phẳng

tR

2) Tâm I(3,-1,2) v tiếp xúc với đờng thẳng (d)
2 x y 2 z 3 = 0
2 x 2 y 3z 17 = 0

có phơng trình : (d ) :

Bài 2: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết :
x = 1 + 2t
(d1 ) : y = 1 t
z = 2 + 3t


x 3 y 4 = 0
t R , (d 2 ) :
x y 2z + 1 = 0

Lập phơng trình mặt cầu (S) tiếp xúc với (d1)
tại điểm H(3,1,3) v có tâm thuộc đờng thẳng
(d2).
Bài 3: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết :
2x + y + 1 = 0

3 x + y z + 3 = 0
, (d 2 ) :
x y + z 1 = 0
2 x y + 1 = 0

(d1 ) :

Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu có tâm tạo giao
điểm I của mặt phẳng (P) v đờng thẳng (d) sao 1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định
cho mặt phẳng (Q) cắt khối cầu theo thíêt diện l
tọa độ giao điểm I của chúng .
hình tròn có diện tích 12 ,biết :
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) đi qua hai đờng thẳng (d1) v (d2).
x = 1 + t

3)
Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
1) (d ) : y = 3 t t R ,(P):x-y-z+3=0
(d1),(d2) v có tâm thuộc đờng thẳng (d) có

z = 2 + t
x + y + z 3 = 0
, (P):x+y-2=0.
2) (d ) :
y 1 = 0

x = 1 + 2t

phơng trình : (d ) : y = 2 + t

z = 3 + 3t


tR

Bài 2: Lập phơng trình mặt cầu có tâm thuộc
đờng thẳng (d) v cắt mặt phăng (P) theo thiết Bài 4: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
diện l đờng tròn lớn có bán kính bằng 18.biết: thẳng (d1),(d2) ,biết :
x = 12 + 4t
(d ): y = 9 + 3t
z = 1 + t


x = 3 + 2t
(d1 ) : y = 2 + 3t
z = 6 + 4t


t R v (P):y+4z+17=0.

Bài 3: Trong không gian 0xyz , cho hai điểm
A(0,0,-3),B(2,0,-1) ,v mặt phẳng
(P):3x-8y+7z-1=0 .
1) (HVNH-2000): Tìm toạ độ điểm C nằm trên
mặt phẳng (P) sao cho tam giác đều .
2) Lập phơng trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm
A,B,C v có tâm thuộc mặt phẳng
(P):x-y-z-2=0.
Trờng THPT Bình Giang

4 x + y 19 = 0
(t R) , (d 2 ) :
x z + 15 = 0

1) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau .Xác định
tọa độ giao điểm I của chúng .
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) đi qua hai đờng thẳng (d1) v (d2).
3) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
(d1),(d2) v có tâm thuộc đờng thẳng (d) có
phơng trình : (d ) :
13

x +7 y 5 z 9
=
=
3
1
4

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết :

(d1 ) : x 2 =

2

x7 y2 z
y
z +1
, (d 2 ) :
=
=
=
6
3 4
9
12

1) CMR hai đờng thẳng đó song song với
nhau.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) đi qua hai đờng thẳng (d1) v (d2).
3) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
(d1),(d2) v có tâm thuộc đờng thẳng (d) có
phơng trình :


3) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
(d1),(d2) v có tâm thuộc mặt phẳng
(P):2x-y+3z-6=0.

Bi 5:
Mặt cầu cắt đờng thẳng
Bài 1: (ĐHQG-96): Cho điểm I(2,3,-1) v

đờng thẳng (d) có phơng trình :
=0
(d ) : 35xx 44 yy ++ 3z z+820
=0


1) Xác định VTCP a của (d) suy ra phơng
trình mặt phẳng (P) qua I v vuông góc với
(d):
tR
2) Tính khoảng cách từ I đến (d) từ đó suy ra
phơng trình mặt cầu (S) có tâm sao cho (S)
Bài 6: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
cắt (d) tại hai điểm phân biệt A,B thoả mãn
thẳng (d1),(d2) ,biết :
AB=40.
x+7 y 5 z 9
x y + 4 z + 18 Bài 2: Cho đờng thẳng (d) v mặt phẳng (P) có
(d1 ) :
=
=
=
, (d 2 ) : =
x = 1 t
(d ) : y = t
z = 1


3

1

4

3

1

4

1) CMR hai đờng thẳng đó song song với
nhau.
2) Viết phơng trình tổng quát của mặt phẳng
(P) đi qua hai đờng thẳng (d1) v (d2).
3) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
(d1),(d2) v có tâm thuộc đờng thẳng (d) có
phơng trình :
x = 3 + 2t
(d ) : y = 3 t
z = 1 t


tR

Bài 7: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết :
x = 1 + 2t
(d1 ) : y = 2 + t
z = 3 + 3t

x = u + 2

(t R) , (d 2 ) : y = 3 + 2u
z = 1 + 3u


1) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phơng trình đờng vuông góc chung
của(d1) v (d2).
3) Tính khoảng cách giữa (d1) v (d2).
4) Lập phơng trình mặt cầu tiếp xúc với
(d1),(d2) v có tâm thuộc mặt phẳng
(P) : xy+z-2=0
Bài 8: Trong không gian 0xyz, cho hai đờng
thẳng (d1),(d2) ,biết :

x + y + z 3= 0
x 2 y 2z + 9 = 0
, (d 2 ) :
x + z 1 = 0
y z +1 = 0

(d1 ) :

1) CMR hai đờng thẳng đó chéo nhau.
2) Viết phơng trình đờng vuông góc chung
của(d1) v (d2).
Trờng THPT Bình Giang

x = 1 + 2t

phơng trình : (d ) : y = 2 t
z = 3t


tR ,

(P):2x-y-2z+1=0.
1) (ĐHBK-98):Tìm toạ độ các điểm thuộc
đờng thẳng (d) sao cho khoảng cách từ mỗi
điểm đó đến mặt phẳng (P) bằng 1.
2) (ĐHBK-98):Gọi K l điểm đối xứng của
điểm I(2,-1,3) qua đờng thẳng (d) .Xác
định toạ độ K.
3) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt đờng
thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho
AB=12.
4) Lập phơng trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với
mặt phẳng (P).
5) Lập phơng trình mặt cầu tâm I cắt mặt
phẳng (P) theo giao tuyến l một đờng tròn
có diện tích bằng 16

Bi 6:
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
Bài 1: (ĐH Huế-96): Trong không gian với hệ
toạ độ trực chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(1,0,1),
B(2,1,2),C(1,-1,1),D(4,5,-5).
1) Viết phơng trình tham số của đờng thẳng

đi qua D v vuông góc với mặt phẳng (ABC).
2) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
Bài 2: Cho bốn điểm
0(0,0,0),A(6,3,0), B(-2,9,1), S(0,5,8)
1) (ĐHKT-99): CMR SB vuông góc SA.
14

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian
2) (ĐHKT-99): CMR hình chiếu của cạnh SB
lên mặt phẳng (0AB) vuông góc với cạnh 0A.
Gọi K l giao điểm của hình chiếu đó với 0A.
Hãy xác định toạ dộ của K.
3) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
4) (ĐHKT-99): Gọi P,Q lần lợt l điểm giữa
của các cạnh S0,AB . Tìm toạ độ của điểm M
trên SB sao cho PQ v KM cắt nhau.
Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ trực
chuẩn 0xyz ,cho bốn điểm A(4,4,4), B(3,3,1),
C(1,5,5), D(1,1,1).
1) (HVKTQS-98): Tìm hình chiếu vuông góc
của D lên (ABC) v tính thể tích tứ diện
ABCD.
2) (HVKTQS-98): Viết phơng trình tham số

đờng thẳng vuông góc chung của AC v
BD.
3) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
4) Tính thể tích tứ diện ABCD.
Bài 4: cho bốn điểm A(-1,3,2), B(4,0,-3),
C(5,-1,4), D(0,6,1).
1) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tham
số của đờng thẳng BC .Hạ AH vuông góc
BC .Tìm toạ độ của điểm H.
2) (HVNHTPHCM-99):Viết phơng trình tổng
quát của (BCD) .Tìm khoảng cách từ A đến
mặt phẳng (BCD).
3) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
Bài 5: Trong không gian 0xyz, cho hình chóp
.biết toạ độ bốn đỉnh S(5,5,6), A(1,3,0),
B(-1,1,4), C(1,-1,4), D(3,1,0).
1) Lập phơng trình các mặt của hình chóp.
2) Lập phơng trình mặt cầu (S) ngoại tiếp hình
chóp .
3) Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 6: (HVKTMM-97) Cho bốn điểm A(1,2,2),
B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).
1) CMR tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện
bằng nhau .
2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện.
3) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp ,nội tiếp
tứ diện ABCD.

Bi 7:
Mặt cầu nội tiếp khối đa diện


4
3

1) S ( ,0,0) ,A(0,-4,0), B(0,-4,0),C(3,0,0).
2) S0,A(a,0,0),B(0,b,0), C(0,0,c), với a,b,c>0.
1 9
2 2

Bài 2: Cho hình chóp SABCD .Đỉnh S ( , ,4)
đáy ABCD l hình vuông có A(-4,5,0) ,đơngf
7 x y + 8 = 0
z = 0

chéo BD có phơng trình : (d ) :

1) Tìm toạ độ các đỉnh của hình chóp .
2) Lập phơng trình nặt cầu ngoại tiếp hình
chóp.
3) Lập phơng trình mặt cầu nội tíêp hình chóp.
Bài 3: Cho ba điểm A(2,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3).
1) Viết phơng trình tổng quát các mặt phẳng
(0AB), (0BC), (0CA), (ABC).
2) Xác định tâm I của mặt cầu nội tiếp tứ diện
0ABC .
3) Tìm toạ độ điểm J đối xứng với I qua mặt
phẳng (ABC).

Bài 4: (HVKTMM-99):Cho bốn điểm A(1,2,2),
B(-1,2,-1), C(1,6,-1), D(-1,6,2).
1) CMR tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện
bằng nhau.
2) Xác định toạ độ trọng tâm G của tứ diện .
3) Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABCD.
4) Viết phơng trình mặt cầu nội tiếp tứ diện
ABCD.

Bi 8:
Vị trí tơng đối của điểm
v mặt cầu
Bài 1: Cho mặt cầu

(S ) : x 2 + y 2 + z 2 x 4 y z 3 = 0 .xét vị trí

tpng đối của điểm A đối với mặt cầu (S) trong
các trờng hợp sau:
1) điểm A(1,3,2).
2) điểm A(3,1,-4).
3) điểm A(-3,5,1).
Bài 2: Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 4 y + 2 z 3 = 0 .Sao cho
khoảng cách MA đạt giá trị lớn nhất ,nhỏ
nhất,biết:
1) điểm A(1,-2,0).
2) điểm A(1,1,-2).

Bi 9:

Vị trí tơng đối của đờng
thẳng v mặt cầu

Bài 1: Lập phơng trình mặt cầu nội tiếp hình
chóp SABCD ,biết:
Trờng THPT Bình Giang

15

Tháng 5/2004

VTT


Hệ thống bi tập hình giải tích trong không gian

Bài 1: Cho mặt cầu
(S ) : ( x 3) 2 + ( y + 2) 2 + ( z 1) 2 = 9
2
2
2
(S ) : x + y + z 2 x 2 y 2 z 6 = 0 .Tìm toạ độ ,(P):x+2y+2z+11=0. Tìm điểm M sao cho M
điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M tới mặt
phẳng (P) nhỏ nhất .
(d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất,biết:
x = 2 t

1) (d ) : y = 1 + t
z = 1 t

Bi 11:
Vị trí tơng đối của hai mặt cầu

tR

Bài 1: Cho hai mặt cầu:

(S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 y 7 = 0 ,
(S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x = 0

x + 2 y + z 3 = 0
2) (d ) :
y + 2z 1 = 0

1) CMR hai mặt cầu (S ) v (S ) cắt nhau.

1
2
Bi 10:
2) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của
Vị trí tơng đối của mặt phẳng
(S1) v (S2) qua điểm M(2,0,1).
Bài 2: Cho hai mặt cầu: (S1 ) : x 2 + y 2 + z 2 = 9 ,
v mặt cầu

Bài 1: (ĐHDL-97):Trong không gian với hệ toạ (S 2 ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 y 2 z 6 = 0
đô trực chuẩn 0xyz, cho mặt cầu (S) v mặt
1) CMR hai mặt cầu (S1) v (S2) cắt nhau.
phẳng (P) có phơng trình :

2) Viết phơng trình mặt cầu qua giao điểm của
(S ) : x 2 + y 2 + z 2 2 x 2 = 0 ,(P):x+z-1=0.
(S1) v (S2) qua điểm M(-2,1,-1).
1) Tính bán kính v toạ độ tâm của mặt cầu (S).
2) Tính bán kính v toạ độ tâm của đờng tròn
giao của (S) v (P).
Bài 2: (ĐHSPV-99): Cho điểm I(1,2,-2) v mặt
phẳng 2x+2y+z+5=0 .
1) Lập phơng trình mặt cầu (S) tâm I sao cho
giao của (S) v (P) l đờng tròn có chu vi
bằng 8 .
2) CMR mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng 2x2=y+3=z.
3) Lập phơng trình mặt phẳng chứa đờng
thẳng (d) v tiếp xúc với (S).
Bài 3: (ĐHBK-A-2000): Cho hình chóp SABCD
với S(3,2,-1), A(5,3,-1), B(2,3,-4), C(1,2,0).
1) CMR SABC có đáy ABC l tam giác đều v
ba mặt bên l các tam giác vuông cân.
2) Tính toạ độ điểm D đối xứng với điểm C qua
đờng thẳng AB. M l điểm bất kì thuộc mặt
cầu tâm D, bán kính R = 18 .(điểm M
không phụ thuộc mặt phẳng (ABC) ). Xét
tam giác có độ di các cạnh bằng độ di các
đoạn tjẳmg MA, MB, MC. Hỏi tam giác đó
có đặc điểm gì ?
Bài 4: (ĐHPCCC-2000): Cho đờng tròn (C) có
x 2 + y 2 + z 2 = 14

phơng trình : (C ) :

z = 0

.Lập

hơng trình mặt cầu chứa (C) v tiệp xúc với mặt
phẳng: 2x+2y-z-6=0.
Bài 5: (CĐHQ-96): Cho mặt cầu (S) v mặt
phẳng (P) có phơng trình :
Trờng THPT Bình Giang

16

Tháng 5/2004

VTT